Álgebra de Boole Sistema de Numeração e Códigos Prof. Ubiratan Ramos
Sistemas Numéricos Regras para formação: símbolos e posição Por que base 10? Potência de 10 (raiz ou base 10) Representação na Forma Polinomial (FP) 2
Sistema de Numeração Decimal Dígitos com algarismos (símbolos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ex: 486 10 (forma posicional) = 400 + 80 + 6 = 4x100 + 8x10 + 6x1 = 4x10 2 + 8x10 1 + 6x10 0 (forma polinomial) Ex: 36,04 10 = 30 + 6 + 0,0 + 0,04 = 3x10 + 6x1 + 0x0,1 + 4x0,01 = 3x10 1 + 6x10 0 + 0x10-1 + 4x10-2 3
Sistema de Numeração Decimal Forma genérica (forma polinomial) D = d m-1 x10 m-1 + d m-2 x10 m-2 +...+ d 1 x10 1 + d 0 x10 0 + + d -1 x10-1 + d -2 x10-2 +...+ d -n+1 x10 -n+1 + d -n x10 -n Onde: 10: base decimal m-1 a 0: parte inteira do número (m é o número de algarismos na parte inteira) -1 a -n: parte fracionária do número (n é o número de algarismos na parte fracionária) d m-1 : dígito mais significativo (MSD) d -n : dígito menos significativo (LSD) 4
Sistema Genérico de Numeração Forma genérica D = d m-1 xr m-1 + d m-2 xr m-2 +...+ d 1 xr 1 + d 0 xr 0 + + d -1 xr -1 + d -2 xr -2 +...+ d -n+1 xr -n+1 + d -n xr -n D m 1 d r i i i n r: base genérica MSD (dígito mais significativo) LSD (dígito menos significativo) Ex: 13496,12 5
Sistema de Numeração Binário Dígitos com algarismos (símbolos): 0,1 B = b m-1 x2 m-1 + b m-1 x2 m-2 +...+ b 1 x2 1 + b 0 x2 0 + + b -1 x2-1 + b -2 x2-2 +...+ b -n+1 x2 -n+1 + b -n x2 -n B m 1 b i i n 2 i 6
Sistema de Numeração Binário Ex: 10101,1111 2 = 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + + 1 x 0,5 + 1 x 0,25 + 1 x 0,125 + 1 x 0,0625 = 21,9375 10 7
Sistema de Numeração Octal Dígitos com algarismos (símbolos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ex: 37 8 = 3 x 8 1 + 7 x 8 0 = 24 + 7 = 31 10 8
Sistema de Numeração Hexadecimal Dígitos com algarismos (símbolos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Ex: 1AE H = 1 x 16 2 + 10 x 16 1 + 14 x 16 0 = = 256 + 160 + 14 = 430 10 9
Conversão entre Bases Binário, Octal e Hexadecimal para Decimal: Utilizar a Forma Polinomial para encontrar o valor. K m 1 i n k i r i 10
Conversão entre Bases Decimal para Binário, Octal e Hexadecimal (parte inteira): MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Ex: 54 10 =? 2 110110 2 54 2 0 27 2 1 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 11
Conversão entre Bases 8 Ex: 321 10 = 501? 321 8 8 1 40 8 0 5 8 5 0 5 Ex: 57 10 =? 212 57 5 5 2 11 5 1 2 5 2 0 12
Conversão entre Bases 16 Ex: 795 10 = 31B? 795 16 H 11 49 16 1 3 16 3 0 16 Ex: 874 10 = 36A? 874 16 H 10 54 16 6 3 16 3 0 13
Conversão entre Bases Parte fracionária: Método das Multiplicações Sucessivas Multiplicar o número decimal pela base sucessivamente Ex: 0,31947 10 = 0,010100? 2 2 0,31947 x 2 = 0,63894 0,63894 x 2 = 1,27788 0,27788 x 2 = 0,55576 0,55576 x 2 = 1,11152 0,11152 x 2 = 0,22304 0,22304 x 2 = 0,44608... 14
Conversão entre Bases Parte fracionária: Método das Multiplicações Sucessivas Multiplicar o número decimal pela base sucessivamente Ex: 0,9156 10 =? 0,EA64C 16 16 0,9156 x 16 = 14,6496 0,6496 x 16 = 10,3936 0,3936 x 16 = 6,2976 0,2976 x 16 = 4,7616 0,7616 x 16 = 12,1856... 15
Conversão entre Bases 16
Conversão entre Bases Binário <-> Octal Método da Codificação Bin Oct 5 1 6 4 101001110100 4 5 2 3 100101010011 3 5 6 0 011101110000 1 7 2 4 001111010100 17
Conversão entre Bases Binário <-> Hexadecimal Método da Codificação Bin Hexa A 7 4 101001110100 9 5 3 100101010011 001010000010 2 8 2 011111000001 7 C 1 18
Conversão entre Bases Octal <-> Binário Método da Codificação Oct Bin 4 0 5 3 100000101011 3 4 1 2 011100001010 2 4 5 7 010100101111 0 6 1 3 000110001011 19
Conversão entre Bases Hexadecimal <-> Binário Método da Codificação Hexa Bin A 7 4 101001110100 9 5 3 100101010011 001010000010 2 8 2 011111000001 7 C 1 20
Conversão entre Bases 21
Operações Numéricas Soma e Subtração Decimal (relembrando) Vem-1 ou Borrow 1 1 3 1 7 + 9 6 4 1 3 Vai-1 ou Carry 9 2 3-4 9 8 7 4 22
Operações Numéricas Soma Aritmética em Binário 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 e Vai-1 (10) 1+1+1=1 e Vai-1 (11) Ex: 987 + 123 1 1 Transbordo ou overflow 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 + 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 _ 1 1 Vai-1 ou Carry 23
Operações Numéricas Subtração Aritmética em Binário 0-0=0 0-1=1 (Vem-1) 1-0=1 1-1=0 Ex: 987-123 Vem-1 ou Borrow 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1-1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 24
Representação Números Negativos Sinal-módulo O bit mais significativo é o sinal, onde 0 = positivo e 1 = negativo Ex.: 10010101 B = -21 10 01100010 B = +98 10 Complemento de 1 É o número binário complementado (bits invertidos) Ex.: 10010101 B = 01101010 C,1 01100010 B = 10011101 C,1 25
Representação Números Negativos Complemento de 2 É o número binário complementado (bits invertidos) e adicionado de 1. Ex.: 10010101 B = 01101011 C,2 01100010 B = 10011110 C,2 Algoritmo para efetuar o Complemento de 2: Reescrever o número binário da direita para a esquerda, copiando-o bit a bit. Quando encontrar o primeiro 1, copiar este e inverter todos os bits que vierem a seguir. 26
Representação Números Negativos Ex.: N = 0111 2 N = 1000 2 C 2 = 1000 2 + 1 2 = 1001 2 Ex.: N 2 =0100101110 2 N C,2 =1011010010 2 27
Representação Números Negativos Subtração com complemento de 2 Ex: 12 5 = 7 12 + (-5) = 7 1100 <------ Binário de 12 + 1011 <- C2 do Binário de 5 10111 <-Resultado da adição 0111 <- Reservar a quantidade de dígitos da operação 28
Representação Números Negativos Subtração com complemento de 2 Ex: 12 15 = -3 12 + (-15) = -3 1100 <- Binário de 12 + 0001 <- C2 do Binário de 15 1101 <- Resultado da adição é negativo e igual a -3 0011 <- Complemento de 2 comprova o resultado 29
Operações Numéricas Multiplicação Aritmética em Binário 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Ex: 987 x 5 = 4.935 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 x 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 30
Operações Numéricas Divisão Aritmética em Binário Ex: 985 5 = 197 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 31
Códigos Especiais Código Gray (valores adjacentes diferem entre si de apenas 1 bit). Ex.: disco de rotação e posicionamento, Mapa de Veitch- Karnaugh. 32
Códigos Especiais Construção do Código Gray: Regras De Binário para Código Gray Para converter binário em Gray, comece com o bit binário mais significativo e use-o como o Gray MSB. Em seguida, compare o binário MSB com o próximo bit binário; se eles forem iguais, então o bit na codificação Gray será 0; se forem diferentes, será 1. Repita a operação até o último bit. 33
Códigos Especiais Construção do Código Gray: Regras De Código Gray para Binário Para converter Gray em binário, comece com o bit Gray mais significativo e use-o como o binário MSB. Nos passos seguintes, cada bit binário é obtido comparando-se o bit binário à esquerda com o bit correspondente em Código Gray. Bits similares produzem um 0 e bits diferentes produzem um 1. 34
Códigos Especiais Construção do Código Gray: espelhamento 35
Códigos Especiais Complemento de 2 & Código Gray 36
Códigos Especiais Código BCD (Binary Coded Decimal). Ex.: display de 7 segmentos 8 7 4 100001110100 9 4 3 100101000011 011010000011 6 8 3 011111000001 7 Erro 1 137 10 = 10001001 2 137 10 = 000100110111 BCD 37
Códigos Especiais Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 38
Método de Detecção de Erro - Paridade Transmissor Receptor Adição de 1 bit para indicar a quantidade de 1 s Paridade par: bit adicionado para que a quantidade de 1 s seja PAR Paridade ímpar: bit adicionado para que a quantidade de 1 s seja ÍMPAR Se paridade par: 10000110 x1 Se paridade ímpar: 10000110 x0 39
Notas Importantes Binário, qual o maior número que pode ser representado usando-se 8 bits? : 2 n 1= 256-1=255 10 = 1111 1111 B = 377 8 = FF H 40
Notas Importantes 5V Binário 1 2,5V 0,8V Binário 0 41