M422 - SISTEMAS E INSTALAÇÕES ELÉCTRICAS DE NAVIOS

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1 ESCOLA SUPEROR NÁUCA NFANE D. HENRQUE DEPARAMENO DE ENGENHARA MARÍMA M4 - SSEMAS E NSALAÇÕES ELÉCRCAS DE NAVOS EM EM CORRENE ALERNADA Eleentos coligidos por: Prof. Luís Filipe Baptista E.N..D.H. 011/01

2 ÍNDCE ÍNDCE NRODUÇÃO (textos adaptados da ref.[1]) CORRENE CONÍNUA VERSUS CORRENE ALERNADA.... CARACERÍSCAS DA CORRENE ALERNADA Valor nstantâneo - u(t)..... Período e Frequência Valor Eficaz - U RESSÊNCA, REACÂNCA NDUVA, REACÂNCA CAPACVA E MPEDÂNCA Circuitos co Resistências Circuitos co ndutâncias (Bobinas) pedância ndutiva (Bobina + Resistência) Circuitos co Capacitâncias (Condensadores) pedância Capacitiva (Condensador + Resistência) CRCUO COM RESSÊNCA, CONDENSADOR E BOBNA...14 BBLOGRAFA...1 ANEXO. DEFNÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCRCAS... A.1. VALOR MÉDO DE UMA GRANDEZA ELÉCRCA... A.. VALOR QUADRÁCO MÉDO (RMS)... A.3. DEERMNAÇÃO DO VALOR MÉDO E EFCAZ PARA SNAS SNUSODAS...3 A.3.1. VALOR MÉDO VALOR EFCAZ...4 ENDH/DEM MEMM 1

3 1. NRODUÇÃO (textos adaptados da ref.[1]) 1.1. CORRENE CONÍNUA VERSUS CORRENE ALERNADA Desde o início da história da electricidade que se iniciou a questão da opção entre corrente contínua (CC) e corrente alternada (CA). A partir de 188, a CA foi adoptada para o transporte e distribuição de energia eléctrica e larga escala, pelas seguintes razões: A elevação e o abaixaento de tensão são ais siples. Para reduzir as perdas energéticas no transporte de energia eléctrica é necessário elevar o valor da tensão. Posteriorente, a distribuição dessa energia eléctrica aos consuidores, é necessário voltar a baixar essa tensão. Para isso, utiliza-se transforadores elevadores e abaixadores de tensão, de construção bastante siples e co u bo rendiento. O processo de reduzir e auentar a tensão e CC é bastante ais coplexo, ebora coece a aparecer, hoje e dia, sisteas de electrónica de potência capazes de executar essa tarefa (ebora co liitações de potência); Os alternadores (geradores de CA) são ais siples e tê elhor rendiento que os dínaos (geradores de CC); Os otores de CA, particularente os otores de indução são ais siples e tê elhor rendiento que os otores de CC; A CA pode transforar-se facilente e CC por interédio de sisteas rectificadores.. CARACERÍSCAS DA CORRENE ALERNADA.1. Valor nstantâneo - u(t) O valor instantâneo de ua grandeza alternada sinusoidal (u) pode representar-se ateaticaente e função do tepo (t): u(t) = U.sin (ωt) (1) e que ω representa a velocidade angular (velocidade de rotação do alternador que gera a energia eléctrica alternada sinusoidal) e representa-se e radianos por segundo (rad/s). A relação entre a velocidade angular ω (rad/s), a frequência f (Hz) e o período (s), é a seguinte: π ω = πf = () Se consideraros u vector U, de copriento U, rodando à velocidade ω, o valor instantâneo u será a projecção vertical desse vector: Figura 1. Valor instantâneo de u coo projecção de vector e rotação. ENDH/DEM MEMM

4 Co efeito, podeos confirar graficaente a relação ateática através da Figura 1: u = U.sin (ω t) (3).. Período e Frequência Dado que a CA se repete periodicaente (ciclicaente), ua das características fundaentais é o valor do intervalo de tepo entre repetições (ou ciclos), ou seja, o período (), cuja unidade é o segundo (s). Figura. Período de ua tensão alternada sinusoidal. É cou utilizar-se ua outra característica da CA, directaente relacionada co o período (a frequência f). Esta grandeza representa o núero de ciclos que ocorre nu segundo e a sua unidade é o Hertz (Hz). A relação entre a frequência e o período é então: 1 f = (4) Note-se que o período e a frequência são características couns a todos os sinais periódicos, isto é, não se utiliza apenas e corrente alternada sinusoidal, as tabé e sinais de outras foras (quadrada, triangular, digital, etc.) Aplitude Máxia - U A aplitude áxia, tabé designada por valor áxio ou valor de pico, é o valor instantâneo ais elevado atingido pela grandeza (tensão, corrente, f.e.., etc.). Para as grandezas tensão e corrente, este valor pode ser representado pelos síbolos U e. Pode considerar-se aplitudes áxias positivas e negativas: ENDH/DEM MEMM 3

5 Figura 3. Aplitude áxia de ua tensão alternada sinusoidal..4. Valor Eficaz - U O valor eficaz de ua grandeza alternada é o valor da grandeza contínua que, para ua dada resistência, produz, nu dado tepo, o eso Efeito de Joule (calorífico) que a grandeza alternada considerada. No caso de grandezas alternadas sinusoidais, o valor eficaz é vezes enor que o valor áxio, independenteente da frequência (Figura 4): U = 0.7 ; U = 0.7 U (5) Note-se que: A prova desta relação pode encontrar-se, por exeplo, e Bessonov, Electricidade Aplicada para Engenheiros; O valor eficaz não é o eso que o valor édio aritético; A relação de entre o valor áxio e o valor eficaz só se verifica para CA. Para outras foras de onda, a relação é diferente; O valor indicado pelos voltíetros e aperíetros, quando se efectua edidas e CA, é o valor eficaz; Quando é referido u dado valor de ua tensão ou corrente alternada, este será sepre u valor eficaz, a não ser que outro seja explicitaente encionado. Figura 4. Valor eficaz de ua tensão alternada sinusoidal. ENDH/DEM MEMM 4

6 Refira-se ainda que, e deterinadas situações, o que interessa considerar é o valor áxio da grandeza e não o valor eficaz. No diensionaento de isolaento eléctrico, por exeplo, deve considerar-se o valor áxio de tensão. O valor áxio adissível por u ultíetro, por exeplo, poderá ser de 1100 V para CC e de 780 V para CA (porque u valor eficaz de 780 V corresponde a u valor de pico de 1100 V, aproxiadaente). 3. RESSÊNCA, REACÂNCA NDUVA, REACÂNCA CAPACVA E MPEDÂNCA 3.1. Circuitos co Resistências Quando u circuito conté apenas resistências puraente óhicas, a corrente é, e qualquer instante e devido à Lei de Oh, proporcional à tensão. Se a tensão aplicada a ua resistência é alternada sinusoidal, a corrente terá tabé u forato sinusoidal, anulando-se nos esos instante da tensão e atingindo o áxio nos esos instantes da tensão (Figura 5). Figura 5. Fase entre a tensão e corrente sinusoidais nua resistência. Diz-se então que a tensão e a corrente nesse circuito estão e fase, isto é, estão sincronizadas ua co a outra. Se tiveros: u = U.sin (ω t) (6) a corrente, e qualquer instante de tepo, será: u U i = = sin( ω t) =.sin( ωt) (7) R R Se representaros estas duas grandezas vectorialente, tereos dois vectores colineares: Figura 6. Vectores tensão e corrente nua resistência. ENDH/DEM MEMM 5

7 3.. Circuitos co ndutâncias (Bobinas) al coo foi introduzido nas aulas teóricas sobre noções de electroagnetiso, nua bobina, quando a corrente varia, é auto-induzida ua f.e.. (pela Lei de Lenz, contrária à causa que lhe deu orige). Esta força (contra) electrootriz (f.c.e..), expressa-se pela seguinte fora: di e = L dt e que L é o coeficiente de auto-indução da bobina. Conclui-se então que, nua bobina, quando a corrente varia, a f.c.e.. tabé varia. Se consideraros que a corrente instantânea se expressa pela seguinte equação: i = sin( ωt) (9) a tensão aos terinais da bobina será: di d( sin( ωt)) u = e = L = L = ωl cos( ωt) = ωlsin( ωt + 90º ) dt dt Verificaos então que existe u desfasaento de 90º entre a corrente que percorre ua bobina e a tensão aos terinais dessa bobina: (8) (10) Figura 7. Vectores tensão e corrente nua bobina. E teros de representação teporal, obtê-se as curvas representadas na Figura 8. Da análise desta figura, podeos observar que quando a corrente se anula (inclinação áxia), a tensão é áxia e que quando a corrente atinge os seus áxios negativos ou positivos (inclinação nula), a tensão anula-se. À razão entre o valor áxio da tensão (U ) e o valor áxio da corrente ( ) nua bobina, igual a ω.l, dá-se o noe de reactância indutiva (X L ): X L = ωl = πfl (11) Figura 8. Fase entre a tensão e corrente sinusoidais nua bobina. ENDH/DEM MEMM 6

8 A reactância indutiva ede-se e ohs (Ω) e representa a aior ou enor oposição (resistência) de ua bobina à passage da corrente alternada. Ao contrário do que acontece nua resistência, esta oposição varia co a frequência do sinal. Quanto aior a frequência, aior será a reactância indutiva, iplicando ua aior oposição à passage da corrente. Para a frequência nula, a reactância indutiva será tabé nula, correspondendo a bobina a u curto-circuito. Para frequência infinita, a reactância indutiva será tabé infinita, correspondendo a bobina a u circuito aberto pedância ndutiva (Bobina + Resistência) Coo nenhua bobina te resistência nula (ne nenhua resistência te indutância nula), podeos representar ua bobina real coo ua bobina ideal (indutância pura -L) e série co ua resistência ideal (puraente resistiva - R). Este circuito está representado na Figura 9. Do que foi expresso anteriorente, podeos dizer que: A tensão U R na resistência R está e fase (0º) co a corrente A tensão U L na bobina L está e quadratura (90º) co a corrente Figura 9. Circuito co ipedância indutiva. Aplicando a Lei de Kirchhoff das alhas (KVL) ao circuito da Figura 9, obté-se: U = U R + U L (1) ENDH/DEM MEMM 7

9 Podeos representar esta relação e teros vectoriais da seguinte fora: Figura 10. Vectores tensão e corrente e circuito co ipedância indutiva. E teros teporais, teos a adição de duas sinusóides desfasadas de 90º: Figura 11. Fase entre a tensão e a corrente sinusoidais nua ipedância indutiva. Obviaente que a aplitude de U, pelo eorea de Pitágoras, é dada por: U = + (13) U R U L Mas, sabeos que U R = R. e U L = X L.. Define-se então ipedância Z coo a divisão da tensão U pela corrente : U Z = (14) Coo a corrente te fase nula, pode desenhar-se u triângulo de vectores para a ipedância Z, reactância indutiva X e resistência R, siilar ao triângulo de tensões: L Figura 1. riângulo de ipedância e circuito co ipedância indutiva Obviaente que o ódulo de Z, será: Z R + = X (15) L ENDH/DEM MEMM 8

10 O ângulo Φ corresponde ao ângulo entre a tensão na resistência (U R ) e a tensão total (U), e pode calcular-se através de, por exeplo: R XL Φ = arcos ou Φ = arctang (16) Z R 3.4. Circuitos co Capacitâncias (Condensadores) al coo foi abordado nas aulas teóricas relativaente ao capo eléctrico, a carga Q nu condensador é dada, e qualquer instante de tepo, por: Q = C.U (17) Dado que a corrente é definida coo a passage de carga eléctrica, por unidade de tepo: dq = (18) dt então, a relação entre a tensão e a corrente, nu condensador de capacidade C, é du = C (19) dt al coo nas bobinas, conclui-se então que, nu condensador, quando a tensão varia, a corrente tabé varia. Se consideraros que a tensão instantânea se expressa pela seguinte equação: ENDH/DEM MEMM 9

11 u = U.sin (ω t) a corrente que atravessa o condensador será: du d( U sin( ωt)) i = C = C = U Cω cos( ωt) = U Cω sin( ωt + 90º ) (0) dt dt Verifica-se assi que tabé existe u desfasaento de 90º entre a corrente que percorre o condensador e a tensão aos terinais desse condensador, só que agora, que vai à frente é a corrente: E teros de representação teporal, tereos: Figura 13. Vectores tensão e corrente nu condensador. Figura 14. Fase entre a tensão e a corrente sinusoidais nu condensador. A figura anterior perite observar que quando a tensão se anula (inclinação áxia), a corrente é áxia e que quando a tensão atinge os seus áxios negativos ou positivos (inclinação nula), a corrente anula-se. À razão entre o valor áxio da tensão (U ) e o valor áxio da corrente ( ) nu condensador, igual a 1/(ω.L), dá-se o noe de reactância capacitiva (X C ): X C 1 1 = = (1) ω C π fc A reactância capacitiva ede-se e ohs e representa a aior ou enor oposição (resistência) de u condensador à passage da corrente alternada. al coo o caso das indutâncias, esta oposição varia co a frequência do sinal. Quanto enor for a frequência, aior será a reactância capacitiva, iplicando ua aior oposição à passage da corrente. Para a frequência nula (CC), a reactância capacitiva será infinita, correspondendo o condensador a u circuito aberto. Para frequência infinita, a reactância capacitiva será nula, coportandose o condensador coo u curto-circuito. ENDH/DEM MEMM 10

12 3.5. pedância Capacitiva (Condensador + Resistência) porta agora verificar o coportaento de u circuito co u condensador (C) e série co ua resistência (R). Este circuito está representado na Figura 15: Do exposto anteriorente, podeos dizer que: Figura 15. Circuito co ipedância capacitiva. A tensão U R na resistência R está e fase (0º) co a corrente A tensão U C no condensador C está e quadratura (90º) co a corrente Aplicando a Lei de Kirchhoff das alhas (KVL) ao circuito da Figura 15, fica: U = U R + U C () Podeos representar esta relação e teros vectoriais da seguinte fora: ENDH/DEM MEMM 11

13 Figura 16. Vectores tensão e corrente nu circuito co ipedância capacitiva. E teros teporais, teos a adição de duas sinusóides desfasadas de 90º: Figura 17. Fase entre a tensão e a corrente sinusoidais nua ipedância capacitiva. al coo para o caso indutivo, pode calcular-se a aplitude de U pelo eorea de Pitágoras: U = + (3) U R U C Mas, sabeos que U R = R. e U C = X C.. Então, a ipedância total do circuito Z, será: U Z = (4) Considerando a tensão U co fase nula, pode desenhar-se u triângulo de vectores para a ipedância Z, reactância capacitiva X C e resistência R, siilar ao triângulo de tensões: Figura 18. riângulo de ipedância e circuito co ipedância capacitiva. O ódulo de Z, será portanto: Z R + = X (5) C O ângulo Φ corresponde ao ângulo entre a tensão na resistência ( U R ) e a tensão total ( U ), e pode calcular-se através de, por exeplo: ENDH/DEM MEMM 1

14 R XC Φ = arcos ou Φ = arctang (6) Z R ENDH/DEM MEMM 13

15 3. CRCUO COM RESSÊNCA, CONDENSADOR E BOBNA O circuito RLC série é coposto por ua resistência, u condensador e ua bobina, associados e série, confore representado na Figura 19: R L(X L ) V R V Lef V ef ~ V Cef C (X C ) Figura 19. Circuito RLC série. Definições: A reactância indutiva X L é a oposição ao fluxo de corrente alternada provocada pela indutância (bobina) presente no circuito. A reactância indutiva é dada por: X L =πfl [Ω] A reactância capacitiva X C é a oposição ao fluxo de corrente alternada provocada pela capacidade (condensador) presente no circuito. A reactância capacitiva é dada por: 1 X L = [Ω] πfc Se for aplicada ua tensão alternada V ef aos terinais de u circuito co ua carga indutiva, a corrente resultante L vai ficar 90º e atraso relativaente à tensão (Ver Figura 0). Circuito RL Figura 0. Sinais de tensão e corrente aos terinais de ua bobina. Este circuito está representado na Figura 1. Deste odo, te-se: Figura 1. Circuito RL. ENDH/DEM MEMM 14

16 Aplicando as leis de Kirchhoff, te-se: v=v +v R L E teros teporais, teos duas sinusóides desfasadas de 90º (Figura ). Circuito RC Figura. Fase entre a tensão e a corrente sinusoidal nu circuito RL. Se for aplicada ua tensão alternada V ef aos terinais de u circuito co ua carga capacitiva, a corrente resultante C vai ficar 90º e avanço relativaente à tensão V C aos terinais do condensador (Ver Figura 3). Figura 3. Fase entre a tensão e a corrente nu condensador. Figura 4. Circuito RC. Aplicando as leis de Kirchhoff, te-se: v=v +v R C ENDH/DEM MEMM 15

17 E teros teporais, teos duas sinusóides desfasadas de 90º (Figura 5). Figura 5. Fase entre a tensão e a corrente sinusoidal nu circuito RC. Na Figura 6 estaos representados os diagraas vectoriais dos circuitos RL e RC. No caso destes circuitos, a resultante do triângulo de tensões (fasor), e o ângulo φ (desfasage), são dados por: V = V +V ; V = V +V ϕ ef Ref Lef ef Ref Cef V V Lef Cef =arctan ; ϕ=arctan - VRef VRef V Lef V ef φ V Ref φ V Ref V Cef a) b) Figura 6. Diagraa vectorial das aplitudes coplexas das tensões para os circuitos RL (a) e RC (b). Análise do circuito RLC série Para efeitos de representação do diagraa vectorial do circuito RLC, utiliza-se a resultante pois os vectores que representa a tensão no condensador V Cef e a tensão na bobina V Lef tê a esa direcção e sentidos opostos, confore indicado na Figura 7. Da análise deste diagraa, verifica-se que o vector V Lef é aior que V Cef. Deste odo, a resultante é o vector (V Lef V Cef ), pelo que o circuito te características indutivas, ou seja, a corrente está atrasada 90º e relação à tensão. No caso e que V Cef é aior que V Lef obté-se u circuito co características capacitivas, ou seja a corrente está adiantada 90º e relação à tensão. Neste últio caso, obté-se o diagraa vectorial representado na Figura 8. ENDH/DEM MEMM 16

18 V ef V Lef -V Cef V ef φ V Cef ef V Ref Figura 7. Diagraa vectorial de u circuito RLC série co características indutivas. V Lef ef V Ref φ V Cef V Lef Figura 8. Diagraa vectorial de u circuito RLC série co características capacitivas. Do diagraa da Figura 8, verifica-se que a soa vectorial de (V Lef V Cef ) co V Ref é igual a V ef. Assi, pode escrever-se: Obté-se Pelo que: ( ) V ef =V Ref + VLef -VCef Dividindo os teros por, obté-se: ef Vef V Ref VLef V Cef = + - ef ef ef ef Considerando V V V V Z= ; R= ; X = ; X = ef Ref Lef Cef L C ef ef ef ef Z=R+(X-X) L C Z= R +(X -X ) L C Vef Deste odo, Z é a ipedância do circuito RLC. O ângulo φ corresponde à desfasage entre a tensão e a corrente no circuito. Este ângulo pode ser deterinado através das relações trigonoétricas do triângulo rectângulo: ENDH/DEM MEMM 17

19 V -V X -X sen ϕ= = Vef Z VRef R cos ϕ= = Vef Z V -V X -X tan ϕ= = V R Lef Cef L C Lef Cef L C Ref Na abela, estão representadas as expressões da ipedância (Z) e desfasage (φ) para os coponentes e circuitos básicos. abela Coo o circuito RLC série pode ter coportaento capacitivo ou indutivo, vaos sobrepor as duas reactâncias. Deste odo, obté-se o gráfico da Figura 9. X X L X L =X C X C f o f Figura 9. Curvas das reactâncias e função da frequência f. Da análise deste gráfico, verifica-se que para frequências inferiores a f o, X C é aior que X L, pelo que o circuito te características capacitivas, confore referido anteriorente. Para frequências superiores a f o, verifica-se que X L é aior que X C, pelo que o circuito te características indutivas. Para a frequência f o, X C é igual a X L ou seja, o efeito capacitivo é ENDH/DEM MEMM 18

20 igual ao efeito indutivo. Coo estes efeitos são iguais e opostos, anula-se, pelo que o circuito irá apresentar características puraente resistivas. Este facto pode ser confirado através da expressão de cálculo da ipedância Z, ou seja: Z= R +(X -X ) se X =X L L C C Z=R Coo neste caso, o circuito possui características puraente resistivas, a tensão e a corrente estão e fase, ou seja o ângulo φ é igual a zero. Coo a frequência f o anula os efeitos reactivos, denoina-se por frequência de ressonância e pode ser calculada igualando as reactâncias indutiva X L e capacitiva X C. f=f X =X 1 o L C πfol= πf o C 1 πfol LC= 1 f o = [Hz] π LC ( ) A partir do estudo efectuado, pode construir-se o gráfico da ipedância e função da frequência para o circuito RLC série. Este gráfico está representado na Figura 30. Da análise do gráfico, verifica-se que a ipedância ínia ocorre na frequência de ressonância, sendo igual ao valor da resistência R. Z R Figura 30. Curva de variação da ipedância de u circuito RLC série e função da frequência. Pode igualente traçar-se a curva da corrente e função da frequência para o eso circuito, confore representado na Figura 31. Da análise do gráfico, observa-se que para a frequência de ressonância f o, a corrente é áxia ( o ), dado que a ipedância é ínia (Z = R). Quando no circuito RLC série, tiveros o valor da resistência igual ao valor da reactância equivalente (X L X C ) podeos afirar que a tensão na resistência (V R ) é igual à tensão na reactância equivalente (V L V C ). f o f ENDH/DEM MEMM 19

21 o Figura 31. Curva de variação da corrente de u circuito RLC série e função da frequência. Co base nesta preissa, pode escrever-se: f o f coo ( ) V =V + V -V ef Ref Lef Cef V Ref =VLef -V Cef V =V V = V ef Ref ef Ref Dividindo esta últia expressão por R, obté-se: Vef VRef = R R De notar que V ef /R representa o valor de o ou seja, a corrente do circuito para a frequência de ressonância e V Ref /R a corrente no circuito na situação de reactância equivalente e igual à resistência. Assi, pode relacionar-se estas grandezas da seguinte fora: =. = o o Este valor de corrente pode ocorrer e duas frequências de valores distintos, que se designa respectivaente por frequência de corte inferior (f ci ) e frequência de corte superior (f cs ). Na Figura 3, está representado o gráfico da corrente e função da frequência, no qual estes dois pontos estão assinalados. o o f ci f o f cs f Figura 3. Característica da corrente de u circuito RLC série e função da frequência. ENDH/DEM MEMM 0

22 A faixa de frequência copreendida entre a frequência de corte inferior e a frequência de corte superior designa-se por Largura de Banda (LB), podendo ser expressa por: LB = f - f cs ci BBLOGRAFA [1]. ABC dos Circuitos Eléctricos e Corrente Alternada, Mário Ferreira Alves, nstituto Superior de Engenharia do Porto, 1999 []. Joseph Edinister, Circuitos Eléctricos, Colecção Schau, Editora MacGraw-Hill, 1983 [3]. Guias de rabalhos de laboratório de Electrotecnia, ENDH/DEM ENDH/DEM MEMM 1

23 ANEXO. DEFNÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCRCAS A.1. VALOR MÉDO DE UMA GRANDEZA ELÉCRCA Significado do valor édio (corrente): É o valor contínuo (DC) da corrente que transfere a esa carga que a de ua corrente co ua fora de onda variante no tepo. O valor édio corresponde à altura de u rectângulo de área igual à de i(t) durante o período. Definição do valor édio (corrente): A expressão ateática que caracteriza o valor édio é a seguinte: + t0 1 s = i( t) dt (A.1) t 0 Deve notar-se que o valor édio não é a coponente contínua (DC) de ua onda, as si o valor que traduz o efeito total da corrente eléctrica independenteente do sinal do seu valor instantâneo. Assi, é necessário calcular o valor édio através do valor absoluto. No caso particular das ondas siétricas, e que as áreas de abos os sei-períodos são iguais (excepto o sinal), pode calcular-se apenas o valor édio de u sei-período (ou de u quarto de período). Note-se que altura a do rectângulo ( s ) irá ser sepre a esa. Fig.A.1. nterpretação gráfica do valor édio de u sinal sinusoidal. A.. VALOR QUADRÁCO MÉDO (RMS) Significado do valor eficaz ou RMS (corrente): É o valor da corrente contínua (DC) que gera u efeito dissipativo (efeito de Joule) igual ao da corrente alternada. Definição do valor eficaz ou RMS (corrente): A expressão ateática que caracteriza o valor édio é dada por: + t0 1 RMS = i ( t) dt (A.) t0 NOA: Os aparelhos de edida que ede directaente o valor eficaz ou RMS (Root Mean Square), são designados pelo síbolo RMS, ou verdadeiro RMS - true RMS. No caso de sere do tipo RMS calibrated, isto significa que ede o valor édio e seguidaente o ultiplica pelo factor 1.11 de odo a obter o valor eficaz. No entanto, este valor só é válido para sinais sinusoidais. ENDH/DEM MEMM

24 Deonstração: 1. A quantidade de energia gerada pela corrente contínua (DC) durante u período, é dada por: W = R (A.3). A potência instantânea da corrente alternada, é dada por: p = Ri (t) (A.4) 3. A quantidade total de calor gerada pela corrente alternada durante u período pode ser deterinada através da soa das potências instantâneas (ver figura A.). Assi, tese: W = 0 Ri ( t) dt (A.5) 4. Por fi, coparando as equações (A.3) co (A.5), obté-se: R 1 = Ri ( t) dt = i ( t) dt (A.6) 0 0 Figura A.. nterpretação gráfica do valor eficaz (RMS). A.3. DEERMNAÇÃO DO VALOR MÉDO E EFCAZ PARA SNAS SNUSODAS A.3.1. VALOR MÉDO O sinal alternado sinusoidal da corrente, é dado por: i( t) = sin( ωt) (A.7) Aplicando a expressão (A.1) a etade do período, te-se: s 1 = / = / 0 sin( ωt) dt = π cos( t) π / 0 = π cos( ωt) ω / 0 ( cos( π ) ( cos(0)) ) (A.8) ENDH/DEM MEMM 3

25 Assi, o valor édio é dado por: s = π (A.9) 3.. VALOR EFCAZ Aplicando a expressão (A.6) ao período, te-se: RMS Coo : 1 0 ( sin( ωt) ) 1- cos(ωt) sin ( ωt) = RMS RMS RMS = = = = 0 ( 1 cos(ωt) ) 1 1 ω 1 1 π [] t [ sin(ωt) ] = ( sin(4π ) sin(0) ) 0 dt dt 0 (A.10) NOA: Estas expressões fora deduzidas para a corrente. Coo é óbvio, as expressões anteriores são igualente válidas para a tensão, ou seja: U U s U = π U = RMS (A.11) ENDH/DEM MEMM 4