Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras palavras, gostaríamos de saber se o campo de Maxwell adquire o status de grau-de-liberdade. Para tanto, examinemos o problema com fontes nulas e verifiquemos se soluções não triviais são possíveis. As equações relevantes são E=0, 1 B=0, E= B t, 3 B= 0 0 E t. As duas primeiras são vínculos independentes do tempo para o sistema de Maxwell. Tentemos satisfazê-los automáticamente introduzindo a seguinte representação para o campo E, 4 E r, t= ur, t. (5) onde u é um vetor constante totalmente arbitrário. A Eq. 5 satisfaz idênticamente (1) e pode ser usada em conjunção com (3) para que se obtenha de onde têm-se B t = u= u u, (6) B = u u 0. (7) t Em outras palavras, se a divergência do campo magnético é nula para t=0, permanece automáticamente nula e assim ambos os vínculos são satisfeitos. - As equações (3) e (4) podem agora ser combinadas da seguinte forma tomemos o rotacional da primeira e a derivada temporal da segunda para que obtenhamos E 1 c E t, (8) onde 0 0 1/ c tem dimensão de [T/L], o inverso de velocidade ao quadrado, e onde lembramos que E=0. A Eq. (8) pode agora ser escrita na forma u 1 c =0, (9) t
que por sua vez pode ser satisfeita pela equação da onda para : 1 =0 c. t (10) Usando a represenação (5), que automáticamente satisfaz os vínculos, reduz-se a equação vetorial (8) a uma equação escalar (10). - A solução de (1) é mais ou menos direta em alguns casos. Nos casos de geometria cartesiana, seu aspecto é: x y z 1 =0 c. (11) t Procurando por uma solução tipo separação de variáveis substituindo esta forma em (11), ficamos com: = x x y y z z t t, e 1 d x x d x 1 d y y d y 1 d z z d z 1 1 d t c t d t =0. (1) Cada parcela deve ser constante para não transferir a respectiva dependência aos outros termos. No caso da parcela x, por exemplo, temos: 1 d x x d x =C te., (13) cuja solução é da forma x ~e ±C te. x. Se a constante C te for positiva, gera soluções explosivas que devem ser rejeitadas se estivermos interessados na construção de campos finitos. Procuremos então por constantes negativas, escrevendo-as na forma adequada C te. x, onde x é real. Temos então x x= x,0 e ± i x x, (14) onde o fator em frente a exponencial é uma amplitude arbitrária. Aplicando a mesma técnica para as outras parcelas, chegamos a uma solução arbitrária = 0 e i± x x± y y± z z±t, (15) onde 0 designa a reunião de todas as amplitudes, e onde por designamos a constante de separação associada a parcela temporal. Substituindo (15) em (1), verificamos que há uma condição de solubilidade imposta sobre as constantes na forma x y z = c, (16) a assim chamada Relação de Dispersão. Uma possível escolha de sinais em (15) é a seqüência +,+,
+,- que gera a solução = 0 e i r t, (17) onde por denotamos o vetor x, y, z. Todos os pontos em um mesmo plano transversal a possuem a mesma fase. Estas superfícies transversais são chamadas frentes de onda. Como as superfícies são planas, as ondas em questão são chamadas de Ondas Planas. - Como se propaga um ponto de mesmo valor de campo? Se o campo preserva o valor então o argumento na exponencial de (17) não pode mudar ao longo do movimento deste ponto em particular (cujas coordenadas são supostas serem r = r (t)). Daqui tiramos d r t t=0, (18) dt o que implica em v=. Esta é a chamada condição de ressonância ressonância entendida como uma posição relativa estacionária entre onda e agente observador. Em uma dimensão, digamos x, a condição de ressonância fornece v=/ x, o que associado a relação de disperão nos indica que a velocidade com que a onda se propaga é dada por v onda = x =c! (19) A velocidade da onda eletromagnética, também chamada de sua velocidade de fase, é dada então por c 1 0 0 3 10 8 m/ s. (0) Maxwell foi o primeiro a calcular analíticamente esta velocidade e a concluir que a luz, que se propaga com esta velocidade, é então uma onda eletromagnética. (a) Polarização das Ondas Planas: Conhecendo de (17), podemos avaliar a polarização da onda examinando (5): E= i u (1), onde notamos que para ondas do tipo (17), i e / t i. A expressão para o campo elétrico indica que ele é ortogonal ao vetor de onda! Daí a designação transversal para ondas eletromagnéticas. Escrevendo o E na forma adequada E=E 0 e i r t nasce também a expressão para a componente magnética, que pode ser obtda de (3): B= E 0 ei r t. () Os campos e o vetor de onda formam portanto, um triedro ortogonal.
Problema Para um u totalmente arbitrário, descubram para onde B está apontando. Guias de Ondas (Cabos Coaxiais): z - O sistema de cabos coaxiais é basicamente um guia de ondas formado por uma casca condutora interna de raio b cercada por uma externa de raio a, com vácuo entre as duas. A radiação a ser transportada por este tipo de guia de onda se propaga na região de vácuo. Embora este não seja o caso mais genérico, nos concentraremos na situação em que ambos os campos B e E sejam do tipo transversal ao eixo de propagação z. Com isto começamos o cálculo tomando u= z em (5). Isto assegura que o campo elétrico seja transversal ao eixo z. Com relação a parte transversal (plano x,y) deduzimos facilmente E = z (3) Supondo soluções do tipo = r e i z z t, que ainda incorporam a idéia de homogeneidade em relação a z e a t, ficamos com E = z e i z t (4) e com a expressão, mais complexa, para o campo magnético: que é aberta na forma i B= z, (5) i B= z z =i z z. (6) Da Eq. 6 nascem as componentes longitudinal e transversais do campo B: i B z =, (7) B = z. (8)
Se quisermos um campo transversal, devemos ter portanto =0! (9) Isto associado ao fato da equação da onda (10) ser sempre satisfeita, nos conduz a relação de dispersão para cabos coaxiais z = c. (30) - Para campos com simetria axial (dependentes apenas da coordenada radial cilíndrica), e considerando o Laplaciano puramente radial em cilíndricas ( f =1/r / r r f / r ), conclui-se que r = C te r. (31) Já que o campo magnético transverso é dado pelo gradiente de, que acabamos de calcular, e já que este campo, então radial, tem que se cancelar nos dois condutores (lembrem-se da condição de continuidade e do fato de que estamos trabalhando com condutores perfeitos) então C te = 0 e o campo eletromagnético é nulo para este modo que investigamos. Aliás, aqui o campo elétrico é azimultal (direção ) e é tangente aos condutores, o que viola a condição de contorno sobre campos elétricos também! O problema todo reside no uso de (3). Procuremos algo equivalente. (O que segue foi o tópico de nossa última aula) - Comecemos então com a condição de transversalidade sobre o campo magnético: De (4) B= z = z = z e i z z t. (3) i c E= z = z z, (33) de onde extraímos i c E = z (34) e i c E =i z. (35) Introduzindo o potencial elétrico =c z /, podemos identificar o campo E como
de natureza eletrostática com E =. Novamente, para campos transversais ambas as condições a seguir tem que ser satisfeitas: =0 (36) e z= c. (37) Como para simetria azimutal o campo elétrico é radial e o magnético azimutal, as condições de contorno estão plenamente satisfeitas e este é o campo que estamos procurando! Supondo então simetria azimutal r = r, a Eq. (36) pode ser reescrita na forma 1 r r r r =0, (38) cuja solução é = Aln rb. (39) Supondo agora que o cilindro interior de raio b esteja totalmente aterrado com potencial zero finalmente podemos escrever = c z A log r b ei z z t. (40) Para r = a, em particular r=a V = c z A log a b ei z z t, (41) que é a diferença de potencial entre os condutores externo e interno, associada a onda a cada posição z, e a cada instante t. Para o campo magnético podemos deduzir de (3) B= A r e i z z t, (4) o que nos informa, via lei de Ampère B dr= 0 I, que a corrente de retorno I, fluindo pelo condutor interno (a corrente direta flui no condutor externo e é o negativo da corrente de retorno, já que campos e correntes totais vistas de dentro do externo tem que ser nulos: I direto = I ), é dada pela expressão I = 0 A e i z z t. (43)
A imedância intrínseca da linha (definida como Z 0 ), em um ponto z arbitrário, é simplesmente definida como a razão entre voltagem aplicada naquele ponto e a corrente direta associada, para a onda harmônica com ω e κz ambos positivos, de onde Z 0 V = V I direto I = c 0 log a b. (44) Problema final: Projeto para a CEEE: Imaginem uma linha de transmissão do tipo guia de ondas modelo cabo coaxial, cuja origem esteja em z, e que tenha terminação em z=0 sobre uma impedância de carga ZL. A onda tem freqüência harmônica ω, avança com vetor de onda positivo e com amplitude A e é parcialmente refletida na impedância de carga gerando uma componente de mesma freqüência, de amplitude A = A, e de vetor de onda negativo. é o chamado coeficiente de reflexão da onda. A partir da expressão para a impedância de carga: obtenham a importante relação: Z L = V total I total V V I direto I direto z=0 ;t, = Z 0 Z L Z 0 Z L.