6.1.2 Derivada de ordem superior e derivação implícita

6.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE 111 6.1.2 Derivada de ordem superior e derivação implícita Observe que se f é derivável num subconjunto A de seu domínio D, obtemos então uma nova função g = f 0 cujo domínio é A. Pode-se então verificar em que pontos de A, a função g é derivável. Assim, se g é derivável em a A A 0, dizemos que f é duas vezes derivável em a e g 0 (a) =f (a), denominada derivada segunda de f em a. E assim sucessivamente, pode-se verificar se g 0 é derivável em a eseofortem-sequef étrêsvezes derivável em a e f 000 (a) é denominada derivada terceira ou de terceira ordem de f em a. Estas derivadas são denominadas, de uma maneira geral, derivadas de ordem superior ean =ésima derivada de f em a é denotada por f (n) (a). É claro que as propriedades válidas para a derivação também são válidas para as derivadas de ordem superior. Definição 6.5 Sejam f : D R R, n N, n>1, tal que f é n 1 vezes derivável em X D. Seja a X X 0. Dizemos que existe a n ésima derivada de f em a, quando existe f (n 1) (x) f (n 1) (a) lim = f (n) (a). x a x a Definição 6.54 Sejam f : D R R e n N. Dizemos que f édeclassec n em D e denotamos por f C n (D) quando f admite todas as derivadas até ordem n, contínuas em cada ponto de D. Definição 6.55 Seja f : D R R. Dizemos que f C (D) quando f admite derivada de todas as ordens, contínuas em cada ponto de D. Exemplo 6.56 Determine em que pontos a função f(x) = x 4 é duas vezes derivável e nestes pontos determine sua derivada e sua derivada segunda. Como a função g(x) =x 4 é derivável em R e y é derivável em R\{0}, podemos garantir, pelo teorema da composta que f é derivável em R\{0}. No ponto a =0, devemos verificar por definição. Vejamos f (x) f (0) lim = lim x 0 x 0 x 0 x 4 x = lim x 0 x =0. Portanto, f é derivável em 0 e f 0 (0) = 0. Aindadaregradacadeiatemosquef 0 (x) = 4 x, x R. Assim, f 0 é derivável em R\{0}. Como y é derivável em R\{0}, segue que f é duas vezes derivável em R\{0} e f (x) = 4 9, x R\{0}. Para verificar se x2 f é duas vezes derivável em 0, novamente precisamos utilizar a definição, isto é, 4 f 0 (x) f 0 (0) x lim = lim x 0 x x 0 x 4 = lim x 0 x =+. 2 Logo f é duas vezes derivável apenas em R\{0}, mas não em a =0.

112 CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL Definição 6.57 Consideremos uma equação nas variáveis x e y, F (x, y) =0, (x, y) X R 2. Diz-se que a equação define implicitamente y como função f de x, para todo x no intervalo I quando F (x, f(x)) = 0, x I. Exemplo 6.58 Aequaçãox 2 + y 2 4=0, define implicitamente f(x) = 4 x 2, x [ 2, 2] edefine também a função g(x) = 4 x 2, x [ 2, 2]. Exemplo 6.59 A equação x 2 y 2 4=0, define implicitamente as funções ± x 2 4, x [2, + ) ou x (, 2]. Sabendo-se que uma equação define impilicitamente y como função diferenciável de x, pode-se calcular aproximadamente o valor desta função em pontos próximos de um determinada valor conhecido, sem no entanto conhecer a função explicitamente. No curso de cálculo de várias variáveis estudaremos as condições que garantem quando uma equação define implicitamente uma das variáveis como função diferenciável da outra variável, numa vizinhança de um ponto. Exemplo 6.60 Suponhamos que a equação y +ln x 2 + y 2 = x +1, define implicitamente, y = f(x) diferenciável no intervalo ( δ, δ), para algum δ>0, 00. Determine aproximadamente f(0, 00). Como f é diferenciável em 0 ( δ, δ) e da equação temos que f(0) = 1, então f(0, 00) f(0) + f 0 (0) (0, 00) = 1 + f 0 (0) (0, 00). Assim, para calcularmos aproximadamente f(0, 00), precisamos do valor de f 0 (0), sem conhecer explicitamente f. Para determinar este valor derivamos a equação em ambos os lados em relação a x, lembrando que y = f(x), ou seja, pode-se escrever a equação da seguinte forma, x ( δ, δ) : Derivando então, obtém-se: f(x)+ln x 2 +(f(x)) 2 = x +1. f 0 (x)+ 2x +2f(x)f0 (x) x 2 +(f(x)) 2 =1, portanto em x =0, lembrando que f(0) = 1, tem-se que o que implica que f(0, 00) 1, 001. f 0 (0) = 1 f 0 (0) = 1

6.2. A APLICAÇÃO DA DERIVADA AO ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES.11 6.2 A aplicação da derivada ao estudo da variação de funções. O objetivo desta seção é apresentar os principais resultados que nos permitirão determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de funções, os pontos onde ela assume máximo e mínimo, a concavidade em cada intervalo, utilizando a noção de derivada da função. Ao final deste capítulo estaremos em condições de traçar o gráfico de várias funções utilizando a noção de limite e derivada. A determinação de máximo e mínimo de uma função aparece em várias situações concretas. Por exemplo suponha que um fazendeiro disponha de l metros de rede para cercar uma pastagem de forma retangular, adjacente a uma longa parede de pedra. Que dimensões darão a área máxima da pastagem? Para um estudo sistemático de máximos e mínimos daremos algumas definições. 6.2.1 Estudo de máximos e mínimos Definição 6.61 Sejam f : D R R e a D. a) Dizemos que a é um ponto de máximo absoluto de f em D quando f(x) f(a), x D. b) Dizemos que a é um ponto de mínimo absoluto de f em D quando f(x) f(a), x D. Definição 6.62 Sejam f : D R R e a D D 0 a) Dizemos que a éumpontodemáximorelativooumáximolocalde f em D quando existe δ>0 tal que f(x) f(a), x (a δ, a + δ) D. b) Dizemos que a éumponto de mínimo relativo ou mínimo local de f em D quando existe δ>0 tal que f(x) f(a), x (a δ, a + δ) D. Definição 6.6 Seja f : D R. Dizemos que a D éumponto extremo de f quando a é um ponto de máximo ou mínimo, relativo ou absoluto de f. Exemplo 6.64 Afunçãof(x) =x 2 1 assume máximo absoluto no intervalo [ 1, 1] nos pontos x = ±1, com f(±1) = 0 e mínimo absoluto em x =0com f(0) = 1. Exemplo 6.65 Afunçãof(x) =cosx assume máximo absoluto em R nos pontos x = 2kπ, com cos (2kπ) =1emínimoabsolutonospontosx =(2k +1)π com cos [(2k +1)π] = 1. Veremos a seguir uma proposição que nos dá alguns candidatos a pontos extremos.

114 CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL Proposição 6.66 Seja f : D R e a D D 0 + D 0 um ponto extremo de f. Se f é derivável em a então f 0 (a) =0. Prova. Suponhamos sem perda de generalidade que a é um ponto de máximo relativo, isto é, existe δ>0 tal que f(x) f(a), x (a δ, a + δ) D. f(x) f(a) f(x) f(a) Assim, 0, x (a δ, a) D lim 0. No entanto x a x a x a f(x) f(a) f(x) f(a) 0, x (a, a + δ) D lim 0. Como f é derivável em a, x a x a + x a segue que o limite à direita e à esquerda são iguais, portanto f 0 (a) =0. Definição 6.67 Seja f : D R e a D D 0 tal que f é derivável em a. Dizemos que a é um ponto crítico de f quando f 0 (a) =0. Nota 6.68 Seja f : D R, onde D éumintervalo ou união de intervalos. Então a D é candidato a ponto extremo de f, somente se: i) a D e f 0 (a) =0ou f não é derivável em a. ii) a D. Nota 6.69 É importante observar que a proposição nos dá apenas uma condição necessária para que um ponto de acumulação bilateral, isto é à esquerda e à direita de f seja extremo e não suficiente. Por exemplo se tomarmos f(x) =x, segue que f 0 (x) =0 x =0e noentantotalpontonãoéumpontoextremodef, pois f(x) > 0=f(0), x (0, + ) e f(x) < 0=f(0), x (, 0). Observe o gráfico abaixo, onde vemos o gráfico de função f, emazulearetatangenteaográfico de f no ponto (0, 0), tracejada.

6.2. A APLICAÇÃO DA DERIVADA AO ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES.115 Exemplo 6.70 Determinemos os pontos extremos de f(x) =x (1 x) 2, em R. Como R é um intervalo aberto e f é derivávem em todos os pontos de R, os candidatos estão entre os pontos onde a derivada de f é 0. Assim, resolvemos a equação f 0 (x) =0, isto é, (1 x) 2 2x (1 x) =0 (1 x)(1 x) =0, cujassoluçõessãox =1ou x = 1. Observe que x =1é ponto de mínimo relativo de f, pois f(x) 0=f(1), x (0, + ). Como f(x) < 0, x (, 0), f(x) > 0, x (0, 1) e f(1) = 0 e f é derivável em toda reta, pode-se suspeitar que x = 1 seja um ponto de máximo relativo. Esboçando o gráfico de f, percebe-se que f possui um máximo em algum ponto no intervalo (0, 1) e dos candidatos que obtivemos, temos que a = 1 éo pontodemáximorelativo.veja ográfico a seguir: Neste exemplo, pudemos ver facilmente se os pontos obtidos eram de máximo ou mínimo relativos, mas como verificar isto analiticamente? É o que veremos mais adiante, através de critérios que iremos estabelecer. Para estabelecermos critérios que garantam quando um ponto no interior do domínio de f é máximo ou mínimo relativo ou absoluto serão necessários alguns importantes teoremas. Teorema 6.71 (Teorema de Rolle): Seja f : [a, b] R contínua no intervalo [a, b], derivável em (a, b) etalquef(a) =f(b). Então existe c (a, b) tal que f 0 (c) =0. Prova. Como f écontínuaem[a, b] então existem x 1,x 2 [a, b] tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [a, b]. Se x 1 e x 2 forem os extremos do intervalo, segue que f(x) =f(a) =f(b), x [a, b], isto é f éconstanteeportantof 0 (x) =0, x (a, b) e c é qualquer ponto de (a, b). Se x 1 ou x 2 fôr um ponto do interior do intervalo, segue da proposição anterior que a derivada de f neste ponto é igual a zero e c seráopontoextremonointeriordointervalo.

116 CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL Nota 6.72 Geometricamente o teorema de Rolle garante que nas condições do teorema, existe um ponto P =(c, f(c)) em que a reta tangente ao gráfico de f neste ponto P é paralela ao eixo dos x 0 s. Vejaaseguirográfico da função do exemplo anterior, no intervalo [0, 1] e a reta tangente a este, no ponto µ 1, 4 27. Nota 6.7 Observe ainda que se f não for derivável no interior do intervalo, mesmo que todas as condições sejam satisfeitas podemos não ter a existência deste ponto c. Por exemplo considere f(x) = x,x [ 1, 1]. Neste caso f( 1) = f(1) = 1, fécontínua em [ 1, 1] enoentantonãoexistec ( 1, 1) tal que f 0 (c) =0, pois f não é derivável em ( 1, 1). Olhe o gráfico. Nota 6.74 Observeaindaquesetodasascondiçõesforemsatisfeitasef(a) 6= f(b) também não podemos concluir nada. Por exemplo f(x) =x +2 é contínua em [ 1, 1] ederivável em ( 1, 1), noentantof 0 (x) =1, x ( 1, 1), e portanto não existe c ( 1, 1)

6.2. A APLICAÇÃO DA DERIVADA AO ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES.117 tal que f 0 (c) =0, pois f( 1) = 1 6= =f(1). Ográfico ilustra esta situação. Nota 6.75 Ainda se f não for contínua ½ em [a, b] também nada se pode concluir, por x +1, x ( 1, 1) exemplo, considere a função f(x) =.féderivável em ( 1, 1), 1, x = ±1 f(1) = f( 1) = 1 enoentantof 0 (x) =1, x ( 1, 1). Portanto não existe c ( 1, 1) tal que f 0 (c) =0, pois f não é contínua em [ 1, 1]. Enunciaremos a seguir o Teorema do Valor Médio, que é muito importante no Cálculo. Teorema 6.76 (Teorema do Valor Médio) Seja f : [a, b] R, contínua em [a, b] e derivável em(a, b). Então existe c (a, b) tal que f 0 f(b) f(a) (c) =. b a f(b) f(a) Prova. Seja h :[a, b] R, definida por h(x) =f(x) (x a)+f(a). b a Assim, h écontínuaem[a, b] e derivável em (a, b) pois f o é e a função entre colchetes também. Ainda h(a) = 0 = h(b) e portanto do teorema de Rolle, existe c (a, b) tal que h 0 (c) =0, mas h 0 (x) =f 0 f(b) f(a) (x). Assim, como h 0 (c) =0, segue que b a f 0 f(b) f(a) (c) =, como queríamos provar. b a Nota 6.77 Geometricamente o teorema do valor médio (T.V.M.), nos diz que, dentro das condições apresentadas, existe uma reta tangente ao gráfico de f paralela à reta secanteaelepelospontos(a, f(a)) e (b, f (b)). Segue o gráfico da função f :[ 1, 1] R, f (x) =x +1 em preto, o gráfico da reta secante ao gráfico de f pelos pontos ( 1, 0) e (1, 2) em vermelho, tracejado e os gráfico das retas tangentes ao gráfico de f nos pontos

118 CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL µ 1, 1+ 1 µ 1 e, 1 1 em azul e verde, respectivamente. Nota 6.78 Observe que se f não é derivável em (a, b) oteoremanãoseaplica,como podemos verificar no gráfico abaixo da função f :[ 1, 2] R; f (x) =1+ x em preto e da reta secante ao gráfico de f, tracejada.. Exemplo 6.79 Usando o T.V.M., mostre que sen b sen a b a, a, b R,a<b. De fato, como a função seno é contínua e derivável em R, então ela é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) quaisquer que sejam a, b R, com a<b.assim, do T.V.M, segue que existe c (a, b) tal que sen b sen a =(cosc)(b a) sen b sen a = cos c (b a) b a, pois cos c 1, c R. O próximo resultado é uma generalização do TVM e será necessária para provarmos a regra de l Hôpital e a fórmula de Taylor.

6.2. A APLICAÇÃO DA DERIVADA AO ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES.119 Teorema 6.80 (Teorema do valor médio generalizado): Sejam f,g :[a, b] R contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Então existe c (a, b) tal que f 0 (c)(g(b) g(a)) = g 0 (c)(f(b) f(a)). Prova. Considere a função h(x) =f(x)(g(b) g(a)) g(x)(f(b) f(a)), x [a, b]. Assim, h écontínuaem[a, b] e derivável em (a, b) pois f e g osão. Ainda,h(a) = f(a)g(b) f(b)g(a) =h(b) e portanto do teorema de Rolle, segue que existe c (a, b) tal que h 0 (c) =0, mas h 0 (x) =f 0 (x)(g(b) g(a)) g 0 (x)(f(b) f(a)), o que implica que f 0 (c)(g(b) g(a)) = g 0 (c)(f(b) f(a)), como queríamos demonstrar. Vejamos como o T.V.M. nos permitirá deduzir propriedades sobre o comportamento de uma função através do sinal de sua derivada. Proposição 6.81 Seja f : I R contínua no intervalo I e derivável em seu interior, isto é, em I. Então: a) Se f 0 (x) > 0, x I então f é estritamente crescente em I. b) Se f 0 (x) < 0, x I então f éestritamentedecrescenteemi. c) Se f 0 (x) =0, x I então f é constante em I. Prova. Mostraremos apenas os ítens (a) e (c) deixando o ítem (b) a cargo do aluno, pois é análogo ao ítem (a). a) Sejam x, y I tais que x<y,devemos mostrar que f(x) <f(y). Como [x, y] I e (x, y) I segue que f écontínuaem[x, y] e derivável em (x, y). Assim estamos nas condições do T.V.M. para este intervalo, logo existe c (x, y) tal que f(y) f(x) =f 0 (c)(y x). Como c (x, y) I, segue da hipótese que f 0 (c) > 0 f(y) f(x) > 0 f(y) >f(x), como queríamos demonstrar, logo como x, y são quaisquer elementos de I tais que x<y, segue que f é estritamente crescente em I. c) Seja a I fixado, então para cada x I, x 6= a, podemos ter x>aou x<a. Suporemos sem perda de generalidade que x>a,pois o outro caso é análogo. Assim, [a, x] I eportantof écontínuaem[a, x] e derivável em (a, x). Segue portanto do teoremadovalormédioqueexistec (a, x) tal que f(y) f(x) =f 0 (c)(y x). Portanto como c (a, x) I, segue da hipótese que f 0 (c) =0 f(x) f(a) =0 f(x) =f(a), x I f é constante em I.

120 CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL Exemplo 6.82 Considere a função f(x) = x2 x, x R. Determinemos os intervalos 1+x2 onde f é crescente ou decrescente. Como f é derivável em R, analisemos o sinal de sua derivada. Assim, f 0 (x) = (2x 1) (1 + x2 ) 6x (x 2 x) (1 + x 2 ) 2 = x2 +2x 1 (1 + x 2 ) 2. Como (1 + x 2 ) 2 > 0, x R, então o estudo de sinal de f 0 se reduz ao estudo de sinal do µ trinômio de segundo grau do µ numerador de f 0. Portanto f 0 (x) > 0, x (, 1) 1, + e f 0 (x) < 0, x 1, 1. Logo f é estritamente crescente em (, 1] e em[ 1, + ) eéestritamentedecrescenteem 1, 1. Nota 6.8 Do exemplo anterior vimos que a função f(x) = x2 x cresce até o ponto 1+x2 x 0 = 1 e em seguida decresce até o ponto x 1 = 1. Assim, f(x) f( 1), x µ, 1 x 0 = 1 é um ponto de máximo relativo de f. Analogamente f decresce de x 0 = 1 até o ponto x 1 = 1 ecrescedex 1 = 1 em diante, o que implica que µ 1 f(x) f, x ( 1, + ), isto implica que x 1 = 1 é um ponto de mínimo relativo de f. Vejamos o gráfico desta função. Pode-se concluir pelo gráfico que tais pontos são pontos de máximo e mínimo absolutos. O próximo resultado formaliza, o que fizemos neste exemplo. Proposição 6.84 Sejam f : D R, c D, e r>0 tal que (c r, c + r) D. Suponhamos que f écontínuaem(c r, c + r) e derivável em (c r, c) (c, c + r).

6.2. A APLICAÇÃO DA DERIVADA AO ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES.121 1) Se f 0 (x) > 0, x (c r, c) e f 0 (x) < 0, x (c, c + r) então c éumpontode máximo relativo de f. 2) Se f 0 (x) < 0, x (c r, c) e f 0 (x) > 0, x (c, c + r) então c é um ponto de mínimo relativo de f. Prova. 1) Como f 0 (x) > 0, em (c r, c) e f écontínuaem(c r, c + r), segue da proposição anterior que f é estritamente crescente em (c r, c] eportantof(x) f(c), x (c r, c]. Ainda, como f 0 (x) < 0, em (c, c+r) edacontinuidadedef em (c r, c + r), segue do mesmo resultado que f é estritamente derescente em [c, c + r), logof(x) f(c), x [c, c + r). Assim, f(x) f(c), x (c r, c + r). O que implica que c éumponto de máximo relativo de f. A demonstração de (2) é análoga e será deixada como exercício. Exemplo 6.85 Determinemos os pontos de máximo e mínimo relativos de f : R R, f(x) = x 2x +1. Para isso calculemos a derivada de f nos pontos onde esta é derivável. As raízes de x 2x +1 são 1 e 1 ± 5. Pode-se verificar que f não é 2 derivável nestes pontos, podendo então ser candidatos a pontos de máximo e mínimo relativos. Vejamos então, f 0 x 2 2 (x) =. q(x 2x +1) 2 Assim, como o denominador de fã 0 é sempre positivo, basta analisar o sinal do numerador. Tem-se que f 0 (x) > 0, x, 1! Ã 5 1! Ã! 5 6 6, 2 2, + Ã e f 0 6 (x) < 0, x, 1+! Ã 5 1+! 5 6,. Portanto, segue que f éestritamente crescente em (, 2 2 6 6 ] eem[, + ) eéestritamentedecrescenteem " # 6 6,. Logo, 6 6 é ponto de máximo relativo de f e é ponto de mínimo relativo de f. As raízes de x 2x +1 não são pontos nem de máximo nem de mínimo relativoouabsolutodef.