CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO)

ELINTON LUIZ LEGUENZA, RENÊ ROBERT E JOSÉ. A. GIACOMETTI CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) ROBERTO SELOW Professor - Engenharia Elétrica e Engenharia da Computação - UnicenP/Centro Universitário Positivo rselow@unicenp.edu.br SÉRGIO LUIZ VEIGA Professor - Engenharia Elétrica - UnicenP/Centro Universitário Positivo slveiga@unicenp.edu.br da Vinci, Curitiba, v. 2, n. 1, p. 143-154, 2005 155

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) RESUMO Este trabalho trata da implementação de um sistema de controle, utilizando as técnicas de controle ótimo com função de custo quadrático, em um processo químico. Como o modelo a ser controlado apresenta distúrbios significativos ao processo, foi necessária a utilização de um controlador do tipo LQG (Linear Quadrático Gaussiano). O controlador é do tipo MIMO 1, pois recebe informações de várias entradas e têm várias saídas. O trabalho está dividido em três seções. Na primeira seção é feita uma breve introdução ao tema. Na segunda seção é apresentado o desenvolvimento do projeto. Na terceira seção são apresentadas as conclusões e considerações finais. Palavras-chave: controle ótimo, controlador LQG, controle avançado. ABSTRACT This work deals with the implementation of a control system, using the techniques of optimum control with function of quadratic cost, in a chemical process. As the model to be controlled presents significant riots to the process, the use of a controller of type LQG was necessary (Linear Quadratic Gaussiano). The type of the controller is MIMO, therefore its receives information from some entrances and have several outputs. The article is divided in three sections. In the first section made a introduction to the subject. In the second section the development of the project is presented. In the third section the final conclusions and considerations are presented. Key words: optimum control, controller LQG, advanced control. 1 MIMO (multiple input single output) sistema de controle com várias entradas e várias saídas. 156

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) ROBERTO SELOW / SÉRGIO LUIZ VEIGA 1 INTRODUÇÃO Os sistemas modernos podem possuir muitas entradas e muitas saídas, as quais apresentam uma inter-relação complexa. Para analisar tais sistemas, é essencial reduzir a complexidade das expressões matemáticas, bem como recorrer aos computadores para resolver os cálculos necessários à análise. Uma das formas de simplificação da análise é a abordagem que utiliza as variáveis de estado 2. A teoria de controle convencional é baseada nas relações entrada-saída, ou seja, na função de transferência. A teoria moderna de controle se fundamenta na descrição por meio de um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem (OGATA, 1990), que podem ser combinadas formando uma equação diferencial vetor-matricial de primeira ordem. O uso da notação vetor-matricial simplifica de forma significativa a representação matemática de sistemas de equações. O aumento do número de variáveis de estado, do número de variáveis de entrada ou de saída não aumenta a complexidade das equações. Na realidade, a análise de sistemas complicados de entradas e de saídas múltiplas pode ser conduzida através de procedimentos que são apenas ligeiramente mais complicados que os requeridos na análise de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem escalares. 1.1 Variáveis de estados As variáveis de estado de um sistema dinâmico são as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1, x2,...,xn para descrever completamente o comportamento de um sistema (de modo que uma vez conhecidos os valores do sinal de entrada para t > t 0 e especificado o estado inicial em t=t 0, o estado futuro do sistema esteja completamente determinado), então as n variáveis são denominadas de variáveis de estado (FRANKLIN, POWEL e EMAMI-NAEINI). As variáveis de estado não precisam ser grandezas fisicamente mensuráveis ou observáveis. Variáveis que não representam grandezas físicas e aquelas que não são nem mensuráveis nem observáveis (ASTRON & B. WITTENWARK) podem ser escolhidas como variáveis de estado. Tal liberdade na escolha das variáveis de estado é uma vantagem dos métodos de espaço de estado. Em termos práticos, no entanto, é conveniente escolher grandezas facilmente mensuráreis para variáveis de estado, se isto for possível, pois as leis de 2 As variáveis de estado serão apresentadas na subseção 1.1 Variáveis de estado. 157

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) controle ótimo requerem a retroação de todas as variáveis de estado como ponderação adequada (ASTRON & B. WITTENWARK). 1.2 Equações no espaço de estados A análise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis: variável de entrada, variável de saída e variáveis de estado (MOSCINSKI e OGOROWSKI). Os sistemas devem envolver elementos que memorizem os valores de excitação para t > t 1. Uma vez que os integradores atuam nos sistemas de controle contínuos no tempo como dispositivo de memória, os sinais de saída de tais integradores podem ser considerados como valores das variáveis que definem o estado interno do sistema. Assim as variáveis de saída dos integradores servem como variáveis de estado. O número de estado com valores é:. O sistema pode, então, ser descrito por: O número de variáveis de estado, necessárias na definição completa de um sistema, é igual ao número de integradores envolvidos (MOSCINSKI e OGOROWSKI). Admitindo que um sistema multivariável (múltiplas entradas e múltiplas saídas) envolva n integradores. Suponha-se, também, que haja r sinais de entrada e m sinais de saídas. Definam-se as n variáveis de saída dos integradores como variáveis. Os valores dos sinais de saída do sistema são dados por: Definindo-se: 158

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA E tornando-se em: Se as equações apresentadas forem linearizadas em torno do estado de operação, resultam as seguintes equações para o estado e para a saída (STEIN e ATHANS, 1987): onde A(t) é dita a matriz de estado, B(t) a matriz de entrada, C(t) a matriz de saída e D(t) a matriz de transmissão direta. 1.3 Sistemas Monovariáveis Um processo é dito monovariável ou SISO (single input single output) se ele possui apenas uma entrada e uma saída (LUYBEN). Considerando um sistema linear monovariável, seu espaço de estado é dado por: onde A R nxn, B R nx1, C R 1xn e D R 1x1 e x(0) é o estado inicial do sistema. Para um sistema descrito por uma função de transferência estritamente própria (grau do numerador é menor ou igual ao do denominador), a matriz D é nula. 1.4 Sistema Multivariável Um processo é dito multivariável ou MIMO (multiple input single output) se ele possui várias entradas e várias saídas. Em geral o número de entradas deve ser maior ou igual ao número de saídas. 159

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) O comportamento dinâmico de um sistema multivariável ou MIMO é obtido a partir da solução de um sistema de equações diferenciais representado pelo modelo: onde A R nxn é a matriz de estado ou de evolução, B R nxnu é a matriz de entrada ou de controle, C R nyxn é a matriz de saída ou de observação e D R nyxnu é a matriz de acoplamento ou de transmissão direta. 1.5 Controlabilidade Um sistema é dito controlável se é possível encontrar um controle u(k) que permita levar o sistema de um estado x(k) a um estado x(k+1) em um tempo finito. Em geral o estado x(k) é o estado inicial e o instante de tempo k, o instante inicial. Esta condição nem sempre é possível de ser realizada, basta par isto que um ou mais estados não sejam influenciados pela entrada (LUYBEN). Seja com x R n. Este sistema é controlável se e só se rank(c) = n em que C=[B A.B A 2.B... A N-1.B] é a matriz de controlabilidade do sistema. 1.6 Observabilidade Um sistema é dito observável se para um dado intervalo [t 1, t 2 ] e uma entrada conhecida a priori, o conhecimento da saída permite determinar o estado inicial x(t 1 ) do sistema. Esta condição nem sempre é possível de ser realizada, basta para isto que um ou mais estados não influencie a saída. O sistema, y=c.x é observável, se para qualquer estado inicial x(0) existir um intervalo de tempo finito [0; T] tal que x(0) pode ser determinado a partir unicamente de y(t), com t [0; T]. Seja o sistema A.x e y=c.x, com x R n e y R. Este sistema é observável se, e somente se: rank(o) =n; 160

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA 2 PROJETO DE CONTROLE O sistema no qual será efetuado o estudo se refere a uma coluna de destilação extrativa industrial, que tem como objetivo separar água de isopropanol existente na alimentação (não serão dadas maiores explicações sobre o processo, pois não faz parte dos estudos aqui realizados). O modelo que descreve o sistema é apresentado abaixo: sendo: sendo w um ruído gaussiano que representa um desvio padrão de 0,5 e v um erro de medida também gaussiano com desvio padrão de 0,2. Considera-se W e V como as covariâncias destes de w e v. Na figura 1 é mostrado um modelo esquemático do sistema: Figura 1 - Modelo esquemático do sistema 161

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) Como pôde ser verificado nas equações, o modelo é do tipo MIMO, pois apresenta duas entradas e duas saídas. Uma das saídas y1 deverá seguir a referência R1 que se inicia no valor de 0.25 até o tempo de 2s, quando passará para o ponto de 0.5; devendo a saída y1 acompanhar esta mudança. A saída y2 deverá seguir a referência R2 que inicia em 0,5 até o tempo de 4s, neste ponto a referência muda para o valor de 1; devendo a saída y2 seguir esta variação. Como já comentado anteriormente o controle aqui desenvolvido será do tipo LQG (Linear Quadrático Gaussiano) devido às perturbações (v e w )existentes no sistema. Também serão considerados os seguintes valores de inicialização da equação de Riccati para o cálculo do valor de K (LQR) e L (LQG) respectivamente e. Na figura 2 é apresentada a resposta das saídas (y1 e y2) do sistema sem controle, sendo possível verificar que as respostas tendem a valores infinitos. Inicialmente será tratado do sistema como se não houvesse as perturbações (v e w) tornando assim o sistema possivelmente resolvível como um sistema do tipo LQR (Linear Quadrático), num próximo passo será projetado um tracking para garantir que o sistema acompanhe as mudanças de set-point. Depois de confirmado o funcionamento do sistema nas duas primeiras etapas, será implementado um sistema do tipo LQG onde os ruídos voltarão a fazer parte do sistema. Figura 2 Respostas das saídas y1 e y2. 2.1 Controlador Linear Quadrático O sistema LQR determina o vetor de controle u( t ) tal que o sistema seja otimizado seguindo o seguinte critério: Onde Q é uma matriz hermitiana ou real simétrica e definida positiva (ou semidefinida positiva) e R uma matriz hermitiana ou real simétrica e definida positiva. 162

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA Sendo que o novo u(t) do sistema será : u( t ) = -Kx (t) = -R -1 B t P c (t) x (t) onde P c e a resolução da equação de Riccati que é dada por: P c A + A t P c - P c B R -1 B t P c + Q = 0 Os valores de Q e R podem ser atribuídos de maneira aleatória, sendo que, à medida que se alteram os valores de Q e R, são também alteradas as especificações de projeto (tempo de subida, valores de ultrapassagem), então os valores de Q e R escolhidos deverão ser aqueles que melhor se aproximarem das respostas desejadas para o sistema. Os valores de Q e R fornecerão um sistema sempre estável indiferente dos valores a eles atribuídos, sendo que para isto é necessário que todos os estados do sistema sejam controláveis. Como se trabalha com valores pré-determinados de Q = 0.1I e R = I, realiza-se uma análise prévia da controlabilidade do sistema e verifica-se que o sistema apresenta um rank 4, condição suficiente para o sistema ser controlável, como apresentado no item 2. O ótimo ganho da matriz K foi obtido através do Matlab com o comando (K = lqry (sys, Q, R, N), onde sys é a criação do modelo de espaço de estado através do comando sys = s (A,B,C,D), em que A,B,C,D são as matrizes do modelo. Os valores de Q e R são valores adotados para N é assumido o valor zero quando referido a um controle ótimo. O valor de K obtido foi o seguinte: O modelo com a implementação de K e as respostas das saídas com a ação de controle são apresentados a seguir: - Modelo Figura 3 - Modelo Esquemático com realimentação de estados (k) 163

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) - Resposta da Saída y1 com controlador LQR Figura 4 - Resposta para y1 - Resposta da Saída y2 com controlador LQR Figura 5 - Resposta para y2 Pela análise das curvas, pode-se verificar que o sistema passou a responder de maneira estável com valores de y1 tendendo para 0,48 e y2 para o valor de 1,0085 (negativo). Verificase também que o sistema não segue completamente a referência. 164

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA 2.2 Tracking Para desenvolver-se o sistema no qual para qualquer valor de set-point a saída (y1 e y2) venha a acompanhar estes valores de referência, é necessário projetar um sistema de tracking (servo). O sistema, incluído o tracking, será representado da seguinte maneira: Figura 6 - Sistema com Tracking Nx converte o valor da referência r nos valores desejados de y, dentro dos valores de x. Nu deixa em equilíbrio a entrada das variáveis de estados. K é o mesmo K calculado para o sistema LQR. Os valores de Nx e Nu foram calculados da seguinte maneira: então: 165

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) Sendo: Com os valores de Nu e Nx levantam-se as curvas de y1 e y2. - Resposta da Saída y1 com controle LQR e Tracking Figura 7 - Resposta para y1 166

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA - Resposta da Saída y2 com controle LQR e Tracking Figura 08 - Resposta para y2 Pode-se observar pelos gráficos que os valores de saída y1 e y2 obedeceram precisamente aos valores de referência. 2.3 Controlador Linear Quadrático Gaussiano Após verificar-se o perfeito funcionamento do sistema utilizando o modelo LQR e tracking, volta-se a incluir no sistema os distúrbios (v e w). Neste momento se faz necessária a utilização de um estimador de Kalman para estimarem-se os verdadeiros valores de x (t) (DOYLE, 1978) para compensarem-se os distúrbios, como representado no modelo abaixo: Figura 9 - Modelo esquemático com estimador 167

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) Para o estimador de Kalman usa-se o seguinte modelo: Figura 10 - Modelo esquemático com estimador O estimador de onde L é o ganho estacionário de Kalman calculado por: L = P f C T V -1 e P f e a resolução de Riccati que é dada por: A P f + P f A T - P f C T V -1 C P f + W = 0 A resolução de P f foi obtida através do Matlab com o comando Pf = care (A, C, V, W). Infelizmente não foi possível a inclusão do valor inicial de Pf (0) = 0.1 dentro do comando care do Matlab, possivelmente por este motivo o valor estimado de não foi preciso, conseqüentemente os valores de saída (y1 e y2) apresentaram erros em relação ao valor esperado, como pode ser observado nos gráficos a seguir: 168

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA - Resposta da Saída y1 com controle LQG Figura 11 - Resposta para y1 - Resposta da Saída y2 com controle LQG Figura 12 - Resposta para y2 3 CONCLUSÃO Foi possível verificar, através das simulações, que as técnicas de controle ótimo com função de custo quadrático funcionam perfeitamente no que se refere à implementação do sistema LQR e tracking, pois os sinais de saída y1 e y2 corresponderam aos valores esperados e acompanharam as mudanças de set-point, considerando que os distúrbios (v e w) não foram levados em consideração nesta primeira implementação para o sistema. 169

CONTROLADOR DO TIPO LQG (LINEAR QUADRÁTICO GAUSSIANO) No que se refere ao controlador LQG este não correspondeu ao esperado, possivelmente pela não inclusão dos valores de inicialização da equação de Riccati. Além da análise teórica para a obtenção de um controle ótimo para o problema em questão, foi também necessária a utilização das ferramentas de controle do programa Matlab, para efetuar as possíveis simulações e obtenção de resultados, o que facilitou de forma significativa os trabalhos de simulação. 170

ROBERTO SELOW E SÉRGIO LUIZ VEIGA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASTRON, K.J.; WITTENWARK, B. Adaptive control. 2. ed. Boston: Addison Westey Longmann, 1995. ASTRON, K.J.; WITTENMARK, B. Computer controlled systems : theory and design. 2. ed. Englewood Cliffs: Prentice- Hall, 1990. CORRIOU, J.P. Commande des procédés. Paris: Tec et Doc, 1996. DOYLE, J. C. Guaranteed margins for LQG regulators. IEEE Transaction on Automatic Control, v. AC-23, p. 756-57, 1978. FRANKLIN, G.F.; POWEL, J.D.; EMAMI-NAEINI, A. 3rd. ed. Feedback control of dynamic systems. Boston : Addison-Wesley Longmann, 1993. JI, Y.; CHIZECK, H. J. Controllability, stabilizability and continuous-time Markovian jump linear quadratic control. IEEE Transaction on Automatic Control, v. AC-35, p.777 788, 1990 LUYBEN, W.L. Process modeling simulation and control for chemical engineers. 2nd. ed. McGraw- Hill, MOSCINSKI, J.; Ogorowski, G.Z. (Ed). Advanced control with Matlab & Simulink. West Sussex: Horwood, 1995. OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 2. ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1990. STEIN, G.; ATHANS, M. The LQG/LTR procedure for multivariable feedback control design. IEEE Transaction on Automatic Control, v. AC-32, p. 105 114, 1987. 171