Equações Exponenciais Equações que envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente são chamadas de equações exponenciais. Por exemplo, Solução:

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1 Matemática Aplicada

2 Equações Exponenciais Equações que envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente são chamadas de equações exponenciais. Por exemplo, Apresentaremos a seguir as propriedades: 1) c) Solução: 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Agora vamos apresentar alguns exemplos de equações com a respectiva solução. Na maioria dos casos a aplicação das propriedades de potências reduz as equações a uma igualdade de potências da mesma base d) Solução: Iremos agora usar um artifício. Faremos uma substituição conforme abaixo:, temos: o que, usando o fato que a função Observamos que não satisfaz porque e portanto, resolver a equação. Exemplos Resolver as seguintes equações exponenciais: a) Solução: e) solução: b) Solução:

3 significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1; Função Exponencial a) Definição Dado um número real a, a > 0 e a 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real a x. Simbolicamente: Observações, Propriedades e Exemplos: - A função exponencial é definida somente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem a x não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para, a x é igual à, que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial; - A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0; - A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1; - Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a 0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto - Uma função f é dita crescente se dados x 1 < x 2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x 1 ) < f(x 2 ); - Uma função f é dita decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) > f(x 2 ); - No caso da função exponencial ela é crescente se, e somente se, a > 1. E decrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui; - A função exponencial é injetora, ou seja, dados x 1 diferente de x 2 então f(x 1 ) é diferente de f(x 2 ). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima; - Como a base a é maior que zero, temos que a x > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos; - Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x; - Exemplos de funções exponenciais: b) Teoremas Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais. T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então: Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui. T2. Dados a, x 1 e x 2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

4 Demonstração: Daqui, pelo teorema T1 temos: T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então: Demonstração: Pelo teorema T1, vem que: T4. Dados a, x 1 e x 2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então: Equação Logarítmicas Definição: Sendo a e b números reais positivos, com b 1, chamamos de logaritmo de a na base b o expoente real x no qual se eleva b para obter a com, a > 0 e e b > 0 Exemplos: a) log 2 8 = 3, pois 2 3 = 8 b) log = 2, pois 10 2 = 100 c) log 5 25 = 2, pois 5 2 = 25 d) log 1/3 9 = -2, pois (1/3) -2 = 9 As equações envolvendo logaritmos são chamadas de equações logarítmicas e são resolvidas aplicando-se propriedades dos logaritmos, assim vamos a elas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) * 9) * A propriedade acima é uma mudança de base Além disto, devemos inicialmente analisar as condições de existência dos logaritmos, levando-se em conta os domínios de definição do logaritmo e da base: Exemplos Resolva as seguintes equações: a) Solução Vamos primeiramente analisar as condições de existência: Temos:

5 Pela condição de existência, b) Solução: Condição de existência: Obs.: Quando a base é 10, por convenção, omitimos a base, ou seja, log 10 x = log x Temos Funções Logarítmicas Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: a > 1 e 0 < a < 1 Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função Crescente Pela condição de existência, Certas equações exponenciais não podem ser resolvidas usando-se apenas as propriedades da potenciação. Ao resolver a equação 2 x = 10, por exemplo, podemos afirmar que 2 x representa um número real compreendido entre 2 3 e 2 4. Assim concluímos que x é um número irracional e para determiná-lo com maior aproximação, precisamos conceito, o de logaritmo. Com ele podemos resolver problemas de potências com qualquer expoente real, como o exemplo acima. Aplicando-se a propriedade temos: Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função Decrescente 1- Calcule o valor de x: a) b) c)

6 d) e) 2- Dados, 3- Resolva a equação: O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz. 4- Resolva a equação: 5- Resolva a equação: 6- Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule log 144 Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. Exemplos: 7- Dado log 2 = 0,3010, calcule 8- Passe log 48 para a base 2 9- Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule log 2 3 colunas) colunas) : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e Construa os gráficos da função e (atribuir os seguintes valores para x: ¼, ½, 1, 2, 4). Matrizes Definição As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas. : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) Representação Algébrica Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:

7 Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m aij = i linha j coluna a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito) (na tabela significa a idade de Pedro 18) Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i j. Resolução: A representação genérica da matriz é: 1) Ache os elementos da matriz A = (a ij ) de ordem 3, em que 2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por 3) Escreva os elementos da matriz A = (a ij ) 4x2, definida por Matriz Quadrada Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada. Matriz unidade ou matriz identidade A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por I n. Observações: 1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. 2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária. Resolva: Matriz transposta Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por A t.

8 Resp: x = 1, y = 2, a = 2 e b = -5 3) Dada as matrizes Igualdade de Matrizes Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais. calcule x, y e z para que B = A t. 4) Sejam Resp: x =, y = 8 e z = 2 calcule a, b e c para que A = B. Resp: a = - 3, b = c = - 4 Dadas as matrizes, calcular x e y para que A = B. Operações com matrizes Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes. C = A + B Resolva: 1) Determine x e y, sabendo que Resp: x = 5 e y = -1 Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz A cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A 2) Determine a, b, x e y, sabendo que

9 Propriedades da Adição: Comutativa: A + B = B + A Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento Neutro: A + 0 = A Elemento Oposto: A + (-A) = 0 calcule A+B. 3) Ache m, n, p e q, de modo que: Dadas as matrizes 4) Calcule a matriz X, sabendo que calcule:, Dadas as matrizes Multiplicação de um número real por uma matriz: Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo. calcular a matriz X tal que X A + B = 0 O segundo membro da equação é uma matriz nula de ordem 3 x 1. Resolva: 1) Dada a matriz obtenha a matriz X tal que X = A+ A t 2) Sendo A = (a ij ) 1x3 tal que e

10 estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3. Resolva: 1) Para Então: Resolva X + 2A - B = 0 A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1 2) Para Resolva Então: 3) Resolva o sistema Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por B).Veja como é obtida a classificação: Multiplicação de Matrizes Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vejamos a seguinte situação. Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:

11 Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. Observação: 2ª Propriedade: Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula. A matriz existe se n = p (o número de coluna de A é igual o número de linha da B.) Calcule: Observação: 1ª Propriedade Comutativa A.B = B.A, não é valida na multiplicação de matrizes. Observação: A.B = A.C, B C. na álgebra a.b = a.c b = c Observação: 3ª Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes não é válido Propriedades: - Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C

12 - Associativa: A.(B.C) = (A.B).C - Elemento neutro: A. In = A Propriedades da transposta: A = B A t = B t (A t ) t = A (k.a) t = k.a t (k é real) (A + B) t = A t + B t (A.B) t = B t.a t (no produto de A.B, inverte a ordem) Resolva: 1) Sendo mostre que (A.B) t = B t.a t, 2) Dada a matriz:, calcule A² Matriz simétrica Quando A = A t dizemos que A é matriz simétrica. 3) Sabendo que, calcule MN NM. Matriz anti-simétrica Quando A = - A t dizemos que A é matriz antisimétrica. Matriz Transposta Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se A t ) a matriz n x m cujas linhas são ordenadamente, as colunas de A. Exemplos: Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por

13 A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não singular. Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de Resolução: Pela definição temos, Equações matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversível. Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que X = A -1 B. Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas, O mesmo também é válido XA = B X = BA -1 1) Sabendo que: A seguir verificamos se XA = I 2 a) verifique-se b) determine X tal que AX = B Não deixe de resolver a lista de exercícios de matrizes!!! 1) Determine a inversa das matrizes: Exercícios de Matrizes 1) Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por:

14 2) Sendo Calcule: a) A² b) A³ c) A²B d) A² + 3B calcule: a) N P + M b) 2M 3N P c) N 2(M P) 6) Dadas as matrizes calcule AB + B t 3) Calcule a matriz X, sabendo que: 7) Resolva a equação: 8) Sendo determine os valores de a e b, tais que B = P.A.P -1 4) Dadas as matrizes 9) Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2: determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz identidade. 5) Dadas as matrizes

15 10) Dadas as matrizes então a matriz -2AB é igual a: 14) Se A e B são matrizes tais que então a matriz Y = A t.b será 11) A inversa da matriz é: nula para: a) x = 0 b) x = -1 c) x = -2 d) x = -3 e) x = -4 15) A solução da equação matricial 12) Se então: é a matriz: a) x = 5 e y = -7 b) x = -7 e y = -5 c) x = -5 e y = -7 d) x = -7 e y = 5 e) x = 7 e y = -5 13) Sendo então a matriz X, tal que é igual a: Determinantes 2.1 Definição Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada. 2.2 Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem Dada a matriz de 2ª ordem

16 chama-se determinante associado a matriz A (ou determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Então, determinante de A = a 11. a 22 a 12. a 21 Indica-se de A, eliminando se dela a linha i e a coluna j, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento a ij considerado. Dada a matriz calcular D 11, D 12, D 13, D 21 e D 32. Observação: Dada a matriz A de ordem 1, definese como determinante de A o seu próprio elemento, isto é: det A = = 2 12 det A = 10 Resolva: 1) Resolva a equação: 2.4 Cofator Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem 2) Resolva a equação: Chama-se Cofator do elemento a ij da matriz quadrada o número real que se obtém multiplicando-se (-1) i+j pelo menor complementar de a ij e que é representado por A ij = (-1) i+j.d ij 3) Sendo calcule det (AB). Dada a matriz 2.3 Menor Complementar O menor complementar D ij do elemento a ij da matriz quadrada A, é o determinante que se obtém calcular: a) A11 b) A13 c) A32

17 Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace: Resolva: Dada a matriz determine A13, A21, A32 e A Regra de Sarrus (regra prática para calcular determinantes de ordem 3) 2.5 Definição de Laplace O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n 2é o número que se obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. Sendo uma matriz de Seja a matriz repetimos as duas primeiras colunas à direita e efetuamos as seis multiplicações em diagonal. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundária mudam de sinal. O determinante é a soma dos valores obtidos. ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos: Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior número de zeros. Resolva: a) Calcule o determinante da matriz

18 b) Resolva a equação 2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n > 3 Seja a matriz quadrada de ordem 4 c) Dada as matrizes determine x para que det A = det B d) Resolva a equação vamos calcular o determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a um determinante de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinante acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos: e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: Ache o valor do determinante de M. f) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz Substituindo em (1) temos: det A = = 13 Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.

19 2.8 Propriedade dos Determinantes 1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0. 5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por k n, isto é: det (ka n ) = k n. det A n. 2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0 6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det A = det A t. 3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0 4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. 7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.

20 8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exercícios de Determinantes 1) Dadas as matrizes 9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det AB = det A. det B (teorema de Binet) calcule: a) det (A²) b) det (B²) c) det (A² + B²) 2) Determine a solução da equação 3) Sendo dê o valor de: a) det (A). det(b) b) det (A.B) 10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A = det B (Teorema de Jacobi). 4) Considere as matrizes Sabendo que a matriz B é igual a matriz C, calcule o determinante da matriz A. Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos:

21 5) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo vale: a) {-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3} d) {0, 6} e) {5, 11} 6) A solução da equação a) 1 b) 58 c) -58 d) e) 2 7) A equação Sistema de Equações Os sistemas de equações consistem em ferramentas importantes na Matemática, eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os métodos usados na resolução de um sistema são: substituição e adição. Exemplos de sistemas de equações: tem como conjunto verdade: a) {-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2, 2} 8) O determinante da matriz vale: a) -3 b) 6 c) 0 d) 1 e) -1 9) A solução da equação Método da Substituição O método da substituição consiste em trabalhar qualquer equação do sistema de forma a isolar uma das incógnitas, substituindo o valor isolado na outra equação. Observe passo a passo a resolução do sistema a seguir: Nesse caso, vamos escolher a 2º equação e isolar a incógnita x. x y = 3 x = 3 + y

22 Agora, substituímos o valor de x por 3 + y na 1º equação. 2x + 3y = 19 2( 3 + y) + 3y = y + 3y = 19 2y + 3y = y = 25 y = 5 Para finalizar, calculamos o valor de x utilizando a seguinte equação: x = 3 + y x = x = 2 Portanto, a solução do sistema é x = 2 e y = 5, isto é, o par ordenado (2,5) Método da Adição O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. Observe a resolução do sistema a seguir: 1º passo: somamos as equações, eliminando uma das incógnitas e determinando o valor da outra incógnita. Calculado o valor de x, basta escolher uma das equações e substituir o valor de x por 11. x + y = 10 y = 10 x y = y = 1 A solução do sistema é o par ordenado (11, 1). Classificação de um sistema quanto ao número de soluções Resolvendo o sistema: Encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). No caso do sistema: Verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),... são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). No sistema: Verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) Sistema Possível e Determinado (solução única);

23 b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções); c) Sistema Impossível (não tem solução). Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo úmero de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m = n e det A 0, então o sistema é normal. Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i {1,2,3,...,n}, D = det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções), se D = D x1 = D x2 = D x3 =... = D xn = 0, para n = 2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. D = 0, D x = 0, D y = 0 e D z = 0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. c) Sistema Impossível (não tem solução), se D = 0 e D xi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) Sistema Possível e Determinado (solução única), se D = det A 0; caso em que a solução é única. Como D = 0 e D x não apresenta solução. 0, o sistema é impossível e m = n = 3 Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas:

24 verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S 1 e S 2 são equivalentes: Substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos: S 1 ~ S 2. Propriedades a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Por exemplo: S 1 ~S 2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas. Exercícios de revisão 1) Encontre o valor das variáveis: a) e b) S 1 ~S 2 b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo: 2) a Lei das Correntes visa o equacionamento das correntes nos diversos nos de um circuito, e por isso e também conhecida por Lei de Nos. A soma algébrica das correntes que entram em um nó e igual a soma das correntes que dele saem. Calcule a corrente I 2 na figura abaixo: Multiplicando a equação (II) por 3 S 1 ~S 2 c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K ЄIR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo: Dado: 3) Um eletricista e verificou que numa residência haviam correntes elétricas definidas por I 1, I 2 e I 3. Calcule I 1, I 2 e I 3, sabendo-se que a soma total das corretes são definidas pelas equações: 10I I I 3 = I I I 3 = I I I 3 = 230

25 4) Resolver o seguinte sistema de equações lineares adotando operações aritméticas com 4 (quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado. 5) Resolver o seguinte sistema de equações lineares 6) Resolver o seguinte sistema de equações lineares Trigonometria e relações trigonométricas Quando da sua criação pelos matemáticos gregos, a trigonometria dizia respeito exclusivamente à medição de triângulos, e tal como as funções e relações trigonométricas apresentadas a seguir, é aplicada exclusivamente ao estudo de triângulos retângulos. Porém, as funções trigonométricas resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicações mais vastas e de maior riqueza noutras áreas como a Física (por exemplo, no estudo de fenômenos periódicos) ou a Engenharia. Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo reto θ, chama-se hipotenusa; os lados restantes, ligados ao ângulo reto, chamam-se catetos. Teorema de Pitágoras O geómetra grego Pitágoras ( a.c.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo retângulo: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se x e y forem o comprimento dos dois catetos e h o comprimento da hipotenusa, ter-se-á: x² + y² = h². Relações trigonométricas de ângulos Na esmagadora maioria das aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim. Utilizaremos o triângulo retângulo anteriormente apresentado. Seno de É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, cateto oposto y sen( ). hipotenusa h

26 O seno de pode aparecer com uma das seguintes representações: sen, sin, sen( ), sin( ). Coseno de É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, cateto adjacente x cos( ). hipotenusa h Em geral, o coseno de aparece com uma das duas representações: cos, cos( ). Definem-se ainda as funções secante de e co-secante de como, respectivamente: 1 h 1 h sec( ) e cosec( ). cos( ) x sen( ) y A secante pode ser representada por: sec( ), sec. A co-secante pode ser representada por: cosec( ), cosec, csc( ), csc. Observação: Das definições acima, temos: Tangente de É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja, cateto oposto y / h y h y tan( ). cateto adjacente x / h h x x É usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan, tan( ), tg, tg( ). Co-tangente de É definida como o recíproco da tangente de : 1 x cateto adjacente cotan( ). tan( ) y cateto oposto A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes: cotan( ), cotg( ), cotan, cotg. Pelas definições em c) e d), e segundo as definições em a) e b), podemos ver ainda que: Fórmula fundamental da trigonometria A fórmula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras x y x y h h h 2 2 Pela definição de seno e de coseno de um ângulo, dadas acima por a) e b), temos que: 2 2 sen ( ) cos ( ) 1. Relações trigonométricas derivadas Dividindo a relação fundamental por cos², temos sen² + cos² = 1 cos² sen( ) tan( ) e cos( ) cos( ) cotg( ). sen( ) ou a) Secante e co-secante de Dividindo a relação fundamental por sen², temos:

27 sen² + cos² = 1 sen² Ângulos Notáveis Os ângulos de 30, 45 e 60 são utilizados com muita freqüência e por isso convém memorizá-los. Para isto temos uma tabela que resume esses valores: sen cos tg 1 Exemplo 1) Qual é a altura h da torre, conhecendo-se apenas a distância entre os pontos A e B, e os ângulos e β? no eixo Y. Digamos que este ponto seja P(x,y). A medida vertical do segmento 0Y lhe dá o seno do ângulo em que o segmento 0P faz com o eixo X. 1. Qual é o seno de 27? Solução: Com um papel milimetrado e um transferidor, tome uma vertical e uma horizontal qualquer como referências de alinhamento para o transferidor. Marque com um ponto P o ângulo de 27. Tome cuidado porque sua referência é o eixo X à direita da origem zero. Trace de leve e a lápis, um segmento 0P, ou seja, desde o ponto P até a origem dos eixos de referência. Observe que o segmento 0P é a diagonal ou hipotenusa de um triângulo-retângulo. Agora, trace um pontilhado de leve, a lápis e vertical, desde P até este tocar a horizontal adotada em um ponto que chamaremos de M. Este pontilhado é o segmento MP. Faça o mesmo, só que horizontal, desde P até a vertical adotada. Este encontro, chamaremos de ponto Q e o segmento horizontal formado será QP. Pois bem, a medida do segmento QO dividida pela medida da diagonal OP, nos dará o seno de 27. Para medir estes segmentos, use régua ou baseie-se nos centímetros e milímetros do papel milimetrado. Dados: = 20 e = 18 Gráficos de Funções trigonométricas Análises mais detalhadas 1. SENO: O seno de um ângulo nada mais é do que a medida da coordenada vertical de um ponto Proceda da maneira explicada para calcular os senos de demais ângulos à sua escolha. Como exercícios, sugere-se 19, 31, 53, 74 e 87.

28 1-a. A FUNÇÃO sen x: Da mesma forma que a análise das demais funções matemáticas, vamos analisar a função f(x) = sen x. O Domínio desta função, ou seja, os elementos contidos no eixo X, são números reais baseados em arcos de ângulos. Para o ângulo de 90, utilizaremos, para 180, e assim por diante. A tabela abaixo nos indica os arcos de ângulos mais conhecidos para usarmos no eixo X: 2. Para ângulos acima de 90, o ângulo volta a diminuir: Isto por que o valor do seno de um ângulo qualquer NUNCA ultrapassa 1! Podemos afirmar com segurança, portanto, que a IMAGEM no eixo Y está entre -1 e 1. Você irá reparar que para qualquer ângulo, há um seno positivo ou negativo, dentro do intervalo entre -1 e 1. Logo: -1 1 sen x +1. Então, se você tabelar senos para ângulos de 0 a 360, não importando o intervalo adotado, o gráfico será uma onda: Estes arcos lêem-se "pi-radianos" e são obtidos multiplicando-se 180 (o próprio rad) por uma fração tal que o resultado coincida com um ângulo exato conhecido. Como exercício, tabele de 15 em 15 graus, desde o 150 ao 360. Dica: = 180. Pois bem, no eixo Y irá a imagem da função, ou seja, o resultado do seno para cada ângulo. Com o auxílio de uma calculadora ou calculando a "muque", com triângulos-retângulos e papel milimetrado, temos que: Em se tratando de características de sinal da imagem, esta função é PAR, ou seja, ela se mantém positiva para ângulos entre 0 e 180 e negativa para ângulos entre 180 e 360. O que se observa? 1. O ângulo de 90 é 1: Isto por que 1 é o raio de uma circunferência adotada por padrão. Se o raio de uma circunferência que você fizer no papel milimetrado possuir 12cm, então 12cm = 1 por padrão. 2. COSSENO: O cosseno de um ângulo nada mais é do que a medida da coordenada horizontal de um ponto no eixo X. Digamos que este ponto seja P(x,y). A medida horizontal do segmento 0X lhe dá o cosseno do ângulo em que o segmento 0P faz com o eixo X. 2-a. A FUNÇÃO cos x: Pois bem: Vamos retomar ao esquema geométrico da figura milimetrada. Reaproveitando o triângulo-retângulo de segmentos, se dividirmos o valor da medida do segmento OM (horizontal) pela medida do

29 segmento OP (a diagonal ou hipotenusa), iremos obter o cosseno do ângulo exemplo adotado (27 ). Dos ângulos sugeridos como exercícios anteriormente, calcule o cosseno de cada um. Da mesma forma que o seno, a imagem da função cosseno nunca excede 1 e baixa de -1, o que faz com que sua imagem seja assim: -1 cos x +1, todavia, como o cosseno de 90 é 1, diz-se que por diferença de defasagem, o gráfico desta função "atrasa" noventa graus, além de ser ÍMPAR em termos de sinal da imagem, pois ela se alterna, ou seja, cosseno é positiva para valores entre 0 e 90, negativa para valores entre 90o e 180o, positiva para valores entre 180 e 270 e negativa para valores entre 270 e 360. que levar em conta que a medida OP diagonal é referência à medida do raio R de uma circunferência (OP = Raio). Façamo-la, com a origem dos eixos XY no seu centro, como uma mira de tiro-ao-pato. Uma reta vertical toca sua extremidade direita, cortando o eixo X (veja a figura abaixo). A tangente é a medida do segmento GC. Em termos de papel milimetrado, sua obtenção só será possível se desenharmos uma semi-circunferência de 90, ocupando um o dos quatro cantos deste papel. Ao contrário das funções seno e cosseno, a tangente vai além dos valores entre 1 e -1, de tal forma que a imagem desta têm como característica tg Para se ter uma idéia disto, saiba por exemplo que a tangente de 89,9 = 573. E a tangente de 90, por ser perfeitamente paralela ao eixo tangente, nunca encontra-o e portanto, não existe. Como exercício, complete a tabela acima, para ângulos de 150 a 360 e repare o comportamento do sinal. 3.TANGENTE: Para visualizarmos geométricamente a tangente de um ângulo qualquer, temos

30 3-a. A FUNÇÃO tg x: Esta função têm como característica números enormes quando os ângulos tendem a se aproximar demais de 90. Acima deste, a projeção começa a diminuir até que em 180 ela se torne zero e de 180 a 360, negativa. A função tangente, portanto, é PAR. 3. Converta para radianos os ângulos do exercício Um círculo têm raio de 14cm. Uma formiga que percorreu deste círculo, quanto ela percorreu, em metros? 5. Resolva x: Como exercício, obtenha os valores para tangente de 150 a Eleve o valor do seno de qualquer ângulo ao quadrado e some com o valor do quadrado do cosseno deste mesmo ângulo. O quê você nota? Será que funciona para qualquer outro ângulo? Justifique sua resposta. 7. O sol do meio-dia de um dia de verão projeta a sombra de uma haste de 60cm no chão. Se esta haste faz 40 com a horizontal, qual o é o comprimento real da sombra? 8. Uma pessoa de 1,80 projeta, em uma certa hora, uma sombra de 1m no chão. Um prédio, nesta mesma hora, projeta outra sombra, de 9,2m. Qual é a altura do prédio? Exercícios de Revisão 1. Usando papel milimetrado e a técnica do triângulo-retângulo, obtenha seno, cosseno e tangente dos ângulos, comparando os resultados com os da calculadora: a) 12 b) 29 c) 36 d) 41 e) 67 f) Descreva os domínios e imagens das funções seno, cosseno e tangente. Comente, dando seu parecer de entendimento. 9. (Colégio Militar) Você vê uma montanha ao longe e ela ocupa 25 no seu campo de horizonte de visada. Se você se aproxima desta montanha a tal ponto dela ocupar 45, depois de caminhar 12km, calcule a altura desta montanha. 10. Em uma circunferência de raio 15cm, centrada em (0,0), um ponto sobre a periferia desta circunferência, assinalando o ângulo de 137, têm coordenadas P(X,Y). Calcule X e Y.

31 11) Calcule o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de na figura seguinte: 15) Calcule o seno, cosseno e a tangente de e de na figura a seguir: 12) Uma pessoa sobe uma rampa de 10m de comprimento e se eleva verticalmente 5m. Qual o ângulo que a rampa forma com o plano horizontal? 16) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, faz um ângulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmente: a) 17m b) 10m c) 15m d) 5m e) 8m 17) Calcule x indicado na figura: 13) Um observador enxerga uma montanha segundo um ângulo. Caminhando 420m em direção à montanha, passa a enxergá-la segundo um ângulo. Calcule a altura da montanha, sabendo que Dados: Números Complexos Na matemática temos o conceito de numero complexos que nos ajudam a resolver os problemas de corrente alternada (CA). O conjunto dos números complexos e formado pela soma da parte real e da parte imaginaria do numero. Z = a + j. b = parte real + parte imaginaria sendo que {a, b R e j 2 = -1} A parte imaginaria e composta pelo termo j, que 14) Simplificando a fração, obteremos: corresponde i =.

32 Observe que a raiz quadrada de menos um não tem solução no conjunto dos números reais e por isso e classificada agora como numero imaginário. Representação geométrica dos números complexos Uma maneira de definir o conjunto dos números complexos e um conjunto de pares ordenados de números reais (a,b) em que estão definidas: Igualdade: (a, b) = (c, d) portanto a = c e b = d Z1 = a + j.b Z2 = c + j.d Z3 = e + j.f Z1 + Z2 + Z3 = (a + c + e) + j. (b + d + f) Numero complexo na forma polar Uma outra forma de representar os números complexos e a forma polar, que consiste em representar um numero através de um angulo de defasagem e o valor da distancia do ponto a sua referencia. O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos e denominado plano complexo. Dizemos que o ponto P(a, b) e o afixo do numero complexo a + j.b. Podemos associar a cada numero complexo Z = a + j*b um único vetor com extremidades no ponto 0, origem do sistema de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a, b). módulo fase Neste tipo de representação podemos efetuar as multiplicações e divisões, da seguinte forma: o modulo e multiplicado ou dividido, e o ângulo somando nas multiplicações e subtraído nas divisões. Veja exemplos: Numero complexo na forma retangular Z = a + j. b A forma apresentada corresponde a forma retangular, que permite realizar somas e subtrações dos números, bastando somar todos os termos reais entre si e separadamente os termos imaginários, conforme o exemplo: Conversão Para realizar conversão entre as duas formas utilizamos a função de conversão de retangular para polar (R P ou x θ) na calculadora, ou utilizamos as formulas abaixo:

33 Para conversão polar para retangular, utilizamos as funções inversas na calculadora, ou as formulas de trigonometria abaixo: a) Z1 * Z4 b) Z2 / Z5 c) C3 * C1 d) Z1 * C3 e) C3 / C2 f) Z3 * Z3 g) C3 * C3 * C3 h) (C2)² i) (C5 / C3) * Z6 Exercício: 1) Represente no plano complexo os seguintes números complexos na forma retangular: a) Z1 = 6 b) Z2 = 2 - j3 c) Z3 = j4 d) Z4 = -3 + j2 e) Z5 = -4 - j4 g) Z6 = 3 + j3 2) Represente no plano complexo os seguintes números complexos na forma polar: a) C1 = 5 b) Z7 = 1 90 c) Z8 = 1 50 d) C2 = e) Z9 = 5 30 f) C3 = 3 45º 3) Realize a adição e subtração dos números complexos apresentados nos exercícios 01 e 02. Observação: Para somar ou subtrair e mais conveniente na forma retangular. a) Z1 + Z3 b) Z6 Z2 Z1 c) C1 C2 d) Z2 Z5 e) C1 + C3 f) Z1 + C3 g) Z1 + Z4 + Z6 h) C2 C1 i) Z4 C1 4) Realize a multiplicação e a divisão dos numero complexos apresentados nos exercícios 01 e 02 Observação: Neste caso e mais conveniente na forma polar REFERÊNCIAS: DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo: Editora FTD Ltda, LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2 a ed Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos, 442 problemas suplementares. Ed. Harbra, 2004