Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO Ficha de exercícios 1 Estatística Descritiva 2014/2015 1. Numa revista foi publicada uma lista com as 100 empresas portuguesas, com maior volume de vendas. Assuma que um investigador com tempo e dinheiro limitado quer prever o número de novos empregados que estas empresas pretendem contratar no próximo ano. O investigador selecciona 10 das 100 empresas e pergunta ao representante de cada empresa o número previsto de novas contratações. (a) Identifique a população. (b) Qual é a variável de interesse? (c) Identifique a amostra. (d) Que inferência podemos fazer acerca da população a partir da amostra? 2. Uma companhia de seguros gostaria de determinar a proporção de médicos que estiveram envolvidos em processos de negligência médica. A companhia selecciona aleatoriamente 300 médicos da sua directoria profissional e determina a proporção destes envolvidos em processos de negligência médica. (a) Identifique a população e a variável de interesse para a companhia de seguros; (b) Descreva a amostra e identifique o tipo de inferência que a companhia pretende fazer; (c) O que significa aleatoriamente no texto acima. 3. Partilha de empregos é uma nova alternativa de emprego que teve origem na Suécia e tornou-se muito popular noutros países. As firmas que oferecem planos de partilha de empregos permitem que duas ou mais pessoas trabalhem em tempo parcial correspondendo a um emprego a tempo inteiro. Os empregados podem alternar semanas mas nunca trabalham juntos. Para avaliar a satisfação dos empregados com este tipo de emprego, uma agência governamental contactou 100 firmas perguntando ao director de pessoal se a firma estava satisfeita com a produtividade dos trabalhadores. (a) Identifique a população e a amostra. (b) Identifique a variável de interesse. (c) Que tipo de inferência é o interesse da agência governamental? 4. Determine se as expressões seguintes dizem respeito a uma amostra ou uma população: (a) Inspecção de cada artigo fabricado; (b) Sondagem; (c) Censo; (d) O uso de inferência estatística; (e) Entrevistas feitas à frente de uma escola.
5. Indique se as variáveis que se seguem são discretas ou contínuas: (a) O peso de um artigo produzido por determinada empresa; (b) O número de artigos defeituosos; (c) O número de pessoas que estão empregadas por região geográfica. 6. Uma empresa de produtos alimentares biológicos pretende abrir um estabelecimento numa certa localidade. Para ver como os consumidores reagem a essa possibilidade, a companhia conduziu um teste usando uma amostra aleatória a 100 potenciais clientes. As seguintes questões foram colocadas: Qual a sua idade; É a pessoa que faz as compras para sua casa; Quantos elementos fazem parte do seu agregado familiar; Compraria neste estabelecimento; Como classificaria a localização da loja, numa escala de 1 a 10, onde 1 é má; Se respondeu sim na alínea 4) quantas vezes por semana iria a esta estabelecimento. Cada uma destas questões define uma variável de interesse para a empresa. Classifique, justificando, cada uma dessas variáveis segundo a sua escala. 7. Classifique cada uma das variáveis seguintes quanto à sua escala e justifique a sua resposta. (a) Marca preferida de telemóveis; (b) Número de horas de desporto emitidas por diferentes canais de televisão por semana; (c) Satisfação no local de trabalho; (d) Cor do cabelo; (e) Idade; (f) O tempo diário gasto por executivos em reuniões; (g) Número de homens e mulheres envolvidos numa certa classe estatística; (h) Temperatura nas capitais de distrito. 8. Classifique os seguintes exemplos de dados quanto ao seu tipo: quantitativos ou qualitativos: (a) A marca da calculadora adquirida por uma turma de estudantes; (b) a lista de pre?cos de calculadoras adquiridas por uma turma de estudantes; (b) O mês indicado por 500 firmas como sendo o mês em que tiveram as maiores vendas; 9. Considere as seguintes variáveis: A - Número de pessoas que assistiram a um concerto B - O grau de satisfação, de 1 a 5, quanto ao atendimento, numa certa agência bancária. Onde 1 representa insatisfeito C - O rendimento mensal, em euros, de 50 agregados familiares D - A temperatura, em graus Celcius, num conjunto de cidades da Europa E - Marca de relógio preferida F - O tempo de espera numa fila num hipermercado H - A distância do Porto a uma cidade qualquer Portuguesa J - Programa de televisão favorito Classifique estas variáveis quanto à sua natureza (qualitativa ou quantitativa), tipo (discreta ou contínua) e escala (nominal, ordinal, intervalar ou absoluta).
10. Considere as seguintes variáveis: i. Idade; ii. Número de pessoas por agregado familar; iii. Altura; iv. Classificações escolares de 0 a 20; v. Estado civil; vi. Marcas de automóveis; vii. Sexo; viii. Ganhos por acções em bolsa; ix. Côr dos olhos; x. Classificações escolares de 1 a 5; xi. Salário mensal; xii. Número de ocupantes por veículo; xiii. Data de colocação de ordem de venda em bolsa; (a) Quais das variáveis são qualitativas? E quantitativas? (b) Identifique as modalidades das variáveis qualitativas. (c) Em que escala se encontra cada uma das variáveis mencionadas? 11. Numa conferência subordinada ao tema Responsabilidade Social estavam presentes 80 pessoas, das quais 22 eram gestores, 16 eram economistas, 20 sociólogos e 12 psicólogos. (a) Elabore a respectiva tabela de frequências. (b) Represente graficamente a informação. 12. A medição, expressa em cm, de 50 unidades de uma amostra conduziu à seguinte tabela de frequências: Comprimento (cm) [130, 140[ [140, 150[ [150, 160[ [160, 170[ [170, 180[ Núm. de unidades 6 15 18 7 4 (a) Complete a tabela com os outros tipos de frequências, obtenha o histograma e o polígono de frequências relativas. (b) Calcule a proporção de unidades que medem entre 140 e 170 centímetros. (c) Calcule a proporção de unidades que medem 173 centímetros ou menos. 13. Complete a seguinte tabela de frequências: x i n i N i f i 3 6 6 11 0.125 9 9 12 27 13 10 0.25 15 0.075
14. O serviço encarregado da organização do trabalho em uma empresa observou o número de peças fabricadas ao longo do tempo por cada um dos 100 empregados da ofcina, obtendo-se: 66 71 71 71 72 72 72 73 74 75 76 78 79 80 80 80 80 81 82 83 83 83 84 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 90 90 90 90 91 91 91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 94 95 97 97 98 98 99 99 99 99 99 100 100 101 102 102 102 103 103 103 103 104 105 107 107 107 107 107 108 108 109 109 112 113 113 115 115 115 115 118 118 119 122 126 (a) Qual é a representação gráfica mais adequada para esta variável estatística? (b) Obtenha a tabela de frequências para os dados agrupados (para agrupar, utilize a fórmula de Sturges), o histograma e o gráfico da função de distribuição empírica (gráfico com as frequências relativas acumuladas). 15. Os salários (em milhares de euros) dos empregados de uma empresa são: 1, 1, 3, 3, 15, 3, 2, 1. (a) Calcule a média, a mediana e a moda. (b) Compare os valores da média e da mediana. A que se deve a diferença? (c) O sindicato dos trabalhadores decidiu que para o próximo ano os salários devem aumentar 3%. Quais serão então os salários médio, mediano e modal? (d) E se decidir um aumento de 1000 euros? 16. Estudou-se durante um ano os depósitos realizados por 6000 clientes de um banco nas suas contas correntes. Os resultados encontram-se na tabela seguinte: Depósitos (milhares de u.m.) Núm. de clientes [0, 150[ 1270 [150, 250[ 1900 [250, 500[ 1060 [500, 1000[ 870 [1000, 1500[ 600 [1500, 2000[ 300 (a) Calcule a tabela com todos os tipos de frequências. (b) Calcule a média, a mediana e a moda. Interprete os resultados. (c) Determine a quantidade de dinheiro tal que os clientes que depositaram mais do que essa quantidade sejam 75%. (d) Qual o valor máximo dos depósitos dos clientes que correspondem aos 30% que menos depositaram? (e) Que percentagem de clientes efectuaram depósitos superiores a 1.100.000 u.m.? (f) Calcule o desvio padrão da variável em estudo. (g) Calcule a amplitude inter-quartis. Que pode dizer acerca da dispersão da variável em estudo? (h) Obtenha o gráfico de extremos-e-quartis.
(i) Estude a assimetria e a kurtosis utilizando as medidas apropriadas. 17. Os dados seguintes referem-se ao impostos pagos, em dezenas de euros, por 2000 contribuintes: Complete as afirmações seguintes: Imposto pago (dezenas de euros) Núm. de contribuintes [0, 15[ 248 [15, 30[ 232 [30, 45[ 489 [45, 60[ 512 [60, 75[ 263 [75, 90[ 256 (a) O gráfico que melhor permite representar estes dados é o. (b) A média dos impostos pagos pelos contribuintes foi igual a, o valor de imposto mínimo pago por 50% dos contribuintes foi igual a e a percentagem de contribuintes que pagaram no máximo 550 euros foi igual a. (c) No agrupamento dos dados, se tivesse utilizado a fóormula de Sturges a tabela de frequências seria constituída por classes. (d) Esta distribuição de frequências tem classes modais que são as classes. 18. Num estudo efectuado a 200 estudantes de uma universidade relativamente aos gastos mensais (em euros) com alimentação e propinas, obteve-se a seguinte distribuição empírica: Gastos mensais Frequência absoluta Frequência absoluta acumulada [0, 100[ 18 18 [100, 200[ 45 63 [200, 300[ 81 144 [300, 400[ 51 195 [400, 500[ 5 200 Total 200 (a) Determine as medidas de localização de tendência central, o primeiro e o terceiro quartil da amostra. Comente a simetria dos dados. (b) Construa o polígono de frequências acumuladas e represente graficamente a mediana, o primeiro e o terceiro quartil. Interprete. (c) Indique o valor em relação ao qual 10% dos estudantes gastam, no máximo, esse valor mensalmente. (d) Indique o valor em relação ao qual 25% dos estudantes gastam, no mínimo, esse valor mensalmente. (e) Esboce a Box-plot relativa aos valores observados. (f) Determine as seguintes medidas de dispersão da amostra: variância e desvio padrão.
19. Num inquérito a empregados de uma empresa, referente aos gastos diários em euros, obteve-se a seguinte tabela: Gastos (e) [10,30[ [30,50[ [50,70[ [70,90[ [90,110[ [110,130[ [130,150[ n i 4 15 66 150 40 10 5 (a) Determine a respectiva tabela de frequências. (b) Represente a informação graficamente e elabore o respectivo polígono de frequências. (c) Calcule a média, classe mediana e mediana, classe modal e moda. (d) Classifique a distribuição quanto à sua assimetria. Justifique. (e) Calcule a amplitude, a variância e desvio padrão. 20. Num inquérito efectuado a 1000 trabalhadores, referente aos litros de combustível gastos por dia, obteve-se a seguinte distribuição de frequências: Combustível (l) Trabalhadores [0,5[ 153 [5,10[ 358 [10,15[ 256 [15,20[ 147 [20,25[ 60 [25,30[ 26 Total 1000 Calcule as seguintes medidas: amplitude total, amplitude interquartil, desvio absoluto médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. ( n n n ) 2 21. Calcule x 2 i, x i, x i e o desvio padrão dos seguintes conjuntos de dados: i=1 i=1 (a) 12,1,3, 8,9 (b) 17,15, 2,6,12 (c) 1,3,0, 4, 8,13 (d) 199,0,0,2 i=1 22. Estude a associação dos atributos A e B dos seguintes quadros estatísticos: (a) (b) A\B B 1 B 2 B 3 Totais A 1 2 3 5 10 A 2 8 12 20 40 Totais 10 15 25 50 A\B B 1 B 2 B 3 Totais A 1 2 6 0 8 A 2 1 0 5 6 A 3 0 1 0 1 Totais 3 7 5 15
23. Considere a seguinte tabela de contingência: X \ Y 2 3 4 [0, 0.25[ 2 4 2 [0.25, 0.5[ 1 3 2 [0.5, 0.75[ 0 1 2 (a) Verifique se as variáveis são independentes. (b) Determine a distribuição marginal dex e a distribuição dey X [0.25,0.5[. (c) Determinex, a classe modal, moda, a classe mediana e a mediana dex. (d) Classifique a variávelx quanto à assimetria. (e) Sabendo quey = 2, qual a frequência relativa dex [0.25,0.5[? 24. Uma instituição bancária, seleccionou uma pequena amostra aleatória de clientes analisando dois atributos: X, valor médio mensal investido, e Y, produto de investimento (tipo 1; tipo 2; tipo 3). Os dados obtidos são os seguintes: (200, 1) (200, 2) (210, 1) (210, 3) (215, 2) (215, 2) (215, 3) (220, 2) (221, 1) (221, 3) (230, 2) (230, 3) (235, 1) (235, 1) (240, 2) (243, 2) (243, 1) (250, 3) (252, 2) (255, 1) (261, 2) (265, 3) (269, 1) (270, 3) (275, 2) (a) Agrupe os valores dex em classes. (b) Construa a tabela de contingência. i. Determine a distribuição marginal dex. ii. Determine a distribuição de X sabendo que os clientes sabendo que o produto escolhido é do tipo 2. (c) Determine a média, classe mediana, mediana, classe modal, moda e desvio padrão dex. (d) Classifique quanto à assimetria. (e) Determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveisx ey. 25. Os dados abaixo foram recolhidos em 13 amostras de snacks e foi contabilizado o número de juvenis que provaram de cada amostra e mediu-se a quantidade de açúcar em cada snack apresentado. quantidade de açúcar 17 20 22 28 42 55 55 75 80 90 145 145 170 número de juvenis 40 42 7 30 12 10 7 8 4 7 5 2 3 (a) Determine o diagrama de dispersão. (b) Calcule o coeficienteρde Spearman. (c) Determine o coeficiente de correlação linear entre as duas grandezas. (d) Compare os resultados das duas alíneas anteriores. 26. As classificações obtidas por 10 estudantes a Análise de Matemática e o seu QI são apresentadas no quadro seguinte: Classificações 8 14 18 10 6.5 9 14 5.2 10 13 QI 80 150 304 100 27 70 169 42 105 190
Use o coeficienteρde Spearman para verificar se as variáveis estão associadas e qual o seu grau de associação. 27. Considere a seguinte tabela de contingência: (a) Determine as distribuições marginais; X \ Y [0,3[ [3,7[ [7,10[ x 1 = 0 50 100 100 x2 = 1 50 100 150 x3 = 2 100 10 340 (b) Determine as seguintes distribuições condicionadas: i. X Y [0,3[ ii. X Y [7,10[ iii. X Y < 7 iv. Y X = 1 v. Y X 1 (c) Verifique se, a nível amostral, as variáveis são independentes; (d) Calcule: i. x Y [0,3[ ii. y X = x 2 iii. s 2 X Y [0,3[ iv. s Y X=x2 (e) Determine o 3 o quartil da distribuição dex; (f) Determine a moda da distribuição dey. (g) Determine o coeficiente de correlação linear de Pearson (r XY ) e comente o seu valor. 28. Seleccionaram-se ao acaso 100 inscritos na Ordem dos Técnicos Oficiais de Contas. Relativamente a cada um desses indivíduos, registaram-se os valores de duas variáveis: salário mensal (X, em milhares de euros) e idade (Y, em anos). A tabela de contingência que se segue resume os dados obtidos: X \ Y [16, 24[ [24, 32[ [20, 30[ 25 10 [30,40[ 10 20 [40, 50[ 5 30 (a) Determine as distribuições marginais dex ey. (b) Indique os valores da distribuição condicionaly X < 40. (c) Teste a veracidade da afirmação A nível amostral, as variáveis X e Y são independentes, verificando sef j i = f i., i,j = 1,2,3. (d) Determine o coeficiente de correlação linear de Pearson (r XY ) e comente o seu valor. (e) Calcule a média e o desvio padrão dey condicionados porx 30. (f) Calcule a média e o desvio padrão dex condicionados pory 32.
29. Considere a seguinte tabela de contingência relativa a um estudo de famílias portuguesas, em que se consideraram as variáveis número de carros do agregado familiar (X) e rendimento mensal bruto do agregado (Y, em centenas de euros): X \ Y [45,55[ [55,65[ x 1 = 1 10 35 x 2 = 2 15 10 x 3 = 3 20 10 (a) Determine as distribuições marginais dex ey. (b) Relativamente ax, determine e interprete o valor da mediana. (c) Sabendo quex = 1,85 carros es = 0,85 carros, o que pode afirmar acerca da (as)simetria da distribuição dex? (d) Relativamente ay, represente os dados graficamente. (e) Determine a distribuição dey condicionada porx 2. (f) Calcule o rendimento médio mensal bruto das famílias que têm dois ou mais carros, bem como o respectivo desvio padrão. (g) Sabendo quer XY = 0,4, interprete este valor. (h) Verifique sef j i = f i., i,j = 1,2,3. Que conclusão pode tirar? 30. Considere a seguinte tabela de contingência relativa a um estudo de empresas portuguesas com relações comerciais com os E.U.A., em que se consideraram as variáveis facturação anual (X, em milhões de euros) e número de filiais nos E.U.A. (Y ): X \ Y y 1 = 0 y 2 = 1 y 3 = 2 [0,20[ 7 3 5 [20,100[ 4 6 8 (a) Relativamente ay, determine e interprete o valor da mediana. (b) Suponha que Mo X = 23,1 10 6 e. Sem recorrer a C P, o que pode afirmar acerca da (as)simetria da distribuição dex? (c) Calcule a facturação anual média das empresas que têm no máximo uma filial nos E.U.A., bem como o respectivo desvio padrão. (d) Sabendo quey = 1,06 es Y = 0,85, determine e interpreter XY. (e) Averigúe se f j i = f i., i = 1,2, j = 1,2,3. Relacione a sua conclusão com a alínea anterior. (f) Concorda com a forma como foram construídas as classes dex? Justifique. De que modo é que outras classes poderão afectar a resposta à alínea (b)? 31. Uma amostra de 100 observações apresenta x = 20 e s = 5. Por lapso, uma observação não foi incluída no estudo. Sabendo que a média aritmética das 101 observações não se alterou, determine: (a) A observação em falta. (b) O desvio-padrão de todas as observações. Compare e comente este valor com o original.
32. Considere a seguinte tabela de contingência relativa a um estudo de 1000 famílias portuguesas, em que se consideraram as variáveis rendimento anual bruto do agregado familiar (X, em milhares de euros) e número de automóveis do agregado familiar (Y ): X \ Y y 1 = 0 y 2 = 1 y 3 = 2 [0,20[ 200 150 150 [20,40[ 100 150 50 [40,60[ 50 50 100 (a) Qual o número médio de automóveis das famílias que auferem até 40 mil euros (brutos) anualmente? Indique também o respectivo desvio padrão. (b) Qual a média do rendimento anual bruto das famílias que têm pelo menos um automóvel? Calcule também o respectivo desvio padrão. (c) Determine e interprete as medianas dex e dey. (d) Determine e interprete os terceiros quartis dex e dey. (e) Assumindo quex = 24,s X = 15,6,y = 0,95 es Y = 0,8 determine e interpreter XY. (f) Averigúe sef i j = f.j, i,j = 1,2,3. O que pode concluir? 33. Uma amostra de 500 observações apresenta x = 10 e s = 2. Por lapso, uma observação não foi incluída no estudo. Sabendo que a média aritmética das 501 observações não se alterou, determine o desvio-padrão de todas as observações. Compare e comente este valor com o original. 34. Uma amostra de 100 valores das vendas de uma empresa ao longo do tempo apresenta x = 54 es = 2 (valores em 10 6 e). Sabendo que os valores registados incluem IVA a 6%, determine a média e o desvio padrão das vendas sem IVA. 35. A seguinte tabela de contingência contém alguns dados relativos à facturação diária (X, em milhares de euros) e ao volume de vendas diário (Y, em caixas de 50 unidades) de um determinado produto que uma empresa comercializou durante 1000 dias: X \ Y [0,500[ [500,1000[ [1000,1500[ [0,10[ 130 [10,20[ 150 [20,30[ 180 (a) Tendo em conta os valores apresentados, preencha com valores ao seu critério as posições em falta. (b) Determine e interpretey. (c) Determine a facturação diária média nos dias em que o volume de vendas foi de pelo menos 500 caixas? Indique também o respectivo desvio padrão. Interprete. (d) Determine e interpreter XY. 36. Uma amostra de 500 observações apresentax = 100 es = 10. Por lapso, duas observações não foram incluídas no estudo. Sabendo que a média aritmética das 502 observações não se alterou e que o respectivo desvio padrão aumentou 10%, determine as duas observações em falta.
37. (a) Uma amostra de n = 100 indivíduos apresenta x = 20 e s = 2. Ao incluir um indivíduo em falta sabe-se que x = x. Sem calcular o valor de s, determine, justificando, se é possível ter-ses = s. (b) O extracto de um depósito a prazo apresenta os seguintes valores nos anos 0, 1, 2 e 3, respectivamente: 1000e, 1050e, 1062e e 1095e. Determine a taxa anual média desse depósito. 38. A seguinte tabela de contingência contém os dados relativos a 285 pequenas e médias empresas portuguesas, onde X (em 10 3 e) representa o lucro mensal e Y representa o número de países em que cada empresa está presente. X \ Y 1 2 3 [0,100[ 90 20 25 [100,200[ 30 50 70 (a) Determine a percentagem de empresas que obtiveram um lucro mensal superior a 130 10 3 e. (b) Determine e interprete os quantis de ordem 0.9 das distribuições dex e dey. (c) Determine o lucro mensal médio das empresas que estão presentes em pelo menos dois países, bem como o respectivo desvio padrão. (d) Sabendo quex = 103 10 3 e es X = 50 10 3 e, determine e interpreter XY. (e) Averigúe se f i j = f.j, i = 1,2, j = 1,2,3. Relacione a sua conclusão com a alínea anterior. 39. A seguinte tabela de contingência contém os dados relativos a 85 empresas internacionais, onde X (em10 3 e) representa o lucro mensal ey representa o número de países em que cada empresa está presente. X \ Y 3 4 [0,10[ 11 13 [10,20[ 12 15 [20,30[ 16 18 (a) Determine a percentagem de empresas que obtiveram um lucro mensal entre 23 10 3 e (exclusive) e25 10 3 e (inclusive). (b) Determine e interprete os terceiros quartis das distribuições dex e dey. (c) Considerando apenas as empresas com lucros superiores ou iguais a10 10 3 e, determine o número médio de países em que as mesmas estão presentes bem como o respectivo desvio padrão. (d) Sabendo quex = 16,2 10 3 e e s X = 8,2 10 3 e, determine e interpreter XY. (e) Averigúe se f j i = f i., i = 1,2,3, j = 1,2. Relacione a sua conclusão com a alínea anterior. 40. Uma amostra de 100 observações apresenta x = 10 e s = 1. Por lapso, duas observações não foram incluídas no estudo. Sabendo que a média aritmética das 102 observações não se alterou e que o respectivo desvio padrão aumentou 50%, determine as duas observações em falta.
41. A seguinte tabela de contingência contém os dados relativos a 85 empresas, ondex (em10 3 e) representa o lucro mensal ey representa o número de países em que cada empresa está presente. X \ Y 3 4 5 [0,10[ 11 13 16 [10,20[ 12 15 18 (a) Determine e interprete os terceiros quartis das distribuições dex e dey. (b) Determine a percentagem de empresas que obtiveram um lucro mensal entre 13 10 3 e (exclusive) e17 10 3 e (inclusive). (c) Considerando apenas as empresas presentes em 4 ou mais países, determine e interprete o lucro mensal médio das mesmas empresas bem como o respectivo desvio padrão. (d) Sabendo quey = 4,1 es Y = 0,81, determine e interpreter XY. (e) Averigúe se f j i = f i., i = 1,2,3, j = 1,2. Relacione a sua conclusão com a alínea anterior.