TRABALHO DE MATEMÁTICA II Prof. Sérgio Tambellini 2 o Trimestre / 2012 2 o Azul Questão 04 GRUPO 1 (FUVEST2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 01) 551 02) 552 03) 553 04) 554 05) 555 RESOLUÇÃO: Número de casos possíveis: 5= 625 Número de casos favoráveis a que o algarismo 1 apareça seguido imediatamente do número 3: I) UM C D U Nº de casos possíveis 1 3 1 1,2,4,5 1x1x1x4=4 1 3 2,3,4 ou 5 1,2,3,4 ou 5 1x1x4x5=20 II) UM C D U Nº de casos possíveis 1,2,3,4,5 1 3 1,2,3,4 ou 5 5x1x1x5= 25 III) UM C D U Nº de casos possíveis 1 3 1 3 1 1 1,2,4,5 1 3 1x4x1x1=4 2,3,4,5 1,2,3,4,5 1 3 4x5x1x1=20 Num total de 74 casos favoráveis. Logo Maria pode escolher a sua senha de (625 74) = 551 Questão 31 (PUC RIO 2011) Em uma caixa há 3 meias azuis 5 meias pretas e 7 meias brancas. Qual o numero mínimo de meias que devemos retirar para garantir que tenhamos retirado pelo menos um par de meias da mesma cor? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 13 Resposta: (B) 4 RESOLUÇÃO Com três meias podemos ter uma de cada cor, mas com quatro haverá obrigatoriamente uma das três cores para a qual teremos pegado pelo menos duas meias.
GRUPO 2 Questão 08-(PUC MINAS 2009) As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M = {3, 4, 6, 7, 8}. Nessas condições, é correto afirmar que o número máximo de apartamentos desse hotel é: a) 24 b) 36 c) 44 d) 50 Para o número ser ímpar, o algarismo das unidades só poderá ser 3 ou 7) Então, Com o final sendo 3, restam 2 casas à serem preenchidas e 5 números. Então 5*5 = 25 Agora com o final valendo 7, restam 2 casas também, portanto 5*5 = 25 Somando as 2 possibilidades, 25 + 25 = 50 Obs: O exercício não fala de algarismos distintos, por isso os números podem repetir. Questão 20- (UFJF 2009) De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar? a) 100 b) 360 c) 570 d) 720 e) 1140 de 1 a 20 ==> 10 números pares, 10, ímpares. para a soma de 3 números seja ímpar, a soma desses números devem ser: (par + par + ímpar) ou (ímpar + ímpar + ímpar) escolhemos três números impares. 1+3+5= 5+3+1 é igual, portanto, não precisa de ordem. então é uma combinação. "par + par + ímpar" ==> C10,2 * C10,1 = 450 "ímpar + ímpar + ímpar" ==> C10,3 = 120 logo, há 450 + 120 = 570 maneira
Questão 11- (UFMG 2010) GRUPO 3 Para montar a programação de uma emissora de rádio, o Programador musical conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock,3 de Pop. Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas, agrupadas por estilo, é dado por: a) b) c) d) Resolução: Alternativa a) Temos 3 estilos de música, 3 grupos: MPB, Rock, Pop. Dentro de cada grupo, podemos ordenar as músicas de MPB 4! maneiras diferentes, as de Rock 3! diferentes e as de Pop 3! diferentes: Além disso, podemos permutar a ordem dos estilos de 3! Maneiras: Questão 27-(UEMG 2010) Observe a tirinha abaixo: A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de cabo de guerra. Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a
a) 60. b) 150. c) 600. d) 120. Resolução: No enunciado, entende-se que qualquer um dos amigos pode ocupar qualquer posição. Logo: P5 = 5! = 120 (5 amigos em 5 posições) GRUPO 4 Questão 13 (UFRN 2010) A figura ao lado mostra um quadro com sete lâmpadas fluorescentes, as quais podem estar acesas ou apagadas, independentemente umas das outras. Cada uma das situações possíveis corresponde a um sinal de um código. Nesse caso, o número total de sinais possíveis é a) 21 b) 42 c)128 d) 256 Resolução: 2 n = 2 7 = 2.2.2.2.2.2.2 = 128 Questão 40 (UERJ 2010) Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante. Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente. Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n m.
Resolução: Combinação simples C n,p = A n,p / P p C 6,3 = A 6,3 / P 3 C 6,3 = 6x5x4/3x2x1 C 6,3 = 20 C m,p = A m,p / P p C 5,3 = A 5,3 / P 3 C 5,3 = 5x4x3/3x2x1 C 5,3 = 10 C n,p C m,p 20-10 = 10 Questão 16 (PUC-RS 2009) GRUPO 5 Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. O número de possibilidades de formar, com essas 10 pessoas, um grupo que contenha exatamente 3 mulheres e 2 homens é A) C 8,3 B) C 10,5 C) 2C 8,3 D) A 10,5 E) A 8,3 Resolução MULHERES HOMENS TOTAL C 8,3 = n!/ p!(n-p)! C 2,2 = n!/ p!(n-p)! 56x1 = C 8,3 = 8!/ 3!(8-3)! C 2,2 = 2!/ 2!(2-2)! 56 = C 8,3 = 8.7.6.5!/ 6.5! C 2,2 = 2/ 2. 0! C 8,3 C 8,3 = 8.7 C 2,2 = 1 C 8,3 = 56 RESPOSTA: letra A
Questão 22 (ENEM 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de A) 60 min. B) 90 min. C) 120 min. D) 180 min. E) 360 min. Resolução O número de sequências possíveis para visitar as 5 cidades é 5! = 120. Do enunciado, cada sequência possui uma única simétrica, que não precisa ser examinada. Assim, o número de sequências que João precisa verificar é 120/2 = 60. Desse modo, o tempo necessário é 1,5 60 = 90 minutos. Resposta = letra B..::FIM::..