Apresentação: Equiĺıbrio estático INTRODUÇÃO As grandezas físicas são geralmente classificadas como quantidades escalares ou vetoriais. Uma grandeza física escalar (ou simplesmente um escalar) é aquela que possui apenas magnitude e unidade. Por exemplo, para descrever a temperatura de um dia ensolarado dizemos apenas 29 o C. Por outro lado, uma grandeza vetorial (um vetor), possui magnitude e direção, e são usados para descrever quantidades como velocidade e força. Por exemplo, ao afirmar que um objeto possui a velocidade de 15 m/s rumo ao norte, ou está sob ação de uma força de 10 N aplicada na direção vertical, toda a informação necessária para descrever estas duas grandezas é fornecida. Vetores são geralmente escritos usando uma letra maiúscula em negrito com uma seta em cima, como o vetor A. A mesma letra sem negrito e sem seta, A, indica a magnitude do vetor. Como vetores estão associados com direção, o método usual de soma numérica não pode ser aplicada à quantidades vetoriais. Para encontrar a resultante ou o vetor soma de dois ou mais vetores, um método especial de soma de vetores deve ser usado. Este método pode ser gráfico ou anaĺıtico. Os principais métodos para realizar esta tarefa são descritos a seguir e a soma de vetores de força será investigada. Os resultados dos métodos gráfico e anaĺıtico serão comparados com os resultados obtidos experimentalmente usando uma mesa de forças. Diferentes arranjos experimentais, com diferentes forças, ilustrarão fisicamente os princípios dos métodos de adição vetorial e a condição de equiĺıbrio estático. OBJETIVOS DA ATIVIDADE Após realizar o experimento e analisar os dados, você deverá ser capaz de: 1. Somar uma conjunto de vetores graficamente e analiticamente para encontrar a resultante. 2. Apreciar a diferença, dada a conveniência, entre o uso dos métodos gráfico e anaĺıtico de adição de vetores. 3. Avaliar as condições para se obter o equiĺıbrio estático de um sistema. Página 1
DEFIS - ICEB - UFOP Experimento: Equiĺıbrio estático EQUIPAMENTOS Mesa de força com 3 polias 3 suportes de massa Conjunto de massas Fio APRESENTAÇÃO TEÓRICA A. Somando vetores graficamente Método do poĺıgono Vetores são representados graficamente por setas. Desde que seja desenhado na escala apropriada, o comprimento da seta é proporcional à magnitude do vetor e a ponta da seta determina o sentido do vetor na direção do segmento de reta. A escala de comprimento usada para desenhar as setas é arbitrária e é usualmente selecionada por conveniência de modo que o vetor desenhado se encaixe perfeitamente em um papel milimetrado. Por exemplo, podemos usar a escalar de 1 cm:10 N para desenhar vetores de força. Isso significa que cada centímetro representa 10 N de força. O fator de escala neste caso, dado pela força por unidade de comprimento, é de 10 N/cm. Quando três vetores A, B e C são adicionados pelo método do poĺıgono, os vetores são posicionados de tal maneira que a origem de um vetor coincide com a ponta do outro o qual se está adicionando. Ou seja, a ponta de A com a origem de B e a ponta de B com a origem de C (veja a Figura 1). As setas podem ser movimentadas desde que as direções permaneçam as mesmas. O vetor resultante R, dado pela soma vetorial A + B + C, é obtido desenhando um vetor da origem de A até a ponta de C. A magnitude de R é proporcional ao comprimento da seta e a direção de R pode ser especificada por um ângulo em relação a uma direção qualquer. Estas informações podem ser obtidas diretamente medindo o comprimento do vetor com uma régua e o ângulo com um transferidor. B A C Figura 1: Método do poĺıgono de soma de vetores. B. Somando vetores analiticamente Método das componentes Se dois vetores A e B possuem um ângulo reto entre si, então a magnitude do vetor resultante é dada pelo Teorema de Pitágoras, R = A 2 + B 2 (veja a Figura 2). Neste caso, o ângulo de orientação do vetor é dado pela tan θ = B/A, ou seja, θ = tan 1 (B/A). R A C B Transferidor Régua Nível Folhas de papel milimetrado para gráficos De maneira análoga, um vetor pode ser escrito em termos de suas componentes nas direções x e y (Figura 2). Ou seja, o vetor R é a resultante de R x e R y dado por R = R x + R y, em que R x = R cos θ e R y = R sin θ. A magnitude de R é dada por e R = R x + R y (1) θ = tan 1 = R y R x. (2) A soma vetorial pode ser realizada usando o método das componentes para um número qualquer de vetores. Isto é feito posicionando todos os vetores na mesma origem para, em seguida, fazer a operação de soma (ou subtração) sobre todas as componentes x e y dos vetores envolvidos. Por exemplo, para R = A + B + C as respectivas componentes nas direções x e y são R x = A x + B x + C x e R y = A y + B y + C y. Uma vez conhecidas as componentes R x e R y, as equações 1 e 2 são utilizadas de maneira usual. R θ A B R y y R R x Figura 2: Vetor resultante e suas componentes. C. Somando vetores experimentalmente A mesa de forças é um equipamento que será utilizado para determinar experimentalmente a resultante dos vetores de força (Figura 3). A parte superior da mesa circular é graduada em graus. As forças são aplicadas no anel central por meio de massas colocadas nos suportes que são ligados ao anel por fios. A magnitude de cada vetor de força varia de acordo com a quantidade de massas que são adicionadas ou retiradas do suporte. A direção da força em relação ao plano da mesa depende da posição da polia na borda da mesa. Duas ou mais forças devem estar balanceadas para que o anel permaneça estático em torno do pino central. Em Mecânica, esta situação é conhecida como equiĺıbrio estático. θ x Página 2
PROCEDIMENTOS 1. Ajuste a mesa de forças usando pedaços de fio, o anel central e os suportes de massa. Cada fio deve ter uma extremidade amarrada ao anel e a outra ao suporte. Deixe os suportes suspensos passando os fios pelas polias (veja a Figura 3). 2. Soma vetorial I. Dado dois vetores de magnitude F 1 = (0, 200)g N e F 2 = (0, 200)g N a 30 o e 120 o respectivamente, encontre a resultante F = F 1 + F 2 para cada um dos seguintes procedimentos. (Nota: a orientação dos ângulos dos vetores é dada relativa a linha de referência marcada como 0 o. Nesta notação F 1 = (0, 200)g N representa a força peso de 0,200 kg de massa e aceleração da gravidade igual a g.) 4. Soma vetorial III. Repita o Procedimento 2 para F 1 = F x = (0, 200)g N na direção 0 o e F 2 = F y = (0, 150)g N na direção 90 o. Neste caso, F = F x + F y, sendo F x e F y as componentes nas direções x e y de F. Use metade de outra folha de papel milimetrado para a análise gráfica. 5. Decomposição vetorial. Dada a força F = (0, 300)g N na direção 60 o, determine F em termos de suas componentes x e y e encontre as magnitudes de F x e F y seguindo os procedimentos abaixo: (a) Graficamente. Desenhe o diagrama com os vetores (use a outra metade da folha usada no Procedimento 4) com as componentes dos vetores e meça as magnitudes de F x e F y. Registre os resultados na tabela de dados. (b) Analiticamente. Calcule as magnitudes de F x e F y (veja a Apresentação Teórica no começo da atividade). Calcule também os erros propagados aos valores de F x e F y. Os resultados devem ser anotados na tabela de dados. Figura 3: Mesa de forças (a) Graficamente. Usando o método dos poĺıgonos, desenhe um diagrama que representa a soma dos vetores. Escolha uma escala de tal maneira que o digrama final preencha apenas metade da folha. Meça a magnitude e a direção da resultante (com régua e transferidor) e anote os resultados na tabela da Folha de respostas. (b) Analiticamente. Calcule a magnitude da força resultante. Calcule também o ângulo de orientação da resultante. Lembre-se da Equação 2. Registre os resultadas na Folha de respostas. (c) Experimentalmente. Na mesa de forças, fixe as polias nas posições de 30 o e 120 o e adicione massas aos suportes até obter forças de magnitudes F 1 e F 2. Usando a terceira polia determine a magnitude e a direção da terceira força para que o anel permaneça em equiĺıbrio em torno do pino central. Registre os resultadas na tabela de dados. 3. Soma vetorial II. Repita o Procedimento 2 para F 1 = (0, 200)g N na direção 20 o e F 2 = (0, 150)g N na direção 80 o. Use a outra metade da folha usada no procedimento anterior para realizar a análise gráfica. δz = Nota: É preciso ter cuidado ao calcular o erro propagado por funções trigonométricas. Primeiro é necessário converter as unidades de ângulo para radianos. Depois é necessário usar uma técnica que envolve derivadas parciais. Para z = z(x 1, x 2,, x n ), o erro propagado a z devido às incertezas δx 1, δx 2,, δx n é dado por ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 z z z δx 1 + δx 2 + + δx n x 1 x 2 x n Por exemplo, considere z = x cos θ, sendo δx e δθ as respectivas incertezas de x e θ. Então, δz = ( z x δx)2 + ( z θ δθ)2 = (cos θδx) 2 + ( x sin θδθ) 2. Em seguida deve-se substituir os valore de x, θ, δθ e δx para encontrar δz. (c) Experimentalmente. Fixe as polias na mesa de força nas direções 240 o, 90 o e 0 o. Coloque 0,300 kg no suporte associado à polia da direção 240 o. Esta força deve estar em equiĺıbrio com a força F = (0, 300)g N na direção 60 o. Adicione massas ou suportes posicionados em 0 o e 90 o até o sistema atingir o equiĺıbrio. Anote as magnitudes das forças na tabela de dados. 6. Soma vetorial IV (Opcional). O(A) professor(a) fornecerá um conjunto de vetores para serem adicionados seguindo o procedimento 2. Anote os resultados na tabela de dados como anteriormente. Página 3
Folha de respostas: Equiĺıbrio estático Nomes dos integrantes do grupo: Data: Utilize o espaço abaixo para apresentar todos os cálculos realizados. Não esqueça de anexar os diagramas à Folha de respostas. Objetivo: Comparar os diferentes métodos de adição de vetores. Forças Resultante R (magnitude e direção) Graficamente Analiticamente Experimentalmente Soma vetorial I Soma vetorial II Soma vetorial III Decomposição vetorial F 1 = (0, 200)g N, θ 1 = 30 o F 2 = (0, 200)g N, θ 2 = 120 o F 1 = (0, 200)g N, θ 1 = 20 o F 2 = (0, 150)g N, θ 2 = 80 o F x = (0, 200)g N, θ 1 = 0 o F y = (0, 150)g N, θ 2 = 90 o F = (0, 300)g N, θ = 60 o Soma vetorial IV Tabela I: Tabela com os dados obtidos durante a atividade. Cálculos: Página 4
DEFIS - ICEB - UFOP QUESTIONÁRIO 1. Considerando os métodos gráfico e anaĺıtico para obter a resultante de uma soma vetorial, qual método possui maior precisão? Quais são as prováveis fontes de erro para cada método? 2. A subtração de vetores ( A B) é um caso especial da adição de vetores, desde que A B = A + ( B). Suponha que os casos de adição de vetores I, II e III estejam tratando de subtração de vetores ( F 1 F 2 ). (a) Qual o efeito que esta operação deve produzir na direção da resultante? (Não calcule explicitamente. Apenas estabeleça em qual quadrante a resultante deve estar em cada caso.) (b) A magnitude do vetor resultante é diferente para a subtração vetorial quando comparada com à adição dos mesmos vetores? Se sim, estabeleça as condições para que a resultante possa ser maior ou menor do que a resultante produzida pela a operação de adição. 3. Um quadro está suspenso em uma parede como representado pela figura ao lado. A tensão T em cada segmento da corda é de 3,5 N. (a) Qual é a intensidade da força que aponta para cima e mantém o prego em equiĺıbrio estável? (b) Qual é o peso do quadro? T T 45 45 O equilíbrio estático está presente em todo lugar Página 5
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