Gabarito Lista Cálculo FAU Prof. Jaime Maio 018 Questão 1. O produto vetorial entre dois vetores a = (a 1, a, a ) e b = (b 1, b, b ) em R é um terceiro vetor c, ortogonal a ambos a e b, dado por c = a b = i j k det a 1 a a b 1 b b isto é, o determinante desta matriz. Para calculá-lo, utilizamos a regra de Sarrus: copiamos as duas primeiras colunas da matriz e colocamos ao lado direito dela (ficando com linhas e colunas). Depois, some o produto das diagonais que estão descendo pra direita, e subtraia dos produtos que estão descendo para a esquerda det i j k a 1 a a = a 1 a a a 1 a b 1 b b b 1 b b b 1 b = i(a b ) + j(a b 1 ) + k(a 1 b ) i(a b ) j(a 1 b ) k(a b 1 ) = i(a b a b ) + j(a b 1 a 1 b ) + k(a 1 b a b 1 ). Ou seja, c = a b = (a b a b, a b 1 a 1 b, a 1 b a b 1 ). a) a = (, 4, 1), b = (0,, 1) Temos portanto que c = a i j k b = det 4 1 = 4 1 4 0 1 0 1 0 = i.4.1 + j.1.0 + k.. j..1 i.1. k.4.0 = 4i + 1k j i = i j + 1k = (1,, 1). E de fato, note que < c, a > = < (1,, 1), (, 4, 1) > = 1. + ( ).4 + 1.1 = 0+1 = 0 e que < c, b > = < (1,, 1), (0,, 1) > = 1.0+( ).+ 1.1 = 1 + 1 = 0 e portanto ambos a e b são ortogonais a c = a b. (O produto vetorial é construído para que isso aconteca. O exercício pede isso para vocês verificarem e se convencerem de que é verdade). 1
d) a = i 17j + k = (1, 17, ), b = i 1 j + k = (, 1, ) Do mesmo jeito, temos que a i j k b = det 1 17 = 1 17 1 17 = 1 1 1 i.( 17). + j.. + k.1.( 1 ) j.1. i..( 1 ) k( 17) = 10 i + 7 j + 97 10k = ( 10, 7, 97 10 ). Novamente, temos < c, a > = < ( 10, 7, 97 10 ), (1, 17, ) > = 10.1+ 7.( 17)+ 97 10. = 0 e < c, b > = < ( 10, 7, 97 10 ), (, 1, ) > = 10. + 7.( 1 97 )+ 10. = 0, ou seja, a e b são ambos ortogonais a c = a b. Questão. i j k Temos: a a = det 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 = i+j+k j i k = 0. De fato, a a = 0 para qualquer vetor a. a b = det i j k 1 1 = 1 1 1 = i..1 + j.1.0 + k.1. j.1.1 0 1 0 1 0 i.1. k..0 = i j + k = ( 1, 1, ) b a = det i j k 0 1 = 0 1 0 = i..1 + j.1.1 + k.0. j.0.1 1 1 1 1 1 i.1. k..1 = i + j k = (1, 1, ) = a b. Questão. Seja c = (c 1, c, c ) um dos vetores que ainda não sabemos, mas estamos procurando. Como visto no exercício 1, uma propriedade interessante do produto escalar é que a b é sempre ortogonal tanto a a quanto a b. Ou seja, temos um candidato: c = a b. Mas queremos que o vetor seja unitário. Para isso, basta dividir pelo seu módulo (o tamanho). Ou seja, c = c c. Fazendo as contas, obtemos que c = a b = a i j k b = det 1 1 = 1 1 1 = i.( ).0 + j.1. + k.1. 0 0 j.0.1 i.1. k.( ). = i + j + 9k = (,, 9) Como queremos um vetor unitário, dividimos (,, 9) por sua própria norma, isto é, ( ) + + 9 = 99 =. Portanto, um de nossos vetores é c = (,,9) = ( 1 1,, ). Ora, nosso outro vetor d também ortogonal a a e b pode ser simplesmente o vetor oposto à c, ou seja, d = c = ( 1, 1, ). Questão 4. O volume do paralelepípedo gerado pelo vetores a, b e c é dado pelo volume misto a.( b c).
a) Substituindo os valores na fórmula acima, obtemos que: V = (, 1, 4).((0,, 1) (1,, )) = (, 1, 4). 0 1 0 = (, 1, 4).(i.. + j.1.1 + k.0. j.0. 1 1 i.1. k..1) = (, 1, 4).(7i + j + k) = (, 1, 4).(7, 1, ) =.7 + 1.1 + 4.( ) = 4. Questão. Seja θ o ângulo formado entre o vetor diretor da reta a = QR e o vetor que aponta de Q à P b = QP. Ora, a distância de um ponto à uma reta forma sempre 90 com a reta. Portanto, é fácil de ver que sen(θ) = d. Ou seja, temos que b d = b sen(θ). A sacada agora é notar que, como a = QR 0, pois os pontos P, Q e R são distintos, podemos dividir e multiplicar o lado direito da equação por a (no fim, multiplicamos por 1). Assim, obteremos d = a b sen(θ) a. Mas a b sen(θ) é justamente a definição do produto vetorial entre a e b. Portanto, segue que d = a b sen(θ), como queríamos. a = a b a Questão 7. a) Se o problema der um ponto a = (x 0, y 0, z 0 ) do plano, e um vetor normal (perpendicular) a ele n = (a, b, c), seja x = (x, y, z) um outro ponto qualquer do plano. Então a equação do plano é dada por n.( x a) = 0. Neste exercício, a = (6,, ) e n = (, 1, ). Portanto, temos que (, 1, ).((x, y, z) (6,, )) = 0, isto é, (, 1, ).((x 6, y, z )) = 0, então ( ).(x 6) + 1.(y ) +.(z ) = 0. Ou seja, x + y + z = 16. De modo geral, vale a equação na forma ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0. c) Suponha que o plano que queremos encontrar tem vetor normal n, e é paralelo a um outro plano, de vetor normal n 1 = (a, b, c). Então, deve valer que n 1 n = 0. (Se os planos fossem perpendiculares, deve valer que < n 1, n >= 1). Assim, a equação do nosso plano é n.( x a) = 0. Vamos encontrar n = (a, b, c ) em função de n 1 = (a, b, c). Para isso, usamos a condição de serem paralelos: n 1 n = 0. Temos que n 1 = (, 1, ) (os coeficientes do plano dado). Assim, n 1 n = (, 1, ) (a, b, c ) = 1 1 a b c a b = i.( 1).c + j..a + k..b j..c i..b k.( 1).a = i( c b ) + j(a c ) + k(b + a ) = 0 = 0i + 0j + 0k. Portanto, precisamos ter que c b = 0, a c = 0 e b + a = 0. Resolvendo os sistema, obteremos que a = b e c = b. Portanto, o nosso vetor normal é n = (, 1, ) = n 1 (ou qualquer múltiplo disso). Substituindo em n.( x a) = 0, onde a = (0, 0, 0), obtemos que (, 1, ).(x, y, z) = 0. Então, x + y z = 0 é a nossa equação. d) Se nos derem três pontos A, B e C, primeiro achamos os vetores AB = B A e AC = C A. Depois, o vetor normal do nosso plano será dado por n = AB AC.
Assim, fazendo A = (0, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0), obteremos que AB = B A = (1, 0, 1) (0, 1, 1) = (1 0, 0 1, 1 1) = (1, 1, 0) e AC = C A = (1, 1, 0) (0, 1, 1) = (1 0, 1 1, 0 1) = (1, 0, 1). Logo, o vetor normal é n = AB AC = (1, 1, 0) (1, 0, 1) = 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 = i + j + k = (1, 1, 1). Podemos escolher nosso a como sendo qualquer um dos três pontos A, B ou C. Tomando a = A = (0, 1, 1), obtemos n( x a) = (1, 1, 1).(x, y 1, z 1) = x + (y 1) + (z 1) = 0. Ou seja, nosso plano tem equação x + y + z =. e) Se os planos se intersectam, então temos que resolver o sistema de equações x + y z = 0 e x y + 4z 1 = 0. Note que temos apenas duas equações para as três incógnitas x, y e z. Ou seja, temos uma variável livre, por exemplo z = t. Isolando e substituindo, obteremos que a solução é (x, y, z) = (1 t/, 1 + t/, t) = (1, 1, 0) + t(,, 1). Ou seja, o vetor diretor da reta é v = (,, 1). Por sua vez, como a reta está contida no plano, em particular, para t = O e t =, obtemos que a reta, e portanto o plano, contém os pontos (1, 1, 0) e (, 6, ), além do dado ( 1,, 1), e caímos no caso do exerício anterior: Sejam A = (1, 1, 0), B = (, 6, ) e C = ( 1,, 1). Então AB = (,, ) e AC = (, 1, 1). O vetor normal é dado por n = AB AC = (,, ) (, 1, 1) =. O restante é igual ao item d). 1 1 1 Questão 8. Basta achar os vetores normais n 1 e n das duas retas e calcular cos(θ) = n 1 n n 1 n. Se cos(θ) = 1, os planos são paralelos; se cos(θ) =, os planos são perpendiculares; e se 0 < cos(θ) < 1, nenhum dos dois. Questão 9. A distância D entre um plano ax+by+cz+d = 0 e um ponto P = (x 0, y 0, z 0 ) é dada por D = ax0+by0+cz0+d a. +b +c Questão 10. Se (x 0, y 0, z 0 ) é um ponto do segundo plano, então temos que ax 0 + by 0 + cz 0 +d = 0, ou seja, ax 0 +by 0 +cz 0 = d. Ora, mas a distância deste ponto ao primeio plano é dado pela fórmula do exercício 9 acima. Substituindo, obtemos que D = ax0+by0+cz0+d a = d1 d +b +c a, como queríamos. +b +c Questão.* Vou assumir que os dois planos que queremos encontrar distam cada do plano dado x + y z 1 = 0, do contrário, existem infinitas respostas. Ambos os planos têm vetor normal n = (a, b, c) = (1,, 1) (o mesmo do plano dado, pois são paralelos a ele. Agora, sabemos que os dois planos têm equações ax + by + cz + d 1 = 0 e ax + by + cz + d = 0. Ou seja, x + y z + d 1 = 0 e x + y z + d = 0. Dado 4
que a distância entre cada um deles para o plano dado x + y z 1 = 0 é, substituindo na fórmula do exercício 10, obteremos = d1 ( 1) = d1+1 6, 1 + +( 1) de modo que d 1 + 1 = 6 e analogamente d + 1 =. Como os planos são diferetes, suponha que d < 1 < d 1. Então, d 1 + 1 = d 1 + 1 = 6 d 1 = 6 1 e d + 1 = d 1 = 6 d = 1 6. Assim, as equações do planos são: x + y z + 6 1 = 0 e x + y z 6 1 = 0.