Modos Quase-Normais e Polos de Regge de Espaços-Tempos Acústicos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA TESE DE DOUTORADO Modos Quase-Normais e Polos de Regge de Espaços-Tempos Acústicos Leandro Amador de Oliveira Orientador: Prof. Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino Belém-Pará 04 de agosto de 2014

2 Modos Quase-Normais e Polos de Regge de Espaços-Tempos Acústicos Leandro Amador de Oliveira Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal do Pará (PPGF-UFPA) como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de doutor em Física. Orientador: Prof. Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino Banca Examinadora Prof. Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino (Orientador) Prof. Dr. Júlio César Fabris (Membro Externo) Prof. Dr. Eugênio Ramos Bezerra de Mello (Membro Externo) Prof. Dr. Carlos Alberto Ruivo Herdeiro (Membro Convidado) Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves (Membro Interno) Prof. Dr. Ednilton Santos de Oliveira (Membro Interno) Prof. Dr. João Vital da Cunha Júnior (Suplente) Prof. Dr. Manuel Eleuterio Rodrigues (Suplente) Belém-Pará 04 de agosto de 2014

3 i Resumo Sob determinadas condições, ondas sonoras em um fluido ideal são governadas pela equação de Klein-Gordon em um espaço-tempo efetivo chamado de espaço-tempo acústico. Os espaços-tempos acústicos são determinados pelas propriedades do fluido não perturbado. Nesta tese, consideramos os espaços-tempos acústicos do buraco acústico canônico, do buraco acústico girante e do vórtice hidrodinâmico. Para o buraco acústico canônico, calculamos as frequências quase-normais e os polos de Regge usando três diferentes métodos. Primeiro, mostramos como oscilações amortecidas surgem a partir da evolução de perturbações gaussianas no domínio temporal, usando o método da diferença finita, e estimamos as frequências quase-normais fundamentais. A seguir, aplicamos o método da expansão geodésica para obter uma expansão para as frequências quase-normais em potências inversas de l + 1/2, onde l é o momento angular associado às ondas sonoras. Testamos o método da expansão geodésica comparando os resultados obtidos via método da diferença finita. O método da expansão geodésica é então usado também para obter os polos de Regge. Para verificar a validade do método da expansão geodésica, calculamos numericamente o espectro dos polos de Regge via método da integração direta no domínio da frequência e comparamos os resultados obtidos. Para o buraco acústico girante, apresentamos uma investigação completa do papel dos modos quase-normais e dos polos de Regge neste espaço-tempo efetivo. Primeiramente, simulamos uma perturbação no domínio temporal aplicando o método da diferença finita para demonstrar a ubiquidade do toque quase-normal. Em seguida, resolvemos a equação de onda no domínio da frequência com o método da fração continuada, para calcular numericamente os espectros dos modos quase-normais e dos polos de Regge. Exploramos a relação geométrica existente entre geodésicas nulas (diretas e retrógradas) no espaço-tempo do buraco acústico girante, e as propriedades do espectro quase-normal/polos de Regge. Aplicamos o método de expansão geodésica para obter uma expressão assintótica para o espectro dos modos quasenormais/polos de Regge, para as funções radiais e para os resíduos. Além disso, estudamos o papel dos polos de Regge nos processos de absorção e espalhamento por meio da aplicação do método do momento angular complexo. Elucidamos a ligação entre polos de Regge e as oscilações no comprimento de choque de absorção. Finalmente, mostramos que os polos de

4 ii Regge fornecem uma explanação clara acerca de oscilações vistas no comprimento de choque de espalhamento. Por fim, para o vórtice hidrodinâmico, fornecemos uma evidência direta de que este espaçotempo é um sistema instável quando submetido a perturbações lineares. Para mostrarmos isso, calculamos os modos quase-normais deste sistema usando três diferentes métodos (um método no domínio temporal e os outros dois no domínio da frequência). Mostramos que o aparecimento de modos instáveis no vórtice hidrodinâmico está diretamente relacionado à presença de uma ergorregião e à ausência de um horizonte de eventos neste espaço-tempo efetivo. Palavras-chave: Espaços-Tempos Acústicos, Modos Quase-Normais, Polos de Regge. Áreas de Conhecimento: ,

5 iii Abstract Under certain conditions, sound waves in a fluid may be governed by a Klein-Gordon equation on an effective spacetime determined by the background flow properties. In the present thesis we consider the spacetimes of the canonical acoustic hole, of the draining bathtub and of the hydrodynamic vortex. For the canonical acoustic hole, we compute the quasinormal mode frequencies and Regge poles using three methods. First, we show how damped oscillations arise by evolving Gaussian perturbations in the time domain using a simple finite-difference scheme and estimate the fundamental quasinormal frequencies. Next, we apply an asymptotic method to obtain an expansion for the frequency in inverse powers of l+1/2, where l is the angular momentum associated with the sound waves. We test the expansion by comparing it against our time-domain results. The expansion method is then extended to locate the Regge poles. To check the expansion of Regge poles we compute the spectrum numerically by direct integration in the frequency domain. For the draining bathtub, we present a complete investigation of the role of quasinormal mode and Regge pole resonances. First, we simulate a perturbation in the time domain and apply a finite-difference method to demonstrate the ubiquity of the quasinormal ringing. Next, we solve the wave equation in the frequency domain with the continued-fraction method, to compute quasinormal modes and Regge poles spectra numerically. We then explore the geometric link between (prograde and retrograde) null geodesic orbits on the effective spacetime, and the properties of the quasinormal modes/regge poles spectra. We apply the geodesic-expansion method which leads to asymptotic expressions for the spectra, the radial functions, and the residues. Next, the role of the Regge poles in absorption and scattering processes is studied through the application of the complex angular momentum method. We elucidate the link between the Regge poles and the oscillations in the absorption cross section. Finally, we show that Regge poles provide a neat explanation for orbiting oscillations seen in the scattering cross section. Finally, for the hydrodynamic vortex, we provide a direct evidence that this effective spacetime is an unstable system when perturbed linearly. For this, we compute the quasinormal modes for this system using three different methods (one method in the time domain and two other methods in the frequency domain). We verify explicitly that the appearance of unstable modes in the hydrodynamic vortex is directly related to the presence of an ergoregion together

6 iv with the absence of an event horizon in this effective spacetime. Keywords: Acoustic Spacetimes, Quasinormal Modes, Regge Poles. Knowledge areas: ,

7 v Dedico este trabalho aos meus pais, Edson Alves de Oliveira e Lia da Silva Amador

8 vi Listen to the silence, let it ring on... Joy Division

9 vii Agradecimentos Ao meu pai Edson Alves de Oliveira e minha mãe Lia da Silva Amador por terem me apoiado em todos os momentos da minha vida. Aos bons professores que tive na graduação, mestrado e doutorado. Aos amigos que fiz na graduação, mestrado e doutorado. Ao professor Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino pelo seu incentivo desde o curso de Física Elementar I na graduação e pela excelente orientação em todos os níveis da minha formação acadêmica. Ao professor Dr. Samuel R. Dolan pela excelente e proveitosa colaboração durante todo o mestrado e os dois primeiros anos de doutorado. Ao porfessor Dr. Vitor Cardoso pela excelente e proveitosa colaboração durante o último ano de doutorado. Aos integrantes do Grupo de Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos pelos seminários durante as reuniões semanais de grupo. Ao CNPQ pelo suporte financeiro durante os três últimos anos da graduação e todo o período do mestrado e à CAPES durante todo o período do doutorado e do doutorado sanduíche no exterior.

10 Sumário Introdução 8 1 Introdução à Mecânica dos Fluidos Ideais, à Propagação do Som e à Analogia com a Relatividade Geral O Teorema do Transporte de Reynolds Equação da Continuidade Conservação do Fluxo de Momento Equação de Bernoulli Conservação do Fluxo Energético em um Fluido Ideal A Propagação de uma Perturbação Linear em Fluidos Ideais Analogia com a Relatividade Geral e a Métrica Acústica Geral Os Modos Quase-Normais e os Polos de Regge do Buraco Acústico Canônico A Métrica do Buraco Acústico Canônico Geodésicas Nulas no Buraco Acústico Canônico A Equação para as Ondas Sonoras no Buraco Acústico Canônico Os Modos Quase-Normais do Buraco Acústico Canônico O Método da Diferença Finita O Método da Expansão Geodésica Os Polos de Regge para o Buraco Acústico Canônico Método da Expansão Geodésica Método da Integração Direta

11 SUMÁRIO ix 3 Os Modos Quase-Normais e os Polos de Regge do Buraco Acústico Girante A Métrica do Buraco Acústico Girante Geodésicas no Buraco Acústico Girante A Equação para as Ondas Sonoras no Buraco Acústico Girante Os Modos Quase-Normais do Buraco Acústico Girante O Método da Diferença Finita O Método da Expansão Geodésica O Método de Frobenius (ou Método da Fração Continuada) O Modo m = Os Polos de Regge do Buraco Acústico Girante O Método da Expansão Geodésica O Método de Frobenius (ou Método da Fração Continuada) Absorção e Espalhamento de Ondas pelo Buraco Acústico Girante Reflexão e Transmissão de Ondas Sonoras O Comprimento de Choque de Absorção via Método de Ondas Parciais O Comprimento de Choque de Absorção via Método do Momento Angular Complexo O Comprimento de Choque de Espalhamento via Método da Momento Angular Complexo Aproximação para Altas Frequências para o Espalhamento Resultados Numéricos para o Espalhamento Os Modos Quase-Normais do Vórtice Hidrodinâmico O Vórtice Hidrodinâmico Perturbações no Vórtice Hidrodinâmico Condições de Contorno Métodos Numéricos O Método da Diferença Finita O Método da Integração Direta O Método de Frobenius (ou Método da Fração Continuada)

12 SUMÁRIO x 4.4 Resultados Propriedades de Convergência e Verificação da Consistência entre os Métodos As instabilidades da Ergorregião e os Efeitos das Condições de Contorno 147 Considerações Finais 158 A Resíduos dos Polos de Regge 164 A.1 Solução Interior A.2 Soluções Exteriores A.3 Junção da Solução Interior com as Soluções Exteriores

13 Lista de Figuras 2.1 Representação do plano equatorial do espaço-tempo do buraco acústico canônico. As setas representam o campo de velocidades do fluido, todas são radiais e convergentes para o centro do buraco acústico canônico e a circunferência representa o horizonte de eventos do buraco acústico canônico, que delimita a região de aprisionamento das ondas sonoras Potencial efetivo V (r) do buraco acústico canônico, como função de r. O ponto r = r c é um ponto de máximo local do potencial efetivo V (r). No limite em que r, o potencial efetivo V (r) tende a zero Diagrama de espaço-tempo do buraco acústico canônico em 2D para (t, r). As linhas contínuas correspondem às geodésicas radiais nulas para fora do buraco acústico canônico e as linhas tracejadas correspondem às geodésicas radiais nulas para dentro no buraco acústico canônico Geodésicas nulas no plano equatorial do buraco acústico canônico, onde x = r cos ϕ e y = r sin ϕ. As linhas pontilhadas representam geodésicas cujo valor do parâmetro de impacto é menor que b c e que correspondem às geodésicas absorvidas pelo buraco acústico canônico. A linha contínua representa uma geodésica com valor de parâmetro de impacto crítico b c. O conjunto dessas geodésicas forma uma esfera de som com raio r c (obviamente considerando-se as três dimensões espaciais). As linhas tracejadas referem-se às geodésicas com valor de parâmetro de impacto maior que b c, e que acabam por ser espalhadas pelo buraco acústico canônico

14 LISTA DE FIGURAS xii 2.5 À esquerda: O potencial de espalhamento do buraco acústico canônico como função de r. À direita: O potencial espalhamento do buraco acústico canônico como função de r Esquema para o método da diferença finita no espaço-tempo do buraco acústico canônico. O diagrama mostra uma grade formada pelas coordenadas nulas u = t + r e v = t r, com espaçamento δr = δt = h Perfis de oscilações de ψ l (t, r = 10r h ) como função do tempo, extraídos em r obs = 10r h, com condição inicial gaussiana (2.48) e condição para a derivada da função de onda ψ l t (t = 0, r ) = 0 (2.49), para valores de multipolo l = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Notar a escala logarítmica no eixo vertical Algumas funções radiais S (0) q (r) para o buraco acústico canônico Parte real e imaginária da função de onda QN fundamental (n = 0) u ωln do buraco acústico canônico, para o momento angular l = 4, com a expansão da frequência considerada até a ordem L 1, como função de r, extraídas em t = 0. As curvas pontilhadas (envelopes) referem-se ao valor absoluto da função de onda QN u ωln Parte real e imaginária da função de onda QN fundamental (n = 0) ψ ωln do buraco acústico canônico, para o momento angular l = 4, como função de t, extraídas em r = 1.09r h. As curvas pontilhadas (envelopes) referem-se ao valor absoluto da função de onda QN ψ ωln Parte real da função de onda QN ψ ωln = e iωt u ωln (r) do modo fundamental (n = 0) do buraco acústico canônico no plano (t, r), para o momento angular l = Parte real e imaginária da função de onda QN u ωln do buraco acústico canônico, para o sobretom n = 1 e momento angular l = 4, como função de r, extraídas no instante t = 0. As curvas pontilhadas referem-se ao valor absoluto da função de onda QN u ωln

15 LISTA DE FIGURAS xiii 2.13 Parte real e imaginária da função de onda QN ψ ωln do buraco acústico canônico, para o sobretom n = 1 e momento angular l = 4, como função de t, extraídas em r = 1.09r h. As curvas pontilhadas referem-se ao valor absoluto da função de onda QN ψ ωln Parte real dos PR do buraco acústico canônico para diferentes valores de sobretom n Parte imaginária dos PR do buraco acústico canônico para diferentes valores de sobretom n Trajetórias de Regge do buraco acústico canônico para n = 0, calculadas no intervalo de frequência 0.8 < ω < Trajetórias de Regge do buraco acústico canônico para n = 1, 2, 3, 4, 5, calculadas no intervalo de frequência 0.8 < ω < Partes real e imaginária da função de onda u ωln dos PR do buraco acústico canônico, para o modo fundamental n = 0, com r h ω = 3.0, como função de r Partes real e imaginária da função de onda ψ ωln dos PR do buraco acústico canônico, para o modo fundamental n = 0, com r h ω = 3.0, como função de t, extraídas em r = 1.09r h Parte real da função de onda para os PR u ωln (r) do modo fundamental (n = 0), com frequência r h ω = 3.0, obtida via método da integração direta. A linha sólida vermelha corresponde à integração para fora, a linha tracejada azul corresponde à integração para dentro e a linha pontilhada preta corresponde ao ponto r = r med, onde fazemos a correspondência da solução para fora e para dentro e extraímos os PR, i.e., L ω Plano complexo dos PR para o modo fundamental (n = 0), como função da frequência ω. A linha contínua corresponde aos PR obtidos via método da expansão geodésica e a linha tracejada corresponde ao resultado dos PR obtidos via método da integração direta Representação da área interna a dois círculos concêntricos para a aplicação do Teorema de Stokes

16 LISTA DE FIGURAS xiv 3.2 Representação do espaço-tempo efetivo do buraco acústico girante. As setas representam o campo de velocidades do fluido. Todas são convergentes para o centro do buraco acústico girante e apresentam uma componente radial e uma angular. A circunferência tracejada representa o horizonte de eventos do buraco acústico girante, que delimita a região de aprisionamento das ondas sonoras, e a circunferência contínua representa a superfície de limite estacionário ou ergorregião Diagrama de espaço-tempo do buraco acústico girante em 2D para (t, r). As linhas contínuas correspondem às geodésicas radiais nulas para fora do buraco acústico girante e as linhas tracejadas correspondem às geodésicas radiais nulas para dentro buraco acústico girante À direita: Raio crítico do buraco acústico girante em função de B/A. À esquerda: l c ± em função de B/A Geodésicas nulas no espaço-tempo do buraco acústico girante. As linhas contínuas referem-se às geodésicas co-girantes, as linhas tracejadas correspondem às geodésicas contra-girantes, a circunferência externa delimita o raio crítico associado às órbitas contra-girantes rc e a circunferência interna delimita o raio crítico associado às órbitas co-girantes r c À esquerda: Potencial de espalhamento do buraco acústico girante como função de r. À direita: Potencial espalhamento do buraco acústico girante como função de r Perfis de domínio temporal de Re(ψ m (t, r)), extraídos em r obs = 10r h, para o momento angular m = 3 e valores da circulação B/A = 0, 0.5, 1, 1.5, e 2. Note a escala logarítmica no eixo vertical Perfis de domínio temporal de Re(ψ m (t, r)), extraídos em r obs = 10r h, para o momento angular m = 0 e valores da circulação B/A = 0, 0.5, 1, 1.5, e 2. Note a escala logarítmica no eixo vertical Partes real (esquerda) e imaginária (direita) da função de onda QN u mωn do buraco acústico girante, para o modo fundamental (n = 0), momento angular m = 4 e valores de circulação B/A = 0.5, 1 e

17 LISTA DE FIGURAS xv 3.10 Partes real (esquerda) e imaginária (direita) da função de onda QN ψ mωn do buraco acústico girante, para n = 0, como função de t e extraídas em r = 1.09r h, com momento angular m = 4 e valores de circulação B/A = 0.001, 0.5, 1 e Espectro das frequências QNs fundamentais (n = 0) para o buraco acústico girante, ω + mn (co-girante), com momentos angulares m = ±1 e ±2, e valores de circulação B = 0, 0.2, 0.4, , A = Espectro das frequências QNs fundamentais (n = 0) para o buraco acústico girante, ω mn (contra-girante), com momentos angulares m = ±1 e ±2, e valores de circulação B = 0, 0.2, 0.4, , A = Espectro das frequências QNs fundamentais (n = 0) para o buraco acústico girante, ω ± mn, com momentos angulares m = ±1 e ±2, e valores de circulação B = 0, 0.2, 0.4, Para cada modo m 0 existem duas frequências quasenormais ω ± mn. No caso sem circulação (B = 0), o espectro possui a simetria ω + mn = ω mn. A presença da circulação produz uma diferença entre os modos co-girantes (ω + mn) e os contra-girantes (ω mn): Modos contra-girantes oscilam e dacaem mais lentamente do que os modos co-girantes ( Re(ω + mn) > Re(ω mn) e Im(ω + mn) > Im(ω mn) ). Nestes gráficos estamos assumindo A = Plano complexo dos PR para o modo fundamental (n = 0) como função da frequência ω e mostradas no intervalo 0.8 < ω < 16, para B = 0.5, 1.0 e 2.0 (A = 1) Espectro dos PR do buraco acústico girante obtido a partir do método da fração continuada. Para ω = 0.25, 0.5, e 1.0, exibimos os pontos para valores de circulação B = 0, 0.1, 0.2,..., 1, mostrando os valores dos PR para o modo fundamental (n = 0) m ± ωn no plano complexo de m. Nestes gráficos estamos assumindo A = À direita: O coeficiente de reflexão R mω 2. À esquerda: O coeficiente de transmissão T mω 2. Ambos foram obtidos numericamente a partir da Eq. (3.48), para B/A = 0, 0.5, 1 e 2 e com m = Representação da propagação de uma onda plana na direção x Contornos de integração no plano complexo

18 LISTA DE FIGURAS xvi 3.19 Comprimento de choque de absorção como função da frequência, para B/A = 0 (direita) e B/A = 1 (esquerda). Nos gráficos superiores, a linha sólida mostra o comprimento de choque de absorção σ abs calculado a partir da soma de ondas parciais [29], e a linha tracejada mostra σ abs calculado numericamente a partir da expressão obtida via momento angular complexo [Eq. (3.139)]. Note que estas duas linhas estão bem próximas entre si. A linha pontilhada mostra σ abs obtido via aproximação geométrica simples [Eq. (3.146)], que é válida no regime de altas frequências. Os gráficos inferiores mostram as contribuições separadas a partir da soma dos PR e as integrais co-girante e contra-girante [Eq. (3.138)] Resíduos dos PR s ± ωn no plano complexo. Os gráficos mostram os resíduos definidos na Eq. (3.158) para o modo fundamental (n = 0) do buraco acústico girante, para os casos B/A = 0 (sem rotação). As linhas sólidas mostram os resíduos determinados numericamente para os modos co-girantes (+) e contragirantes ( ), para frequências ωa = 1.0, 1.1, 1.2,..., 4.0. As linhas tracejadas mostram a aproximação para altas frequências, dada pela Eq. (3.160). Observação: Mesmo considerando o caso sem rotação, ainda assim, devido ao sinal ± na Eq. (3.160), há uma diferenciação nos resíduos dos PR para o caso co-girante e contra-girante, mais precisamente, para o caso sem rotação (B/A = 0) os resíduos dos PR satisfazem a seguinte simetria s + ωn = s ωn Resíduos dos PR s ± ωn no plano complexo. Os gráficos mostram os resíduos definidos na Eq. (3.158) para o modo fundamental (n = 0) do buraco acústico girante, para B/A = 0.5. As linhas sólidas mostram os resíduos determinados numericamente para os modos co-girantes (+) e contra-girantes ( ), para frequências ωa = 1.0, 1.1, 1.2,..., 4.0. As linhas tracejadas mostram a aproximação para altas frequências, dada pela Eq. (3.160)

19 LISTA DE FIGURAS xvii 3.22 Efeito de oscilação orbitante e a aproximação via momento angular complexo. Estes gráficos mostram o comprimento de choque de espalhamento dσ/dϕ = f ω (ϕ) 2 como uma função do ângulo de espalhamento, com um acoplamento ωa = 4.0, para três casos: B/A = 0 (sem rotação), B/A = 0.2 e B/A = 1.0. Os gráficos comparam o comprimento de choque de espalhamento encontrado a partir das séries de ondas parciais [linha sólida] com o comprimento de choque de espalhamento obtido via determinação numérica dos PR e dos resíduos [linha tracejada] e o comprimento de choque encontrado a partir da aproximação via PR, Eq. (3.157) (usando somente os modos de baixo sobretom (n = 0,..., 4)) [linha pontilhada]. O comprimento de choque de espalhamento obtido com determinação numérica usamos as expressões assintóticas (3.101) e (3.160), somente para n = Representação do espaço-tempo do vórtice hidrodinâmico. A seta representa o campo de velocidades do fluido, que apresenta apenas uma componente angular. A circunferência tracejada representa o raio mínino r min [onde são submetidas condições de contorno especificas (cf. Seção 4.2.1)] do vórtice hidrodinâmico e a circunferência contínua representa a superfície de limite estacionário ou o limite exterior da ergorregião Potencial efetivo V m (r) para a propagação de ondas sonoras no vórtice hidrodinâmico, como função de r, para números azimutais m = 0, 1, 2, Comparação das frequências QNs obtidas por meio dos três métodos. Focamos nos números azimutais m = 1, 2 e circulação B = 1.5. Os resultados obtidos via método da diferença finita (DF) são estudados como uma função da resolução h = 1/30...1/2000, usando um pacote de onda do tipo gaussiano com r 0 = 2.0 e σ = Impusemos CC I, dada pela Eq. (4.9), em r min = 0.3. Para valores suficientemente pequenos da resolução h o método da diferença finita (DF) converge em direção aos valores estimados para as frequências QNs via método da integração direta (ID) e método da fração continuada (FC)

20 LISTA DE FIGURAS xviii 4.4 Esquerda: Perfis de domínio temporal de Re(ψ m (t, r)) para números azimutais m = 0, 1, 2, 3 e circulação B = 0 em gráficos monolog. Direita: Gráficos log-log ilustrando a lei de potência inversa para Re(ψ m (t, r)), como uma função do tempo, para números azimutais m = 0, 1, 2, 3, r min = 0.3 e circulação B = 0. Para tempos tardios, as perturbações decaem de acordo com uma lei inversa de potência ψ m t η, onde η = 2 m + 2 para uma condição inicial dada pela Eq. (4.12). As caudas de tempo tardio dependem do termo dominante do potencial efetivo a grandes distâncias, portanto, a taxa de decaimento é independente da circulação B [24]. Aqui extraímos o sinal ψ m (t, r) em r obs = Perfis no domínio temporal de Re(ψ m (t, r)) para o número azimutal m = 2 e circulações B = 0.5 (esquerda), 1.5 (direita), com CC I [cf. Eq. (4.9)] e r min = 0.3. O perfil temporal da onda é extraído em r obs = Partes real (esquerda) e imaginária (direita) das frequências QNs do modo fundamental (n = 0), exibidas como uma função de B, para r min = 0.3 e diferentes valores de m. Os gráficos superiores correspondem à CC I, enquanto que os gráficos inferiores correspondem à CC II. Estes valores foram extraídos com o método da fração continuada Partes real (esqueda) e imaginária (direita) das frequências QNs do modo fundamental (n = 0), exibidas como uma função de r min, para B = 0.5 e m = 1, 2. Os gráficos superiores correspondem à CC I, enquanto que os gráficos inferiores correspondem à CC II. Estes valores foram extraídos com o método da fração continuada Quadros instantâneos sucessivos dos perfis radiais de Re(ψ m (t, r)) para o número azimutal m = 2 circulações B = 0.5 (caso estável) e B = 1.5 (caso instável). As condições de contorno CC I foram impostas em r min =

21 LISTA DE FIGURAS xix 4.9 Partes real (esqueda) e imaginária (direita) das frequências QNs do modo fundamental (n = 0), exibidas como uma função de r min, para r min = B (a superfície r min está situada sobre o limite exterior da ergorregião) e para diferentes valores de m. Os gráficos superiores correspondem à CC I, enquanto que os gráficos inferiores correspondem à CC II. Estes valores foram extraídos com o método da fração continuada Perfis de domínio temporal de Re(ψ m (t, r)) para números azimutais m = 2, 3, 4 e diferentes valores de circulação B. Condições de contorno CC I foram impostas em r min = 0.3. Extraímos o sinal de ψ m (t, r) em r obs = Partes real (esquerda) e imaginária (direita) das frequências QNs para números azimutais m = 2, 3, 4, com diferentes valores de circulação B e números de sobretom n = 0, 1,

22 Lista de Tabelas 2.1 Estimativas das frequências QNs fundamentais (n = 0) obtidas via método da diferença finita. O valor da frequência QN fundamental para l = 0 não foi inserido na tabela devido ao fato de que o método da diferença finita não nos fornece um resultado preciso para este modo Comparação, para o modo fundamental (n = 0), entre os resultados obtidos via método da diferença finita (2 a coluna) e as estimativas das frequências QN usando o método de expansão geodésica (3 a coluna). O valor da frequência QN fundamental para l = 0 não foi inserido na tabela devido ao fato de que o método da diferença finita e o método da expansão geodésica não nos fornecem um resultado preciso para este modo Estimativas das frequências QNs para baixos números de sobretom (n = 0, 1, 2) obtidas usando a expansão dada pela Eq. (2.70). O valor da frequência QN para o sobretom n = 2 e momento angular l = 3 não foi inserido na tabela devido ao fato de que o método da expansão geodésica não nos fornece um resultado preciso para este modo Estimativas dos PR L (n) ω para baixos números de sobretom (n = 0, 1, 2) obtidas usando a expansão em série (2.78) Comparação entre as estimativas dos PR L ω do modo fundamental (n = 0) obtidos via método da integração direta (2 a coluna) e o método de expansão geodésica (3 a coluna). Os valores dos PR L ω para ω 1 não foram inseridos na tabela devido ao fato de que o método da expansão geodésica não fornece um resultado preciso para estes modos

23 LISTA DE TABELAS xxi 3.1 Estimativas, a partir do método da diferença finita, das frequências QNs fundamentais (n = 0) para o buraco acústico girante, com B = 1 e para os momentos angulares m = 2, 3, 4, e 5, para o caso contra-girante Estimativas, a partir do método da diferença finita (segunda coluna) e da expansão geodésica (terceira coluna), das frequências QN fundamentais (n = 0) para o buraco acústico girante, com B = 1, e para os momentos angulares m = 1, 2, 3, 4, e 5. O número entre parênteses indica o erro absoluto no último algarismo significativo, onde o erro no método da expansão geodésica foi estimado a partir da magnitude do termo final na série da Eq. (3.68) Frequências QNs fundamentais (n = 0) para m = A segunda coluna refere-se as frequências QN obtidas via método da fração continuada. A terceira coluna corresponde às frequências QN estimadas a partir do método da expansão geodésica, Eq. (3.68). O número entre parênteses indica o erro absoluto no último algarismo significativo, onde o erro no método da expansão geodésica foi estimado a partir da magnitude do termo final na série da Eq. (3.68). Note que os valores marcados com asterístico ( ) foram obtidos pelo truncamento da série em O(m 3 ) Frequências QNs do modo fundamental (n = 0) para os modos azimutais m = 1, 2 e circulação B = 0.5. Impusemos CC I para diferentes valores de r min, estimados via métodos da diferença finita (DF), integração direta (ID) e fração continuada (FC). Os diferentes métodos exibem uma concordância notável Frequências QNs do modo fundamental (n = 0) para o número azimutal m = 1 e circulação B = 0.5 obtidos via método da fração continuada, para diferentes valores de r min Frequências QNs para os números azimutais m = 2, 3, 4, para diferentes valores de circulação B, para o modo fundamental n = 0 e primeiro sobretom n = 1, via métodos da diferença finita (DF) [estimadas a partir dos gráficos superiores da Fig. 4.10] e da fração continuada (FC) [estimadas a partir da Eq. (4.29)]

24 LISTA DE TABELAS xxii 4.4 Frequências QNs para os números azimutais m = 2, 3, 4, para diferentes valores de circulação B, para o modo fundamental n = 0 e primeiro sobretom n = 1, via métodos da diferença finita (DF) [estimados a partir dos gráficos inferiores da Fig. 4.10] e da fração continuada (FC) [estimadas a partir da Eq. (4.29)]. Note que a partir dos gráficos inferiores da Fig não é possível distinguir a frequência QN fundamental (n = 0) da frequência QN para o primeiro sobretom (n = 1) [a partir dos resultados obtidos via método da diferença finita], já que os dois modos coexistem mutualmente no domínio temporal. Por isso os campos referentes aos modos n = 1, obtidos via método da diferença finita, foram deixados em branco nesta Tabela

25 Introdução Buracos negros regiões de aprisionamento do espaço-tempo são elementos chave para a Teoria da Relatividade Geral. Embora, algumas vezes, sejam vistos como uma curiosidade matemática, astrônomos têm agora reunido um número considerável de evidências para sua existência. Buracos negros são o ingrediente principal na moderna teoria de formação das galáxias, quasares, discos de acreção, erupção de raios gama e supernovas [1, 2, 3, 4, 5]. Mesmo que os buracos negros fossem apenas experimentos de pensamento, eles, ainda sim, seriam um ótimo campo de estudo para o desenvolvimento da Física Teórica. Na década de 1970, Stephen Hawking mostrou que a Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos implica que buracos negros não são completamente negros: eles devem irradiar termicamente, com uma capacidade térmica negativa (para alguns tipos de buracos negros) [6, 7, 8]. Além disso, buracos negros parecem ter uma entropia bem definida e relacionada diretamente com o horizonte de eventos. Os trabalhos de Stephen Hawking têm inspirado diversas tentativas para combinar consistentemente Relatividade Geral e Teoria Quântica de Campos. Uma propriedade importante dos buracos negros é que eles desviam e aprisionam a luz. Raios luminosos podem orbitar um buraco negro em uma esfera de fótons que se posiciona a uma certa distância do horizonte de eventos (a r = 3r h /2 para o buraco negro de Schwarzschild, onde r h é o raio do horizonte de eventos). A existência de uma órbita instável para fótons dá origem a alguns efeitos interessantes. Em particular, a órbita de fótons está intimamente ligada às ressonâncias características que aparecem quando ondas interagem com um buraco negro. Matematicamente, ressonâncias amortecidas manifestam-se como pólos na matriz de espalhamento [1]. Os polos ocorrem no plano complexo das frequências e do momento angular, e os modos correspondentes são conhecidos como modos quase-normais e polos de Regge, respectivamente [2].

26 Introdução 9 Parece bem improvável que um dia estudemos buracos negros em laboratório. Contudo, como William Unruh [9] notou três décadas atrás, podemos estudar modelos análogos a buracos negros: sistemas artificiais (em diversos meios) que exibem algumas propriedades cinemáticas importantes em buracos negros [10]. Por exemplo, ondas sonoras em um fluido sem viscosidade, irrotacional e barotrópico são governadas pela mesma equação de onda de um campo escalar em um espaço-tempo curvo, a saber, Φ = 1 ( ) µ g g µν ν Φ g = 0, (1) onde g µν é uma métrica efetiva (com inversa g µν e determinante g). Note que neste contexto, g µν depende algebricamente das propriedades locais do fluido, e não representa uma solução para as equações de Einstein. Contudo, é uma perspectiva intrigante, que a partir do estudo de ondas sonoras em fluidos possamos compreender melhor a propagação de campos em um espaço-tempo curvo. Recentemente, uma diversidade de modelos análogos em diferentes meios têm sido propostos e, de fato, estudados em laboratório [11, 12, 13, 14, 15]. Uma nova onda de experimentos parecem estar rendendo bons frutos, como evidenciado por uma recente observação experimental de correlações ligadas à radiação Hawking em um tanque de ondas [16]. Neste experimento, ao invés de um modelo análogo de buraco negro, um modelo análogo de buraco branco é usado. Outro exemplo de um buraco branco simples em fluidos é o conhecido como salto hidráulico circular [17]. Nesta tese investigamos os modos quase-normais e os polos de Regge dos espaços-tempos do buraco acústico canônico e do buraco acústico girante e suas consequências físicas [18, 19]. Além disso, estudamos as instabilidades do vórtice hidrodinâmico a partir da obtenção dos modos quase-normais deste sistema [20]. O espaço-tempo do buraco acústico canônico é construído considerando-se que o regime de escoamento do fluido seja puramente radial, esfericamente simétrico, barotrópico, convergente e que contenha uma região onde o fluxo radial seja supersônico, gerando assim um horizonte de eventos acústico. O espaço-tempo do buraco acústico girante é construído considerando-se que o regime de escoamento do fluido seja (espacialmente) bidimensional, dotado de um vórtice localmente irrotacional, barotrópico, convergente e que contenha uma região de aprisionamento para ondas sonoras [21]. Diferentemente do buraco acústico canônico, que possui o horizonte de eventos e a

27 Introdução 10 ergorregião coincidentes, o buraco acústico girante possui o horizonte de eventos e a ergorregião em localizações distintas, assim como no caso do buraco negro de Kerr. Em 2002, Schützhold e Unruh [22] descreveram uma possível realização experimental baseada nas idéias do buraco acústico girante, na qual ondas de gravidade propagam-se em um fluido em uma bacia rasa e de altura variável h(r). O vórtice hidrodinâmico é um espaço-tempo que pode ser obtido considerando o escoamento do fluido no buraco acústico girante sem drenagem, i.e., quando o fluxo do fluido é puramente circulante. O espaço-tempo do vórtice hidrodinâmico apresenta uma ergorregião sem um horizonte de eventos. Existem muitas motivações para considerar os espaços-tempos do buraco acústico canônico, do buraco acústico girante e do vórtice hidrodinâmico. Primeiro, baseado na descrição de Schützhold e Unruh [22], o buraco acústico girante pode ser realizável em laboratório. Segundo, o buraco acústico canônico e o buraco acústico girante fornecem modelos análogos úteis para descrever espaços-tempos relevantes em Astrofísica, como o espaço-tempo de Schwarzschild e o espaço-tempo de Kerr. Por exemplo, existe uma semelhança significativa entre o espaço-tempo do buraco acústico canônico e o espaço-tempo de Schwarzschild: ambos são esfericamente simétricos, possuem um único horizonte de eventos e são assintoticamente planos. Já para o caso do espaço-tempo do buraco acústico girante e o espaço-tempo de Kerr, ambos possuem horizonte de eventos (Kerr possui, em geral, dois horizontes de eventos) e ergosfera, e podem exibir superradiância. Porém, o momento angular do buraco negro de Kerr é limitado, enquanto que o momento angular do buraco acústico girante é (em princípio) ilimitado. Isto segue como uma consequência de sua simetria diferenciada: o buraco acústico girante é cilindricamente simétrico, enquanto que a solução de Kerr é axialmente simétrica. Uma terceira motivação para estudarmos os análogos acústicos é a simplicidade: por exemplo, o buraco acústico girante é, sem dúvida, o espaço-tempo girante assintoticamente plano mais simples que pode ser previsto (ver também a corda cósmica [23]). O buraco acústico canônico e o buraco acústico girante servem como uma arena teste para o desenvolvimento de métodos que podem ser estendidos às geometrias de Schwarzschild e Kerr, respectivamente. O vórtice hidrodinâmico é um sistema cujas configurações físicas são mais simples de serem implementadas em laboratório (quando comparado ao buraco acústico canônico e ao buraco acústico girante),

28 Introdução 11 já que para este espaço-tempo efetivo não é necessário um fluxo radial (mas apenas um fluxo circulante). Dadas essas motivações, não é surpreendente que os espectros dos modos quase-normais do buraco acústico canônico e do buraco acústico girante já tenham recebido atenção [24, 25]. Em contrapartida, o espectro dos polos de Regge não havia sido ainda considerado para esses espaços-tempos. Dada a relação próxima existente entre modos quase-normais e polos de Regge, acreditamos que um estudo compreensível acerca de ressonâncias do buraco acústico canônico e do buraco acústico girante é bem justificado. Nesta tese, fomos além do que já havíamos mostrado acerca de modos quase-normais e polos de Regge: mostramos (i) para o buraco acústico canônico e buraco acústico girante como as ressonâncias quase-normais surgem, por meio de simulações no domínio temporal, quando uma perturbação linear se propaga em um fluido, (ii) como ressonâncias quase-normais e polos de Regge estão intimamente ligados às propriedades de órbitas nulas co- e contra-girantes do buraco acústico girante, (iii) como o método do momento angular complexo [26, 27, 28] pode ser aplicado ao cálculo dos comprimentos de absorção e espalhamento do buraco acústico girante [29, 30], (iv) como a estrutura fina do comprimento de absorção está relacionada ao espectro dos polos de Regge do buraco acústico girante [31, 32], e (v) como as oscilações orbitantes no comprimento de espalhamento são também relacionadas ao espectro de polos de Regge. Com relação ao vórtice hidrodinâmico, nesta tese, pela primeira vez, determinamos os modos quase-normais de um espaço-tempo acústico com uma ergorregião e sem um horizonte de eventos (o vórtice hidrodinâmico). Mostramos, tanto no domínio temporal quanto no domínio das frequências, que no espaço-tempo do vórtice hidrodinâmico existem modos instáveis devidos à ausência de horizonte de eventos e à presença de uma ergorregião. A ergorregião é a principal responsável por um número interessante de efeitos [33], dentre os quais o efeito de desestabilização: estados de energia negativa podem escapar desta região com energia positiva e a conservação da energia então implica que os estados de energia negativa tornem-se ainda mais negativos. Quando existe um horizonte de eventos como uma membrana de não retorno, estes estados de energia negativa são eventualmente absorvidos e o processo é eliminado. A razão acima também implica que espaços-tempos com ergorregião e sem horizonte de eventos são genericamente instáveis, um argumento que foi elaborado precisamente por Friedman [34].

29 Introdução 12 Desta forma, mostramos nesta tese que a instabilidade da ergorregião também nos permite obter alguns resultados sobre instabilidades de fluidos na linguagem de espaços-tempos curvos. Esta correspondência, como mencionado anteriormente, surge do trabalho seminal de Unruh em espaços-tempos análogos, mostrando que ondas sonoras propagando-se em um fluido ideal são formalmente equivalentes a um campo escalar sem massa se propagando em um espaçotempo curvo com uma métrica efetiva ditada pelo fluxo do fluido não-perturbado [9, 21, 35]. Na verdade, o uso de espaços-tempos análogos é também importante como uma linguagem para entender algo a cerca da física envolvida nos espaços-tempos curvos. Denotamos também que tal configuração nunca tinha sido explorada neste contexto. Exploramos a evolução temporal da instabilidade da ergorregião, um processo que tem sido fundamental no entendimento de objetos compactos, porém que até agora tem sido abordado somenete em uma perspectiva de domínio da frequência. Fornecemos um modelo acústico simples, mas ainda fisicamente realístico, onde a instabilidade da ergorregião pode ser verificada. Fornecemos uma evidência direta que o vórtice hidrodinâmico é instável sob perturbações lineares. Mostramos que o aparecimento de modos instáveis no vórtice hidrodinâmico está diretamente relacionado à presença de uma ergorregião e à ausência de um horizonte de eventos. Por fim, ressaltamos que no decorrer desta tese mostramos uma classe de fenômenos que ocorrem em espaços-tempos acústicos em fluidos (o buraco acústico canônico, o buraco acústico girante e o vórtice hidrodinâmico), como por exemplo, o toque quase-normal, a superradiância, o efeito de oscilação orbitante e a instabilidade de ergorregião, e que acontecem também em espaços-tempos curvos da Relatividade Geral. Isto reforça ainda mais a analogia entre espaços-tempos acústicos e espaços-tempos curvos da Relatividade Geral. O restante desta tese está estruturada da seguinte forma. No Capítulo 1, revisitamos a Mecânica dos Fluidos e suas leis de conservação e de movimento. Tratamos acerca da propagação de uma perturbação linear (o som) em fluidos ideais e sua analogia com a propagação de um campo escalar sem massa e sem carga elétrica em um espaço-tempo curvo. No Capítulo 2, estudamos o espaço-tempo efetivo do buraco acústico canônico, obtendo os modos quase-normais e os polos de Regge deste espaço-tempo usando três métodos distintos. No Capítulo 3, estudamos o espaço-tempo efetivo do buraco acústico girante, obtendo os modos quase-normais e os polos de Regge para este espaço-tempo. Usamos os resultados obtidos com os polos de Regge do

30 Introdução 13 buraco acústico girante e aplicamos o método do momento angular complexo para obter os comprimentos de absorção e espalhamento de ondas sonoras neste espaço-tempo. No Capítulo 4, estudamos o espaço-tempo efetivo do vórtice hidrodinâmico, obtendo os modos quase-normais desse espaço-tempo usando três métodos distintos. Estudamos, no domínio temporal e no domínio das frequências, como surgem instabilidades devido à presença de uma ergorregião e à ausência de um horizonte de eventos nesses espaço-tempo. Concluímos com uma discussão dos nossos resultados nas considerações finais. No Apêndice A, aplicamos o método da expansão geodésica para obter uma aproximação assintótica dos resíduos dos polos de Regge que seja válida no limite de altas frequências.

31 Capítulo 1 Introdução à Mecânica dos Fluidos Ideais, à Propagação do Som e à Analogia com a Relatividade Geral A Mecânica dos Fluidos Ideais estuda o movimento e o comportamento macroscópico de líquidos e gases desprezando quaisquer efeitos devidos à viscosidade, às reações químicas e nucleares. Um fluido é tratado como um meio contínuo, o que significa dizer que um elemento de volume deve ser suficientemente grande e que contenha sempre um grande número de moléculas deste fluido. Podemos descrever o comportamento do fluido, localmente, por meio da análise de como variam com o tempo e a posição, em determinado sistema de coordenadas, variáveis como a pressão, densidade e o campo de velocidades dos seus elementos de volume. Isto pode ser feito por intermédio de duas abordagens: a abordagem lagrangiana e a abordagem euleriana. Na abordagem lagrangiana, o observador monitora o comportamento das variáveis dinâmicas (pressão, densidade e velocidade) de um único elemento de volume do fluido. Nessa abordagem, o elemento de volume do fluido é considerado como uma porção do fluido cuja massa é constante e sendo sempre composto pelas mesmas moléculas do fluido. Na abordagem euleriana, o observador mantém-se fixo no referencial de fundo do fluido e monitora o comportamento das grandezas dinâmicas por meio de um volume de controle. O volume de controle é uma entidade geométrica, que pode ser fixa ou móvel, e independente do fluido, servindo apenas para caracterizar o comportamento do fluido que passa nessa região em determinado

32 1.1 O Teorema do Transporte de Reynolds 15 instante de tempo [36]. Assim, a massa e as moléculas que compõem o volume de controle podem não ser as mesmas. Podemos obter uma equação que relaciona a variação temporal de grandezas associadas com as propriedades do fluido, como a pressão, densidade e a velocidade do fluido, conectando a abordagem lagrangiana e a abordagem euleriana. Para isso, aplicamos a derivada total em relação ao tempo em uma função F ( r, t), que depende da posição e do tempo e que representa as grandezas físicas características desse fluido, a saber df ( r, t) dt = F ( r, t) t + v F ( r, t). (1.1) Esta expressão é conhecida como derivada material. A derivada total nesta equação representa a descrição lagrangiana e a derivada parcial representa a descrição euleriana. 1.1 O Teorema do Transporte de Reynolds O teorema do transporte de Reynolds é de fundamental importância na determinação das equações que expressam a dinâmica e as leis de conservação do fluido ideal. Para maiores detalhes sobre esse teorema e sua demonstração sugerimos a leitura das Refs. [36, 37, 38]. O teorema do transporte de Reynolds pode ser expresso na seguinte forma: [ ] d F ( r, t) F ( r, t) dv = + ( vf ( r, t)) dv, (1.2) dt V V t onde v é a velocidade de escoamento do fluido, V é o volume de controle associado com a abordagem euleriana e F ( r, t) é uma função arbitrária das coordenadas que representa as grandezas associadas ao fluido como a densidade, o momento e a energia [37]. A partir desse teorema podemos obter as equações da continuidade e a equação de Euler. O teorema do transporte de Reynolds, basicamente, é uma equação que relaciona as abordagens lagrangiana e a euleriana: o lado esquerdo da Eq. (1.2) representa a abordagem lagrangiana e o lado direito representa a abordagem euleriana. Nas seções seguintes usamos o teorema do transporte de Reynolds para obtermos as equações da continuidade e de Euler.