UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU

UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU TEORIA DAS FILAS FERNANDO MORI prof.fmori@gmail.com

A teoria das filas iniciou com o trabalho de Erlang (1909) na indústria telefônica no inicio do século vinte. Ele fez estudos detalhados dos modelos usuais em que as chegadas ao sistema e os tempos de serviço são conhecidos e pertencem a bem estabelecidas categorias que são bem caracterizadas. Uma fila é formada pelas chegadas aleatórias de clientes que chegam a algum lugar para receber um serviço fornecido por um atendente. O objetivo da teoria das filas é caracterizar de forma quantitativa e qualitativa uma fila por meio da análise matemática. A quantificação de uma fila pode ser feita por análise matemática que fornece resultados ótimos, apesar de requere algumas hipóteses bastante restritivas, tais como a chegada dos clientes, o numero de atendentes e a estrutura do sistema. Por outro lado pode-se também analisar problemas de filas usando simulação. A diferença é que neste ultimo caso não temos resultados ótimos, mas em compensação podemos analisar casos mais complexos. Os principais elementos em um modelo matemático de filas são clientes (usuários) e atendentes(ou servidores). Usuários podem ter origem em uma população finita ou infinita. A chegada dos clientes é representada pelo tempo entre chegadas. Isto é uma constante ou uma variável aleatória com uma distribuição de probabilidades conhecida ou desconhecida. A analise matemática que usaremos considera apenas as chegadas que obedecem uma distribuição de Poisson. Outras distribuições ou comportamentos de filas devem ser tratadas usando simulação. FERNANDO MORI - USJT 2

O atendimento é representado pelo tempo de serviço. Pode ser constante ou uma variável aleatória com distribuição de probabilidade conhecida ou desconhecida. A teoria das filas trata do caso quando o tempo de atendimento é uma variável aleatória que obedece uma distribuição exponencial negativa ou distribuição de Erlang. FERNANDO MORI - USJT 3

INTRODUÇÃO Um processo de filas de espera consiste nas chegadas de clientes a um local onde é prestado um serviço, esperando em fila, se todos atendentes estiverem ocupados, sendo atendidos e finalmente deixando o local. Um sistema de filas de espera consiste em um conjunto de clientes e um conjunto de atendentes e numa ordem pela qual os clientes chegam e são atendidos. Características das filas Os sistemas de filas de espera são caracterizados por cinco componentes: o padrão de chegada dos clientes, o padrão de serviço, o número de atendentes, a capacidade do local em que os clientes esperam, a ordem pela qual são atendidos. FERNANDO MORI - USJT 4

a) Fila Única de espera, único servidor Chegada de clientes Fila Cliente em serviço Servidor Partida de clientes Origem de Clientes Chegada de clientes Fila Servidor -1 Servidor -2 Partida de clientes Servidor -3 b) Única Fila de espera, múltiplos servidores em paralelo FERNANDO MORI - USJT 5

c) Múltiplas filas de espera, múltiplos servidores em paralelo. Fila nº 1 Chegada de clientes Fila nº 2 Servidor- 1 Servidor- Servidor 2 Partida de clientes Origem de Clientes Chegada Fila Servidor- 1 Fila Servidor- 2 de clientes d) Única fila de espera, múltiplos servidores em série FERNANDO MORI - USJT 6

Padrões de chegada O padrão de chegada dos clientes é especificado pelo intervalo de tempo entre chegadas consecutivas de clientes ao local de prestação de serviços. O tempo entre chegadas pode ser determinístico ou pode ser uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade seja conhecida. Padrões de serviço O padrão de serviço é específico pelo tempo de serviço, tempo necessário para um atendente atender um cliente. O tempo de serviço pode ser determinístico ou pode ser uma variável aleatória. FERNANDO MORI - USJT 7

Capacidade do sistema A capacidade do sistema é o número máximo de clientes (incluindo tanto os que estão sendo atendidos como os que aguardam na fila de espera) permitidos no local de prestação de serviços ao mesmo tempo. Um sistema que não tenha limite no número permitido de clientes dentro do estabelecimento tem uma capacidade infinita, um sistema com um limite tem capacidade finita. FERNANDO MORI - USJT 8

Disciplina das filas de espera A disciplina da fila é a ordem pelo qual os clientes são atendidos, e pode ser: PCPS : primeiro a chegar, primeiro a sair. UCPS : SOA : SPSA : último a chegar, primeiro a sair. serviço em ordem aleatória. sistema por prioridade. FERNANDO MORI - USJT 9

Notação de Kendall: Para o estudo de teoria das filas devemos analisar seis fatores: a / b/ c : d / e/ f a: como são as chegadas ou distribuição de chegadas. b: tempo de atendimento. c: número de atendentes. d: disciplina de atendimento. e: espaço para espera. f: população que usa o sistema FERNANDO MORI - USJT 10

Na notação as letras a e b podem ser trocadas por: M chegada prevista pela lei de Poissson (Markoviano) ou distribuição de saída exponencial. D tempo entre chegadas determinísticas. E k distribuição entre chegadas ou tempo de chegada seguindo a distribuição de ERLANG com parâmetro K. GC distribuição de chegadas independente. FERNANDO MORI - USJT 11

Primeiro Modelo de Teoria das Filas (M/ M/1):(PCPS / / ) M chegadas segue a distribuição de Poissson M o tempo de atendimento segue a distribuição Exponencial. 1 Único atendente. PCPS Primeiro a chegar, primeiro a sair. Espaço para espera é grande ou infinito. População que utiliza o sistema é grande ou infinito. FERNANDO MORI - USJT 12

Formulário do Modelo (M/M/1) 1. é a taxa média de chegada número de clientes por unidade de tempo. 2. é a taxa média de atendimento número de clientes ou unidades por unidade de tempo. t 3. é o tempo médio de atendimeto unidade de tempo por número de clientes ou unidades. µ t = 1/ µ 4. S = 1 Único atendente 5. é o fator de utilização com a condição de Se 1 mais clientes chegam que podem ser atendidos e uma fila infinita se forma. 6. P 0 é a probabilidade de não ter ninguén no P 0 1 1 sistema. FERNANDO MORI - USJT 13

7. P n é a probabilidade de ter n clientes ou unidades no sistema. Pn n n (1 ) P 0 8. E(Ls) é o número médio no sistema. L s 9. E(Lf) é o número médio na fila. 2 L f ( ) 10. E(Ws) é o tempo médio no sistema. W 1 s 9. E(Wf) é o tempo médio na fila. W f ( ) FERNANDO MORI - USJT 14

Exercícios 1) Suponha que o tráfego de 1500 veículos/hora que se aproxima de um túnel divide-se igualmente para passar pelos postos de pedágio (existem três) que estão na entrada do túnel. Cada posto tem uma capacidade de serviço máxima de 600 veículos/hora. Nessas condições ou seja quando o fluxo é igualmente dividido entre os três postos de atendimento podemos considerar cada posto como uma única estação de serviço. Sob a suposição de que as chegadas seguem a lei de Poisson e os tempos de serviços a lei exponencial ache para um único posto: a) Probabilidade do atendente estar ocioso? b) Qual a probabilidade de ter fila? c) Qual o número médio de clientes no sistema? d) Qual o número médio de clientes na fila? e) Qual o tempo médio gasto por um veículo para deixar o sistema? f) Qual o tempo médio gasto por um veículo na fila? FERNANDO MORI - USJT 15

para um único posto temos 500 ve/hora taxa média de atendimento 600 ve/hora 500 0,833 600 a) A probabilidade do atendente estar ocioso é : P 0 1 1 0,833 0,167 b) A probabilidade de ter fila = 1 - Probabilidade de não ter fila Não temos fila quando temos apenas 1 ou 0 clientes no sistema. P 1 P 0 1 0,167 (1 ) 0,139 P( fila) 1 0,167 0,139 0, 694 FERNANDO MORI - USJT 16

c) número médio no sistema L s 500 5 600 500 d) número médio na fila L f 2 2 500 4,17 ( ) 600(600 500) e) tempo médio gasto no sistema W s 1 1 0, 01h 36 segundos 600 500 f) tempo médio na fila W f 500 0, 0083h 29,8 segundos ( ) 600(600 500) FERNANDO MORI - USJT 17

2) A seção masculina de uma grande loja emprega um alfaiate para consertar roupas compradas pelos clientes. O número de clientes cujas roupas necessitam de consertos segue uma distribuição de Poisson com uma taxa média de chegada de 24 por hora. Os clientes são atendidos por ordem de chegada, estando dispostos a esperar pelo atendimento do alfaiate, já que os consertos são gratuitos. O tempo gasto para atender um cliente é exponencialmente distribuído com média de 2 minutos: a) Qual é o número médio de clientes na sala de consertos? b) Quanto tempo deve um cliente esperar gastar na sala de consertos? c) Qual a porcentagem de tempo livre do alfaiate? d) Qual a probabilidade de um cliente esperar mais de 10 minutos pelo atendimento do alfaiate? FERNANDO MORI - USJT 18

Este é um sistema M/M/1 taxa de chegada 24 clientes/hora 1 cliente taxa de atendimento 0,5 clientes/minuto 2 minutos a base de tempo deve ser a mesma, e por isso devemos converter minuto para hora. 0,5 clientes 30 clientes/hora 1 hora 60 a) número médio no sistema L s 0 24 4 clientes 30 24 b) tempo de espera W s 1 1 1 h10 minutos 30 24 6 c) o alfaiate estará livre se não houve ninguém no sistema P 1 1 0,8 0, 2 o alfaiate estará livre em 20% do tempo. FERNANDO MORI - USJT 19

3) A proprietária da Loja Doces Finos não tem empregados, ela própria serve os clientes. O padrão de chegada de clientes aos sábados parece seguir a distribuição de Poisson, com uma taxa média de chegada de 10 pessoas por hora. Os clientes são atendidos de acordo com a disciplina PCPS e, dada a fama da loja, estão dispostos a esperar para serem atendidos depois de entrarem. Estima-se que o tempo gasto para atender um cliente seja exponencialmente distribuído, com um tempo médio de atendimento de 4 minutos. Determine: a) a probabilidade de formar uma fila de espera. b) o tamanho médio da fila de espera. c) o tempo médio de espera por cliente na fila de espera. FERNANDO MORI - USJT 20

É um sistema M/M/1 10 clientes 10 clientes 1 clientes/minuto 0,167 clientes/min. 1 hora 60 minutos 6 1 cliente 0, 25 clientes/min. 4 minutos mesma base de tempo! 1 6 4 2 1 6 3 4 a) probabilidade de ter espera = 1 - probabilidade de não ter fila P(não ter fila) P P P 0 1 1 0,333 0 1 P (1 ) 0, 222 P(não ter fila) 0,333 0, 222 0,555 P( fila) 0, 445 b) número médio na fila 2 0,167 EL ( f ) 1,328 clientes ( ) 0, 25(0, 25 0,167) c) tempo médio na fila 0,167 EW ( ) f 7,95 minutos ( ) 0,021 FERNANDO MORI - USJT 2 21

4) O balcão de uma sorveteria é servido por um atendente. Os clientes chegam de acordo com o processo de Poison com taxa média de 30 por hora. Eles são atendidos de acordo com a disciplina PCPS e dada a qualidade do sorvete eles estão dispostos a esperar. O tempo de atendimento de cada cliente é distribuído exponencialmente com média de 1,5 minutos. Determine: a) o número médio de clientes na fila. b) o tempo que um cliente espera para ser atendido. FERNANDO MORI - USJT 22

Este é um sistema m/m/1 Taxa de atendimento 30 clientes/hora atendimento: 1 = cliente/min = 0,667 cliente/min 1,5 a) numero medio no sistema L s 2 2, 252 ( ) b) Tempo médio de espera W s 4,505 min ( ) FERNANDO MORI - USJT 23

5) Num aeroporto de pista única, os aviões solicitam autorização para pouso a uma média de um em cada 5 minutos, com uma distribuição que pode ser aproximada por uma Poisson. Os aviões recebem autorização por ordem de chegada, ficando em espera os que não puderem aterrissar devido ao congestionamento do tráfego aéreo. O tempo que o avião aterrisse depende da experiência do piloto, podendo considerar-se exponencialmente distribuído com média de 3 minutos. Determine: a) o número de aviões em espera. b) o número médio de aviões que solicitaram autorização para aterrissar, mas que ainda se encontram em movimento. c) a probabilidade de um avião aterrissar em menos de 10 minutos após ter efetuado seu pedido de autorização. d) a probabilidade de que existam 3 aviões em espera. FERNANDO MORI - USJT 24

taxa de chegadas 1 avião 1 = avião/min 5 minutos 5 taxa de atendimento: 1 avião 1 = avião/min 3 minutos 3 fator de utilização 3 5 a) L f 1 2 5 ( ) 1 1 1 3 3 5 2 0,909 FERNANDO MORI - USJT 25

b) numero médio no sistema: L S 1,504 c) a probabilidade de aterrisar em menos de 10 minutos: P( t 10) e W S t w 1 7,519 10 7,519 P( t 10) e 0, 264 S Pt ( 10) 1 P(t 10) 0, 736 d) a probabilidade de termos mais de 3 aviões em espera P( x 3) 1 P( x 3) P( x 3) P P P P 0 1 2 3 3 2 P0 1 1 5 5 P P 1 1 0 P P 2 2 0 P P 3 3 0 6 25 18 125 54 625 Px ( 3) 0,8704 Px ( 3) 1 0,8704 0,1296 FERNANDO MORI - USJT 26

6) Um sistema de armazenamento de dados consiste de um disco rígido com uma única fila. Uma média de 10 requisições de armazenamento é feita por segundo. O tempo necessário para executar uma requisição é de 0,03 segundos. Supondo que os tempos entre chegadas e os tempos de serviço obedecem uma distribuição exponencial, determine: a) A probabilidade do disco rígido estar ocupado. b) O número médio de requisições presentes no sistema de armazenamento. FERNANDO MORI - USJT 27

7) Os caminhões de uma empresa de transportes chegam a estação de serviço da empresa, de acordo com um processo de Poisson, com uma taxa média de 10 por dia. A estação de serviço pode atender apenas um caminhão de cada vez sendo o tempo de serviço exponencialmente distribuído com média de 1/12 por dia. O custo de funcionamento da estação de serviço é $200,00 para a empresa, estimando-se que o custo de imobilização de um caminhão na estação de serviço durante um dia seja de $50,00.Pode-se reduzir o tempo de serviço médio para 1/15 por dia, com a compra de um novo equipamento, o que acarretará um aumento no custo diário de funcionamento da estação de serviço para $245,00. Será que tal atualização é economicamente atraente? FERNANDO MORI - USJT 28

8) Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas que param a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções: um reparador lento que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salario médio do reparador lento é $3,00 por hora e o do reparador rápido é $5,00 por hora. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total seja mínimo? Sabe-se que uma maquina parada implica um custo horário de $5,00. FERNANDO MORI - USJT 29

MODELO (M/M/S) : (PCPS/ / ) 1) é a taxa média de chegada (número de clientes por unidade de tempo). 2) µ é a taxa média de atendimento por atendente ( número de clientes ou unidades por unidade de tempo). 3) µ t é o tempo médio de atendimento (unidade de tempo por número de clientes ou unidades).... 1 t 4) S 2 é o número de atendentes. 5). FERNANDO MORI - USJT 30

6) É o fator de utilização condição < S. S. 7) P 0 é a probabilidade de não ter ninguém no sistema: P 0 S1 n s n0 1 1. n! S! 1 FERNANDO MORI - USJT 31

8) P n é probabilidade de ter n clientes ou unidades no sistema. n Pn. P0 n S n! ns Pn.. P0 n S S! 9) L f é o número médio na fila L f s P 0 S 1! S - 2 FERNANDO MORI - USJT 32

10) L s é o número médio no sistema. L s = L f + 11) E(W s ) é o tempo médio no sistema. w 12)W f é o tempo médio na fila. s w f L s L f FERNANDO MORI - USJT 33

Exercícios 9) Suponha que o tráfego de 1500 veículos/hora se aproxima de um túnel onde temos 3 postos de pedágio onde cada um deles atende em média 600 veículos/hora. Sabendo que as chegadas seguem a lei de Poisson e os tempos de serviço a lei exponencial, calcular: a) a probabilidade de ocorrer ociosidade total? b) a probabilidade de ter fila? c) o número médio de veículos na fila d) o número médio de veículos no sistema. e) o tempo médio gasto por veículo na fila. f) o tempo médio no sistema. FERNANDO MORI - USJT 34

1500 veiculos/hora 600 veiculos/hora 1500 2,5 600 S 3 1500 0,833 S. 3.(600) a) A probabilidade de não ter ninguém no sistema: 1 1 P 0 S 1 n s 1 0 (2,5) 2,5 1 2 3 2,. 5 2,5 1 n0 n! S! 1 0! 1! 2! 3! 1 0,833 P 0, 0449 0 FERNANDO MORI - USJT 35

b) probabilidade de ter fila P( fila) 1 ( P P P P ) P n P 0 P 1 P 2 n P n! 0, 0449 0 0 1 2 3 1 2,5.0,0449 0,1124 1! 2,5 2! 2.0, 0449 0,1404 3 2,5 P3.0, 0449 0,1170 3! P( fila) 1 (0, 0449 0,1124 0,1404 0, 1170) 0,5853 c) numero médio de veículos na fila L f s P 3 (2,5).600.1500.0, 0449 0 S 1! S - 2! 1800 1500 2 2 3,5078 veiculos FERNANDO MORI - USJT 36

d) numero médio de veiculos no sistema L L s s L f 3,5078 2,5 6, 0078 veiculos e) tempo médio na fila W f EL ( f ) 3,5078 0, 0023h 8, 4188 segundos 1500 f) tempo médio no sistema W s Ls 6, 0078 0,0040h 14, 418 segundos 1500 FERNANDO MORI - USJT 37

10) Um pequeno banco tem 2 caixas que são igualmente eficientes e capazes de atender uma média de 60 transações de clientes por hora, sendo o tempo de atendimento exponencialmente distribuído. O processo de chegada dos clientes ao banco segue a distribuição de Poisson com taxa média de 100 por hora.determine: a) A probabilidade de que existam mais do que 3 clientes no banco ao mesmo tempo. b) A probabilidade de um caixa estar desocupado. FERNANDO MORI - USJT 38

11) O departamento de estradas tem 3 equipes que são chamadas constantemente e cujo trabalho é analisar as condições das estradas nas proximidades de cada acidente fatal. As equipes são igualmente eficientes, cada uma trabalha em média 2 dias para investigar um acidente e produzir o respectivo relatório, sendo o tempo exponencialmente distribuído. O numero de acidentes fatais nas estradas segue um processo de Poisson com uma taxa média de 300 por ano. Determine: a) Qual o intervalo de tempo entre um acidente fatal e o inicio de sua investigação? b) Quanto tempo é gasto, em média, para o departamento completar seu trabalho após a ocorrência de um acidente? FERNANDO MORI - USJT 39

12) Um setor de atendimento está considerando as seguintes opções para melhorar o atendimento as pessoas: Opção 1: Temos 3 atendentes que realizam o atendimento a partir de uma única fila. Cada atendente preenche o formulário na frente da pessoa. O tempo médio d processamento desta atividade é 10 minutos, sendo que o tempo entre chegadas obedece uma distribuição exponencial. Opção 2: Cada pessoa preenche seu formulário sem a ajuda do atendente. O tempo que as pessoas levam na execução desta tarefa é em média de 8 minutos. Quando a pessoa preencheu seu formulário ela se junta a uma fila e espera por uma dos atendentes conferirem seu formulário. O atendente leva uma média de 3 minutos (exponencialmente distribuídos) para realizar esta tarefa. O tempo entre chegadas das pessoas obedece uma distribuição exponencial com média de 3,8 pessoas por hora. Qual opção permite que as pessoas gastem o menor tempo possível no setor? FERNANDO MORI - USJT 40

Modelo m/m/1/k/pcps No modelo m/m/1/k/fifo os tempos entre chegadas sucessivas e os tempos de atendimento seguem distribuições exponenciais de parâmetros e respectivamente. Existe um único posto de atendimento que atende os usuários na ordem de chegadas. Entertatnto as taxas de ingresso no sistema n difere da taxa de chegadas para n k tendo em vista a existência de limitação na capacidade do sistema ( k). No sistema a fila só pode ser de k elementos. Quando o sistema estiver cheio o próximo usuário não pode entrar no sistema havendo assim uma taxa de usuários perdidos. FERNANDO MORI - USJT 41

As probabilidades são: 1) Probabilidade de não termos nenhum usuário no sistema: P 0 1 se =1 k 1 1 se 1 k 1 1 sendo 2) Probabilidade de termos n usuários no sistema: se 0 nk P n 1 se 1 k 1 n (1 ) se 1 k 1 1 FERNANDO MORI - USJT 42

As medidas de desempenho do sistema com fila são: 1) Numero médio de usuários no sistema (L): L s k se 1 2 k 1 k 1 k ( k 1) k 1 (1 )(1 ) se 1 2) Numero médio de usuários na fila (Lq): L L 1 P f s 0 FERNANDO MORI - USJT 43

3) Tempo médio de permanecia no sistema (W): W s L (1 P ) k sendo ' (1 P ) a taxa de rejeição do sistema k 4) Tempo médio de espera na fila (Wq): 1 Wf Ws FERNANDO MORI - USJT 44

Exercícios 13) Em um posto de gasolina os carros chegam em média de 4 em 4 minutos e temos um único atendente cujo tempo de atendimento obedece uma distribuição exponencial com média de 3 minutos. O posto tem espaço para sete veículos apenas, incluindo o que está sendo atendido. Determine: a) A probabilidade de um veiculo que chega encontrar uma fila. b) A quantidade média de veículos perdida. c) O tempo médio gasto por um veiculo para deixar o posto. d) O numero médio de veículos na fila. FERNANDO MORI - USJT 45

Exercícios 14) Em uma empresa as maquinas estão sendo atendidas por uma única ponte rolante. Quando uma máquina termina sua carga de matéria prima, a ponte é chamada para descarregar a maquina e fornecer a mesma uma nova carga a partir de uma área de armazenamento adjacente. As maquinas solicitam carga de acordo com uma distribuição exponencial com média de 30 minutos. O tempo do momento que a ponte rolante se move para atender a maquina até que uma nova carga seja instalada obedece uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Só pode haver dez maquinas esperando pela carga da ponte rolante. a) Determine a porcentagem do tempo que a ponte está ociosa. b) Qual o numero médio de maquinas esperando pelo serviço da ponte rolante? c) O que você acha, vale a pena instalar uma outra ponte? FERNANDO MORI - USJT 46

Modelo Básico com uma fonte limitada O modelo com uma fonte limitada é uma modificação dos modelos com população infinita. Neste caso a população de visita ou solicitante é finita. Representando por k o tamanho desta população temos o modelo: (m/m/1):(pcps/k/k). A aplicação mais importante desse modelo é o atendimento de maquinas onde podemos ter um ou mais operadores ou reparadores designados para a operação e manutenção de um certo grupo de maquinas k. São essas maquinas que constituem a fonte de visita. Cada uma é considerada como um cliente no sistema de fila quando está quebrada ou esperando(ou sendo servida) e fora do sistema enquanto está trabalhando. Deve-se observar ainda que cada membro da população finita alterna-se entre estar dentro ou estar fora do sistema de fila. FERNANDO MORI - USJT 47

Sendo k a população temos as probabilidades: 1) Probabilidade do sistema estar ocioso: P 0 k n0 1 k! n ( k n)! com 2) A probabilidade de termos n usuários no sistema: k! n P n P0 se 1 n k ( k n)! FERNANDO MORI - USJT 48

As medidas de desempenho do sistema são: 1) Numero médio de usuários na fila: L f k (1 P0 ) 2) Numero médio de usuários no sistema: L f k (1 P0 ) 3) Tempo médio que o usuário gasta na fila: 4) Tempo que o usuário gasta no sistema: W f k ( )(1 P0 ) (1 P ) 0 W s k (1 P) (1 P ) 0 0 FERNANDO MORI - USJT 49

Exercicios 15) Demonstrou-se mediante estudos estatísticos que as falhas de quatro maquinas ocorrem aleatoriamente, sendo uma hora o tempo entre as falhas e que o operário leva 1/8 h para consertar a maquina paralisada. a) Calcular o numero médio na fila e no sistema. b) Calcular o tempo médio na fila e no sistema. c) Supondo que o custo de maquina por hora é de $15,00 custo do operário é $3,00/h e o custo do reparo é $4,00/h (feito por outra equipe) qual é o custo de falhas das maquinas? OBS: Adotar o modelo (m/m/1):(pcps/4/4) FERNANDO MORI - USJT 50

16) Uma empresa decidiu utilizar oficinas localizadas na sua região de vendas para atender os caminhões de entrega. O vice presidente de marketing está bastante ansioso que o serviço e a manutenção requeridas não atrapalhem o serviço de entrega. Como os caminhões operam 24 horas por dia, eles podem chegar a qualquer hora para serem atendidos. Uma oficina tem condições de atender 10 caminhões num período de 8 horas. O vice presidente quer que apenas 50% dos caminhões que chegam tenham que esperar. a) Quantos caminhões devem ser atendidos por cada oficina? b) Nas condições do item a) qual é o tempo médio perdido no sistema para um período de 8 horas? Use o modelo (m/m/1):(pcps/k/k). FERNANDO MORI - USJT 51

Modelo (m/m/s):(pcps/k/ ) Neste modelo o numero máximo no sistema é k com k<s, onde s é o numero de atendentes. Usando: e As probabilidades são: s 1) A probabilidade do sistema estar ocioso: 1 P0 s n s k ( n s) 1 n1 n! s! ns1 2) A probabilidade de termos n usuários no sistema, sendo n<k: n P0 para n 1, 2,3,..., s n! n Pn P ( ) 0 para n s 1, s 2,... k ns s!s 0 para n k FERNANDO MORI - USJT 52

As medidas de desempenho do sistema são: 1) Numero médio de usuários na fila: P s 0 ( k s) ( k s) L f 1 ( k s) (1 ) 2 s!(1 ) 2) Numero médio de usuários no sistema: L s L f (1 Pk ) 3) Tempo médio que o usuário gasta na fila: W f L (1 P ) f k 4) Tempo médio que o usuário gasta no sistema: Ls Ws (1 P ) k FERNANDO MORI - USJT 53

Caso particular em que 1 então : P 0 s1 n0 1 n s ( k s1) n! s! s Neste caso a taxa efetiva de chegada também será: ' (1 ) P k FERNANDO MORI - USJT 54

Exercícios 17) Considere um sistema de inspeção de veículos com 3 estações de atendimento que atendem um veiculo por vez. Os veículos esperam de tal forma que quando uma das estações fica desocupada, o veiculo que esta em primeiro lugar na linha de espera dirige-se a mesma. O sistema pode acomodar no máximo 4 veículos em espera(portanto a capacidade do sistema é 7). A distribuição de chegadas é exponencial com taxa de 1 veiculo por minuto, e a taxa de atendimento também é exponencial com tempo médio de atendimento de 6 minutos. Determine: a) O numero médio na fila e no sistema. b) O tempo médio na fila e no sistema. c) O numero médio de veículos que não podem entrar no sistema. FERNANDO MORI - USJT 55

18) Uma oficina de consertos de motores funciona com dois mecânicos que executam revisão desses motores. A oficina pode abrigar no máximo 5 veículos, excluindo os que estão sendo atendidos pelos mecânicos. Os clientes chegam a oficina a cada 5 minutos em média em mecânico demora em média 10 minutos para concluir a revisão do motor. O intervalo entre chegadas e o tempo de serviço obedecem distribuições exponenciais. Determine: a) Numero médio de mecânicos ociosos. b) Quantidade de negócios perdidos para a concorrência por dia de 10 horas por causa da capacidade limitada da oficina. c) Probabilidade do próximo cliente a chegar e ser atendido pela oficina. FERNANDO MORI - USJT 56

Modelo (m/m/s):(pcps/k/ k) Neste modelo o numero máximo no sistema é k com k<s, onde s é o numero de atendentes. A população é finita com k usuários. Usando: As probabilidades são: 1) A probabilidade do sistema estar ocioso: 1 P0 s1 n k n k! k! n0 ( k n)!n! ns ( k n)! s!s 2) A probabilidade de termos n usuários no sistema, sendo n<k: ns n k! P0 para n 1, 2,3,..., s ( k n)! n! n k! Pn P ( ) 0 para n s 1, s 2,... k ns ( k n)! s!s 0 para n k FERNANDO MORI - USJT 57

As medidas de desempenho do sistema são: 1) Numero médio de usuários na fila: k L ( n s) P f ns n 2) Numero médio de usuários no sistema: s1 s1 L L np s(1 P ) s f n n n0 n0 3) Tempo médio que o usuário gasta na fila: W f L f ef 4) Tempo médio que o usuário gasta no sistema: Ls Ws ef FERNANDO MORI - USJT 58

Neste caso a taxa efetiva de chegada também será: ef (k L ) s FERNANDO MORI - USJT 59

19) A empresa 4M possui um único torno revolver como principal maquina de usinagem. As tarefas chegam a esta maquina de acordo com um processo de Poison com uma taxa media de 2 por dia. O tempo médio para realizar cada tarefa tem uma distribuição exponencial com media de ¼ de dia. Como as tarefas são volumosas, aquelas que estão sendo trabalhadas no momento estão sendo armazenadas em uma sala a certa distancia da maquina. Para poupar tempo na produção de tarefas, o gerente esta propondo adicionar espaço de armazenagem para produtos em fabricação suficiente próximo ao torno revolver para acomodar 3 tarefas além daquela que esta sendo processada no momento. Tarefas em excesso continuarão a era armazenadas na sala distante. Determine que proporção de tempo esse espaço de armazenamento é adequado para acomodar todas as tarefas em espera? FERNANDO MORI - USJT 60

18) O pátio de estacionamento de um shopping center tem espaço para 84 carros. Supor que os carros chegam de acordo com o modelo de Poison com taxa de 4 carros por minuto e o tempo de ocupação de um uma vaga no estacionamento obedece uma distribuição exponencial com média de 16 minutos. a) Qual a proporção de tempo que o sistema esta bloqueado? b) Caso fosse aumentada a capacidade para 196 carros pois a taxa de chegadas aumentou para 11 carros por minuto, permanecendo o mesmo tempo médio de ocupação do local, qual seria a taxa de veículos que encontrariam o estacionamento lotado? FERNANDO MORI - USJT 61

19) Um centro de computação esta equipado com três maquinas iguais. O numero de usuários no centro em qualquer instante é sempre igual a 10. Para cada usuário, o tempo de digitação é exponencial com taxa de 0,5 programa por hora. Uma vez que o programa está completo, é executado. O tempo de maquina por programa é exponencial com média de 2 programas por hora. Supondo que o centro opere o dia inteiro, e desprezando os efeitos de quebra ou manutenção determine: a) A probabilidade de um programa não seja executado imediatamente após ter sido recebido para execução. b) O tempo médio ate que um programa seja liberado pelo centro. c) O tempo médio que um programa fica esperando ate ser executado. d) O numero esperado de computadores ociosos. FERNANDO MORI - USJT 62

Referências Bibliográficas 1. Maria Cristina Fogliatti e Neli Maria Costa Mattos; Teoria das Filas, Editora Interciencia, Rio de janeiro, 2007. 2. Darci Prado; Teoria das Filas e da Simulação; Série Pesquisa Operacional, Volume 3, INDG, Belo Horizonte, 2004. COPYRIGHT BY FERNANDO MORI - USJT 2010 63