P1 CORREÇÃO DA PROVA GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR
1. Sejam dois pontos A e B cujas coordenadas geográficas são: Pede-se: PONTO φ λ A 35 15 22 S 72 38 12 W B 35 15 22 S 27 38 12 W 1a) Determinar a distância em km, entre os pontos A e B ao longo do paralelo que ambos pertencem. 1b) Determinar o comprimento da ortodrômica em km, entre os pontos A e B. 1c) Determinar a diferença entre os itens calculados (a) e (b). Explique o motivo desta diferença.
1a) Determinar a distância em km, entre os pontos A e B ao longo do paralelo que ambos pertencem. PONTO φ λ A 35 15 22 S 72 38 12 W B 35 15 22 S 27 38 12 W mesma latitude mesmo paralelo Valor do raio da Terra esférica (na prova) R=6378,000 km O valor + próximo é 6372,000 km λ AB = λ B λ A = 27 38 12 ( 72 38 12 ) Δλ AB = 45 Então R p = 6378 km. cos( 35 15 22") R P = 5208,147 km S = R P. Δλ = 5208,147.45. S = 4090,469 km conversão para radianos π 180
1b) Determinar o comprimento da ortodrômica em km, entre os pontos A e B. mesma latitude mesmo paralelo (φ A = φ B = φ = 35 15 22") λ AB = λ B λ A = 27 38 12 ( 72 38 12 ) Δλ AB = 45 cos d AB = sen(φ A ). sen(φ B ) + cos(φ A ). cos(φ B ). cos Δλ AB cos d AB = 0,804697956 d AB = arccos(0,804697956) d AB = 36 25 08,06" Convertendo para medida linear: D AB = R. d AB. π 180 = 36 π 25 08,06". 6378,000. 180 D AB = 4054, 047 km
1c) Determinar a diferença entre os itens calculados (a) e (b). Explique o motivo desta diferença. Motivo: diferença = S D AB = 4090,469 4054,047 = 36,422 km S distância ao longo do paralelo (curva) é um arco de circunferência menor, quando φ 0 (Equador) Não é uma reta! D AB ortodrômica distância ao longo de uma circunferência máxima (curva). É o menor caminho, como mostram os resultados.
2. Esboce a nova posição dos eixos dos sistemas após a aplicação das matrizes de rotação. Quando for o caso indique com uma seta o movimento aplicado e a posição do ângulo de rotação.
D reflexão L rotação D reflexão Z 30 X X Y 30 rotação rotação L D Y Y 45 45 60 Z 60 X SISTEMA ANTI- HORÁRIO HORÁRIO DEXTROGIRO D + - LEVOGIRO L - +
3) Três pontos topográficos (P1, P2 e P3) estão sobre um mesmo alinhamento. As coordenadas de dois pontos são fornecidas abaixo: Ponto X(m) Y(m) Z(m) P1 300,000 400,000 500,000 P2 500,000 400,000 300,000 Calcular as coordenadas cartesianas tridimensionais do ponto P3, sabendo que se o mesmo se encontra a distâncias iguais dos pontos P1 e P2.
Ponto X(m) Y(m) Z(m) P1 300,000 400,000 500,000 P2 500,000 400,000 300,000 Solução rápida: ponto a distâncias iguais = ponto médio X P3 = X P1 + X P2 2 = 300,000 + 500,00 2 X P3 = 400,000 m Y P3 = Y P1 + Y P2 2 = 400,000 + 400,00 2 Y P3 = 400,000 m Z P3 = Z P1 + Z P2 2 = 300,000 + 500,00 2 X P3 = 400,000 m
4) Considerando a Terra suposta esférica, apresente as definições, e convenções quando necessário, para as seguintes terminologias: 4a) Latitude geográfica 4b) Longitude geográfica 4c) Loxodrômica 4d) Ortodrômica 4e) Circunferência máxima
Latitude geográfica (φ) 4a) Latitude geográfica É o arco de meridiano contado desde o Equador até o ponto considerado. Convenções: Positiva no Hemisfério Norte (N) varia de 0 a +90 Negativa no Hemisfério Sul (S) varia de 0 a -90
Longitude geográfica (λ) 4b) Longitude geográfica É o arco de Equador contado desde o Meridiano de Greenwich até o meridiano do ponto considerado. Convenções: Positiva a leste do Meridiano de Greenwich (E) varia de 0 a +180 Negativa a oeste do Meridiano de Greenwich (W) varia de 0 a -180
4c) Loxodrômica LOXODRÔMICA É a linha na superfície da Terra, faz um ângulo constante (rumo/azimute) com todos os meridianos. Tem o formato de espiral
4d) Ortodrômica ORTODRÔMICA É a menor distância entre dois pontos na esfera. Possui rumo/azimute variável. É um arco de círculo máximo. Fonte: R.E. DEAKIN and M.N. HUNTER,2010
Círculo máximo (ou circunferência máxima): Toda a circunferência da superfície esférica que contém o centro da esfera. 4e) Circunferência máxima Círculo menor: Não contém o centro da esfera
5. Seja o modelo de transformação do sistema XYZ, para o sistema, X Y Z, ambos dextrogiros: X Y Z = R 1 ( 30 00 00"). R 3 +70 00 00" X Y Z + +254,654 m 001,243 m +115,994 m Determine as coordenadas X Y Z do ponto A, sabendo que: Ponto X(m) Y(m) Z(m) A 100,000-100,000-100,000
X Y Z = R 1 ( 30 00 00"). R 3 +70 00 00" X Y Z + +254,654 m 001,243 m +115,994 m X Y Z = 1 0 0 0 cos( 30 ) sen( 30 ) 0 sen( 30 ) cos( 30 ) cos (70 ) sen(70 ) 0 sen(70 ) cos (70 ) 0 0 0 1 X Y Z + +254,654 m 001,243 m +115,994 m X Y Z = cos(70 ) sen(70 ) 0 cos 30. sen(70 ) cos 30. cos(70 ) sen( 30 ) sen 30. sen(70 ) sen 30. cos(70 ) cos( 30 ) X Y Z + +254,654 m 001,243 m +115,994 m X = cos 70. X + sen 70. Y + 254,654 m Y = cos 30. sen 70. X + cos 30. cos 70. Y + sen 30. Z 001,243 m Z = sen 30. sen 70. X sen 30. cos 70. Y + cos 30. Z + 115,994 m Substituindo as coordenadas do ponto A, temos que: X = 194,887 m Y = 62,243 m Z = 34,694 m
6. Considere a descrição do sistema X Y Z : O centro do sistema coincidente com o centro de massa da Terra, o eixo X apontando para a interseção do meridiano com λ=80 E e o Equador terrestre, o eixo Y apontando para a interseção do meridiano com λ=10 W e o Equador terrestre e o eixo Z coincidente com o eixo de rotação apontando para o polo sul da Terra. Faça a representação deste sistema no esquema da Terra esférica abaixo. Em seguida, apresente a sequência de transformação necessária de transformação deste sistema X Y Z para o sistema cartesiano tridimensional convencional XYZ.
O centro do sistema coincidente com o centro de massa da Terra, o eixo X apontando para a interseção do meridiano com λ=80 E e o Equador terrestre, o eixo Y apontando para a interseção do meridiano com λ=10 W e o Equador terrestre e o eixo Z coincidente com o eixo de rotação apontando para o polo sul da Terra. Ambos os sistemas são dextrogiros Não é preciso fazer reflexão Duas rotações são suficientes Problema com soluções diversas Y 10 W 80 E X Origem de ambos os sistemas é a mesma não são necessárias translações Z
O centro do sistema coincidente com o centro de massa da Terra, o eixo X apontando para a interseção do meridiano com λ=80 E e o Equador terrestre, o eixo Y apontando para a interseção do meridiano com λ=10 W e o Equador terrestre e o eixo Z coincidente com o eixo de rotação apontando para o polo sul da Terra. Objetivo: Coincidência dos eixos Z e Z Z Ação: Rotação de 180 em Y (ou em X ) X Y 10 W
O centro do sistema coincidente com o centro de massa da Terra, o eixo X apontando para a interseção do meridiano com λ=80 E e o Equador terrestre, o eixo Y apontando para a interseção do meridiano com λ=10 W e o Equador terrestre e o eixo Z coincidente com o eixo de rotação apontando para o polo sul da Terra. Objetivo: Coincidência do eixo X em X Coincidência do eixo Y em Y Ação: Rotação anti-horária de 100 (90 +10 ) em Z Z X Y 10 W
O centro do sistema coincidente com o centro de massa da Terra, o eixo X apontando para a interseção do meridiano com λ=80 E e o Equador terrestre, o eixo Y apontando para a interseção do meridiano com λ=10 W e o Equador terrestre e o eixo Z coincidente com o eixo de rotação apontando para o polo sul da Terra. X Y Z = R 3 100. R 2 180. X Y Z X Y Z = R 3 80. R 1 180. X Y Z X Y Z = R 1 180. R 3 80. X Y Z Y 10 W 80 E X X Y Z = R 2 180. R 3 100. X Y Z Z
7. O ponto A possui as seguintes coordenadas geográficas: φ A = 15 15 15" N; λ A =42 58 00" W Determinar as respectivas coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6378, 000 km). X A = R. cos φ A. cos λ A X A = 6378. cos( 15 15 15").cos ( 42 58 00") X A = 4502, 673 km Y A = R. cos φ A. sen λ A Y A = 6378. cos( 15 15 15").sen( 42 58 00") Y A = 4193, 916 km Z A = R. sen φ A Z A = 6378. sen( 15 15 15") Z A = 1678, 061 km
8. Uma estação total foi instalada, centrada e calada na posição denominada de P1. A altura de instalação do instrumento foi de 1,358 m. Orientou-se o equipamento em relação à direção norte e, visou dois alvos de interesse (A1 e A2). Após o processamento dos dados mensurados, obtiveram-se as seguintes informações: Distância Ponto ocupado Ponto visado Azimute Ângulo Zenital inclinada A1 64 51 04 113 45 22 59,775 m P1 A2 297 38 19 83 12 50 67,294 m
8a) Calcular as coordenadas tridimensionais dos alvos, utilizando um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais cuja origem situa-se no ponto cardã da estação total, o eixo z na direção da vertical, apontando positivo para o zênite, o eixo y na direção do norte e o eixo x completando o terno dextrogiro. Origem no ponto cardã (X 0 = Y 0 = Z 0 = 0,000 m) X = di sen Z sen Az Y = di sen Z cos Az Z = di cos Z ALVO X(m) Y(m) Z(m) A1 +49,524 +23,250-24,080 A2-59,198 +30,999 +07,952
8b) Calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (X,Y,Z ), transladando-se a origem do sistema para o alvo A2, e aplicando uma reflexão no eixo Z. Origem no ponto A2 + reflexão do eixo Z X = X X A2 Y = Y Y A2 Z ALVO X (m) Y (m) Z (m) = Z Z A2 A1 108,722-7,749 32,032 A2 0,000 0,000 0,000
8c) A partir do sistema definido no item anterior (X,Y,Z ), calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (X,Y,Z ), transladando na vertical a origem do sistema para que esta seja coincidente com a coordenada Z do ponto P1 ocupado pela estação total, no sistema de origem. Z = Z (7,592 + 1,358) Z ALVO X (m) Y (m) Z (m) A1 108,722-7,749 22,722 A2 0,000 0,000-9,310 A2 (7,592 m) A2 (0,000 m) A2 (-9,310 m) 9,310 m 7,592 m ponto cardã (0,000 m) 1,358 m (7,592 m) (-1,358 m) P1 (-1,358 m) P1(9,310 m) P1(0,000 m) Z inversão do sentido Z