Cálculo Innitesimal I - 2015/01 - Marco Cabral Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ Monitores: Zair Henrique & Jonathas Ferreira Lista 01 - Introdução à matemática No. Try not. Do... or do not. There is no try. - Master Yoda, The Empire Strikes Back (1980) Considerações iniciais: Na matemática, um Axioma é uma hipótese inicial da qual outros enunciados são logicamente derivados. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Partindo dos Axiomas, toda a teoria é desenvolvida e os resultados obtidos em sequência, podem (e devem) ser utilizados para que outros teoremas sejam provados. Os teoremas podem ser deduzidos por uma sequência de raciocínios lógicos, a qual chamamos de demonstração. Os tipos mais usados são: Demonstração direta A demonstração direta é aquela em que partindo da hipótese inicial, através de uma série de argumentos verdadeiros e deduções lógicas, concluímos a veracidade da tese. Demonstração por contraposição A contrapositiva de A implica em B é não-b implica em não-a e, pela lógica, são equivalentes. Provar uma é o mesmo que provar a outra. Por exemplo, Se como laranjas, então gosto de frutas. é equivalente a Se não gosto de frutas, então não como laranjas. Pense nisto! Demonstração por contradição O método da demonstração por contradição consiste em supor que o que se quer concluir é falso. Desta suposição, através de uma sequência de deduções lógicas, chegarmos a uma conclusão que contradiz suas hipóteses iniciais ou a um fato que é sabidamente falso. Essa contradição implica a validade do que se queria concluir. Por exemplo. Queremos provar que A é verdadeiro. Suponha que A é falso e deduza desta hipótese que 2 = 3. Isto implica que A é verdadeiro. A razão lógica disto é o princípio do terceiro excluido: ou A é verdadeiro, ou A é falso. Se A falso implicar em algo absurdo, então A é verdadeiro. Na realidade, o porquê desses métodos de demonstração funcionarem também é um teorema, que pertence a uma área que fundamenta a Matemática, a Lógica. Estranho não? Independentemente do método usado, lembre-se de sempre escrever todos os seus passos. Procure ser claro e não omita informações ainda que pareçam irrelevantes. 1. Demonstração direta Vamos ilustrar demonstração direta provando propriedades de conjuntos. Deve-se ter em mente que nem sempre os resultados que julgaremos serem fáceis (ou intuitivos), possuem uma demonstração fácil. Começamos denindo igualdade de conjuntos através do conceito de estar contido. Denição 1 Dados conjuntos A e B dizemos que A B se para todo a A, a B. Denição 2 Dados conjuntos A e B dizemos que A = B se A B e B A. Logicamente (verique!), A = B se, e somente se, todos os elementos do conjunto A são elementos de B, e todos os elementos de B são elementos de A. Exemplo 1 Sejam A e B dois conjuntos tais que B A. Então A B = A. 1
Prova: Se x A B, então x A ou x B. Como B A, então temos que x B x A. Logo, para todo x A B x A, ou seja, A B A. Mas para todo x A, é fato que x A B, logo A A B. Assim, concluí-se que se B A, então A B = A. Note que cou faltando denir união de conjuntos. Além disso, na denição de A B, faltou denir a A. Mas, na teoria dos conjuntos, a noção de pertence é similar a ponto e reta na fundamentação da geometria, é um termo primitivo, sem denição. Uma referência clássica é Teoria Ingênua dos Conjuntos (Naive Set Theory) P. Halmos. Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos por demonstração direta. Exercício 1 (a) Mostre que, dados os conjuntos A, B e C, tem-se: A (B C) = (A B) (A C). Exercício 1 (b) Mostre que A (B C) = (A B) (A C). Exercício 1 (c) Mostre que se A B, então, B (A C) = (B C) A, para qualquer conjunto C. 2. Demonstração por Contraposição e Contradição Vamos ilustrar estes tipos de demonstração provando que 2 é um número irracional. Para isso vamos provar primeiramente um resultado que será útil durante a demonstração principal. Em geral, quando provamos um resultado para usá-lo em outra demonstração, damos a ele o nome de Lema. Assim, resultado principal é Teorema, acessório, Lema. Existe também o termo Proposição, que é similar a Teorema. Assim o que é Teorema ou Proposição em algum texto, pode ser Lema em outro, dependendo do objetivo a que se quer chegar. (a) Exemplo de Demonstração por contraposição Lema 1 Se a 2 é par, então a é par. Prova: Vamos utilizar a contraposição para demonstrar isso. Ou seja, iremos provar que se a não é par, então a 2 não é par. Pela princípio da paridade, se um número inteiro não é par, então é ímpar. Logo, iremos provar que se a é ímpar, então a 2 é ímpar. Se a é ímpar, então pode ser escrito da forma a = 2p + 1 para algum p N. Logo, a 2 = (2p + 1) 2 = (2p + 1)(2p + 1) = 4p 2 + 4p + 1 = 2(2p 2 + 2p) + 1 = 2q + 1 com q = 2p 2 + 2p, que é um número ímpar, como queríamos demonstrar. (b) Exemplo de Demonstração por contradição Utilizando o Lema 1 provamos que 2 é irracional pelo o método da contradição. Prova: Suponha, por contradição, que 2 não é irracional, isto é, suponha que 2 é racional. Então, 2 = a/b, com a, b Q. Por denição 2 > 0 (veja exercício abaixo), logo podemos supor que a, b > 0. Além disso, podemos supor que mdc(a, b) = 1 (exercício). Logo, b 2 = a Elevando ambos os lados ao quadrado, 2b 2 = a 2 Portanto, a 2 é múltiplo de 2 (=par). Pelo Lema 1, temos que a é par e com isso podemos escrever a = 2k com k N. Substituindo na equação acima, teremos 2b 2 = (2k) 2 = 4k 2 2
Logo, b 2 = 2k 2. Assim, pelo Lema 1 novamente, b é múltiplo de 2. Mas se a e b são múltiplos de 2, então mdc(a, b) 1, o que contradiz uma de nossas hipóteses. Logo 2 é irracional. Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos utilizando a técnica da demonstração por contradição. Exercício 2 (a) Mostre que p, onde p é um número primo, também é irracional. Exercício 2 (b) Generalize o argumento acima para n p onde p é um número primo e n N. Exercício 2 (c) Agora mostre que n p m onde p é um número primo e m, n N, com mdc(m, n) = 1, também é irracional. Exercício 2 (d) Você sabe que existem innitos números primos. Mas já parou para pensar sobre como demonstrar isso? Então, vamos lá. Suponha que o conjunto P dos primos é nito: P = {p 1,..., p n }. Então, tome K = p 1 p 2... p n + 1 e chegue a uma contradição. Dica: Mostre que K não é divisível por nenhum p i. Exercício 2 (e) Prove que existem innitos primos na progressão aritmética 4n+3 com n N seguindo o seguinte roteiro: (i) Prove Lema A: todo primo diferente de 2 é da forma 4n + 1 ou 4n + 3. (ii) Prove Lema B: o produto de números da forma 4n+1 é da forma 4n+1. (iii) Suponha, por contradição, que exista um número nito de primos da forma 4n+3, digamos, p 1,..., p k. Dena N = 4p 1... p k 1 = 4(p 1... p k 1) + 3. Conclua que N é da forma 4n + 3 e, portanto, N não é primo. (iv) Assim, N é divisível por algum primo. Prove que este primo deve ser da forma 4n + 1. Dica: Nenhum dos p 1,..., p k nem 2 divide N. (v) Assim N será o produto de números na forma 4n + 1 e, pelo Lema B, N será desta forma, chegando a uma contradição. Observação: A generalização disso para qualquer progressão kn + p com mdc(k, p) = 1 é o chamado Teorema de Dirichlet, porém a demonstração é surpreendentemente difícil. 3. Imagine uma leira com innitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam de tal modo distribuídos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor também cai. O que acontece quando derrubamos o primeiro dominó? Esperamos que, com isso, mesmo que sejam innitos, todos os dominós caiam. Assim é o princípio da indução nita, que é um método de demonstração muito utilizado quando se quer provar teoremas válidos para todos números naturais. Teorema 1 (Ou axioma?) Para cada n N, seja P (n) uma propriedade sobre n. Suponha que (a) P (1) é verdade. (b) Para todo k N, se P (k) é verdade, então P (k + 1) é verdade. Então, P (n) é verdade para todo n N. Exemplo 2 Vamos provar usando indução que: Seja p um primo e n um inteiro positivo. Então n p n é um múltiplo de p. Esse resultado é conhecido como Pequeno Teorema de Fermat. 3
Prova: O caso n = 1 é óbvio. Então, assumamos que a armação vale para todo k n e vamos mosrar que isso implica a validade para o caso n + 1. Veja que (n + 1) p (n + 1) = n p + = n p n + n ( ) p [ n j ] + 1 n 1 i i=1 n i=1 ( ) p n j i Como ( p i) n j é múltiplo de p quando 1 j p 1 e como pela nossa hipótese de indução n p n também é múltiplo de p, concluímos então que (n + 1) p (n + 1) é múltiplo de p, logo, o teorema é válido n N. Exercício 3 (a) Mostre, utilizando indução, que 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1) 2. Exercício 3 (b) Mostre, utilizando indução, que 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6. Exercício 3 (c) Mostre, utilizando indução, que 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 = [ n(n+1) 2 ] 2. Exercício 3 (d) Quanto vale 1 k + 2 k + 3 k +... + n k? É possível dar uma fórmula fechada para essa expressão para todo k N? Exercício 3 (e) Vamos agora provar que as funções da forma T n (x) = cos (n arccos (x)) são polinômios para todo n natural. Eles são os chamados Polinômios de Tchebyshev. i. Mostre que T 1 (x) e T 2 (x) são polinômios. ii. Suponha que T k (x) é um polinômio para todo k N tal que k n. Mostre que isso implica que T n+1 (x) é um polinômio. iii. Conclua a demonstração. 4. Leia essa passagem do romance A Culpa é das Estrelas de John Green. Não posso falar da nossa história de amor, então vou falar de matemática. Não sou formada em matemática, mas sei de uma coisa: existe uma quantidade innita de números entre 0 e 1. Tem o 0,1 e o 0,12 e o 0,112 e uma innidade de outros. Obviamente, existe um conjunto ainda maior entre o 0 e o 2, ou entre o 0 e o 1 milhão. Alguns innitos são maiores que outros. Você acha que as armações deste trecho são verdadeiras? Será que existem mais números reais no intervalo (0, 2) do que no intervalo (0, 1)? Será que existem innitos maiores que outros? Começamos com denições. Denição 3 Uma função f : A B é chamada injetiva quando, dados x, y quaisquer em A, se f(x) = f(y), então x = y. Uma função f : A B é chamada sobrejetiva quando para todo y B existe pelo menos um x A tal que f(x) = y. Quando f : A B é injetiva e sobrejetiva, chamamos f de bijetiva. A medida de quantidade de elementos de um conjunto é dita cardinalidade do conjunto. Por exemplo, o conjunto {3, 5, 8} tem cardinalidade 3. Denição 4 Dizemos que um conjunto A tem a mesma cardinalidade um conjunto B se existe uma bijeção entre A e B. 4
Exercício 4 (a) Prove que f : R R denida por f(x) = 5x 2 é bijetiva. Prove que a função determinante, denida no conjunto das matrizes 2 2 é sobrejetiva. Prove que G : N N N denida por g(a, b) = 2 a 3 b é injetiva mas não é sobrejetiva. Exercício 4 (b) Dena conjunto nito e um conjunto innito (pesquise). Exercício 4 (c) Dena conjunto enumerável e um conjunto não-enumerável (pesquise). Exercício 4 (d) Prove que N e Z tem a mesma cardinalidade. Sim, existem tantos naturais quanto inteiros. Exercício 4 (e) Prove que existe uma bijeção entre N e Q. É isso mesmo, N, Z e Q tem o mesmo número de elementos. Exercício 4 (f) Agora, demonstre que não existe bijeção entre N e R e conclua que existem sim innitos maiores que outros. Procure sobre o argumento diagonal de Cantor. Exercício 4 (g) Utilize cardinalidade para provar que existem números reais irracionais. Dica: contradição. Exercício 4 (h) Mostre que a personagem realmente não é formada em matemática :), isto é, que os intervalos (0, 1) e (0, 2) tem o mesmo número de elementos. Exercício 4 (i) Veja se é possível estender o argumento para provar que qualquer intervalo (a, b) tem o mesmo número de elementos que R. Dica: Figura abaixo ou função am. Exercício 4 (j) Pesquise o que são números algébricos e números transcendentes e prove a enumerabilidade do conjunto dos números algébricos. Exercício 4 (k) Utilize cardinalidade para provar que existem números reais transcendentes. Dica: contradição. 5. Um conjunto X é chamado denso em R quando todo intervalo aberto (a, b) R possui algum ponto de X. Ou seja, a, b R com a < b, x X tal que a < x < b. Intuitivamente isso signica dizer que o conjunto X está bem 'espalhado' por toda a reta. Exercício 5 (a) Mostre que o conjunto Q dos números racionais é denso em R. Dica: se comprimento do intervalo (a, b) é maior que 1/N, N N, então andando em passos de tamanho 1/N vou cair no intervalo (a, b). Exercício 5 (b) Mostre que o conjunto R Q dos números irracionais também é denso em R. Dica: ande com passos irracionais. É interessante perceber que, um conjunto pode ser denso em outro mesmo tendo cardinalidade diferente, como no caso dos racionais. Você verá que, cedo, estes dois resultado serão muito úteis para você. 5
6. Em matemática, patologias são resultados que de certa maneira vão de encontro às idéias intuitivas, matematicamente falando, de um certo período da história. Um exemplo é a descoberta de que existem números irracionais na Grécia antiga. Parece bobo nos dias de hoje, mas na época foi algo que deixou os matemáticos bastante assustados. Nas questões abaixo, pesquise na internet ou em livros os assuntos e tente escrever sobre eles com suas próprias palavras, com base na sua intuição sobre o que entendeu. Exercício 6 (a) O que é o Axioma da Escolha? Ele faz sentido para você? Procure saber o motivo desse axioma ser tão polêmico na matemática. Procure pelo Paradoxo de Banach-Tarski. Exercício 6 (b) Fale sobre o Teorema da Incompletude de Gödel e sua importância na Matemática. Exercício 6 (c) Pesquise sobre a Conjectura de Goldbach. Exercício 6 (d) O que é um fractal? Para que ele serve? Exercício 6 (e) Se um hotel possui innitos quartos, mas todos estão cheios, é possível esse hotel receber mais hóspedes? Pesquise sobre o Hotel de Hilbert. O livro de Análise de C. Neri e M. Cabral (veja na internet) tem um texto legal sobre isso. Exercício 6 (f) Todas as pessoas do mundo torcem para o mesmo time. Vamos demonstrar isso por indução. Podemos observar que num conjunto que contém uma única pessoa, todas torcem pro mesmo time. Se supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior ou igual a n, então se houver n + 1 pessoas num conjunto, retiramos uma delas para obter um conjunto resultante com n pessoas, e pela hipótese de indução, todas as pessoas nesse conjunto torcem pro mesmo time. Devolvemos a pessoa retirada ao conjunto inicial, e retiramos outra diferente. Pela hipótese de indução, todas as n pessoas torcem pro mesmo time. Logo as n + 1 pessoas torcem pro mesmo time. Então para qualquer n N, as n pessoas torcem para o mesmo time. E agora? Isso está errado? E se estiver, onde está o erro? Exercício 6 (g) Considere o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se têm a si próprios como membros". Formalmente, A é elemento de M se e somente se A não é elemento de A. Esse conjunto (M) é membro de si próprio? Suponha que sim e depois que não. O que você conclui? Pesquise sobre o paradoxo de Russell. Exercício 6 (h) Será que existe o conjunto universo, isto é, um conjunto que contenha todos os conjuntos? As pessoas, em geral, pensam que a matemática é algo completamente certinho e exato, onde tudo sempre funciona e faz perfeito sentido. Bom, você acaba de ver que elas estão completamente enganadas, e que, mesmo nos dias de hoje, ainda existem diversas coisas que deixam o mundo matemático bastante intrigado. 6