CONTROLE DE SISTEMAS INCERTOS COM ATRASO TÉCNICAS BASEADAS EM CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES INTEGRAL E LMI. Pedro Vicente Santos

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1 CONTROLE DE SISTEMAS INCERTOS COM ATRASO USANDO TÉCNICAS BASEADAS EM CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES INTEGRAL E LMI Pedro Vicente Santos Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Eletrônica e de Computação da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Eduardo Vieira Leão Nunes Rio de Janeiro Agosto de 2018

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4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Escola Politécnica - Departamento de Eletrônica e de Computação Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitária Rio de Janeiro - RJ CEP Este exemplar é de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento. É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa. Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es). iv

5 DEDICATÓRIA A minha mãe, Valéria, cujo apoio foi fundamental para que eu completasse esta etapa da minha vida. v

6 AGRADECIMENTO Agradeço à minha mãe e amigos, pelo incentivo e pela força que me deram para superar as dificuldades. Também agradeço ao Professor Eduardo Vieira Leão Nunes pela orientação e ajuda na elaboração deste trabalho. Por fim, agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pela oportunidade de participar em atividades na área de pesquisa. vi

7 RESUMO Este trabalho apresenta algumas das principais características de sistemas com atraso, assim como os motivos que fazem com que o controle por modos deslizantes possa ser tão vantajoso para lidar com modelagem incerta. Inicialmente, um breve estudo sobre as principais características e propriedades do controle por modos deslizantes é apresentado, incluindo o controle por modos deslizantes integral. Essa técnica procura garantir que o sistema seja robusto a incertezas e perturbações durante todo o tempo ao assegurar que o sistema sempre se encontre em deslizamento. Neste projeto é proposta uma modificação para uma técnica baseada em controle por modos deslizantes integral para sistemas com atraso na entrada e também no estado. A análise de estabilidade do esquema de controle é baseada em Desigualdades Matriciais Lineares (Linear Matrix Inequalities - LMI). Por meio dessa ferramenta é possível obter condições suficientes para assegurar a estabilidade global do sistema em malha fechada. Para a solução de LMI três pacotes computacionais são considerados e brevemente discutidos. Além disso, um pequeno tutorial sobre esses pacotes é elaborado. Palavras-Chave: Controle por Modos Deslizantes Integral, LMI, Sistemas com Atraso. vii

8 ABSTRACT This work presents some of the main characteristics of time delay systems, as well as the reasons why Sliding Mode Control can be so advantageous to deal with uncertain modeling. Initially, a brief study of main characteristics and properties of Sliding Mode Control is presented, including Integral Sliding Mode Control. This technique seeks to ensure that the system is robust to uncertainties and disturbances at all times by ensuring that the system is always in the sliding surface. In this project a modification is proposed for a technique based on Integral Sliding Mode Control for systems with input and state delays. The stability analysis of the control scheme is based on Linear Matrix Inequalities (LMI). Through this tool it is possible to obtain sufficient conditions to ensure the overall stability of the closed loop system. For the LMI solution three computational packages are considered and briefly discussed. In addition, a small tutorial on these packages is developed. Key-words: Integral Sliding Mode Control, LMI, time delay systems. viii

9 SIGLAS FDEs - Functional Differential Equations ISMC - Integral Sliding Mode Control LMI - Linear Matrix Inequalities LTI - Linear Time-Invariant NDEs - Neutral Type Differential Equations ODEs - Ordinary Differential Equations RDEs - Retarded Differential Equations SPD - Semidefinite Programming SMC - Sliding Mode Control TDS - Time Delay System ix

10 Sumário 1 Introdução Tema Delimitação Justificativa Objetivos Metodologia Descrição Conceitos Matemáticos Matrizes positivas definidas Complemento de Schur Teoria de Lyapunov Controle por Modos Deslizantes Sistema de Controle Descontínuo Noções Básicas Existência dos Modos Deslizantes Método da Regularização Método do Controle Equivalente Controle por Modos Deslizantes Integral Definição do Problema Princípios do Projeto Superfície de Deslizamento Integral Leis de controle Condição de Alcançabilidade x

11 3.6.6 Propriedades Chattering Sistemas com atraso Introdução Conceito de solução Tipos de atrasos Atrasos Constantes Atrasos variantes no tempo Tipos de TDSs Estabilidade e Desigualdades Matriciais Lineares LMIs Estabilidade de TDSs Lyapunov-Krasovskii Condições para estabilidade de TDSs SMC aplicado a Sistemas com Atraso Formulação do Problema Projeto da superfície de deslizamento Projeto do controlador Exemplo Ilustrativo Conclusão 76 Bibliografia 78 A Toolboxs para resolução de LMIs 82 A.1 LMI Control Toolbox A.2 Yalmip A.3 CVX A.4 Comparação entre os Toolboxs xi

12 Lista de Figuras 2.1 Conceitos de estabilidade Plano de fase para o sistema (3.2) Plano de fase para o sistema (3.3) Plano de fase para o sistema (3.1) Gráfico de x x t para o sistema (3.1) Exemplos de trajetórias próximas da superfície de deslizamento e sinais de controle para um sistema com histerese Plano de fase para o sistema (3.4) Ilustração do deslizamento local Plano de fase para o sistema (3.13) (a) Gráfico de x x t para o sistema (3.13); (b) Gráfico de x x t para o sistema (3.15); (c) Sinal de controle para o sistema (3.13); (d) Sinal de controle para o sistema (3.15) Sinal de controle: (a) Relé; (b) Saturação para σ = Esquemático de um sistema simples com atraso Diagrama de Bode para o termo de atraso puro Resposta ao degrau do sistema (4.3) considerando a possibilidade de um ganho proporcional Solução do sistema (4.1) Solução do sistema (4.8) Trajetórias do sistema do exemplo considerado Sinal de controle do exemplo considerado Superfície de deslizamento do exemplo considerado Superfície de deslizamento projetada como em [4] xii

13 Capítulo 1 Introdução 1.1 Tema Este trabalho tem como tema o controle de sistemas com atraso e com modelo dinâmico incerto. Dentro desse contexto, são abordadas técnicas de controle baseadas no controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control - SMC ) e são utilizados a teoria de Lyapunov e o conceito de desigualdades matriciais lineares (Linear Matrix Inequalities - LMI ) para analisar a estabilidade do sistema. 1.2 Delimitação O objeto de estudo são as técnicas de controle baseadas no SMC, mais especificamente no controle por modos deslizantes integral (Integral Sliding Mode Control - ISMC ). Tais técnicas foram escolhidas por serem eficientes para lidar com sistemas incertos. Além disso, o estudo foi restrito a sistemas lineares que possuem atraso, que pode ser constante ou variável, na entrada e/ou na sua dinâmica. Com relação a descrição matemática dos sistemas considerados, o estudo foi restrito a equações diferenciais retardadas (Retarded Differential Equations - RDEs) e ao caso de sistemas com atraso discreto. 1

14 1.3 Justificativa Para sistemas dinâmicos de dimensão finita, as condições iniciais dependem apenas de um conjunto finito de valores, mais especificamente os valores das variáveis de estado nesse instante de tempo inicial. Já no caso de sistemas com atraso é preciso ter mais informações. Para cada instante de tempo, não basta apenas o conhecimento do valor de certas variáveis para um dado instante de tempo, é preciso saber o comportamento prévio dessas variáveis em uma janela tempo. Dessa forma, sistemas com atraso são sistemas de dimensão infinita e o seu estado consiste de um conjunto infinito de valores. Esse aspecto torna a análise desse tipo de sistema ainda mais desafiadora. Sistemas de controle com atrasos são muito comuns, dado que normalmente existe um tempo para adquirir a informação necessária para a tomada de decisões e para a execução das mesmas. É válido também ressaltar que estudos comprovam que a introdução cuidadosa de atrasos podem estabilizar um sistema que antes era instável. Um exemplo conhecido que possui esse comportamento é o seguinte sistema: ÿ(t) + y(t) y(t h) = 0 O sistema acima é instável para h = 0, mas é assintoticamente estável para h = 1 [1]. Esse paradoxo é um dos motivos para os anos de interesse no estudo de sistemas com atraso [2, 1]. Além disso, sistemas dinâmicos muitas vezes são caracterizados por serem incertos, o que significa que possuem modelagem precária ou grandes incertezas e perturbações. Essas perturbações podem ocorrer devido a dinâmicas não modeladas, variações nos parâmetros da planta e por distúrbios externos [3]. Caso esses atrasos e/ou incertezas sejam desconsiderados, o modelo criado para o sistema pode não funcionar perfeitamente e levar a uma performance insatisfatória [3, 4, 5]. Neste sentido, existe uma motivação para o estudo de técnicas de controle baseadas em modos deslizantes, devido a sua eficiência no controle de sistemas incertos, principalmente por sua robustez com respeito a estabilidade e desempenho 2

15 [6, 5, 7]. 1.4 Objetivos O principal objetivo desse trabalho é estudar e desenvolver técnicas de controle por modos deslizantes para sistemas incertos com atraso. Para alcançar essa meta os seguintes objetivos específicos devem ser atingidos: estudo das principais propriedades de sistemas com atraso e do controle por modos deslizantes, revisão da literatura para encontrar técnicas modernas para o controle desse tipo de sistema, análise e desenvolvimento do algoritmo de controle e validação da estratégia escolhida por meio de simulações numéricas. 1.5 Metodologia Primeiramente, foi realizado um estudo com ênfase no controle por modos deslizantes e suas principais propriedades foram verificadas por meio de simulações numéricas. O SMC é conhecido pelas seguintes vantagens: estabilidade, rejeição de pertubações e robustez [3]. Além disso, com este tipo de controle é possível combinar características úteis de cada estrutura do sistema realimentado, ou até mesmo se obter propriedades que não estão presentes em nenhumas das estruturas utilizadas [8, 9, 10, 11]. Dentro do SMC, foi estudado de forma mais aprofundada o controle por modos deslizantes integral (ISMC) devido a sua capacidade de garantir que a robustez do controlador seja válida por todo o tempo de resposta do sistema. Além disso, com o ISMC é possível lidar de forma mais adequada com incertezas descasadas, o que não acontece no SMC convencional. Por esses motivos, o ISMC será utilizado para lidar com o tipo de sistema encontrado neste trabalho. Em seguida foi feito o estudo das principais características de sistemas com atraso. Um problema encontrado é que sistemas deste tipo costumam funcionar melhor com ganhos baixos, enquanto o SMC é baseado em alto ganho. Logo, esse trabalho terá que lidar com essa dificuldade para obter um sistema com bom desempenho. 3

16 Durante o desenvolvimento do controle do sistema, é necessário garantir que o mesmo seja estável assintoticamente em malha fechada. Esse trabalho faz uso das LMIs para análise da estabilidade do sistema. As LMIs têm ganhado cada vez mais força atualmente, pois com elas é possível modelar uma variedade de problemas da teoria de controle, além de representarem problemas de otimização convexos, que são de fácil solução numérica usando os softwares atuais [12]. Dessa forma, neste trabalho a análise da estabilidade parte de uma função de Lyapunov, obtendo uma condição suficiente para a estabilidade assintótica do sistema por meio de LMIs [13, 4]. 1.6 Descrição No capítulo 2 são abordadas alguns conceitos matemáticos importantes que estão presentes ao longo do texto. O capítulo 3 faz uso de simulações numéricas e apresenta os principais conceitos teóricos e características do controle por modos deslizantes. As principais características teóricas de sistemas com atraso são apresentadas no capítulo 4. A relação entre estabilidade e LMIs é apresentada no capítulo 5. Nele é explicitado o motivo do uso crescente dessa técnica para garantir a estabilidade de sistemas de controle. A técnica de controle desenvolvida é apresentada com detalhes no capítulo 6. São apresentadas simulações numéricas que mostram os resultados obtidos e compravam a viabilidade da estratégia escolhida. As conclusões gerais sobre o estudo desenvolvido são apresentadas no capítulo 7. Por fim, o apêndice A apresenta um pequeno tutorial sobre alguns dos pacotes computacionais existentes para resolução de LMIs. 4

17 Capítulo 2 Conceitos Matemáticos Esse capítulo tem como objetivo apresentar os conceitos matemáticos mais importantes que estão presentes ao longo do texto. São eles os conceitos de matrizes positivas definidas, Complemento de Schur e funções de Lyapunov. As LMIs se integram aos conceitos existentes na teoria de Lyapunov, sendo essa teoria uma das principais e mais importantes formas de analisar a estabilidade de um sistema [3, 1]. Como será explicado adiante, para aplicar corretamente os conceitos de Lyapunov, é importante entender o que são matrizes positivas definidas e as condições necessárias para serem caracterizadas como tal. Além disso, é comum ser necessário escrever uma inequação como uma LMI e para isso pode-se usar o conceito de Complemento de Schur, que também é diretamente relacionado com matrizes positivas definidas. 2.1 Matrizes positivas definidas Problemas de otimização são comuns em Engenharia. Nesses problemas, normalmente precisa-se reconhecer o ponto mínimo de uma função. Quando esse ponto mínimo é a origem, pode-se dizer que a função é positiva definida. De forma geral, uma função F (x) é dita positiva definida se: x 0 F (x) > 0, F (0) = 0 Caso F (x) 0, x 0, a função é dita ser positiva semidefinida. 5

18 Para ilustrar melhor o conceito, considere a princípio uma função quadrática escalar simples: f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 (2.1) A função (2.1) é definida positiva se, e somente se, a > 0 e ac > b 2. E será definida negativa se, e somente se, a < 0 e ac > b 2. O caso singular ac = b 2 leva uma função semidefinida, sendo semidefinida negativa caso a < 0 e semidefinida positiva caso a > 0 [14]. A função (2.1) pode ser escrita na forma matricial, neste caso uma matriz 2 2: ax 2 + 2bxy + cy 2 = [ x ] y a b x (2.2) b c y Essa identidade pode ser generalizada para n dimensões, como visto em (2.3). Para qualquer matriz simétrica A, o produto x T Ax é uma forma quadrática pura: a 11 a 12 a 1n x 1 ] a [x 1 x 2 x 21 a 22 a 2n x 2 n..... =.. a n1 a n2 a nn x n n n a ij x i x j (2.3) i=1 j=1 A partir da generalização acima, pode-se estudar o conceito de matrizes positivas definidas. Este conceito é extremamente importante para a análise da estabilidade de sistemas de controle, uma vez que muitas das condições de estabilidade partem do princípio da existência de determinada matriz positiva definida. Considerando a matriz quadrada em (2.3) e chamando ela de A. Esta matriz será dita positiva definida caso seja simétrica (A = A T ) e caso satisfaça as condições do teorema abaixo: Teorema 2.1 6

19 1. x T Ax > 0 para todos os vetores reais x não nulos. 2. Todos os autovalores de A satisfazem λ i > Todas as submatrizes superiores A k à esquerda têm determinantes positivos. 4. Todos os pivôs (sem alterações de linha) satisfazem d k > Existe uma matriz R com colunas independentes tais que A = R T R. Prova: ver [14]. É válido ressaltar que a função quadrática x T Ax > 0 é de extrema importância para a análise de Lyapunov e aparece com bastante frequência na análise de estabilidade de sistemas de controle. Para matrizes positivas semidefinidas, o teorema é reescrito da seguinte forma, também considerando uma matriz real A: Teorema x T Ax 0 para todos os vetores reais x não nulos. 2. Todos os autovalores de A satisfazem λ i Nenhuma submatriz principal possui determinantes negativos. 4. Nenhum pivô é negativo. 5. Existe uma matriz R, possivelmente com colunas dependentes, de modo que A = R T R. Prova: ver [14]. A definição de matrizes negativas definidas parte da analogia com matrizes positivas definidas e o mesmo vale para matrizes negativa semidefinidas com as matrizes positivas semidefinidas. 7

20 2.2 Complemento de Schur O conceito de Complemento de Schur é muito importante no desenvolvimento das desigualdades matriciais lineares (LMIs). Esta seção tem como objetivo detalhar melhor esse conceito. Considere uma matriz quadrada M : n n escrita como uma matriz com bloco 2 2: M = A C B (2.4) D onde A é uma matriz p p e D é uma matriz q q, com n = p + q, dessa forma B é uma matriz p q e C é uma matriz q p. A matriz M pode ser utilizada para resolver o seguinte sistema linear: Ax + By = c Cx + Dy = d (2.5) que pode ser reescrito na forma matricial A C B x = c D y d Isolando y e assumindo que D é invertível: y = D 1 (d Cx) substituindo este resultado em (2.5) Ax + B(D 1 (d Cx)) = c (A BD 1 C)x = c BD 1 d 8

21 Caso A BD 1 C seja invertível, a solução é dada por: x = (A BD 1 C) 1 (c BD 1 d) y = D 1 (d C(A BD 1 C) 1 (c BD 1 d)) (2.6) A matriz A BD 1 C é chamada de Complemento de Schur de D em M [15]. A solução obtida em (2.6) leva a seguinte fórmula para a inversa de M: A C B D 1 = (A BD 1 C) 1 (A BD 1 C) 1 BD 1 D 1 C(A BD 1 C) 1 D 1 + D 1 C(A BD 1 C) 1 BD 1 A C B D 1 = (A BD 1 C) 1 0 D 1 C(A BD 1 C) 1 D 1 I BD 1 0 I A C B D 1 = I 0 (A BD 1 C) 1 0 I BD 1 D 1 C I 0 D 1 0 I A partir da equação acima, é possível obter uma nova expressão para M, com a vantagem de que nesta expressão é necessário que apenas D seja invertível: A C B = I D 0 I BD 1 (A BD 1 C) 0 I 0 0 D D 1 C I A partir desse resultado, é possível caracterizar matrizes positivas definidas usando o Complemento de Schur. Assuma que M seja simétrica, de forma que A e D sejam simétricas e que C = B T, então M pode ser reescrita como: A B T B = I D 0 I BD 1 (A BD 1 B T ) 0 I 0 D 0 I BD 1 T 9

22 É possível definir então: Definição 2.1 Para qualquer matriz M da forma M = A B B T C Se C é invertível então as seguintes propriedades são válidas: 1. M > 0 se e somente se C > 0 e A BC 1 B T > 0 2. Se C > 0 então M 0 se e somente se A BC 1 B T 0 Prova: Para uma matriz M ser positiva definida é necessário que x T Mx > 0. Esta condição pode ser escrita da seguinte forma: x T M { }} { A B x > 0 B T C Reescrevendo de forma a obter o Complemento de Schur: P T { }} { { }} { x T I BC 1 A BC 1 B T 0 I 0 x > 0 } 0 {{ I }} 0 {{ C C 1 B T }}{{ I } w T S w Dessa forma, obtém-se: P x T Mx > 0 x T P T SP x > 0 Pode-se reescrever x T P T SP x > 0 como w T Sw > 0. Portanto, é necessário que S > 0: S = A BC 1 B T 0 > 0 0 C 10

23 Da subseção anterior sabe-se que para uma matriz ser positiva definida, todas as submatrizes superiores a esquerda devem ter determinante positivo, ou seja, cada um dos blocos de uma matriz positiva definida deve ser também positivo definido [15]. Dessa forma, obtém-se as condições: C > 0 A BC 1 B T > 0 Essas condições estão de acordo com a Definição Teoria de Lyapunov A análise da estabilidade de muitos sistemas, sejam eles lineares ou não lineares, muitas vezes se baseia nos métodos de Lyapunov. A teoria de Lyapunov é dividida em dois métodos: o primeiro se baseia na linearização do sistema e análise do sistema linearizado ao redor de um ponto de equilíbrio, o segundo é mais geral e se baseia no conceito de energia do sistema, que é analisado por meio de uma função, chamada de função de Lyapunov. Como esse trabalho não irá trabalhar com o método da linearização, ele não será detalhado aqui e mais informações podem ser encontradas em [3]. Considere o sistema autônomo: ẋ(t) = f(x(t)), x(0) = x 0 Um conceito importante para o entendimento de estabilidade é o de ponto de equilíbrio, que pode ser entendido da seguinte forma: Definição 2.2 Um estado x é um estado de equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) de um sistema se, uma vez que x(t) seja igual a x, o estado se manterá igual a x para todo tempo futuro. Matematicamente isso significa que o estado x satisfaz a seguinte relação: f(x ) = 0 (2.7) 11

24 Após definido o conceito de ponto de equilíbrio, é possível definir os conceitos de estabilidade. Assim como na análise de sistemas lineares, é possível estudar o comportamento de um sistema não linear na vizinhança da origem ao invés do ponto de equilíbrio x, o que simplifica bastante a análise da estabilidade do sistema. Dessa forma, supondo que f possui um ponto de equilíbrio em x e = 0 e denotando B R como a região esférica definida por x < R no espaço de estados e S R a própria esfera, definida por x = R, é possível definir os conceitos de estabilidade e instabilidade: Definição 2.3 O ponto de equilíbrio x e = 0 é estável se, para qualquer R > 0, existe r > 0, tal que se x(0) < r, então x(t) < R para todo t > 0. Caso contrário, o ponto de equilíbrio é dito instável. Essa definição de estabilidade é conhecida como estabilidade no sentido de Lyapunov e pode ser entendida da seguinte forma: uma trajetória do sistema pode ser mantida arbitrariamente perto do ponto de equilíbrio caso comece perto o suficiente deste ponto. A definição 2.3 pode ser escrita como: R > 0, r > 0, x(0) B r x(t) B R, t 0 Caso as trajetórias do sistema não satisfaçam a condição de estabilidade ele é dito como sendo instável. Apesar da estabilidade ser uma definição importante, em muitos sistemas de controle é necessário que o sistema seja assintoticamente estável. Este tipo de estabilidade é definida da seguinte forma: Definição 2.4 Um ponto de equilíbrio x e = 0 é assintoticamente estável se é estável e, além disso, x(t) 0 quando t. 12

25 Um ponto de equilíbrio que é estável no sentido de Lyapunov, mas não é assintoticamente estável é conhecido como marginalmente estável. Alguns problemas precisam estimar quão rápido as trajetórias vão tender para o ponto de equilíbrio e a estabilidade exponencial é utilizada para esse propósito: Definição 2.5 Um ponto de equilíbrio x e = 0 é exponencialmente estável se existem dois números estritamente positivos α e λ tais que x(t) α x(0) e λt, t > 0 em alguma região B r ao redor da origem. A definição 2.5 significa que o vetor de estado de um sistema exponencialmente estável converge para o ponto de equilíbrio mais rapidamente que uma função exponencial. O número λ é conhecido como a taxa de convergência exponencial. As três definições citadas até agora caracterizam o comportamento local do sistema, ou seja, o que acontece caso o estado se inicie perto do ponto de equilíbrio. Para caracterizar o que acontece caso a trajetória se inicie em algum ponto longe do equilíbrio é preciso utilizar conceitos de estabilidade globais: Definição 2.6 Se a estabilidade assintótica (exponencial) é válida para qualquer estado inicial, então o ponto de equilíbrio é globalmente assintoticamente (exponencialmente) estável. Figura 2.1: Conceitos de estabilidade. 13

26 Após definidos os conceitos de estabilidade é possível explicar o segundo método de Lyapunov, que é também conhecido como método direto de Lyapunov. A ideia do método direto de Lyapunov é uma extensão do conceito de energia de sistemas: se a energia total de um sistema é continuamente dissipada, então o sistema deve eventualmente tender a algum ponto de equilíbrio. Dessa forma, é possível concluir a estabilidade de um sistema analisando a variação de uma função escalar. O procedimento básico desse método é gerar uma função escalar para o sistema, que lembre uma função de energia, e examinar a variação no tempo desta função. Essas funções de energia possuem duas propriedades. A primeira é baseada no conceito de funções positivas definidas. Já a segunda implica que a função é monotonicamente decrescente e é formalizada pelas funções de Lyapunov. Definição 2.7 Uma função escalar V (x) é positiva definida localmente se V (0) = 0 e, em uma região B R0 x 0 V (x) > 0 Se V (0) = 0 e a propriedade anterior é válida para todo o espaço de estado, então V (x) é positiva definida globalmente. Definição 2.8 Se, em uma região B R0, a função V (x) é positiva definida e possui derivadas parciais contínuas, além de possuir derivada no tempo ao longo de qualquer trajetória negativa semidefinida, ou seja: V (x) 0 esta função é uma função de Lyapunov para o sistema. É possível relacionar as funções de Lyapunov com a estabilidade da seguinte forma: Teorema 2.3 Se, em uma região B R0 existe uma função escalar V (x) com derivadas parciais contínuas tal que ˆ V (x) é positiva definida (localmente em B R0 ) 14

27 ˆ V (x) é negativa semidefinida (localmente em B R0 ) então o ponto de equilíbrio x e = 0 é estável. Caso V (x) seja negativa definida localmente em B R0, então a estabilidade é assintótica. Prova: ver [3]. O teorema 2.3 garante apenas a estabilidade local do sistema. Para garantir a estabilidade global e assintótica é necessário que a região B R0 seja o espaço de estado completo e que V (x) quando x. Teorema 2.4 Assumindo a existência de uma função escalar V do estado x, com derivadas de primeira ordem contínuas, tal que: ˆ V (x) é positiva definida ˆ V (x) é negativa definida ˆ V (x) quando x então o equilíbrio é globalmente assintoticamente estável. Prova: ver [3]. Para ilustrar o método de Lyapunov, considere um sistema linear da forma: ẋ = Ax (2.8) Escolhendo a função quadrática (2.9) como candidata a função de Lyapunov: V (x) = x T P x (2.9) com P sendo uma matriz positiva definida. Derivando (2.9) ao longo das trajetórias de (2.8): V (x) = ẋ T P x + x T P ẋ = x T A T P x + x T P Ax = x T Qx (2.10) A T P + P A = Q (2.11) 15

28 Caso a matriz Q, determinada pela equação de Lyapunov (2.11), seja positiva definida, a função V (x) atenderá as condições do Teorema 2.4 e o ponto de equilíbrio, nesse caso, a origem, será assintoticamente estável de forma global. É importante ressaltar que um sistema não possui apenas uma função de Lyapunov e que uma boa escolha da função leva a resultados mais precisos. Além disso, caso as condições dos teoremas acima não sejam satisfeitas para uma função V (x), nada pode ser dito sobre a estabilidade do sistema, apenas pode-se tentar realizar uma nova análise usando uma função de Lyapunov diferente. Apesar de ser um método poderoso, o método direto de Lyapunov possui uma desvantagem: encontrar uma função de Lyapunov nem sempre é uma tarefa simples. Por esse motivo existem estudos [2, 1, 16] que visam analisar e escolher as melhores funções de Lyapunov para sistemas com atraso. O método de Lyapunov-Krasovskii para TDS será explicado com mais detalhes no Capítulo 5. 16

29 Capítulo 3 Controle por Modos Deslizantes Para sistemas que possuem grandes incertezas, como variação de parâmetros, dinâmicas não modeladas e distúrbios externos, existem algumas técnicas de controle não-linear utilizadas para tratarem tais problemas, um exemplo dessas técnicas é o controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control - SMC ) [3, 17, 18]. No SMC utiliza-se uma lei de controle descontínua que chaveia entre um conjunto de funções das variáveis de estado da planta, de forma a mudar a estrutura do sistema em malha fechada. Dessa maneira é possível combinar características úteis de cada estrutura do sistema realimentado, ou até mesmo se obter propriedades que não estão presentes em nenhuma das estruturas utilizadas [8]. A regra de chaveamento é elaborada de tal forma que as trajetórias do sistema alcancem e se mantenham em uma superfície do espaço de estados, denominada superfície de deslizamento, que é escolhida pelo projetista. A principal vantagem desta técnica de controle é que é possível obter um novo tipo de movimento, denominado modo deslizante, que uma vez que é alcançado, faz com que o sistema passe a ser regido pela dinâmica da superfície de deslizamento [11]. Assim o desempenho do sistema torna-se insensível em relação as incertezas da planta, propriedade conhecida como propriedade da invariância. Portanto, essa técnica possui aplicações em várias áreas da engenharia como: robótica, sistemas espaciais, controle automático de voos, entre outros [3]. 17

30 Um dos problemas enfrentados pelo controle por modos deslizantes é a possibilidade da ocorrência do chattering, que consiste de um chaveamento em alta frequência do sinal de controle. Tal problema é causado devido às imperfeições no chaveamento e é altamente indesejável, pois pode fazer aparecer dinâmicas de alta frequência ignoradas durante a modelagem, instabilizando o sistema [19]. Esse capítulo também apresenta o conceito de controle por modos deslizantes integral (Integral Sliding Mode Control - ISMC ). Técnicas baseadas no ISMC possuem uma principal vantagem sobre o SMC tradicional: nelas, o deslizamento ocorre durante toda a resposta do sistema em malha fechada, com isso garante-se que a robustez do sistema seja válida durante todo tempo. Além disso, será mostrada que, para escolhas adequadas dos parâmetros do projeto, o uso do ISMC torna o sistema menos sensível a incertezas descasadas, sendo bastante vantajoso para casos mais gerais. 3.1 Sistema de Controle Descontínuo Seja um sistema de controle dado por: ẋ = a(t, x) + b(t, x)u onde x R n é o vetor de estados do sistema, a(t, x) e b(t, x) são funções suaves e u R é uma lei de controle descontínua. Neste projeto, é adotada a definição de Filippov para a solução de equações diferenciais com lado direito descontínuo [20, 21]. A ideia geral do controle por modos deslizantes é primeiramente definir a superfície de deslizamento S = {x : s(x) = 0} de modo que a dinâmica desejada seja alcançada quando o sistema se encontrar dentro da mesma. Posteriormente, deve-se escolher uma lei de controle descontínua que torne esta superfície de deslizamento pelo menos localmente atrativa, seguindo uma condição de alcançabilidade. O sistema deve então chavear entre duas estruturas diferentes. Essas estruturas são definidas de acordo com o sinal de controle descontínuo, que é dado por: 18

31 u + (x), se s(x) > 0 u(x) = u (x), se s(x) < 0 Onde u + (x) e u (x) são funções contínuas. Note ainda que u(x) não é definido em s(x) = Noções Básicas Para exemplificar algumas características do controle por modos deslizantes, será usado um exemplo simples. Considere o sistema: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = u u = f(t) sign(s) s = x 2 + αx 1 (3.1) Considerando α = 1 e f(t) = 5 é possível dividir este sistema em duas regiões: ˆ Na região I s(x) > 0, tem-se: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 5 (3.2) ˆ Na região II s(x) < 0, tem-se: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 5 (3.3) Os planos de fase para ambas as regiões seguem abaixo. Para facilitar a visualização também se encontra representada a reta de chaveamento (s(x) = 0). 19

32 Figura 3.1: Plano de fase para o sistema (3.2). Figura 3.2: Plano de fase para o sistema (3.3). É possível observar que em ambos os planos de fase, as trajetórias apontam para a reta de chaveamento. O plano de fase para o sistema completo segue abaixo, assim como o gráfico de x x t. 20

33 Figura 3.3: Plano de fase para o sistema (3.1). Figura 3.4: Gráfico de x x t para o sistema (3.1). Para o plano de fase do sistema completo, todas as trajetórias tendem para a reta de chaveamento e a trajetória do sistema fica confinada à superfície deslizante. Isto gera um novo tipo de movimento, uma vez que essa trajetória não pertence a nenhum dos dois sistemas chaveados. Além disso, a frequência de chaveamento se torna infinita e o sinal de controle passa a não ser mais definido no tempo. 21

34 Neste movimento, conhecido como modo deslizante, a trajetória de estado se desloca por uma superfície denominada superfície de deslizamento, que é denotada por s(x) = 0. Já no espaço de estado, o chaveamento ocorre em uma superfície denominada superfície de chaveamento. Embora no exemplo citado estas duas superfícies sejam as mesmas, isso nem sempre é verdade. O movimento das trajetórias do sistema é dividido em duas fases. Na primeira fase, conhecida como fase de aproximação, a trajetória iniciada em qualquer lugar do plano de fase é conduzida em tempo finito para a superfície de deslizamento. Na segunda fase, o sistema entra em modo deslizante e ocorre uma redução na ordem da dinâmica do sistema, que passa a ser dada pela equação da superfície de deslizamento. No exemplo analisado, no deslizamento o sistema passa a ser governado pela seguinte equação diferencial: ẋ 1 = x 1 A partir desse momento, o sistema apresentará um comportamento igual ao de um sistema de primeira ordem e terá uma convergência exponencial para a origem. Para representar o que acontece com o sinal de controle na presença de imperfeições, a expressão sign(s) será substituída por um relé com histerese. Nesse caso, para uma histerese de valor mais alto, o sinal de controle não possui uma frequência infinita e as trajetórias não ficam confinadas perfeitamente na superfície de deslizamento. Para uma histerese de valor um pouco menor, o sistema se aproxima mais do ideal, mas ainda ocorre trepidações nas trajetórias. Para uma histerese de valor bem baixo (na faixa dos 0.001), a frequência de chaveamento fica bastante elevada. No limite, quando a largura da histerese tender para zero a frequência tenderia para o infinito e o sinal de controle não poderia ser mais definido no tempo. Neste caso, poderia-se considerar que o sistema entrou em modo deslizante. 22

35 Figura 3.5: Exemplos de trajetórias próximas da superfície de deslizamento e sinais de controle para um sistema com histerese. Para ilustrar esse comportamento, tem-se as seguintes figuras. Nas figuras 3.5 (a) e 3.5 (d) tem-se a trajetória máxima e o sinal de controle, respectivamente, para uma histerese de 0.5. Nas figuras 3.5 (b) e 3.5 (e) tem-se as mesmas figuras porém para uma histerese de 0.05 e nas figuras 3.5 (c) e 3.5 (f) para uma histerese de O fenômeno que ocorre para valores de histerese mais alto é conhecido como chattering, que pode ser explicado da seguinte forma: no modo deslizante ideal, o estado permanece na superfície de deslizamento e o sinal de controle possui frequência infinita, já no deslizamento real, o sinal de controle oscila em frequências altas, mas não infinitas. Nesse caso, é possível ver uma trepidação nos sinais do sistema. Um aspecto interessante desse tipo de abordagem é a robustez do controlador. Mesmo com incertezas ou pertubações, se as trajetórias do sistema continuarem apontando em direção a superfície de deslizamento, o sistema continuará entrando em modo deslizante e apresentará o mesmo desempenho citado anteriormente (será governado pela dinâmica referente a equação da superfície de deslizamento). 23

36 Para ilustrar essa característica, considere o exemplo a seguir, onde foi colocada uma pertubação do tipo senoidal, com α = 1 e f(t) = 5: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 4 sin(x 1 ) + u u = f(t) sign(s) s = x 2 + αx 1 (3.4) A figura abaixo mostra o plano de fase para o sistema completo e pode ser visto que mesmo com a pertubação, as trajetórias continuam apontando na direção da superfície de deslizamento, o que garante que o sistema entre em modo deslizante. A partir deste momento o sistema se torna insensível a perturbações. Figura 3.6: Plano de fase para o sistema (3.4). 3.3 Existência dos Modos Deslizantes Para que o sistema entre em modo deslizante, a superfície de deslizamento deve ser pelo menos localmente atrativa, ou seja, deve existir um domínio envolvendo a superfície no qual as trajetórias do sistema apontam na sua direção. Um critério matemático sucinto para expressar esse fato é dado por: 24

37 ṡs 0 (3.5) A condição (3.5) é chamada de condição de alcançabilidade. Entretanto, essa condição garante que a superfície de deslizamento seja alcançada apenas assintoticamente, o que não é suficiente para assegurar que o sistema entre em modo deslizante. Para garantir que a superfície de deslizamento seja alcançada em tempo finito, uma condição mais restritiva deve ser satisfeita. Essa condição é a condição de alcançabilidade-η dada por: ṡs η s (3.6) onde η é uma constante positiva. Reescrevendo a equação (3.6) como ou ainda: 1ds 2 2dt η s e integrando de 0 a t s, segue que: 1d( s 2 ) 2 ( s 2 ) ηdt s(t s ) s(0) ηt s Deste modo, o tempo necessário para atingir a superfície s = 0, representado por t s, satisfaz: t s s(0) η o que assegura uma convergência em tempo finito para a superfície de deslizamento. 25

38 Nos casos analisados anteriormente, esta condição é satisfeita de forma local, garantido o aparecimento do deslizamento ideal. ˆ Exemplo 1: s = x 1 + x 2 ṡ = x 2 5 sign(s) sṡ s (5 x 2 ) Dessa forma, para existir o modo deslizante neste caso temos que ter: 5 x 2 0 x 2 5 (3.7) ˆ Exemplo 2 s = x 1 + x 2 ṡ = x sin(x 1 ) 5 sign(s) sṡ s (5 4 sin(x 1 ) x 2 ) 1 x 2 0 x 2 1 (3.8) 26

39 No caso ideal considerado pelo Exemplo 1, para que o deslizamento seja alcançado de forma global a seguinte condição deve ser satisfeita: f(t) x 2 + η sendo que η é uma constante positiva que pode ser arbitrariamente pequena. Nos casos analisados, como o deslizamento acontece localmente, quando x 2 não satisfaz as condições acima, a trajetória irá passar da superfície e somente quando satisfazer as condições de deslizamento a trajetória ficará confinada na superfície de deslizamento. A figura 3.7 ilustra isso para o Exemplo 1, onde não existe perturbação. Figura 3.7: Ilustração do deslizamento local. 3.4 Método da Regularização O modo de deslizamento ideal envolve o uso de um sinal de controle descontínuo, o que impõe algumas dificuldades para a representação matemática do sistema. Para contornar esse problema, uma abordagem simples utilizada é a introdução de imperfeições físicas (zona morta, histerese, atraso) no dispositivo de chaveamento. Com isto, o modo de deslizamento que apareceria na superfície descontínua dará lugar a trajetórias mais suaves, que são contínuas por partes. 27

40 Todavia, essa abordagem possui uma limitação: deve ser conhecida a natureza dessas imperfeições, o que nem sempre é fácil. Uma solução utilizada para resolver esse problema é o uso do conceito de camada de fronteira (boundary layer), que permite obter as equações do deslizamento sem especificar a natureza das imperfeições. Considere sistemas da seguinte forma: ẋ = a(x, t) + b(x, t)u (3.9) E suponha que a superfície de deslizamento exista e seja dada por s(x) = 0. A ideia desse conceito é substituir o controle u, na vizinhança da superfície de deslizamento, por outro controle ũ que leve em consideração todas a imperfeições, as encontradas no dispositivo de chaveamento e as existentes na planta. O movimento do sistema passa a ser então: ẋ = a(x, t) + b(x, t)ũ A solução da equação regularizada acima resulta em um movimento que não ocorre somente sobre a superfície de deslizamento (s(x) = 0), mas sim em alguma vizinhança s(x) onde é uma constante positiva pequena. Este movimento é denominado deslizamento real. Como foi visto na figura 3.5 durante o deslizamento real o chaveamento do sistema apresenta uma frequência finita, que representa o fenômeno de chattering. Este fenômeno é extremamente prejudicial, pois pode excitar modos rápidos do sistema que haviam sido desprezados, podendo levar o sistema a instabilidade. Caso as imperfeições do sistema tendam para zero, ou seja, caso 0 o deslizamento real tenderá para o deslizamento ideal e a frequência de chaveamento do sistema tenderá para o infinito, evitando dessa forma o surgimento do chattering. 28

41 3.5 Método do Controle Equivalente Uma forma alternativa dos modos deslizantes serem representados é pelo conceito de controle equivalente [10, 11]. Esse método consiste em encontrar um controle contínuo u eq (o controle equivalente), que para uma dada condição inicial sobre a superfície de deslizamento, a trajetória dos sistemas (3.9) passa a ser: ẋ = a(x, t) + b(x, t)u eq (3.10) Essa trajetória deve coincidir com a trajetória descrita pelo sistema a estrutura variável durante o deslizamento. Para encontrar o controle equivalente é suficiente notar que ṡ(x) = 0 é uma condição necessária para que as trajetórias de estado permaneçam na superfície de deslizamento s(x) = 0. Derivando s(x) ao longo das trajetórias de (3.9), obtém-se: ṡ(x) = s s a(x, t) + b(x, t)u = 0 (3.11) x x Resolvendo (3.11) para u, obtém-se o controle equivalente: ( ) 1 ( ) s s u eq = b(x, t) a(x, t) x x (3.12) onde a existência de ( s x b(x, t)) 1 é uma condição necessária. O sistema abaixo é usado como exemplo para ilustrar o procedimento: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = u u = sign(s) s = x 1 + 2x 2 (3.13) A figura 3.8 apresenta o plano de fase do sistema (3.13). Vale ressaltar que o sistema só entra em modo deslizante quando x 2 < 2. 29

42 Figura 3.8: Plano de fase para o sistema (3.13). Para este caso o controle equivalente é obtido do seguinte modo: ṡ(x) = x 2 + 2u u eq = x 2 2 (3.14) Substituindo o controle equivalente obtido em (3.14) no sistema (3.13), obtém-se o seguinte sistema: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = u eq u eq = x 2 2 (3.15) O sistema (3.15) é equivalente ao sistema (3.13) durante o deslizamento. A figura 3.9 apresenta o gráfico dos sinais x 1, x 2 e u dos sistemas (3.13) e (3.15), com a mesma condição inicial para os dois. Nesta figura pode ser visto que os sistemas apresentam o mesmo desempenho. Embora o controle equivalente (figura 3.9 (d)) seja contínuo e muito diferente do controle descontínuo (figura 3.9 (c)), ele pode ser entendido como sendo o comportamento médio deste controle descontínuo. 30

43 Figura 3.9: (a) Gráfico de x x t para o sistema (3.13); (b) Gráfico de x x t para o sistema (3.15); (c) Sinal de controle para o sistema (3.13); (d) Sinal de controle para o sistema (3.15). 3.6 Controle por Modos Deslizantes Integral O SMC convencional possui como principal característica sua robustez contra incertezas casadas. Porém, essa característica importante é alcançada apenas quando o sistema passa da fase de aproximação e entra em deslizamento. Dessa forma, durante a fase de aproximação o sistema fica sujeito ao efeito de qualquer incerteza, inclusive as casadas. 31

44 Para contornar esse problema, foi proposto o ISMC. Esse tipo de controle tem como principal objetivo forçar que ocorra o deslizamento desde o início da resposta do sistema, de forma que o sistema consiga ser robusto contra incertezas casadas durante todo o tempo de resposta. Além disso, será mostrado adiante que o ISMC tem a vantagem de não amplificar o efeito de incertezas descasadas [22]. As subseções seguintes visam exemplificar as características do ISMC por meio do projeto do controle baseado no ISCM de um sistema LTI incerto. Os desenvolvimentos dessa seção são baseados nos desenvolvimentos apresentados em [22]. Assume-se durante toda essa seção que a informação sobre o vetor de estados está disponível para o projeto do controlador. Além disso, no ISMC assume-se que existe uma planta nominal, na qual um controlador apropriado já foi projetado para garantir a estabilidade assintótica do sistema em malha fechada. Assim, um controlador descontínuo é adicionado ao controlador nominal de forma a manter a performance nominal e garantir que o sistema seja insensível a perturbações externas Definição do Problema Considere o seguinte sistema: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Mξ(t, x) + f u (t, x) (3.16) onde A R n n, B R n m. Assume-se que a matriz B possui posto completo, ou seja, posto(b) = m, onde 1 m < n e que o par (A, B) é controlável. Além disso, assume-se que a matriz M R n l é conhecida e se encontra na extensão do espaço da matriz de distribuição de entrada B, sendo possível escrever M = BD para algum D R m l. Dessa forma, o sistema (3.16) pode ser reescrito, como: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + BDξ(t, x) + f u (t, x) (3.17) Incertezas da forma BDξ(t, x), que agem no canal da matriz de distribuição de entrada, são conhecidas como incertezas casadas. Já o termo f u (t, x) representa uma incerteza descasada, ou seja, que não está na extensão do espaço da matriz B. 32

45 No problema considerado, assume-se que a incerteza descasada é limitada com um limite superior conhecido [22]. O sistema nominal associado ao sistema (3.17) pode ser escrito como: ẋ(t) = Ax(t) + Bu o (t) (3.18) Onde u o (t) é a lei de controle nominal, que pode ser projetada por meio de qualquer paradigma de realimentação de estado capaz de atingir a performance nominal desejada [22]. Como se assume que o par (A, B) é controlável, existe um controle de realimentação de estado da seguinte forma: u o (t) = F x(t) (3.19) Onde F R m n é o ganho da realimentação a ser projetado, de forma que as trajetórias de estado do sistema nominal (3.18), chamadas de x o (t), são estáveis e respeitam as especificações de performance. O objetivo é desenvolver uma lei de controle u(t), tal que as trajetórias de estado x(t) de (3.16) durante o deslizamento satisfaçam a condição x(t) x o (t) para todo o tempo se f u (.) = 0, partindo do tempo inicial onde x(0) x o (0). Para atingir x(0) x o (0) a ordem do sistema em deslizamento deve ser a mesma do sistema nominal, sendo essa uma primeira diferença para o SMC tradicional, onde a ordem do sistema em deslizamento é reduzida Princípios do Projeto Definindo a lei de controle u(t) com a forma: u(t) = u o (t) + u n (t) (3.20) Onde u o (t) é o controle nominal e u n (t) é um termo não linear incluído para induzir o modo deslizante. Utilizando (3.20), a equação do sistema (3.16) pode ser reescrita como: 33

46 ẋ(t) = Ax(t) + Bu o (t) + Bu n (t) + BDξ(t, x) + f u (t, x) (3.21) O termo u n (t) é escolhido de forma a rejeitar a perturbação ξ(t, x) enquanto o sistema estiver no deslizamento e u o (t) é dado pela equação (3.19). A superfície de deslizamento é definida como: s(t) = Gx(t) + z(t) (3.22) G R m n e z(t) é especificada. A matriz de deslizamento G pode ser escolhida de forma que a matriz GB seja não singular (det(gb) 0). Durante o deslizamento s(t) = ṡ(t) = 0 e portanto: ṡ(t) = Gẋ(t) + ż(t) = 0 (3.23) Para garantir que o controle equivalente associado com u n (t) rejeite o efeito da perturbação casada ξ(t, x) (quando f u (t, x) = 0) e que a condição x(t) x o (t) seja satisfeita para todo t > 0, substitui-se o valor de (3.21) em (3.23): ṡ(t) = G(Ax(t) + Bu o (t) + Bu n (t) + BDξ(t, x)) + ż(t) = 0 (3.24) Durante o deslizamento espera-se que u n (t) compense a incerteza, portanto esperase que u neq = Dξ(t, x). Dessa forma, pode-se escolher: ż(t) = G(Ax(t) + Bu o (t)), z(0) = Gx(0) (3.25) Essa escolha garante que ṡ(t) = GBu n (t) + GBDξ(t, x) (3.26) E portanto durante o deslizamento u neq = Dξ(t, x). Substituindo o valor de u neq em (3.21) é possível notar que na ausência da perturbação f u (t, x) o modo deslizante integral é governado por: 34

47 ẋ(t) = Ax(t) + Bu o (t) (3.27) A equação (3.27) confirma que a condição x(t) x o (t) é satisfeita se f u (t, x) = 0 e x(0) = x o (0). Para o caso onde f u (t, x) 0, o controle equivalente pode ser obtido da equação (3.24): u neq (t) = (GB) 1 GBDξ(t, x) (GB) 1 Gf u (t, x) = Dξ(t, x) (GB) 1 Gf u (t, x) (3.28) Substituindo este valor de u neq (t) em (3.21), é possível obter uma expressão para a dinâmica do modo de deslizamento integral: ẋ(t) = Ax(t) + Bu o (t) + (I B(GB) 1 G) f }{{} u (t, x) (3.29) Γ Pela equação (3.29) fica claro que o efeito da incerteza casada foi completamente rejeitado durante o deslizamento. Porém, a matriz Γ pode amplificar os efeitos da incerteza descasada f u (t, x). Portanto, é necessário projetar a superfície de deslizamento integral de forma a evitar qualquer amplificação da incerteza descasada Superfície de Deslizamento Integral Usando as expressões (3.22) e (3.25), obtém-se uma expressão para a superfície de deslizamento integral que elimina a fase de aproximação: s(t) = Gx(t) Gx(0) G t 0 (Ax(τ) + Bu o (τ)) dτ (3.30) O termo Gx(0) vem do fato de z(0) = Gx(0) e é ele que garante que s(0) = 0, fazendo com que a fase de aproximação seja eliminada. Assim, o modo deslizante vai existir desde o tempo t = 0 e o sistema será robusto contra incertezas casadas por toda a resposta em malha fechada. 35