Polinômios Ortogonais em Várias Variáveis com Pontos de Massa

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1 Polinômios Ortogonais em Várias Variáveis com Pontos de Massa Mirela V. de Mello Depto de Ciências de Computação e Estatística, IBILCE, UNESP, , São José do Rio Preto, SP mirela vanina@yahoo.com.br Vanessa G. P. Paschoa, Depto de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP, , Campinas, SP van gp@hotmail.com, Teresa E. Pérez, Miguel A. Piñar, Depto de Matemática Aplicada, ETSIIT, Universidad de Granada 18071, Granada, Espanha tperez@ugr.es mpinar@ugr.es Trabalho desenvolvido no estágio de doutorado sandwich CAPES Resumo: Mostraremos fórmulas que relacionam sistemas de polinômios ortogonais em d variáveis associados ao produto interno p, q = G p(x)q(x)dµ(x) e a um produto interno acrescido de massa em N pontos. O resulto novo obtido pelos autores é uma relação do mesmo tipo para produtos internos avaliados no gradiente. Além disso, também será feito o caso para o simplexo, com medida canônica, e os N pontos sendo os vértices, que possibilita fórmulas mais explícitas. Dado um produto interno para polinômios de Palavras-chave: Polinômios Ortogonais em várias variáveis, massas de Dirac, tipo-sobolev Uma sequência de polinômios ortogonais de uma variável é uma sequência infinita de polinômios P 0 (x), P 1 (x), P 2 (x),... com cada P k (x) de grau exatamente k e que está relacionada com um produto interno. Dada uma função µ não decrescente com infinitos pontos de aumento em (a, b), a < b consideramos o produto interno f, g = b a f(x)g(x)dµ(x). Deste modo {P n (x)} n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais com relação a uma medida dµ em (a, b) se P n, P m = b a { 0, se n m f(x)g(x)dµ(x) = ρ n 0, se n = m A existência de sequência de polinômios ortogonais é garantida se a medida dµ for definida positiva. No espaço de dimensão d a ortogonalidade de polinômios pode ser definida do mesmo modo. Denotamos por Π d o espaço linear de polinômios em d variáveis. Um polinômio em Π d é uma combinação linear de monômios da forma x α = x α 1 1 xα d d, α 1,..., α d N 0. O inteiro α = α α d é o grau deste termo. Chamamos de grau total o grau máximo dos termos de um polinômio em Π d. 391

2 Denotamos por Π d n o espaço linear de polinômios em d variáveis de grau total no máximo n. E por Pn d o espaço linear dos polinômios homogêneos de grau n, isto é, formado por combinações lineares de monômios x α 1 1 xα d d de grau n (α α d = n). A dimensão de Π d n e de Pn d são ( ) ( ) n + d n + d 1 dim Π d n = e dim Pn d = := r d n n n. Seja G R d um domínio simplesmente conexo, com interior não vazio, e seja dµ uma medida positiva definida em G. Considerando o produto interno definido por p, q = p(x)q(x)dµ(x). (1) G para p, q Π d, nós dizemos que o polinômio p Π d n é ortogonal com respeito a (1) se p, q = 0, q Π d n 1. Denotamos por V d n o espaço linear de polinômios ortogonais com respeito (1) para n N fixo. A dimensão de V d n é r n d. Seja {P n α } α =n uma base de V d n. Usaremos a notação matricial introduzida em [3] e desenvolvida em [5], e escreveremos a base de V d n como vetores coluna P n = (P n α ) α =n = (P n α 1, P n α 2,..., P n α r d n ) t, onde os elementos {α N d : α = n} são ordenados de acordo com a ordem lexicográfica reversa. Considerando todos os vetores da forma acima, que contém as bases para V d n, n 0 temos {P n } n 0, que chamaremos de sistema polinomial (SP). O exemplo mais simples de SP é chamado base canônica {X n } n 0. Para cada n, X n é o vetor cujas entradas são monômios de grau total n arranjados na ordem lexicográfica reversa. Se {P n } n 0 é uma PS, então P n pode ser expresso em termos da base canônica como segue P n = n A n i X i, i=0 onde A n i M r d n ri d(r). Observe que An n é uma matrix não-singular, e é chamada coeficiente dominante do vetor polinomial P n. A ortogonalidade pode ser definida em termos de sistemas polinomiais. Definição 0.1. Um SP {P n } n 0 é chamado sistema polinomial ortogonal fraco (SPOF) com respeito ao produto interno (1) se P n, P t m = 0, n m, P n, P t n = H n, n = 0, 1, 2,..., onde H n é uma matrix simétrica e definida positiva de tamanho r d n r d n. Quando H n é uma matrix diagonal, para n 0, nós dizemos que o SPOF {P n } n 0 é um sistema polinomial ortogonal (SPO). Dado um SPO {P n } n 0, definimos a j th função núcleo parcial em V d j por P j (x, y) = P t j(x) H 1 j P j (y), j 0, 392

3 e a n th função núcleo ou simplesmente núcleo de Π d n K n (x, y) = n P j (x, y), n 0. j=0 Como a definição K n (x, y) não depende de uma base particular ([2, Theorem 3.5.1, p. 106,]), é frequentemente conveniente trabalharmos com a base ortonormal. Ainda, o núcleo satisfaz a propriedade reprodutiva p(x) = K n (x, ), p( ) = p( ), K n (, x), p Π d n. Seja f, g o produto interno p, q = G p(x)q(x)dµ(x) definido em (1) e seja {P n} n 0 um SPO associado. Abordaremos dois novos produtos internos associados ao produto interno anterior. O primeiro avaliando em N pontos ξ 1, ξ 2,..., ξ N com pesos distintos em cada ponto e o segundo avaliando o gradiente nesses pontos com massa constante M > 0 q(ξ 1 ) q(ξ 2 ) (I) p, q Λ = p, q + (p(ξ 1 ), p(ξ 2 ),..., p(ξ N ))Λ., q(ξ N ) (II) f, g M = f, g + M N l=1 { f(x)t g(x)} x=ξl, M > 0. onde, denota o produto interno dado pela fórmula (1). Podemos escrever os sistemas polinomiais associados a estes novos produtos internos com relação ao SP {P n } n 0. 1 Polinômios Ortogonais com pontos de massas no simplexo De fato, precisamos considerar que Λ seja uma matriz simétrica definida positiva e que ξ 1, ξ 2,..., ξ N sejam pontos distintos. Usando a notação p(ξ) = (p(ξ 1 ), p(ξ 2 ),..., p(ξ N )) t, o produto interno (I) fica p, q Λ = p, q + p(ξ) T Λ q(ξ). O resultado a seguir estabelece uma fórmula para um SPO associado a (I) com relação aos núcleos de {P n } n 0 Teorema 1.1. Seja {P n } n 0 um SPO associado a (1). Definindo Q 0 (x) = P 0 (x), Q n (x) = P n (x) P n (ξ) (I N + Λ K n 1 ) 1 Λ K n 1 (ξ, x), n 1, (2) onde I N denota a matriz identidade de ordem N, e P n (ξ) = (P n (ξ 1 ) P n (ξ 2 )... P n (ξ N )) M r d n N, K n 1 = (K n 1 (ξ i, ξ j )) N i,j=1 M N N, K n 1 (ξ, x) = (K n 1 (ξ 1, x), K n 1 (ξ 2, x),..., K n 1 (ξ N, x)) t M N 1. Então {Q n } n 0 é um sistema de polinômios ortogonais com respeito a (I). E reciprocamente, qualquer sistema de polinomial ortogonal com respeito a (I) pode ser expresso como (2). 393

4 Seja, T d = {x = (x 1, x 2,..., x d ) R d : x 1,..., x d 0, 1 x 1 0} o simplexo em R d, onde x 1 = x x d é a usual l 1 norma em R d. Consideremos o produto interno no simplexo f, g = w κ f(x) g(x) Wκ T (x) dx, (3) onde a função peso é e T W T κ (x) = x κ 1 1/2 1 x κ 2 1/ x κ d 1/2 d (1 x 1 ) κ d+1 1/2, κ 1,..., κ d+1 0, w κ = Γ(κ κ d+1 + d+1 2 ) Γ(κ )... Γ(κ d ), é a constante de normalização tal que w κ T W κ T (x) dx = 1. A fim de obtermos fórmulas mais explícitas para (6), de agora em diante vamos considerar κ 1 =... = κ d+1 := κ. Consideremos {P α (x)} α 0 associada a (3) com a restrição anterior. Vamos considerar o produto interno (I) avaliado nos vértices de T d : e 0 = 0, e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e d = (0, 0,..., 1) R d. Seja p(e) = (p(e 1 ), p(e 2 ),..., p(e d )) t, então temos o produto interno f, g Λ = w κ f(x) g(x) Wκ T (x) dx + p(e) T Λ q(e) (4) T Desta maneira podemos escrever mais explicitamente o teorema 1.1 para um SPOF associado a (4) como Q n (x) = P n (x) + M d+1 P n (e i ) K n 1 (W κ ; x, e i ) 1 + M(A n 1 B n 1 ) M 2 B n 1 [1 + M(A n 1 B n 1 )][1 + M A n 1 + d M B n 1 ] d+1 P n (e i ) K n 1 (Wκ T ; x, e i ), d+1 com A n := K n (Wκ T ; e i, e i ) = 1 (λ) n (λ κ + 1/2) n 2 d+1, n! (κ + 1/2) n B n := K n (Wκ T ; e j, e i ) = ( 1)n (λ) n 2 d+1, j i, n! e λ = (d + 1)κ + (d + 1)/2 onde {P n } n 0 denota o sistema polinomial ortonormal no simplexo T d que tem expressão explícita como produtos de polinômios de Jacobi. Por outro lado, a função núcleo reprodutora para o SPOF anterior associado a (4) satisfaz K n (x, y) = K n (W T κ ; x, y) + M d+1 K n (Wκ T ; x, e i ) K n (Wκ T ; y, e i ) 1 + M(A n B n ) M 2 B n [1 + M(A n B n )][1 + M A n + d M B n ] (5) d+1 d+1 K n (Wκ T ; x, e i ) K n (W T κ ; y, e i ). 394

5 Através desta fórmula explícita pode-se estudar o comportamento da função Christoffel no interior do simplexo T d. Uma fórmula assintótica é encontrada em [1]. 2 Polinômios Ortogonais com ponto de massa no gradiente Agora vamos considerar o produto interno do tipo (II) (II) f, g M = f, g + M N l=1 { f(x)t g(x)} x=ξl, M > 0. onde, denota o produto interno dado pela fórmula (1). O próximo resultado é a relação entre os sistemas polinomiais ortogonais associados a este novo produto interno e os SPO associado (1). Usaremos de forma abusiva as mesmas notações da seção anterior, devido ao fato do teorema incluir diversar definições preferimos assim para que haja familiaridade com os resultados anteriores. Teorema 2.1. O sistema polinomial {Q n } n 0 dado por onde Q 0 (x) := P 0 (x) Q n (x) = P n (x) MP n (ξ)(i dn + MK n 1 (ξ)) 1 K n 1 (ξ, x), n 1 (6) I dn denota a matriz identidade de ordem dn ( ) P n (ξ) = P n (ξ 1 ) P n (ξ 2 )... P n (ξ N ) M r d n dn ( ) com P n (x) = x1 P n (x)... xd P n (x) M r d n d K n 1 (ξ 1, ξ 1 )... K n 1 (ξ N, ξ 1 ) K n 1 (ξ) =..... M dn dn K n 1 (ξ 1, ξ N )... K n 1 (ξ N, ξ N ) y1 x1 K n 1 (x, y) y1 xd K n 1 (x, y) onde K n 1 (x, y) =..... M d d yd x1 K n 1 (x, y) yd xd K n 1 (x, y) e K n 1 (ξ, y) = ( x1 K n 1 (x, y) x=ξ1, x2 K n 1 (x, y) x=ξ1,..., xd K n 1 (x, y) x=ξ1,..., x1 K n 1 (x, y) x=ξn,..., xd K n 1 (x, y) x=ξn ) T é um sistema polinomial ortogonal com respeito a, M definido em (6). E reciprocamente, qualquer sistema polinomial com respeito a (6) pode ser expresso da forma (6). Também podemos escrever fórmulas relacionando Q n, Q n M e P n, P n, as funções núcleos e no caso dos polinômios no simplexo também é possível escrever uma fórmula mais explícita, isto é, diretamente por polinômios de Jacobi de uma variável. Referências [1] A.M. Delgado; L. Fernández; T.E. Pérez; M.A. Piñar; Y. Xu; Orthogonal polynomials in several variables for measures with mass points. (submitted) [2] C.F. Dunkl and Y. Xu, Orthogonal polynomials of several variables, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 81, Cambridge University Press,

6 [3] M. A. Kowalski, The recursion formulas for orthogonal polynomials in n variables, SIAM J. Math. Anal. 13 (1982), [4] G. Szegő, Orthogonal polynomials, 4th ed., American Mathematical Society Colloquium Publication 23, Providence RI, [5] Y. Xu, On multivariable orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 24 (1993)