Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciência e Tecnologia Oscilações 1. Movimento Oscilatório. Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS) 3. MHS e Movimento Circular Uniforme 4. Força e Energia do MHS 5. Exemplos 6. Exercícios

Movimento Oscilatório Vibrações e Ondas Variações temporais Variações espaciais Cordas vocais Diapasão Ondas na água Ondas sonoras Instrumentos de cordas Ondas em cordas

Movimento Oscilatório Vibrações e Ondas Variações temporais Variações espaciais Hélice na água Asas de abelha Ondas na água Ondas sonoras Elétrons em uma lâmpada Ondas de luz 3

Movimento Harmônico Simples Movimento oscilatório que se repete periodicamente. Resulta em ondas senoidais. Exemplos: Massa em uma mola Pêndulo 4

Movimento Harmônico Simples Uma massa vibrante conectada a uma mola é deslocada da posição de equilíbrio, e depois solta. O deslocamento máximo é chamado amplitude da vibração. Um ciclo é uma vibração completa. O período é o tempo necessário para completar um ciclo completo. A frequência é a conta de quantos ciclos o sistema completa em 1 s. 5

Movimento Harmônico Simples 6

Movimento Harmônico Simples O gráfico de um Movimento Harmônico Simples (MHS) é descrito por uma curva senoidal. 7

Movimento Harmônico Simples 8

Movimento Harmônico Simples 9

Movimento Harmônico Simples Quando o corpo é deslocado de uma distância x a partir de sua posição de equilíbrio, a mola exerce sobre uma força -kx, dada pela lei de Hooke. Fx = kx onde k é a constante de força da mola, uma medida de sua rigidez. O sinal negativo indica que a força é uma força restauradora, isto é, ela tem o sentido oposto ao do deslocamento a partir da posição de equilíbrio. 10

Movimento Harmônico Simples Condições para o Movimento Harmônico Simples: No movimento harmônico simples, a aceleração, e portanto, também a força resultante, são ambas proporcionais e opostas ao deslocamento a partir da posição de equilíbrio. 11

Movimento Harmônico Simples O tempo que leva para um objeto deslocado executar um ciclo completo de movimento oscilatório de um extremo ao outro e de volta ao anterior é chamado de período T. O inverso do período é a frequência f, que é o número de ciclos por unidade de tempo: f = 1 T 1

Movimento Harmônico Simples Unidade de Frequência: A unidade de frequência é o ciclo por segundo (ciclo/s), chamado de hertz (Hz). Exemplo: Se o tempo para um ciclo completo de oscilações é 0,5 s, a frequência é 4,0 Hz. 13

Movimento Harmônico Simples Posição no Movimento Harmônico Simples: A figura abaixo mostra como podemos, experimentalmente, obter x versus t para uma massa presa a uma mola. A equação geral para esta curva é x = Acos( ωt + δ ) onde A, ω e δ são constantes O deslocamento máximo x máx do equilíbrio é chamado de amplitude A. 14

Movimento Harmônico Simples O argumento da função cosseno, ωt+δ, é a fase do movimento, e a constante δ é a constante de fase, que é igual à fase em t=0. Nota que: cos( ωt + δ ) = sen( ωt + δ + π ), assim, expressar a equação como uma função cosseno ou como uma função seno depende simplesmente da fase da oscilação em t=0. 15

Movimento Harmônico Simples Velocidade no Movimento Harmônico Simples Podemos mostrar que: É solução de: kx = ou ma x x = Acos( ωt + δ ) k d x k a = x ou x x = m dt m 16

Movimento Harmônico Simples A primeira derivada de x dá a velocidade v x dx v = = A t + x dt ω ω δ sen ( ) Aceleração no Movimento Harmônico Simples Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a aceleração: d x a = = Acos t + x dt ( ) ω ω δ 17

Movimento Harmônico Simples Asen ωt + δ Substituindo ( ) a x d x = = ω x dt por x fica A frequência angular: ω = k m 18

Movimento Harmônico Simples A frequência se relaciona com a frequência angular da forma 1 ω = π = π f T Como ω = k m, a frequência e o período de um corpo preso a uma mola se relaciona com a constante de força k e a massa m da forma f 1 1 = = T π k m 19

Movimento Harmônico Simples A frequência aumenta com o aumento de k (rigidez da mola) e diminui com o aumento da massa m. A Equação para frequência fornece uma maneira de se medir a massa inercial de um astronauta em um ambiente sem gravidade. A frequência (e, portanto, também o período) do movimento harmônico simples (MHS) é independente da amplitude. 0

Dinâmica do MHS (Resumo) Sabemos que em todo instante F = ma deve ser válido. Mas neste caso F = -kx e ma = d x m dt Portanto: -kx = ma = d x m dt d x dt k = x Equação diferencial para x(t)! m 1

Dinâmica do MHS (Resumo) d x dt = k x m definamos ω = k m d x dt = ω x Tentemos a solução x = Acos( ωt) dx v = = ω Asin( ωt) dt d x ( ) a = = ω Acos ωt = ω x dt

Dinâmica do MHS (Resumo) Posição: x(t) = A cos(ωt + δ) Velocidade: v(t) = -ωa sin(ωt + δ) Aceleração: a(t) = -ω A cos(ωt + δ) Considerando as derivadas, pois: x MAX = A v MAX = ωa a MAX = ω A v( t) = dx( t) dt a( t) = dv( t) dt 3

Dinâmica do MHS (Condições Iniciais) Use as condições iniciais para determinar a fase φ! Suponha que foi dito que x(0) = 0, e que x inicialmente aumenta (i.e. v(0) = positiva): x(t) = A cos(ωt + φ) v(t) = -ωa sen(ωt + φ) x(0) = 0 = A cos(φ) φ = π/ ou -π/ a(t) = -ω A cos(ωt + φ) v(0) > 0 = -ωa sin(φ) φ < 0 Portanto φ = -π/ π θ π cos sin 4

Dinâmica do MHS (Condições Iniciais) Encontramos portanto φ = -π/! x(t) = A cos(ωt - π/ ) v(t) = -ωa sin(ωt - π/ ) a(t) = -ω A cos(ωt - π/ ) x(t) = A sin(ωt) v(t) = ωa cos(ωt) a(t) = -ω A sin(ωt) A x(t) -A π π ωt 5

Solução do MHS y = Acos( ωt + φ) 6

Solução do MHS y = Acos ωt π y = Asen( ωt ) 7

Resumo do MHS A solução mais geral é x = A cos(ωt + φ) onde A = amplitude ω = frequência angular ω = φ = fase Para uma massa em uma mola: A frequência não depende da amplitude!! k m Isso na realidade é geral para qualquer MHS! A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, onde a força resultante é nula! 8

Solução do MHS Mostramos que x = Acos( ωt) d x dt Essa não é a única solução, entretanto, uma solução. = ω x (que vem de F = ma) tem solução x = A t sen ( ω ) também é A solução mais geral é uma combinação linear dessas duas possíveis soluções: x = B sen ωt + C cos ωt dx dt d x dt ( ) ( ) = ωb cos ωt ωc sin ωt ( ) ( ) = ω B sin ωt ω C cos ωt = ω x ( ) ( ) 9

Derivação Queremos usar a solução mais geral. Vamos mostrar que: x = Acos ωt + φ e equivalente a x = Bsen ωt + C cos ωt ( ) ( ) ( ) x = Acos ωt + φ ( ) = Acos ωt cosφ Asen ωt senφ ( ) ( ) = C cos ωt + Bsen ωt ( ) ( ) onde C = Acos φ e B = -Asenφ Assim, podemos usar mais geral! Funciona! x = Acos( ωt + φ ) como a solução 30

Movimento Harmônico Simples Exercício 1: Você está sentado na prancha de surfe, que sobe e desce ao flutuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical da prancha y é dado por ( 1, 1 ) cos π y = m t +,0 s 6 a) Determine a amplitude, a frequência, a frequência angular, a constante de fase, a frequência e o período do movimento. 31

Movimento Harmônico Simples b) Onde está a prancha, em t=1,0 s? c) Determine a velocidade e a aceleração, como funções do tempo t. d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade e da aceleração da prancha. 3

Movimento Harmônico Simples Exercício : Um corpo oscila com uma frequência angular w=8,0 rad/s. Em t=0, o corpo está em x=4,0 cm com uma velocidade inicial v x =-5 cm/s. a) Determine a amplitude e a constante de fase do movimento. b) Escreva x como função do tempo. 33

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Existe uma relação entre o movimento harmônico simples e o movimento circular de rapidez constante. Considere uma partícula se movendo com rapidez constante v em um círculo de raio A. 34

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Seu deslocamento angular em relação à orientação +x é dado por. θ = ω t + δ v onde δ representa o deslocamento angular no tempo t = 0 e ω = A representa a rapidez angular da particula. A componente x da posição da partícula é. x = Acosθ ( ω θ ) x = Acos t + Que é a mesma equação para o MHS. 35

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Quando uma partícula se move com rapidez constante em um círculo, sua projeção sobre um diâmetro do círculo descreve um movimento harmônico simples (MHS). A rapidez de uma partícula que se move em um círculo é dada por. v = ωr onde r representa o raio da trajetoria da particula. Para uma partícula em movimento circular. r = A v = ω A 36

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular A projeção do vetor velocidade sobre o eixo x é: v = vsenθ x Substituindo v e θ, temos: v x = vsenθ ( ) v = ω Asen ωt + δ x que é a mesma equação para o MHS. A relação entre o movimento circular e o movimento harmônico simples é mostrada de forma muito bonita pela trilha de bolhas produzida por uma hélice de barco. 37

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular cosθ = θ = ωt x A x = Acosθ ω: velocidade angular z y v 0 x θ v A θ A - x = ω = π f x Acosωt x x = Acos π ft ou x = Acos π t T v = v sinθ = v sin π ft = v sin 0 0 0 F a = = a cos 0 π ft m π t T z y x v x A 38

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Como relacionar o MHS com o MCU? y R θ R ωt = cos = cos( ) y 1 1 1 3 3 4 x -1 0 θ 6 4 6 5 5 π π π 39

Força Elástica e Energia Potencial Seja um corpo distante x do equilíbrio, sob a ação da força restauradora F = kx Configuração de referência: x 0 = 0 Ou: U ( x) = 0 ( k) xdx 1 U ( x) = kx x 0 40

Energia no MHS Para o movimento harmônico simples 1 = cos + U ka ωt ( δ ) A Energia Cinética do sistema é K = 1 mv x = Acos( ωt + δ ) Energia Potencial no MHS onde m é a massa do corpo e v é sua rapidez. Para o movimento harmônico simples, v = ω A ωt + δ x sen ( ) 41

Energia no MHS Substituindo, fica 1 = ω ω + δ K m A sen t Usando k ω = m ( ) 1 = + K ka sen ωt ( δ ) Energia Cinética no MHS 4

Energia no MHS A Energia Mecânica Total E é a soma das energias potencial e cinética 1 1 = + = cos ω + δ + sen ω + δ 1 ( ω δ ) ( ω δ ) E U K ka t ka t = ka cos t + + sen t + Como cos ωt + δ + sen ωt + δ = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 43

Energia no MHS 1 E = U + K = ka Energia Mecânica total no MHS A Energia Mecânica total no movimento harmônico simples é proporcional ao quadrado da amplitude. 44

Energia no MHS Tanto para a mola quanto para o pêndulo, pode-se derivar a equação do MHS usando a conservação de energia. A energia total (K + U) do sistema em MHS será sempre constante. Isso não deveria ser uma surpresa, pois somente há forças conservativas presentes, e portanto a energia total K+U é conservada. 45

Conservação da Energia Mecânica no MHS 1 1 1 E = mv + kx E = ka 46

Conservação da Energia Mecânica no MHS A Figura abaixo mostram os gráficos de U e de K em função do tempo. Estas curvas possuem o mesmo perfil, exceto que uma é zero quando a outra é máxima. Seus valores médios, sobre um ou mais ciclos, são iguais e, porque U + K = E, seus valores médios são dados por 1 U = K = E med med 47

Conservação da Energia Mecânica no MHS 48

Exercícios Exercício 1. Um corpo de 3,0 kg, preso a uma mola, oscila com uma amplitude de 4,0 cm e um período de,0 s. (a) Qual é a energia total? (b) Qual é a rapidez máxima do corpo? (c) Em qual posição x 1 a rapidez do corpo é a metade de seu valor máximo? 49

Exercícios Exercício. Energia e momento linear no MHS Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples horizontal com uma amplitude A 1. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. 50

Exercícios (a) Calcule a nova amplitude e o período. 51

Exercícios (b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória. 5

Exercícios Solução: (a) O problema envolve o momento em uma dada posição e não em dado instante, logo podemos usar o método da energia. Antes de a massa cair sobre o bloco, a energia mecânica da mola e do bloco oscilantes era constante. Quando a massa gruda no bloco, a colisão é completamente inelástica; existe conservação do componente x do momento linear, porém a energia mecânica diminui. 53

Exercícios Solução: Depois que a colisão termina, a energia mecânica passa a ser novamente constante com um novo valor menor do que antes da colisão. Vamos examinar estes três estágios antes, durante e depois da colisão. Antes da colisão a energia mecânica total da mola e do bloco é dada por E = 1 ka 1 1 54

Exercícios Solução: Como o bloco está na posição de equilíbrio, U = 0, logo a energia é puramente cinética. Designando por v 1 equilíbrio, obtemos a velocidade do bloco na posição de 1 1 E = Mv = ka 1 1 1 logo v = k M A 1 1 55

Exercícios Solução: Durante a colisão existe conservação do componente x do momento linear do sistema massa e bloco. (Por quê?) Imediatamente antes da colisão este momento linear é dado pela soma de Mv 1 (para o bloco) e zero (para a massa). Imediatamente depois da colisão, o bloco e a massa se movem juntos com velocidade v e o momento linear deste conjunto é dado por 56

Exercícios Solução: M + m v ( ) Pela lei da conservação do momento linear, obtemos Mv + 0 = M + m v logo ( ) 1 v = M M + m v 1 A colisão dura um intervalo de tempo muito pequeno, de modo que imediatamente depois da colisão o bloco e a massa se encontram ainda na posição equilíbrio. 57

Exercícios Solução: A energia ainda é puramente cinética, porém é menor do que a energia cinética antes da colisão: 1 1 M M 1 1 1 ( ) E = M + m v = v = Mv M + m M + m M = E M + m 1 58

Exercícios Solução: (A energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura da massa e do bloco). Como E 1 ka = onde A é a amplitude depois da colisão, temos M 1 M 1 E = E ka = ka M + m M + m 1 1 = M A A1 M + m 59

Exercícios Solução: Quanto maior for o valor de m da massa do vidraceiro, menor será a amplitude da oscilação. O cálculo do período da oscilação depois da colisão é dado por: T = π M + k m Quando a massa do vidraceiro cai sobre o bloco que oscila no momento em que ele passa pela posição de equilíbrio, o período se torna mais longo e a amplitude se torno menor. 60

Exercícios Solução: (b) Neste caso, quando a massa do vidraceiro cai sobre o bloco, ele está instantaneamente em repouso; todo energia mecânica é armazenada na mola como energia potencial. Novamente durante a colisão existe conservação do componente x do momento linear do sistema massa e bloco, porém agora este componente é igual a zero antes e depois da colisão. 61

Exercícios Solução: O bloco possuía energia cinética zero imediatamente antes da colisão; a massa e o bloco devem possuir energia cinética zero imediatamente depois da colisão. Logo, neste caso a soma da massa extra da massa do vidraceiro não possui nenhum efeito sobre a energia mecânica. Ou seja, 6

Exercícios Solução: 1 E = E = ka 1 1 e a amplitude continua sendo dada por A 1. Contudo, o período ainda varia quando a massa é grudada no bloco; o seu valor não depende do modo pelo qual a massa é adicionada ao sistema, apenas depende do valor da massa total. 63

Exercícios Solução: Logo, T é igual ao obtido na parte (a), T = π M + k m Quando a massa do vidraceiro é adicionada deste modo não ocorre nenhuma variação na amplitude, mas o período se torna mais longo. 64