CPÍTULO 0 NÁLISE COMBINTÓRI 1. PRINCÍPIO FUNDMENTL D CONTGEM nálise Combinatória é a parte da Matemática que, dotada de técnicas de contagem, pretende responder à pergunta: De quantas formas é possível realizar um determinado evento?. De modo geral, temos: Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na primeira etapa é m e o número de possibilidades na segunda etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto mn. Este método é conhecido como Princípio Fundamental da Contagem ou Regra do Produto ou ainda Princípio Multiplicativo. Observação: O produto dos números de possibilidade vale para qualquer número de etapas independentes; Exemplo 1: Um cinema possui duas entradas e três saídas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair dele? Sendo N 1 o número de entradas e N 2 o número de saídas, pelo princípio fundamental da contagem (PFC): N = (N 1 ).(N 2 ) N = (2).() N = 6 Exemplo 2: Uma corrida é disputada por 5 atletas. Quantos são os possíveis resultados para os dois primeiros lugares? Qualquer um dos cinco atletas pode ocupar o 1º lugar e, tendo um deles ocupado o 1º lugar, restam quatro atletas para ocupar o 2º lugar. Considerando N o número total de resultados possíveis, N 1 o número de atletas que podem ocupar o 1º lugar e N 2 o número de atletas que podem ocupar o 2º lugar, pelo princípio fundamental da contagem (PFC): N = (N 1 ).(N 2 ) N = (5).() N = 20 EXERCÍCIOS SÉRIE UL 1) (UFES) Um shopping center possui portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center, pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados? a) 12 b) 17 c) 19 d) 2 e) 60 2) (UFES) Um cadeado de segurança possui um disco com as vogais do nosso alfabeto e com os algarismos de 1 a 9. O segredo do cadeado consiste em ordenar vogais distintas seguidas de 2 algarismos distintos. O número total de segredos diferentes que podem ser utilizados é: a) 8 60 b) 20 c) 50 d) 270 e) 5 ) (UFES) Com os algarismos significativos, quantos números pares de 5 algarismos distintos podemos formar que começam por algarismo ímpar? a) 5 250 b) 200 c) 1 050 d) 2 520 e) 120 ) (UFMG) Dos números naturais de três algarismos no sistema decimal de numeração, quantos têm algarismos repetidos? a) 251 b) 252 c) 25 d) 25 e) 27
2. TÉCNICS DE CONTGEM Praticamente só existem dois tipos de problemas em nálise Combinatória, vejamos: TIPO 1 Numa corrida de fórmula-1, os pilotos polônio, Bertoldo e Ceolindo chegaram nas três primeiras colocações conforme abaixo: B C 1º 2º º 1º Colocado 2º Colocado º Colocado Entretanto, o Resultado divulgado em um determinado jornal foi: C B 1º 2º º 1º Colocado 2º Colocado º Colocado o ser invertida a ordem dos elementos que compõem o grupo resultado da corrida HOUVE LTERÇÃO da informação. TIPO 2 Três alunos, do MERICNO, fizeram um trabalho de Geografia e, na capa do mesmo, foram informados seus nomes conforme à direita: Crheuzza Benevides polinário Choveu no dia da entrega do referido trabalho e a capa ficou manchada; Crheuzza, que mora muito próximo ao colégio, foi em casa e elaborou uma nova capa dispondo os nomes na ordem à esquerda: o ser invertida a ordem dos elementos que compõem o grupo de Geografia OBSERVÇÕES: NÃO HOUVE LTERÇÃO do grupo de estudos. polinário Benevides Crheuzza Para o Tipo 1 ainda poderíamos citar exemplos tais como as formações de números com dois ou mais algarismos distintos, onde a alteração na ordem dos algarismos acarretaria a alteração do número formado ( 12 21 ). Para o Tipo 2 poderíamos endossar como exemplo, a formação de triângulos dispondo-se de três ou mais pontos (não colineares), por exemplo: o grupo formado pelos pontos BC é igual ao CB. Os tipos 1 e 2 são denominados RRNJO e COMBINÇÃO, respectivamente. CRITÉRIO PR DIFERENCIR RRNJO DE COMBINÇÃO Quando formos resolver um problema de análise combinatória, nos deparamos com a seguinte questão: os agrupamentos são arranjos ou combinações? Para eliminar essa dúvida, vamos agir da seguinte maneira: construímos um dos agrupamentos sugeridos pelo problema e, a seguir, mudamos a ordem desse agrupamento. Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupamento diferente do original, então esse agrupamento será um arranjo. Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupamento igual ao original, então esse agrupamento será uma combinação.. RRNJOS SIMPLES {, B, C } B B C C BC CB São agrupamentos que diferem na natureza e na ordem, ou seja, no caso de grupos de 2 elementos, B C e B B, respectivamente. É importante ressaltar que a maioria, quase que absoluta, dos problemas de rranjo permitem serem resolvidos aplicando-se o Princípio Fundamental da Contagem, ou seja: EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) (Vunesp-SP) Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1,2,,} e os demais algarismos a {0,5,6, 7,8,9}. Como existem restrições, devemos iniciar o PFC pelas restrições. Para ocupar a posição das centenas temos possibilidades; das unidades temos 2 possibilidades e; das dezenas temos 6 possibilidades. Então, a quantidade solicitada é: 6 2 NT = ().(6).(2) NT = 8 Resposta: 8 2) (UFF-RJ) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de letras, usando as 18 consoantes e as 5 vogais. Se cada senha deve começar com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir letras, o número de senhas possíveis é: a) 060 b) 2 80 c) 7 800 d) 51 210 e) 7 0
Como existem restrições, no PFC, devemos começar preenchendo os retângulos inicial e final, ou seja: Começa com consoante e termina com vogal: 18 21 20 5 NT = (18).(21).(20).(5) NT = 7 800 Resposta: 7 800 (alternativa c) ) (PUC-MG) Utilizando os elementos do conjunto {0,1,2,,,5}, quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados, de modo que estejam entre 2000 e 5000? Como existe restrição, devemos iniciar o PFC pela restrição; O número formado deverá possuir quatro algarismos; O problema é de arranjo, pois a ordem dos algarismos altera o número formado. O primeiro algarismo da esquerda só pode ser 2, ou ; Pelo PFC, escolhido o primeiro, dentre os possíveis, não podendo haver repetição de algarismos, restarão apenas 5 algarismos disponíveis para a próxima posição à direita; da mesma forma que restarão apenas algarismos e algarismos, respectivamente para as próximas duas posições à direita. ssim, a quantidade total NT solicitada pelo enunciado é: 5 NT = ().(5).().() NT = 180 Resposta: 180 NT = 180 ) (UFB) Para abrir um cofre eletrônico deve-se digitar uma seqüência formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro o triplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa seqüência pretende abrir o cofre. O maior número possível de seqüências que ela deve digitar é: a) 170 b) 20 c) 180 d) 280 e) 168 Teremos, apenas, três opções para o 2º algarismo onde, definido este, obrigatoriamente o primeiro algarismo só terá uma e somente uma opção por estar atrelado à condição de ser o triplo do 2. 1 5 NT = (1).().(8).(7) NT = 168 NT = 168 Resposta: 168 (alternativa e) 5) (ENEM 2005) escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra é representada por: O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é: a) 12 b) 1 c) 6 d) 6 e) 720 Para cada ponto temos 2 possibilidades, ou seja, (destacado ou não); Sendo NT o número total de caracteres e, como pelo menos um ponto deve ser destacado (em relação ao plano), pelo PFC temos: NT = 2 6 1 NT = 6 Resposta: 6 (alternativa d). EXERCÍCIOS SÉRIE UL 5) (UFSM) Com os algarismos 1, 2,, e 5, quantos números ímpares de três algarismos podem ser escritos? a) 120 b) 60 c) 60 d) 72 e) 6 6) (UESPI) quantidade de números pares de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2,, 6 e 8 é: a) 12 b) 18 c) 2 d) 6 e) 8 7) (UF-CE) ssinale a alternativa na qual consta a quantidade de números inteiros formados por três algarismos distintos escolhidos dentre 1,, 5, 7 e 9, e que são maiores que 200 e menores que 800. a) 0 b) 6 c) 2 d) 8 e) 5
8) (Unisinos-RS) No vestibular de inverno da Unisinos, João conheceu Maria, que lhe informou seu telefone. João não anotou o número, mas sabe que esse número começa por 59. Lembra ainda que o º algarismo é 1 ou 2 e os outros quatro algarismos são 0,, 6, 8, mas não sabe sobre sua ordem. s possibilidades de João descobrir o telefone de Maria são: a) b) 12 c) 20 d) 2 e) 8.1. FÓRMUL DO RRNJO SIMPLES Podemos otimizar os cálculos de rranjo Simples utilizando uma fórmula específica, vejamos: n IN p n! n n, p, tal que p IN (n p)! p n Truque lógico para a fórmula acima: 5,2 5 2 ; 100, 100 99 98 ; 9, 9 8 7 6 2 fatores fatores fatores EXEMPLOS RESOLVIDOS: Exemplo 1: Com os algarismos significativos, quantos números de algarismos distintos podem ser formados Os algarismos significativos são { 1, 2,,..., 9 }; Trata-se de um problema de rranjo Simples; Sendo NT a quantidade total solicitada: 9! 9.8.7.6.5! NT 9, NT NT (9 )! 5! Resposta: 02. Exemplo 2: Se n 1, n, Condições de Existência: n1, n, (n 1)! (n )! (n )! n! (n 1)! (n )! n! (n )!, então n é igual a: (n 1) IN n IN n (n ) n n 12 = n n = 12 Resposta: n = 12.. PERMUTÇÕES SIMPLES {, B, C } BC CB BC BC CB CB Permutação Simples é um caso particular de rranjo Simples ( n, n ): n! n! Pn n, n P n = n! (n n)! 0! Exemplo: (MERICNO) Com as letras da palavra BTORÉ: a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas, com as vogais juntas, podemos formar? a) N 1 = P 6 N 1 = 6! N 1 = 720 b) N 2 = (P ).(P ) Respostas: a) 720 b) 1. EXERCÍCIOS SÉRIE UL N 2 = 1 9) (Fuvest-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a) 2 b) 8 c) 96 e) 1 10) (UFJF-MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo de geometria, 2 de álgebra e de análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é: a) 288 b) 296 c) 86 d) 1 728 11) (UF Uberlândia-MG) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho? a) 6 b) 18 c) 12 d) 6 e) 8
12) (UFES) Dispostos em ordem crescente todos os números de algarismos, obtidos com os algarismos 1,, 5 e 7 (sem repetir), que lugar ocupa o número 5 71? a) 15º b) 18º c) 22º d) 0º e) 5º 1) (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formados 6! = 720 palavras (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250ª palavra começa com: a) EV b) FU c) FV d) SE e) SF 5. PERMUTÇÃO COM REPETIÇÃO De uma maneira geral, se temos n elementos e um determinado elemento se repete r vezes, um outro elemento se repete s vezes, um terceiro elemento se repete t vezes, então o número de permutações será dado por: n! P r,s, t n r!s! t! Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra RR? 5! P, 2 5 10!2! Resposta: 10 anagramas. EXERCÍCIOS SÉRIE UL 1) (Univale-MG) Quantos são os anagramas da palavra CNEC? a) 60 b) 180 c) 720 e) 2 15) (U.E.Londrina-PR) Usando uma vez a letra, uma vez a letra B e (n 2) vezes a letra C, podemos formar vinte anagramas diferentes com n letras em cada anagrama. O valor de n é: a) b) c) 5 d) 6 e) 7 6. COMBINÇÕES SIMPLES {, B, C } B = B ; C = C ; BC = CB Exemplo Básico Para os pontos, B e C, os agrupamentos: BC CB BC BC CB CB Representam o mesmo triângulo! Seja n o número de elementos do conjunto e p o número de elementos dos agrupamentos. Indicaremos o número de combinações de n elementos tomados p a p por p n C n ou por Cn,p ou ainda por. p n IN n! C p n p IN p!.(n p)! 1 p n EXEMPLOS RESOLVIDOS Exemplo 1: (UMC-SP) O diretor de um pronto socorro dispõe de 5 médicos, enfermeiros e atendentes para escalar uma equipe de plantão. equipe é formada por médicos, 2 enfermeiros e 1 atendente. O número de equipes diferentes que o diretor poderá formar é: a) 2 b) 72 Considerando NT o total procurado, c) 80 NT = C 5,. C,2. C,1 NT = (10).(6).() NT = 20 e) 20 Exemplo 2: (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldados podem ser formadas se em cada equipe 1 soldado é destacado como líder? a) 1 260 b) 1 c) 1 520 Considerando NT o total procurado, d) 1 80 NT = C 10,1. C 9, e) 1 96 NT = (10).(126) NT = 1 260 Exemplo : (UF-SE) Uma classe tem 17 alunos, sendo 10 rapazes e 7 moças. Quantas comissões de alunos podem ser formadas com os alunos dessa classe, nas quais participa somente uma moça? a) 70 b) 10 c) 560 Considerando NT o total procurado, d) 80 NT = C 7,1. C 10, e) 1 020 NT = (7).(120) NT = 80
Exemplo : (FESP-PE) Uma turma é composta por 8 rapazes (Jorge e Júnior são dois deles) e 5 moças (na e Daniela são duas delas). Então, o número n de comissões que podem ser formadas com os componentes da turma, constituídas de rapazes e 2 moças, de modo que delas façam parte Jorge e Júnior, e não façam parte na e Daniela, é: a) 12 b) 6 c) 9 d) 18 e) 21 Exemplo 5: (UNIFOR-CE) Pretende-se selecionar pessoas, de um grupo constituído de professores e 5 alunos, para tirar uma fotografia. Se pelo menos 1 dos professores deve aparecer na foto, de quantos modos poderá ser feita a seleção? a) 1 680 b) 1 560 c) 0 d) 70 e) 65 a) 15 b) 21 c) 2 d) 28 e) 0 Precisamos escolher o companheiro de Jorge e Júnior e, estando na e Daniela fora das escolhas, teremos que escolher a dupla de moças entre as (três) moças disponíveis. n = C 6,1. C,2 n = (6).() n = 18 a) 10 b) 25 c) 1 d) 5 e) 120 Este é um teste onde aparece o termo pelo menos um, o qual é sinônimo de no mínimo um. ssim sendo, poderemos empregar a técnica do Recipiente ou Conta Bancária, ou seja: Para este caso (há somente três professores), considerando X o total procurado: X = N1 N2 X = C 8,. C 5, X = (70).(5) X = 65 17) (Cesgranrio-RJ) São dadas duas retas paralelas r 1 e r 2. Sobre r 1 marcam-se quatro pontos distintos, e sobre r 2, três pontos também distintos. O número de triângulos distintos que podem ser traçados, com vértices sobre os pontos marcados, é: 18) (UFES) Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes, a saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. s vitaminas podem ser feitas com um só tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o gosto do freguês. Desse modo, quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece? 19) Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formamse comissões de alunos e 2 alunas. O número de comissões em que participa o aluno X e não participa a aluna Y é: a) 1 260 b) 2 100 c) 80 d) 50 e) 6 EXERCÍCIOS SÉRIE UL 16) (UFES) Cinco homens e seis mulheres se reúnem em um clube para jogar canastra. Cada jogo terá quatro participantes: uma dupla de homens contra uma dupla de mulheres. Dessa forma, o número de grupos distintos de quatro jogadores que poderão ser formados é: a) 0 b) 150 c) 90 d) 0 e) 25 20) (Fuvest-SP) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos? a) 98 b) 126 c) 115 d) 165 e) 122
TESTES COMPLEMENTRES 1) (Mack-SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: a) 120 b) 20 c) 500 d) 600 e) 720 2) (PUC-RS) Com os algarismos 1, 2, e, sem repeti-los, podemos escrever x números maiores que 2 00. O valor de x é: a) 6 b) 12 c) 1 d) 18 e) 2 ) (FGV-SP) Usando-se os algarismos 1,, 5, 7 e 9, existem x números de algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x é: a) 505 b) 27 c) 120 d) 625 e) 8 ) (Cesgranrio-RJ) Dispondo-se de 5 rapazes e 6 moças, de quantas maneiras pode-se escolher pessoas para formar uma comissão tendo, pelo menos uma moça? a) 25 b) c) 60 d) 00 e) 100 5) PUC-SP) Para ter acesso a um certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e, se a senha for aceita, digitar uma segunda senha composta por duas letras distintas escolhidas num alfabeto de 26 letras. Quem não conhece as senhas pode fazer tentativas. O número máximo de tentativas necessárias para ter acesso ao arquivo é: a) 120 b) 286 c) 2 720 d) 1 900 e) 1 70 6) (FGV-SP) São dados 10 pontos num plano, dos quais 8 sobre uma mesma reta r e os outros 2 não alinhados com qualquer um dos oito pontos sobre a reta r. Quantos diferentes triângulos podem ser formados usando os pontos dados como vértices? a) 56 b) 6 c) 80 e) 1 7) (Fuvest-SP) Um químico dispõe de 10 substâncias. De quantos modos poderá associar 6 dessas substâncias se existem duas que não podem ser juntadas porque haveria explosão? a) 70 b) 120 c) 28 d) 10 e) 120 8) (Cefet-SP) Em uma classe com 20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres, um professor propôs as seguintes regras para a divisão dos alunos em duplas: - as mulheres não podem fazer duplas entre si; - Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos; - Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos. O número de maneiras diferentes de formar as duplas na sala, atendendo todas as regras do professor, é igual a a) 12 b) 168 c) 226 d) 28 e) 12 9) (Mack-SP) Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 16 diferentes senhas por minuto. senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua execução é de: a) 2 horas e 16 minutos. b) 1 hora e 0 minutos. c) horas e 8 minutos. d) horas e 12 minutos. e) 2 horas e 0 minutos. 10) (FGV-SP) Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vagas de gerente de vendas. Se há 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n é igual a a) 10 b) 11 c) 1 d) 15 e) 17
11) (FUVEST-SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de ndréia, que vive brigando com Manoel e lberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? a) 71 b) 75 c) 80 d) 8 e) 87 12) (Mack-SP) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser formado incluindo pelo menos um dos gênios, é a) 580 b) 1200 c) 970 d) 1050 e) 780 1) (UFBC-SP) dmita que, dos 20 jogadores convocados pelo técnico da seleção brasileira de futebol para as 10 posições de linha, sejam canhotos, 1 destros e 2 ambidestros. Nessas condições, se o técnico quiser escalar todos os jogadores que sabem chutar com a perna esquerda, o número de formas distintas com que ele poderá preencher as demais vagas da linha, não importando a ordem das posições, é igual a a) 660 b) 78 c) 880 d) 909 e) 1001 1) (UFSCar-SP) Um encontro científico com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a a) 6 b) 59 c) 77 d) 8 e) 91 15) (Unifesp-SP) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? a) 6 b) 126 c) 252 d) 60 e) 1260 16) (Unesp-SP) Marcam-se, num plano, 10 pontos,, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais estão sobre a mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura. O número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se três quaisquer desses pontos, é a) 2 b) 112 c) 116 e) 12 17) (Unifesp-SP) O corpo clínico de pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? a) 792 b) 9 c) 69 d) 16 e) 108 18) (Vunesp-SP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a, com 1 e 2 juntas e e juntas, conforme o esquema. O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é a) b) 6 c) 8 d) 12 e) 16 19) (Fatec-SP) Considere que todas as x pessoas que estavam em uma festa trocaram apertos de mão entre si uma única vez, num total de y cumprimentos. Se foram trocados mais de 990 cumprimentos, o números mínimo de pessoas que poderiam estar nessa festa é a) 26 b) c) 8 d) 6 e) 8
20) (FGV-SP) José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipo torre de 8 lugares. São 5 CDs de diferentes bandas de rock, além de outros de jazz, de bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que tanto os CDs de rock quanto os de jazz estejam numa determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de música? NOTÇÕES a) 6 b) 20160 c) 56 d) 6720 e) 020 GBRITO SÉRIE UL 1 E 6 D 11 E 16 B 2 B 7 B 12 B 17 E B 8 E 1 D 18 C B 9 B 1 B 19 D 5 E 10 D 15 C 20 GBRITO TESTES COMPLEMENTRES 1 D 6 B 11 16 C 2 C 7 D 12 C 17 D 8 1 E 18 E 9 D 1 D 19 D 5 E 10 E 15 E 20 C