1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT 101 - Fundamentos de Matemática I 2012/I 2 a Lista - Funções (Parte I) 1. Dados os conjuntos M = {1, 3, 5} e N = {2, 4}, determinar o produto cartesiano M N e N M. Represente-os no plano cartesino. 2. Considerando os conjuntos A = {x Z ; 2 x 1} e B = {3, 4}, determinar A B e representá-lo graficamente. 3. Determinar o produto cartesiano dos conjuntos abaixo, na forma gráfica. (a) [2, 5] {1} (b) {3, 4} [ 1, 3] (c) [1, 3] [2, 5] (d) ( 2, 1] [3, 5) 4. Dados os conjuntos A = { 1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação R = {(x, y) A B ; y = x + 1}, determinar: (a) os pares ordenados da relação R; (b) o conjunto domínio e o conjunto imagem; (c) o diagrama de flechas; (d) o gráfico cartesiano. 5. Dados os conjuntos M = { 3, 2, 1, 0, 1} e N = {1, 2, 3, 5, 6} e a relação R = {(x, y) M N ; y = x 2 + 1}, determinar: (a) os pares ordenados da relação R; (b) o conjunto domínio e o conjunto imagem; (c) o diagrama de flechas; (d) o gráfico cartesiano.
2 6. Descreva o conjunto dos elementos da relação inversa da relação R do exercício 4 e determine: (a) os pares ordenados da relação R 1 ; (b) o conjunto domínio e o conjunto imagem de R 1 ; (c) o diagrama de flechas de R 1 ; (d) o gráfico cartesiano de R 1. 7. Dados os conjuntos A = {3, 7, 9} e B = {1, 5, 11, 13}, sejam R 1 = {(3, 1), (9, 13)}, R 2 = {(3, 5), (7, 5), (7, 11), (9, 13)} e R 3 = {(3, 1), (7, 11), (9, 1)} relações de A em B. Verifique quais destas relações não se tratam de funções de A em B? 8. Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. (a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. (b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? (c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? 9. Determinar a lei da função afim que representa a reta que passa pelo ponto ( 2, 1) e cujo coeficiente angular é 4. 10. Esboce os gráficos das seguintes funções: (a) y = 2x + 3 (b) y = 3x + 1 2 (c) y = x 11. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0, 5 kg de gás: (a) Expresse a massa m de gás no botijão, em função do número t de dias de consumo. (b) Esboce o gráfico desta função. (c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio? 12. A água congela a 0 C e a 32 F; ferve a 100 C e 212 F. A temperatura em graus Fahrenheit F varia linearmente com a temperatura em graus Celsius C. (a) Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função. (b) A temperatura do corpo humano não febril é de 37 C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit? (c) A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20 F?
3 13. Dois táxis têm preços dados por: Táxi A: bandeirada a R$ 4, 00, mais R$ 0, 75 por quilômetro rodado; Táxi B: bandeirada a R$ 3, 00, mais R$ 0, 90 por quilômetro rodado. (a) Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (P A e P B ) em função da distância percorrida. (b) Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi? 14. O gráfico de uma função afim intercepta os eixos do plano cartesiano em um ponto com abscissa igual 3 e em um outro com ordenada igual 1. Qual é a lei de formação desta função? 15. Uma função linear cujos pontos tem abscissa com valor simétrico ao da ordenada é uma função afim crescente? 16. Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes funções: (a) f(x) = 2x + 5 (b) f(x) = x + 2 (c) f(x) = 1 3 x + 3 (d) f(x) = 1 5x (e) f(x) = 4x. 17. Em cada um dos itens abaixo, ache o vértice e a imagem de cada uma das funções. Classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada. (a) f(x) = x 2 + 8x + 9 (b) f(x) = 9 x 2 ( ) (c) f(x) = 9x x 2 (d) f(x) = 3 x 5 3 (x 8) (e) f(x) = (x + 7)(x 7) 18. Em cada um dos itens abaixo, use o discriminante para decidir o número de vezes em que o gráfico da função corta o eixo x. (a) f(x) = x 2 + 4 (b) f(x) = x 2 + 4x + 4 (c) f(x) = x 2 + 4x + 4 19. Calcule o valor de m na equação 3x 2 mx + 18 = 0 de modo que uma de suas raízes seja 2.
4 20. Calcule o valor de m na equação x 2 16x + m = 0 de modo que uma raiz seja o triplo da outra. 21. Responda: (a) Como as raízes de uma função quadrática estão relacionadas com os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo x? (b) Como o vértice de uma função quadrática f está relacionado com as raízes da equação f(x) = 0? 22. Suponha que o gráfico de uma função quadrática intercepte o eixo x em (2, 0) e (8, 0). Ache as coordenadas do vértice do gráfico desta função. 23. Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular. Quais as dimensões do curral para que a área cercada seja máxima? 24. Suponha que o fazendeiro do problema anterior decida construir o curral com aproveitamento da parede de um celeiro, de modo a cercar apenas três lados. Se x é o comprimento de um lado perpendicular à parede do celeiro, ache a área cercada como função de x. Qual o valor de x para que a área cercada seja máxima? Qual o valor da área máxima? 25. Uma companhia de avião freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no contrato de afretamento: (i) Cada passageiro pagará R$ 600, 00 se todos os 50 lugares forem vendidos. (ii) Cada passageiro pagará um adicional de R$ 30, 00 por lugar não vendido. Quantos lugares a companhia deverá vender para obter um lucro máximo? 26. A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Se a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, a que distância horizontal do bocal irá atingir o solo? 27. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = 40x 2 + 200x, em que y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. Determine a altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar.
5 28. Considere a função f : IR IR, definida por f(x) = ax 2 + bx + c, com a > 0 e c < 0. Com respeito ao gráfico de f podemos afirmar que: (a) não intercepta o eixo das abscissas; (b) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva, respectivamente; (c) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto; (d) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos; (e) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos. 29. Determine os valores de a e b para que a parábola da equação y = ax 2 + bx 1 contenha os pontos ( 2, 1) e (3, 1). 30. Determine, se existirem, os zeros reais das funções a seguir: (a) f(x) = 3x 2 7x+2 (b) f(x) = x 2 +3x 4 (c) f(x) = x 2 + 3 2 x+1 (d) f(x) = x 2 4 (e) f(x) = 3x 2 31. Construa o gráfico das seguintes funções: (a) f(x) = x 2 16x + 63 (b) f(x) = 2x 2 7x + 3 (c) f(x) = 4x 2 4x + 1 (d) f(x) = x 2 + 4x 5 (e) f(x) = 2x 2 + 8x 6.