Pindyck & Rubinfeld, Capítulo 7, Custos :: EXERCÍCIOS 1. Suponha que uma empresa fabricante de computadores tenha os custos marginais de produção constantes a $1.000 por computador produzido. Entretanto, os custos fixos de produção são iguais a $10.000. a. Calcule as curvas de custo variável médio e de custo total médio para essa empresa. O custo variável de produção de uma unidade adicional, o custo marginal, é constante e igual a $1.000: CV $1000, e CV $1000 $10.000 CVMe $1000 O custo fixo médio é. O custo total médio é dado pela soma do custo variável médio e do $10.000 custo fixo médio: CTMe $ 1.000 +. b. Caso fosse do interesse da empresa minimizar o custo total médio de produção, ela preferiria que tal produção fosse muito grande ou muito pequena? Explique. A empresa preferiria a maior produção possível, pois o custo total médio diminui à medida que aumenta. Se se tornasse infinitamente grande, o CTMe seria igual a $1.000.. Se uma empresa contratar um trabalhador atualmente desempregado, o custo de oportunidade da utilização do serviço do trabalhador é zero. Isso é verdade? Discuta. Do ponto de vista do trabalhador, o custo de oportunidade de seu tempo corresponde ao período de tempo que ele deixa de gastar com outras atividades, incluindo atividades pessoais ou de lazer. O custo de oportunidade de empregar uma mãe desempregada com filhos pequenos é certamente diferente de zero! A dificuldade de atribuir um valor monetário ao tempo de que um indivíduo desempregado deixará de gozar ao ser empregado não deveria nos levar à conclusão de que seu custo de oportunidade é zero. Do ponto de vista da empresa, o custo de oportunidade de empregar o trabalhador não é zero; a empresa poderia, por exemplo, adquirir outra máquina em vez de empregar o trabalhador.
3.a. Suponha que uma empresa deva pagar uma taxa anual de franquia, que corresponda uma quantia fixa, independente da empresa realizar qualquer produção. Como esta taxa afetaria os custos fixos, marginais e variáveis da empresa? O custo total, CT, é igual ao custo fixo, CF, mais o custo variável, CV. Os custos fixos não variam com a quantidade produzida. Dado que a taxa de franquia, FF, é um valor fixo, os custos fixos da empresa aumentam no valor da taxa. Logo, o custo médio, dado por CF + CV CF, e o custo fixo médio, dado por, aumentam no valor da taxa média de franquia FF. Observe que a taxa de franquia não afeta o custo variável médio. Além disso, tendo em vista que o custo marginal é a variação no custo total associada à produção de uma unidade adicional e que a taxa de franquia é constante, o custo marginal não se altera. b. Agora suponha que seja cobrado um imposto proporcional ao número de unidades produzidas. Novamente, como tal imposto afetaria os custos fixos, marginais e variáveis da empresa? Seja t o imposto por unidade. uando um imposto é cobrado sobre cada unidade produzida, o custo variável aumenta em t. O custo variável médio aumenta em t, e dado que o custo fixo é constante, o custo total médio também aumenta em t. Além disso, dado que o custo total aumenta em t para cada unidade adicional, o custo marginal também aumenta em t. 4. Um artigo recente publicado na Business Week afirmava o seguinte: Durante a recente queda nas vendas de automóveis, a GM, a Ford, e a Chrysler decidiram que era mais econômico vender automóveis para as locadoras com prejuízo do que despedir funcionários. Isto porque é caro fechar e abrir fábricas, em parte porque a negociação sindical atual prevê a obrigatoriedade das empresas pagarem salários a muitos trabalhadores, mesmo que estes não estejam trabalhando. uando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se referindo ao lucro contábil ou econômico? Explique brevemente como eles se distinguem neste caso. uando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se referindo ao lucro contábil. O artigo afirma que o preço obtido na venda dos automóveis para as locadoras era menor do que seu
custo contábil. O lucro econômico seria a diferença entre o preço e o custo de oportunidade dos automóveis. Tal custo de oportunidade representa o valor de mercado de todos os insumos utilizados na produção dos automóveis. O artigo menciona que as empresas automobilísticas devem pagar a seus trabalhadores mesmo que estes não estejam trabalhando (e, portanto, produzindo automóveis). Isso implica que os salários pagos a tais trabalhadores são custos "irreversíveis" e, conseqüentemente, não entram no custo de oportunidade da produção. Por outro lado, os salários são incluídos nos custos contábeis, que devem, portanto, ser maiores do que o custo de oportunidade. Logo, o lucro contábil deve ser menor do que o lucro econômico. 5. Um fabricante de cadeiras contrata sua mão de obra para a linha de montagem por $ por hora e calcula que o aluguel de suas máquinas seja de $110 por hora. Suponha que uma cadeira possa ser produzida utilizando-se 4 horas entre tempo de trabalho e de máquina, sendo possível qualquer combinação entre os insumos. Se a empresa atualmente estiver utilizando 3 horas de trabalho para cada hora de máquina, ela estará minimizando seus custos de produção? Em caso afirmativo, qual a razão? Em caso negativo, de que forma a empresa poderia melhorar essa situação? Se a empresa pode produzir uma cadeira utilizando quatro horas de trabalho ou quatro horas de máquina, ou qualquer combinação dos insumos, então a isoquanta é uma linha reta com inclinação de -1 e interceptos em K 4 e L 4, conforme mostra a Figura 7.5. A linha de isocusto, CT L + 110K tem inclinação de 0, (com o capital no eixo vertical) e interceptos em 110 CT CT K e L. O ponto de custo mínimo é uma solução de 110 canto, onde L 4 e K 0. Nesse ponto, o custo total é $88.
Capital 4 3 Isoquanta para 1 1 Isocusto (inclinação -0,0) Solução de canto m inim izadora de custo 1 3 4 5 Figura 7.5 Trabalho 6. Suponha que economia entre em recessão e o custo de mão de obra caia 50%, sendo que se espera que venha a permanecer em tal nível por um longo tempo. Mostre graficamente de que forma essa variação de preço do trabalho em relação ao preço do capital influenciaria o caminho de expansão da empresa. A Figura 7.6 mostra uma família de isoquantas e duas curvas de isocusto. As unidades de capital são medidas no eixo vertical e as unidades de trabalho no eixo horizontal. (Observação: A figura pressupõe que a função de produção que dá origem às isoquantas apresente rendimentos constantes de escala, o que resulta num caminho de expansão linear. Entretanto, os resultados a seguir não dependem dessa hipótese.) Se o preço do trabalho diminui enquanto o preço do capital é constante, a curva de isocusto gira para fora em torno de seu intercepto no eixo do capital. O caminho de expansão é o conjunto de pontos nos quais a TMST é igual à razão dos preços; logo, à medida que as curvas de isocusto giram para fora, o caminho de expansão gira na direção do eixo do trabalho. Com a redução do preço relativo do trabalho, a empresa utiliza mais trabalho à medida que a produção aumenta.
Capital Cam inho de expansão antes da redução no salário 4 3 Cam inho de expansão após a redução no salário 1 1 3 4 5 Figura 7.6 Trabalho 7. Você é responsável pelo controle de custos em um grande distrito de trânsito metropolitano. Um consultor contratado lhe apresenta o seguinte relatório: Nossa pesquisa revelou que o custo de operação de um ônibus a cada viagem é de $30, independentemente do número de passageiros que esteja transportando. Cada ônibus tem capacidade para transportar 50 passageiros. Nas horas de pico, quando os ônibus estão lotados, o custo médio por passageiro é de $0,60. Entretanto, durante as horas fora de pico, a média de passageiros transportados cai para 18 pessoas por viagem e o custo sobe para $1,67 por passageiro. Conseqüentemente, recomendamos uma operação mais intensa nas horas de pico, quando os custos são menores, e um número menor de operações nas horas fora de pico, nas quais os custos são mais altos. Você seguiria as recomendações do consultor? Discuta. O consultor não entende a definição de custo médio. O aumento do número de passageiros sempre diminui o custo médio, independente de se tratar de uma hora de pico ou não. Se o número de passageiros cair para 10, os custos aumentarão para $3,00 por passageiro. Além disso, nas horas de pico os ônibus estão lotados. Como seria possível aumentar o número de passageiros? Em vez de seguir as recomendações do consultor, seria melhor incentivar os passageiros a passar a usar os ônibus nas horas fora de pico - através, por exemplo, da cobrança de preços mais elevados nas horas de pico.
8. Uma refinaria de petróleo é composta de diferentes unidades de equipamento de processamento, cada qual com diferentes capacidades de fracionamento do petróleo cru, com alto teor de enxofre, em produtos finais. O processo produtivo dessa refinaria é tal que o custo marginal do processamento de gasolina é constante até um certo ponto, desde que uma unidade de destilação básica esteja sendo alimentada por petróleo cru. Entretanto, à medida que a capacidade desta unidade se esgota, o volume de petróleo cru que pode ser processado no curto prazo se revela limitado. O custo marginal de processamento da gasolina é também constante até um determinado limite de capacidade, quando o petróleo cru passa por uma unidade mais sofisticada de hidrocraqueamento. Elabore o gráfico do custo marginal da produção de gasolina, quando são utilizadas uma unidade de destilação básica e uma unidade de hidrocraqueamento. A produção de gasolina envolve duas etapas: (1) destilação do petróleo cru; e () refino do produto destilado, que é transformado em gasolina. Dado que o custo marginal de produção é constante até o limite de capacidade para ambos os processos, as curvas de custo marginal apresentam formato semelhante em L. Custo Marginal CM g T CM g 1 CM g 1 Figura 7.8 uantidade O custo total marginal, CMg T, é a soma dos custos marginais dos dois processos, i.e., CMg T CMg 1 + CMg, onde CMg 1 é o custo marginal da destilação até o limite de capacidade, 1, e CMg é o custo marginal de refino até o limite de capacidade,. O formato da curva de custo total marginal é horizontal até o menor limite de capacidade. Se o limite de capacidade da unidade de destilação for menor que o limite da unidade de hidrocraqueamento, o CMg T será vertical ao nível de 1. Se o limite da unidade de hidrocraqueamento for menor que o limite da unidade de destilação, o CMg T será vertical ao nível de.
9. Você é o gerente de uma fábrica que produz motores em grande quantidade por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção: 4 KL em que é o número de motores por semana, K é o número de máquinas, e L o número de equipes de trabalho. Cada máquina é alugada ao custo r $1.000 por semana e cada equipe custa w $3.000 por semana. O custo dos motores é dado pelo custo das equipes e das máquinas mais $.000 de matérias primas por máquina. Sua fábrica possui 10 máquinas de montagem. a. ual é a função de custo de sua fábrica isto é, quanto custa produzir motores? uais os custos médio e marginal para produzir motores? Com os custo médios variam com a produção? K é fixo ao nível de 10. A função de produção de curto prazo é, portanto, 40L. Isso implica que, para qualquer nível de produção, o número de equipes de trabalho contratadas será L. A função de custo total é dada pela soma dos custos de 40 capital, trabalho, e matérias primas: CT() rk + wl + 000 (1.000)(10) + (3.000)(/40) +.000 10.000 +.075 A função de custo médio é dada por: CMe() CT()/ 10.000/ +.075 e a função de custo marginal é: CT() /.075 Os custos marginais são constantes e os custos médios são decrescentes (devido ao custo fixo de capital). b. uantas equipes são necessárias para produzir 80 motores? ual o custo médio por motor? Para produzir 80 motores, são necessárias L ou L 40 equipes de trabalho. O custo médio é dado por CMe() 10.000/ +.075 ou CMe 3575. c. Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma nova fábrica. O que você sugeriria? Em particular, com que relação capital/trabalho (K/L) a nova planta deveria operar? Se custos médios menores fossem o único critério, você sugeriria que a nova fábrica tivesse maior ou menor capacidade que a atual?
Agora, abandonamos a hipótese de que K é fixo. Devemos encontrar a combinação de K e L que minimiza os custos para qualquer nível de produção. A regra de minimização de custo é dada por: PMg K PMg L r w Para calcular o produto marginal do capital, observe que, se aumentarmos K em 1 unidade, aumentará em 4L, de modo que PMg K 4L. Analogamente, observe que, se aumentarmos L em 1 unidade, aumentará em 4K, de modo que PMg L 4K. (Matematicamente, PMg K 4L e PMg L 4K.) K L Inserindo essas fórmulas na regra de minimização de custo, obtemos: 4L 4K r w K L w r 3.000 1.000 A nova planta deveria operar com uma razão capital/trabalho de 1/4. A razão capital-trabalho da empresa é atualmente 10/ ou 5. Para reduzir o custo médio, a empresa deveria utilizar mais trabalho e menos capital para gerar a mesma produção ou contratar mais trabalho e aumentar a produção. *10. A função custo de uma empresa fabricante de computadores, relacionando seu custo médio de produção, CMe, com sua produção acumulada, A (em milhares de computadores produzidos), e com o tamanho de sua fábrica em termos de milhares de computadores produzidos anualmente,, é dada, para uma produção na faixa entre 10.000 e 50.000 computadores, pela equação CMe 10-0,1A + 0,3. a. Existe um efeito de curva de aprendizagem? A curva de aprendizagem descreve a relação entre a produção acumulada e os insumos necessários para produzir uma unidade de produção. O custo médio mede os requisitos de insumo por unidade de produção. Existe um efeito de curva de aprendizagem se o custo médio cai à medida que aumenta a produção acumulada. No caso em questão, o custo médio diminui à medida que aumenta a produção acumulada, A. Logo, existe um efeito de curva de aprendizagem. b. Existem rendimentos crescentes ou decrescentes de escala? Para medir os rendimentos de escala, calcule a elasticidade do custo total, CT, com relação à produção, : 1 4.
CT CT CT E C CT CMg CMe Se a elasticidade for maior (menor) que 1, há rendimentos decrescentes (crescentes) de escala, pois o custo total aumenta mais (menos) rápido que a produção. A partir do custo médio, podemos calcular o custo total e o custo marginal: CT (CMe) 10 - (0,1)(A)() + 0,3, logo dct CMg 10 0,1A + 0, 6. d Dado que o custo marginal é maior do que o custo médio (pois 0,6 > 0,3), a elasticidade, E C, é maior que 1; há rendimentos decrescentes de escala. O processo produtivo apresenta um efeito de curva de aprendizagem e rendimentos decrescentes de escala. c. Ao longo de sua existência, a empresa já produziu um total de 40.000 computadores e estará produzindo 10.000 máquinas este ano. No ano que vem, ela planeja aumentar sua produção para 1.000 computadores. Seu custo médio de produção aumentará ou diminuirá? Explique. Primeiro, calcule o custo médio no ano corrente: CMe 1 10-0,1A + 0,3 10 - (0,1)(40) + (0,3)(10) 9. Segundo, calcule o custo médio no ano seguinte: CMe 10 - (0,1)(50) + (0,3)(1) 8,6. (Observação: A produção acumulada aumentou de 40.000 para 50.000) O custo médio diminuirá devido ao efeito da aprendizagem. 11. A função de custo total a curto prazo de uma empresa expressa pela equação C190+53, em que C é o custo total e é a quantidade total produzida, sendo ambos medidos em dezenas de milhares de unidades. a. ual é o custo fixo da empresa? uando 0, C 190, de modo que o custo fixo é igual a 190 (ou $1.900.000). b. Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria seu custo variável médio? Com 100.000 unidades, 10. O custo total é 53 (53)(10) 530 por unidade (ou $5.300.000 por 10.000 unidades). O custo variável
CVT $530 médio é $ 53por unidade ou $530.000 por 10.000 10 unidades. c. ual é o custo marginal por unidade produzida? Com um custo variável médio constante, o custo marginal é igual ao custo variável médio, $53 por unidade (ou $530.000 por 10.000 unidades). d. ual é seu custo fixo médio? CFT $190 Para 10, o custo fixo médio é $ 19 por unidade ou 10 ($190.000 por 10.000 unidades). e. Suponha que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica, Seu custo fixo sobe em $50.000, porém seu custo variável cai em $45.000 para cada 10.000 unidades. A despesa de juros (I) também entra na equação. Cada aumento de 1% na taxa de juros eleva os custos em $30.000. Escreva a nova equação de custo O custo fixo muda de 190 para 195. O custo total diminui de 53 para 45. O custo fixo também inclui pagamento de juros: 3I. A equação do custo é C 195 + 45 + 3I. *1. Suponha que a função de custo total a longo prazo para uma empresa seja expressa pela equação cúbica: CT a + b + c + d 3. Mostre (utilizando o cálculo integral) que esta função de custo é consistente com a curva de custo médio com formato em U, pelo menos para alguns valores dos parâmetros a, b, c, d. Para mostrar que a equação de custo cúbica implica uma curva de custo médio com formato de U, utilizamos a álgebra, o cálculo e a teoria econômica para impor restrições sobre os sinais dos parâmetros da equação. Essas técnicas são ilustradas no exemplo abaixo. Primeiro, se a produção é igual a zero, então, CT a, onde a representa os custos fixos. No curto prazo, os custo fixos são positivos, a > 0, porém, no longo prazo, onde todos os insumos são variáveis, a 0. Logo, impomos a restrição de que a deve ser zero. Em seguida, sabendo que o custo médio deve ser positivo, divide-se CT por : CMe b + c + d. Essa equação é simplesmente uma função quadrática, que pode ser representada graficamente em dois formatos básicos: formato de U
e formato de U invertido. Estamos interessados no formato de U, ou seja, em uma curva com um ponto de mínimo (custo médio mínimo), em vez do formato de U invertido, com um ponto de máximo. À esquerda do ponto de mínimo, a inclinação deve ser negativa. No ponto de mínimo, a inclinação deve ser zero, e à direita, a inclinação deve ser positiva. A primeira derivada da curva de custo médio com relação a deve ser igual a zero no ponto de mínimo. Para uma curva de CMe com formato de U, a segunda derivada da curva de custo médio deve ser positiva. A primeira derivada é c + d; a segunda derivada é d. Se a segunda derivada deve ser positiva, d > 0. Se a primeira derivada deve ser igual a zero, resolvendo para c em função de e d obtemos: c -d. Se d e são positivos, c deve ser negativo: c < 0. A restrição sobre b baseia-se no fato de, no seu ponto de mínimo, o custo médio dever ser positivo. O ponto de mínimo ocorre quando c c + d 0. Resolve-se para em função de c e d: > 0. Em seguida, substitui-se por este valor na nossa expressão de custo médio, e simplifica-se a equação: CMe b + c + d c c b + c + d, ou d d c c c c c CMe b + b + b > 0 d 4d 4d 4d 4d c o que implica b >. Dado que c >0 e d > 0, b deve ser positivo. 4d Em resumo, para curvas de custo médio de longo prazo com formato de U, a deve ser zero, b e d devem ser positivos, c deve ser negativo, e 4db > c. Entretanto, as condições não asseguram que o custo marginal seja positivo. Para assegurar que o custo marginal possua um formato de U e que seu ponto de mínimo seja positivo, utilizando o mesmo procedimento, ou seja, resolvendo para no custo marginal mínimo c/ 3 d, e substituindo na expressão do custo marginal b + c + 3d, encontramos que c deve ser menor que 3bd. Observe que os valores dos parâmetros que satisfazem essa condição também satisfazem 4db > c ; o contrário, porém, não é verdadeiro. Por exemplo, sejam a 0, b 1, c -1, d 1. O custo total é - + 3 ; o custo médio é 1 - + ; e o custo marginal é 1 - + 3. O custo médio mínimo é 1/ e o custo marginal mínimo é 1/3 d
(suponha que seja medido em dúzias de unidades, de modo que não há produção de unidades fracionadas). Veja a Figura 7.1. Custos CM g 1 CM e 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1.00 uantidade em dúzias Figura 7.1 *13. Uma empresa de computadores produz hardware e software utilizando a mesma fábrica e os mesmos trabalhadores. O custo total da produção de unidades de hardware H e de unidades de software S é expresso pela equação: CT ah + bs - chs, na qual a, b, e c são positivos. Esta função de custo total é consistente com a presença de rendimentos crescentes ou decrescentes de escala? E com economias ou deseconomias de escopo? Há dois tipos de economias de escala a se considerar: economias de escala multiproduto e economias de escala específicas a cada produto. Aprendemos na Seção 7.5 que as economias de escala multiproduto para o caso de dois produtos, S H,S, são dadas por S H, S CT ( H, ( H )( CMg ) + ( ( CMg onde CMg H é o custo marginal de produção de hardware e CMg S é o custo marginal de produção de software. As economias de escala específicas a cada produto são: S H H CT ( H, CT (0, e ( H )( CMg ) H S )
S S CT ( H, CT ( H,0) ( ( CMg ) onde, CT(0, implica a não produção de hardware e CT(H,0) implica a não produção de software. Sabe-se que o custo marginal de um insumo é a inclinação do custo total com relação àquele insumo. Sendo CT ( a c H + bs ah + ( b ch ) S, obtém-se CMg H a - cs e CMg S b - ch. Inserindo tais expressões nas fórmulas de S H,S, S H, e S S : ah + bs chs S H,S Ha ( c+ Sb ( ch) ah bs ch S SH S, + > Ha+ Sb chs S H ( ah + bs ch bs, ou H ( a c S ou 1, porque chs > 0. Além disso, ( ah ch ( a c S H 1 e similarmente H ( a c ( a c S S ( ah + bs ch ah S( b ch ) Há economias de escala multiproduto, S H,S > 1, porém rendimentos de escala específicos a cada produto constantes, S H S S 1. Temos economias de escopo se S C > 0, onde (a partir da equação (7.8) no texto): S C 1 CT ( H,0) + CT (0, CT ( H,, ou, CT ( H, ah + bs ( ah + bs ch S C, ou CT ( H, chs S C 0 CT ( H, Dado que ambos chs e CT são positivos, ocorrem economias de escopo.