FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Oito alunos de uma turma do 12º ano ganharam um concurso cujo prémio são 8 bilhetes para uma estreia de cinema. Para irem ao cinema os 8 alunos vão deslocar-se em dois carros. (15) 1.1. Entre os 8 há 4 que têm carta de condução, podendo qualquer um deles conduzir um dos automóveis. Os 8 amigos têm de se separar em dois grupos de 4 para efetuarem a viagem. De quantas formas podem ser formados os dois grupos? Comecemos por observar que, uma vez escolhidos os quatro alunos que viajarão num dos carros, o grupo que viajará no outro carro fica automaticamente determinado, de forma única. Como temos de dividir os alunos em grupos de 4, o número total de grupos de 4 é dado por 5 Ora, se 4 alunos viajam num carro, os restantes 4 viajam no outro. Deste modo, os 70 possíveis grupos de 4 são emparelhados 2 a 2, originando formas de dividir os 8 alunos em dois grupos de 4 5 Contudo, entre estas 5 formas está incluída aquela em que os 4 condutores ficam no mesmo grupo, ficando o outro carro sem condutor. Assim, temos de subtrair essa situação, sendo o número de formas de os alunos fazerem a viagem dada por 5 Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 1/6 Versão
(15) 1.2. A Ana, a Bernardete e a Cristina são três amigas da turma que tiveram a sorte de lhes sair um bilhete. Como o cinema tem filas de precisamente 8 cadeiras, os 8 alunos compraram uma fila completa. Se a distribuição dos bilhetes for aleatória, qual é a probabilidade de as três amigas não se sentarem em lugares consecutivos (seguidos) dessa fila? As amigas: Ana, Beatriz e Cristina não podem ficar seguidas em qualquer lugar da fila de 8 lugares Por exemplo: A B C é uma possível sequência Como há muitas possibilidades, é melhor pensar no acontecimento contrário. Assim, 1 Neste caso, A B C é uma possível sequência 7 Em que: 6 representa as formas de as amigas ocuparem lugares seguidos representa as permutações dos restantes 5 amigos representa as permutações das amigas entre si Portanto, 4 Outro processo:, representa todos os grupos de lugares 5, pois há apenas 6 grupos com os amigas seguidas 7 Assim, 2. O Sr. João tem uma pastelaria e não gosta de deixar nada ao acaso. Com a ajuda do ar condicionado, a temperatura ambiente dentro do estabelecimento é mantida a 18 graus. A arca frigorífica está programada para manter as bebidas à temperatura mínima de 6 graus. Admita que a temperatura de uma bebida, em graus centígrados, t minutos depois de retirada do frigorífico é dada por uma função do tipo bt 18 Ae Bt, com t 0. Resolva as questões seguintes exclusivamente por métodos analíticos, recorrendo à calculadora para realizar eventuais cálculos numéricos. Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios mantenha, pelo menos, casas decimais. (20) 2.1. Sabendo que uma bebida, que saiu do frigorífico a 6 graus, chega ao cliente minutos depois, à temperatura de 8 graus, mostre que A 12 e B 0, 06., com t 0, representa a temperatura da bebida t minutos após sair do frigorífico Sabemos que e. Daqui resulta que: 2 2+1+1 2+2+1 5+1+2 Portanto, e (2 c.d.) 1 Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 2/6 Versão
(10) 2.2. Calcule lim bt t e interprete o valor obtido no contexto da situação descrita. = = = = 18 5, significa que muito tempo depois a temperatura de uma bebida aproxima-se de 18 graus, isto é, vai aumentando até se aproximar da temperatura ambiente da pastelaria 5 Nota: Se o aluno referir apenas que significa que é assíntota horizontal do gráfico de b será penalizado em 2 pontos. (15) 2.. Para os valores de A e de B referidos na questão 2.1, mostre que: 12 t ln 18 b 50 Temos de resolver a expressão em ordem a t. 1+1+1 4+1+1 2+2+2 (10) 2.4. O Sr. João serve as bebidas em copos amarelos, verdes ou azuis. Certo dia estavam em cima do balcão 6 copos amarelos e verdes, formando uma fila, tal como ilustra a figura seguinte: Diga, justificando adequadamente, quantas filas diferentes é possível formar com estes 9 copos, de modo que dois copos verdes nunca fiquem juntos (ou seguidos). Para que os copos verdes não fiquem juntos, tal como mostra a figura acima, há 7 lugares onde se podem colocar, de acordo com o esquema: _A_A_A_A_A_A_ 5 Assim, só temos de formar grupos de escolhidos entre os 7, ou seja, são possíveis filas sem copos verdes seguidos 5. Considere as funções f e g definidas nos seus respetivos domínios por: 9 f x log x e gx 9 x (20).1. Resolva, analiticamente, a inequação f x g 1. Temos = 2 Portanto, 1+4 5+2+1 Como as soluções têm de estar no domínio da condição e Temos 2 x Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página /6 Versão
x (20).2. Mostre que a função composta, f g, é definida por f gx 2 x log 1 Temos, 2+2+2 = = 2+ = = (1+2)+2 = 2 (20).. A figura seguinte mostra parte das representações gráficas das funções g e h, sendo h definida por hx 9 x. Os gráficos das duas funções intersetam-se no ponto B, e A e O são os pontos de interseção de cada gráfico com o eixo das ordenadas. Determine a área do triângulo ABO, apresentando todos os cálculos efetuados. Temos,, em que 1+1 e =, em que 1+1 Para descobrir temos de resolver a equação 1 Assim, 1+1 1+2 2+1+1 1+1 1+1 Portanto, = 2 (20) 4. No início de 1990, havia 200 lobos num determinado parque natural. As medidas de proteção a lobos fizeram com que o referido número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que o número de lobos aumente até bastante perto de meio milhar, mas não permitem que este valor seja ultrapassado. Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função que dá o número aproximado de lobos existentes nesse parque natural, t anos após o início de 1990. 500 1 e bt 05,t ct 05,t d t at Qual é a expressão correta? 500 1 1,e 5 600 1 2e t 00 t 1 500 t e Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 4/6 Versão
Numa pequena composição, com cerca de 15 linhas, explique porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão (diferente) pela qual a rejeita, e explicando a sua inadequação no contexto da situação descrita. Nota: Poder-lhe-á ser útil recorrer às capacidades gráficas da calculadora. Se o fizer, deve apresentar o(s) gráfico(s) utilizado(s). Exemplo de uma possível resposta De acordo com os dados do problema sabemos que: a quantidade inicial é 200 (para, o início de 1990); a função tem de ser estritamente crescente, pois a quantidade de lobos aumenta continuamente; o número de lobos aproxima-se de 500, quando (o limite quando ) A opção está incorreta, porque inicialmente (para t = 0, início de 1980) havia 200 lobos e temos. Como os recursos do parque permitem que o número de lobos aumente até perto de meio milhar, 500 lobos, então também não serve, pois = = = = 600. Como a função tem de ser estritamente crescente, a opção ver através do gráfico do lado, d não é monótona. É necessário apresentar um esboço do gráfico. Portanto, a opção correta e. também não serve, pois como podemos Exemplo de outra reposta (com algumas incorreções) A função correta é pois: A opção começa em 250, e o problema diz que inicialmente havia 200 lobos. Falta dizer como obteve a imagem de zero (analítica ou graficamente). A opção também não serve, pois esta tende para 600 e no problema diz que o número de lobos se aproxima de 1000. Falta o gráfico ou o cálculo do limite. Como é dito que o número de lobos aumenta continuamente, então a opção também não serve, porque não é estritamente crescente. Falta apresentar o gráfico. Neste caso a cotação a atribuir é 4 + 4 + 4 + 2 = 14 A explicação do motivo pela qual é rejeitada cada uma das opções vale 6 pontos, de acordo com os seguintes critérios: o motivo apresentado está devidamente fundamentado 6 o motivo é correto mas a sua fundamentação está incompleta ou contém imperfeição 4 o motivo apresentado é correto mas a sua fundamentação está errada ou não existe 2 o motivo apresentado não é correto 0 Não é valorizada qualquer explicação sobre as razões pelas quais a opção é a correta, dado que tal não é pedido no enunciado, tendo apenas a cotação de 2 pontos 2 (10) 5. 1 O desenvolvimento do binómio x tem 10 monómios (ou termos) x Determine, caso exista, o monómio de grau 7 do seu desenvolvimento. Qualquer termo do desenvolvimento deste binómio é da forma 9, com 2 Assim, = 2 No termo de grau 7 temos, ou seja, 2+1+1 Como é um natural, o termo de grau 7 é 1+1 Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 5/6 Versão
(10) 6. As letras apresentadas abaixo representam uma linha completa do triângulo de Pascal. a b c d e f g h i Indique, justificando, qual das opções seguintes representa o valor de c g. (A) 8 A 2 (B) 8 C 4 (C) 9 C 2 (D) 9 C Como esta linha tem 9 elementos, trata-se da linha 8 (a linha n tem elementos) 1 Assim, e (os elementos da linha n são,,,, ) Portanto, pela lei da simetria, temos 1 Mas como 2 Logo, a OPÇÃO A é a correta (15) 7. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 7.1. Lançaram-se dois dados perfeitos n vezes. n 5 A probabilidade de sair pelo menos uma vez a face 1 é dada por p 1 6. Determine o número máximo de vezes que os dados podem ser lançados para que esta probabilidade seja aproximadamente 80%? Pretendemos descobri n de modo que 1 Assim, 2+1+1+1 5+1+1 Para temos. Portanto os dados devem ser lançados 57 vezes 2 7.2. Lança-se 10 vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Indique, justificando adequadamente, um acontecimento cuja probabilidade seja dada por: 10 9 10 C1 5 1 1 5 6 6 6 Sabemos que é a probabilidade de sair qualquer uma das faces do dado num único lançamento e representa a probabilidade de não sair uma determinada face do cubo 2 Assim, sendo X a variável por exemplo, temos, de acordo com a lei binomial da probabilidade: representa a probabilidade de a face 1 nunca sair 2 representa a probabilidade de a face 1 sair exatamente uma vez representa a probabilidade de a face 1 sair no máximo uma vez Dado que, A expressão dada representa a probabilidade de a face 1 sair pelo menos duas vezes 2 BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 6/6 Versão