TESTES DE HIPÓTESES Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 26 de setembro de 2016
Introdução Viu-se a construção de intervalos de confiança e que eles podem ser usados para tirar conclusões a respeito de parâmetros da população;
Introdução Viu-se a construção de intervalos de confiança e que eles podem ser usados para tirar conclusões a respeito de parâmetros da população; Entretanto, existem situações em que é necessário decidir se uma determinada hipótese específica é verdadeira ou não. Assim, lança-se mão dos chamados testes de hipóteses;
Introdução Viu-se a construção de intervalos de confiança e que eles podem ser usados para tirar conclusões a respeito de parâmetros da população; Entretanto, existem situações em que é necessário decidir se uma determinada hipótese específica é verdadeira ou não. Assim, lança-se mão dos chamados testes de hipóteses; Portanto, teste de hipóteses é uma suposição ou afirmação relativa a uma ou mais populações, baseada nos parâmetros populacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.
Introdução A idéia básica é que a partir de uma amostra da população será estabelecida uma regra de decisão, segundo a qual a hipótese proposta será não rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisão é chamada de teste.
Introdução A idéia básica é que a partir de uma amostra da população será estabelecida uma regra de decisão, segundo a qual a hipótese proposta será não rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisão é chamada de teste. Um teste de hipóteses (ou teste estatístico) é um procedimento para se determinar se a evidência que uma amostra fornece é suficiente para concluirmos se o parâmetro populacional está num intervalo específico (GRAYBILL, IVER & BURDICK, 1998) (determinado pelo pesquisador).
Introdução A idéia básica é que a partir de uma amostra da população será estabelecida uma regra de decisão, segundo a qual a hipótese proposta será não rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisão é chamada de teste. Um teste de hipóteses (ou teste estatístico) é um procedimento para se determinar se a evidência que uma amostra fornece é suficiente para concluirmos se o parâmetro populacional está num intervalo específico (GRAYBILL, IVER & BURDICK, 1998) (determinado pelo pesquisador). Para conduzir um teste de hipótese, vamos considerar duas afirmações a respeito do parâmetro as quais chamaremos de hipótese nula, H 0 e hipótese alternativa, H 1.
Tipos de Hipóteses A hipótese nula é expressa sempre pela igualdade. Assim, as possíveis hipóteses são: a) H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ θ 0 (para testes bilaterais); b) H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ > θ 0 (para testes unilaterais à direita); c) H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ < θ 0 (para testes unilaterais à esquerda).
Exemplos Alguns exemplos de hipóteses estatísticas são:
Exemplos Alguns exemplos de hipóteses estatísticas são: a) A altura média da população brasileira é de 1,65 m; c) A proporção de paulistas com aplicações financeiras é 12%; d) A média do consumo de gasolina é a mesma para duas marcas diferentes de carros; e) O tempo médio para a realização de um teste é de 80 min.
Tipos de erros Ao testarmos uma hipótese chegamos a uma decisão (de rejeitar ou não H 0 ) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos a favor, ou contra H 0, estamos sujeitos a dois tipos de erros. Nossa decisão Situação Real H 0 verdadeira H 0 falsa Rejeitar H 0 Erro do tipo I Decisão correta não rejeitar H 0 Decisão correta Erro tipo II α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H 0 dado H 0 verdadeira); β = P(Erro do tipo II) = P(não rejeitar H 0 dado H 0 falsa).
Construção de um teste de hipóteses 1) Formulação da hipótese nula H 0 (a ser testada) e da hipótese alternativa H 1 ;
Construção de um teste de hipóteses 1) Formulação da hipótese nula H 0 (a ser testada) e da hipótese alternativa H 1 ; 2) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H 0 ;
Construção de um teste de hipóteses 1) Formulação da hipótese nula H 0 (a ser testada) e da hipótese alternativa H 1 ; 2) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H 0 ; 3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão);
Construção de um teste de hipóteses 1) Formulação da hipótese nula H 0 (a ser testada) e da hipótese alternativa H 1 ; 2) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H 0 ; 3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão); 4) Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste;
Construção de um teste de hipóteses 1) Formulação da hipótese nula H 0 (a ser testada) e da hipótese alternativa H 1 ; 2) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H 0 ; 3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão); 4) Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste; 5) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à região crítica, não rejeite H 0, caso contrário, rejeite H 0.
Teste de hipóteses para a Média: variância conhecida Se temos um teste para a média em que a variância é conhecida, então, a estatística do teste é dada por: Z = X µ 0 σ n N(0, 1)
Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ µ 0, então
Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ < µ 0, então
Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ > µ 0, então
Exemplo 1 Um fabricante informa que a duração média da vida de um equipamento é 500 horas com desvio padrão de 5 horas. Foram amostradas 100 desses equipamentos, obtendo-se média de 498 horas. Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do vendedor, com um nível de confiança de 95%?
Exemplo 2 Num estudo de custos de seguro contra colisão de automóveis, uma amostra de n = 35 consertos de colisões frontais contra um muro a uma velocidade específica teve um custo médio de 1438,00 unidades monetárias. Sabendo σ = 269, 00 unidades monetárias, pode-se afirmar que o custo médio verdadeiro é inferior a 1500,00 unidades monetárias, a um nível de significância de 5%?
Exercício 1 Numa indústria de autopeças, sabe-se que o nível de dureza de um produto feito a base de cerâmica tem variabilidade σ 2 = 0, 49. Uma amostra de 16 peças foram testadas e o resultado é apresentado abaixo: 18,1 19,0 18,8 18,5 18,1 18,8 18,1 18,0 18,5 19,8 17,8 19,1 18,0 19,2 19,8 19,2 Com um nível de significância de 10%, pede-se: a) testar a hipótese unicaudal de que a média é igual a 18,4; b) testar a hipótese bicaudal de que a média é igual a 18,4.
Teste de hipóteses para a Média: variância desconhecida Se temos um teste para a média em que a variância é desconhecida, então, a estatística do teste é dada por: T = X µ 0 s n t (α,n 1)
Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ µ 0, então
Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ < µ 0, então
Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ > µ 0, então
Exemplo 1 O gerente de um banco presume que a renda média anual de seus clientes R$ 38000,00. Uma amostra aleatória de 60 clientes acusou uma média de R$ 39500,00 e um desvio padrão de R$ 3000,00. Considerando um nível de significância de 2,5%, pode-se dizer que a renda média anual dos clientes desse gerente é superior a R$ 38000,00?
Exercício 1 Em fevereiro de 2016, o custo médio para um voo doméstico com passagens de ida e volta com desconto foi de R$ 290,00. Uma amostra aleatória dos preços de 15 passagens de ida e volta com desconto durante o mês de março forneceu os seguintes valores: 310 260 265 255 300 310 230 250 265 280 290 240 285 250 260. Usando α = 5% de significância, pode-se dizer que o preço médio da passagem de ida e volta, com desconto, diminui em março, em relação a fevereiro?
Teste de hipóteses para Proporção Se temos um teste para a proporção, π, então, a estatística do teste é dada por: Z = ˆP π π(1 π) n N(0, 1).
Se H 0 : π = π 0 vs H 1 : π π 0, então
Se H 0 : π = π 0 vs H 1 : π < π 0, então
Se H 0 : π = π 0 vs H 1 : π > π 0, então
Exemplo 1 Uma estação de televisão afirma que 60% dos telespectadores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira. Um canal concorrente contestando tal afirmação decide coletar uma amostra com 200 famílias e perguntar se o programa escolhido pela família era o programa do canal concorrente. Na amostra foram registradas 104 respostas afirmativas. O que você conclui ao nível de 5% de significância?
Exercício 1 Um fabricante de creme dental alega que no máximo 3% dos seus produtos apresentam menos de 100 gramas por embalagem. Uma amostra aleatória com 300 produtos revelou que 14 possuíam menos de 100 gramas. Assumindo o nível de significância de 1% é possível dizer que o fabricante está mentindo?