O Estudo Matemático do Comportamento das Abelhas Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Eduardo Henrique Siqueira Lucas Dias Marques Rosana Sueli da Motta Molinero Jafelice edu.molinero@bol.com.br ludemarques@yahoo.com.br rmotta@ufu.br Introdução Abelha é a denominação comum de vários insetos pertencentes à ordem Hymenoptera, da superfamília Apoidea, aparentados das vespas e formigas. O representante mais conhecido é a Apis mellifera, oriunda do Velho Mundo, criada em larga escala para a produção de mel. As espécies de abelhas nativas das Américas (Novo Mundo) não possuem ferrão. Uma abelha visita dez flores por minuto em busca de pólen e do néctar. Ela faz, em média, quarenta vôos diários, tocando em 40 mil flores. Com a língua, as abelhas recolhem o néctar do fundo de cada flor e guardam-no numa bolsa localizada na garganta. Depois voltam à colmeia e o néctar vai passando de abelha em abelha.desse modo a água que ele contém se evapora, ele engrossa e se transforma em mel, veja Figura 1. Figura 1: Rainhas e operárias. As abelhas são insetos sociais que vivem em colônias e são conhecidas há mais de 40.000 anos e as que mais se prestam para a polinização, ajudando enormemente a agricultura, produção de mel, geléia real, cera, própolis e pólen, são as abelhas pertencentes ao gênero Apis. Inseto laborioso, disciplinado, a abelha convive num sistema de extraordinária organização: em cada colméia existem cerca de 80.000 abelhas e cada colônia é constituída por uma única rainha, centenas de zangões e milhares de operárias. O objetivo do trabalho é estudar como as abelhas vivem, trabalham, são divididas, se reproduzem e modelar matematicamente a dinâmica da população de uma nova colméia.
Um Estudo Geométrico da Colméia Inicialmente, estudamos a geometria dos alvéolos. - Geometria dos alvéolos As abelhas constroem suas casas ou favos na forma de recipientes aglomerados de cera que se propagam um ao lado do outro. Os recipientes, denominados alvéolos, tem a forma de um prisma hexagonal regular (faces laterais iguais e ângulos entre as faces iguais) aberto numa extremidade e formando um ápice triédrico na outra face. Os alvéolos são usados tanto para o desenvolvimento populacional da colméia como para deposito de mel, produto obtido da transformação do néctar e pólen das flores. O estudo sobre o mosaico de um favo foi realizado com base em [1]. - Mosaico de um favo O corte transversal de um favo apresenta a configuração de um mosaico formado pela repetição de hexágonos regulares. A pavimentação de um plano consiste em cobri-lo com uma mesma figura, sem deixar espaços vazios ou tendo figuras interseccionadas. Se quisermos um mosaico, como na Figura 2, formado pela propagação de um só tipo de polígono regular (lados iguais e ângulos internos iguais), devemos escolher o polígono de modo que seu ângulo interno θ seja um divisor de 360º. Vejamos alguns casos, Figuras 3, 4 e 5: Figura 2: Mosaico de um favo. Figura 3: Quadrado tem ângulos internos iguais a 90º.
Figura 4: Triângulo eqüilátero tem Figura 5: Hexágono regular tem ângulos ângulos internos iguais a 60º. internos iguais a 120º. Todo polígono regular pode ser inscrito em um circulo de modo que seus lados sejam cordas deste circulo. Assim, dado um polígono regular de n lados podemos sempre dividi-lo em n triângulos isósceles. Cada triângulo é formado considerando o lado do polígono como base e tendo vértice no centro do circulo que circunscreve o polígono, Figura 6. Figura 6: Polígonos circunscritos. Sabemos que um polígono regular pode se propagar, formando um mosaico, se 360/θ for um numero inteiro positivo, onde θ é o ângulo interno do polígono. Este número nos dá a quantidade de polígonos que tem vértice comum. Sabemos que o ângulo interno deve ser menor que 180º. Por outro lado o polígono de menor número de lados é o triângulo eqüilátero, n = 3. Neste caso, temos o intervalo de 60º até 180º. Os divisores positivos de 360º são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 50, 60, 72, 90, 120, 180 e 360. Concluímos então que temos as seguintes possibilidades: 60, 72, 90 e 120. Analisemos a figura quando θ = 72º. 72º = (n 2).180º/n 72n = 180n 360-108n = -360 n = 10/3 N Com isso concluímos que: as abelhas constroem seus alvéolos na forma de prismas de base hexagonais. Das três possíveis escolhas das bases que restou, ou seja, dos valores possíveis de θ que poderiam ter sido escolhidos, optaram pelo polígono que tem o menor perímetro, com área A fixada, que é a base hexagonal onde θ = 60.
- Dança das abelhas O estudo da dança das abelhas foi realizado com base em [3]. Uma abelha pode lembrar-se da rota de vôo a partir da posição do sol no céu, do odor e da cor das flores. É capaz, também, de retornar à mesma fonte de alimento, no mesmo horário, do dia seguinte. O pesquisador Von Frisch foi quem descobriu a forma de comunicação das abelhas, ou seja, quando encontra uma boa fonte de néctar e pólen retorna para informar às demais a posição e o odor das flores. Ela toma como referência a posição do sol, isto é, o ângulo entre sua própria rota de vôo e uma linha horizontal da colméia, na direção do sol. Sua forma de comunicação é denominada a dançado requebrado. Quando as flores estão a menos de 100 metros de distância da colméia, a dança é circular. Se o alimento está a mais de 100, a abelha corre para frente por uma pequena distância, retornando ao ponto inicial por um semicírculo, e volta descrevendo um outro semicírculo na direção oposta, dando uma idéia de oito, veja Figura 7. Se a dança é feita a 30 à direita da vertical significa que o alimento está a 30 à direita do sol [2]. Figura 7: A dança das abelhas. Ao dançar na colméia, outras abelhas podem aprender a posição e o odor das flores, embora não aprenda sua cor e sua forma. O número de vezes por segundo que a abelha perfaz o circuito dançando indica a distância da florada em relação à colméia. Crane (1983) apresenta a duração de cada circuito da dança pela distância: Distância (m) 200 500 1000 2000 3500 4500 Duração do circuito (s) 2,1 2,5 3,3 3,8 5,6 6,3 Como podemos localizar uma florada a partir da dança da abelha? Para calcular a distância da florada da colméia, procederemos utilizando coordenadas polares. Exemplo: Se a fonte de alimento, por exemplo, estiver a 983,87m da colméia e formando um ângulo de 60 no sentido horário em relação à direção do sol nascente (leste) podemos encontrar a distância em que a florada está da colméia em relação aos pontos cardeais, Figura 8.
Figura 8: Localização da florada em relação à colméia em coordenadas polares. As abelhas não usam coordenadas retangulares para comunicar a posição da fonte de alimentos. As coordenadas polares têm um papel importante no comportamento animal, principalmente na orientação de aves e peixes. P: (x, y) coordenadas retangulares P: (r, θ) coordenadas polares; 2 2 y onde r = x + y (distância polar) e θ = arctg (ângulo polar). x Temos que a hipotenusa do triângulo retângulo (distância da colméia à florada) é 983,87m e o ângulo em relação ao eixo x (que aponta para o sul) é 30. Assim temos que: y y sen θ = sen 30 = 491,93m r 983, 87 x x cos θ = cos 30 = 852,05m r 983, 87 Em coordenadas retangulares podemos dizer que a fonte de alimento está, aproximadamente, a 491,93m para leste e 852,05m para o sul, em relação à colméia. A seguir um exemplo retirado de [2]. Problema: Uma abelha exploradora descobre uma fonte de mel ao entardecer. Esta fonte está localizada a 850m a leste e 1200m ao sul da colméia. Que coordenadas polares serão sinalizadas pela abelha? Resolução: Inicialmente utilizamos coordenadas polares, ou seja, extraímos de um sistema de coordenadas cartesianas (x, y), as coordenadas polares (r, θ) de forma que: x = r.cos θ y = r.sen θ
y 850 Sabemos que x = 1200 e y = 850 e que tg θ = = 0,71. Assim, temos x 1200 2 2 que: θ = arctg (0,71) 0,6174 35,37. Como r = x + y, então r = 2 2 1200 + 850 = 1440000 + 722500 = 2162500 1470,54. Podemos concluir então que, as coordenadas polares que serão sinalizadas pela abelha são (1470,54; 35,37 ), como na Figura 9. Figura 9: Localização da florada em relação à colméia em coordenadas retangulares e polares. Comentário: O problema nos propôs encontrar a localização da florada em coordenadas polares, que são dadas no sentido anti-horário, mas, se o autor quisesse saber qual o ângulo entre a florada e o sol, a resposta seria 90-35,37 = 54,63. Dinâmica de uma Colméia Quando se propõe analisar o crescimento populacional de uma comunidade qualquer, um dos objetivos é saber seu comportamento em cada instante e a previsão de seu tamanho no futuro. Cada população tem uma dinâmica de crescimento própria, isto é, uma lei de formação inerente à espécie. Vamos apresentar modelos matemáticos distintos relativamente ao nível de conhecimento matemático baseados em [1], mas que expressam, essencialmente, o mesmo fenômeno; crescimento populacional de uma colméia. - A Colméia Entre apicultores, a expressão colméia significa abelhas alojadas racionalmente, com uma população equilibrada e distribuída em três castas: rainha, operárias e zangões. A abelha rainha é responsável pela produção das operárias, dos zangões (que são os machos) ou novas rainhas, botando dois tipos de ovos. Os ovos fertilizados dão origem às operárias (fêmeas não reprodutoras) e os ovos não fertilizados originam os zangões. As rainhas são produzidas quando as larvas são alimentadas com nutrientes altamente protéicos (geléia real).
A constituição de uma colméia em condições normais é a seguinte 1 rainha que pode viver até 5 anos; Até 400 zangões que são produzidos no final de verão, e sua quantidade depende da abundância de alimento (vivem até 80 dias); 60000 a 80000 operárias. A longevidade de uma operária depende do clima e do seu período de atividade. De um modo geral sua vida média varia de 38 a 42 dias. A capacidade de postura de uma rainha chega a 3000 ovos por dia, o que corresponde a duas vezes seu próprio peso. Esta quantidade depende da área disponível para postura, da qualidade genética da rainha e das condições florais e climáticas existentes. Quando uma rainha diminui a quantidade de ovos, as operárias responsáveis pela manutenção das larvas promovem o desenvolvimento de nova rainha. A nova rainha, depois do vôo nupcial em que é fecundada pelos zangões, retorna à colméia desalojando a rainha velha que sai para formar uma outra colméia. Acompanhando a velha rainha seguem um séqüito de aproximadamente 10000 operárias: é o enxame voador. Para o estudo do crescimento da população em uma nova colméia consideraremos os seguintes dados e hipóteses: Postura da rainha é constante: 2000 ovos por dia; Período entre a postura e o nascimento da abelha: 21 dias; Quantidade inicial de abelhas (operárias): 10000; Longevidade média de uma operária: 40 dias. - Modelos Um modelo matemático da dinâmica populacional de uma nova colméia deve ser apresentado, levando-se em consideração dois estágios distintos: o período de adaptação que é intermediário entre a postura inicial e o nascimento das primeiras operárias (21 dias), e o período de desenvolvimento quando nascem diariamente 2000 abelhas. Em relação ao período inicial podemos estabelecer duas hipóteses distintas quanto ao índice de mortalidade das operárias: H1) As abelhas têm idades equidistribuídas Neste caso estamos supondo que em cada grupo, distribuído por idade (dias de vida), existem exatamente a mesma quantidade de operárias. Desta forma, das 10000 abelhas iniciais, em cada dia morrerão, em média, 250 abelhas o que 1 corresponde a de 10000. 40 Seja y n = y(n) a quantidade de operárias vivas no n-ésimo dia de existência de nova colméia, 0 n<21. Podemos obter a expressão de y(n) recursivamente, isto é, y 0 = 10000 y 1 = y 0 250 y 2 = y 1 250 = y 0 2 250 Generalizando, obtemos: y n = y 0 n250
Assim, obtemos um modelo matemático que nos dá a informação sobre a quantidade de abelhas velhas no n-ésimo dia de existência da colméia: y n = 10000 250n, 0 n<21 (1) Observação 1: O modelo (1) é discreto no sentido que a variável independente n (tempo) está tomando valores no conjunto dos números naturais N. Observação 2: A equação (1) pode ser obtida, analisando a taxa de decaimento. Seja k > n, definimos y = y k - y n : quantidade de abelhas que morrem entre o k-ésimo y e o n-ésimo dia e n = k n: um número de dias passados, então a razão incremental é n dada por: y y y = n k n ( yk yk 1 ) + ( yk 1 yk 2 ) +... + ( yn 1 yn ) = [ k ( k 1)] + [( k 1) ( k 2)] +... + ( n + 1 n) k n + ( k n)( 250) = k n = 250 ou seja, a razão entre a variação da quantidade de abelhas pela variação do tempo é constante. Isto significa que o resultado para um dia n qualquer poderia ser obtido por uma regra de três: A quantidade de abelhas que morrem em n dias é proporcional a n. Por exemplo, se em 1 dia morrem 250, em 21 dias morrerão 5250 abelhas: 1 250 21 x x = 21 250 = 5250 A constante C = -250 é o coeficiente angular da reta: y(t) = -250t + 10000 com 0 t 21, t R, (2) que representa o modelo contínuo correspondente à equação (1). Chamamos a atenção para o fato de que a constante de proporcionalidade usada numa regra de três é equivalente ao coeficiente angular de uma reta, ou seja, só podemos usar regra de três quando as variáveis estão relacionadas segundo a equação de uma reta. H2) A mortalidade das abelhas é proporcional a quantidade que se tem de abelhas em cada instante. Observe que com esta hipótese não podemos usar regra de três. A taxa de mortalidade 1 é = 0.025 e portanto, a taxa de sobrevivência é (0-0.025) = 0.975. 40 Podemos agora obter uma expressão de recorrência (modelo discreto) para y n com esta nova hipótese: y 0 = 10000 y 1 = 0.975y 0 y 2 = 0.975y 1 = (0.975)²y 0 Μ y n = (0.975) n y 0, (3)
Usando o fato de que a x = e xlna, para todo x R, com a>0 a função potência (3) pode ser dada na forma exponencial: y n = y 0 e n.ln(0.975) = y 0 e -0.02532.n (4) No caso continuo (tempo continuo) podemos escrever y = y(t) = y 0 e -0.02532.t, 0 t 21. (5) Tomando y 0 = 10000 e t = 21 em (5), obtemos y(21) = 5876. Verificamos que, de acordo com as hipóteses consideradas, os valores de y 21 são distintos na prática tal diferença não é significativa, mesmo para o estudo do comportamento futuro da colméia. O modelo matemático para o período de desenvolvimento da nova colméia leva em consideração que a partir do 21 dia nascem, 2000 abelhas. Se A 0 é a quantidade remanescente de operárias velhas depois de 21 dias, teremos para o 21 dia: Y 1 = y 21 = A 0 + 2000. Considerando agora a taxa de sobrevivência igual a 0.975, podemos formar uma relação de recorrência a partir do valor A 0 : Y 2 = y 22 = 0.975Y 1 +2000 = 0.975A 0 + 2000(0.975 +1) Y 3 = y 23 = 0.975Y 2 +2000 = (0.975)²A 0 + 2000[(0.975)² + 0.975 + 1)]. E assim sucessivamente, chegamos a Y n = (0.975) n-1 A 0 + 2000[(0.975) n-1 + (0.975) n-2 +... + 0.975 + 1]. A expressão entre colchetes é a soma de uma progressão geométrica de razão igual a 0.975, o que nos permite simplificar, escrevendo: Y n = (0.975) n-1 1 (0.975) A 0 + 2000 1 0.975 n = (A 0-78000)(0.975) n-1 + 80000. (6) ou seja, Podemos pensar numa expressão contínua para Y n tomando: y(t) = (A 0 78000)e (t-21).ln(0.975) + 80000 (t 21) y(t) = (A 0-78000)e 0.02532.(t 21) + 80000 t 21. (7) A expressão (7) nos dá a população da colméia num tempo t qualquer a partir do 21 dia. Podemos notar que quando t cresce o valor de e -0.02532 tende a zero e portanto a população da colméia se estabiliza com 80000 operárias, o que mostra uma coerência com os dados experimentais. Isto pode ser traduzido pela expressão matemática
lim y( t) = 80000 t A reta y = 80000é uma assíntota horizontal da função y(t), denominada valor de estabilidade. Juntando as duas partes do modelo contínuo de crescimento populacional das abelhas (equações (5) e (7)), podemos escrever; y(t) = 10000 e -0.02532.t se 0 t<21 y(t) = (A 0-78000)e -0.02532.(t - 21) + 80000, se t 21 (8) onde, A 0 são as sobreviventes no 21 dia. - Lei de formação de uma colméia No Caso contínuo (tempo t como variável contínua) podemos usar a linguagem de derivadas e expressar a hipótese H2 da seguinte forma: dy = -0.025y (9) dt y(0) = 10000, 0 t 21 dy onde indica a variação instantânea da população de abelhas. O modelo (9) quer dizer que dt até os primeiros 21 dias, a variação da população de abelhas (mortalidade) é proporcional à 1 quantidade presente em cada instante, com um índice de mortalidade igual a = 0.025 e 40 uma população inicial de 10000 abelhas. A solução da equação (9) é obtida separando-se as variáveis e integrando dy = -0.025dt, y dy logo = y 0. 025 dt, ou lny = -0.025t + k (k: constante de integração) donde tiramos y(t) = e k e -0.025.t. Usando a condição inicial y(0) = 10000, vem que e k = 10000. Assim, y(t) = 10000e -0.025.t, 0 t<21 (10) A solução (10) é aproximadamente igual à (5) obtida anteriormente.
Para o período de crescimento da colméia, podemos fazer uma analogia com o modelo exponencial assintótico uma vez que, em ambas as situações as soluções são semelhantes. Consideramos então a equação diferencial: dy = k(l - y) (11) dt onde, L = 80000 é a população limite, t 21, k = ln0.975 e y(21) = 7500 ( 5500 remanescentes mais 2000 recém nascidas). Separando variáveis e integrando a equação (11), obtemos dy L y = kdt ln(l y) = kt + c. Portanto, L y = e c e -kt. Considerando que a equação (11) está definida para t 21, podemos escrever Portanto, Como y(21) = 7500, temos Conclusão y(t) = L e c e -k.(t - 21), t 21. -e c = 7500 80000 = -72500 y(t) = -72500e -0.02532.(t - 21) + 80000, para t 21. (12) Desta forma, podemos dizer que a lei de formação de uma colméia nova é a seguinte: O crescimento populacional de uma colméia é proporcional à diferença entre a população máxima sustentável e a população dada em cada instante. Salientamos mais uma vez que nenhum modelo matemático é definitivo. Sempre podemos modificá-lo tornando-o mais realista. Por exemplo, no período de adaptação (início da colméia) a rainha não tem condições de colocar 2000 ovos por dia pois os alvéolos ainda nem estão construídos. Também, a hipótese simplificadora que considera uma postura constante da rainha, nesta colméia, pode ser modificada.
Bibliografia [1] BASSANEZI, Rodney Carlos. Modelagem Matemática como Método de Ensino- Aprendizagem. Editora Contexto, 2002. [2] BATSCHELET, Edward. Introdução à Matemática para Biocientistas. Tradução: Vera M. A. P. da Silva e Junia Maria P. Quitete. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1978. [3] BIEMBENGUT, Maria Salett & HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. Editora Contexto, 2003.