UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC: CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR, PARD, PIAD, PIBIT, PADRC E FAPESPA RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO Período: Setembro/2014 a Agosto/2015 ( ) PARCIAL (X) FINAL IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO Título do Projeto de Pesquisa: Gravidade e Cosmologia Modificadas Nome do Orientador: Manuel Eleutério Rodrigues Titulação do Orientador: Doutor Faculdade: Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia (FACET) Instituto/Núcleo: Universidade Federal do Pará (UFPA) /Campus de Abaetetuba Laboratório: Título do Plano de Trabalho: Introdução à Geometria Diferencial Clássica Nome do Bolsista: Luciano José Barbosa Quaresma Tipo de Bolsa: ( ) PIBIC/ CNPq ( ) PIBIC/CNPq AF ( ) PIBIC /CNPq- Cota do pesquisador ( ) PIBIC/UFPA ( ) PIBIC/UFPA AF ( ) PIBIC/ INTERIOR ( ) PIBIC/PARD (X) PIBIC/PADRC ( ) PIBIC/FAPESPA ( ) PIBIC/ PIAD ( ) PIBIC/PIBIT

2 INTRODUÇÃO A Geometria Diferencial é uma importante base para o estudo da Gravitação e da Cosmologia. Desta forma, entender alguns conceitos, tais como curvas e superfícies parametrizadas no plano e no espaço, reparametrização, curvatura e torção, é essencial nesta área da física. Além disso, também é importante realizar o estudo das Equações de Frenet, dos Teoremas Fundamentais das Curvas no plano e no espaço, da Primeira e da Segunda Forma Quadrática das Superfícies, das Geodésicas, dos principais teoremas sobre superfícies, entre outros. Também se faz importante o estudo da história da geometria, visto que também é importante conhecer os principais nomes nesta área e os problemas que tiveram que enfrentar em suas pesquisas. JUSTIFICATIVA Com o foco em estudos sobre Gravitação e Cosmologia, é importante, como ponto de partida, compreender a Geometria Diferencial chamada clássica. Então, através do projeto proposto, estão sendo estudados os conceitos desta área, visando um bom embasamento para estudos posteriores. OBJETIVOS Fazer uma abordagem histórica da Geometria Diferencial. Introduzir conceitos de curvas no espaço e superfícies, parametrização e reparametrização de curvas e superfícies, vetores tangentes e normais às curvas e planos relevantes às superfícies. Introduzir conceitos de curvatura e torção de curvas no espaço. Definir o Teorema Fundamental das Curvas Espaciais. Introduzir o estudo das superfícies através das definições de parametrização de superfícies, primeira e segunda formas quadráticas, curvaturas normal, geodésica e gaussiana. Definir os principais teoremas sobre superfícies. MATERIAIS E MÉTODOS Este projeto de iniciação científica consiste no estudo exploratório da Geometria Diferencial Clássica. Para tanto, o material principal neste estudo é a dissertação de mestrado defendida por José de Ribamar Viana Coimbra [1]. Esta dissertação aborda os tópicos básicos para a compreensão da Geometria Diferencial e é, portanto, um bom material introdutório ao assunto. Esta escolha metodológica manteve-se de acordo com o plano de trabalho que fundamenta este projeto. RESULTADOS Objetivando o estudo da Geometria Diferencial, os resultados do projeto são, portanto, os conhecimentos adquiridos. Assim, os principais pontos são os aspectos históricos do desenvolvimento da Geometria, o estudo das Curvas, tanto no plano quanto no espaço, e o estudo das Superfícies. Estes tópicos estão de acordo com os objetivos do presente projeto, bem como com as informações contidas em [1] e são mostrados, em síntese, a seguir. 1) História da Geometria Diferencial

3 A palavra Geometria, do Grego, significa medir a terra. Isto nos indica o motivo de sua criação, provavelmente a demarcação de terras para a agricultura. As origens da Geometria como área de estudo convergem para o Egito Antigo e a Babilônia, entretanto estudos similares são encontrados entre os hindus e os chineses antigos, apesar destes a utilizarem como um conjunto de regras empíricas. Seguindo a proposta de [1], a história da Geometria Diferencial será descrita através dos trabalhos mais pertinentes dos principais pensadores que contribuíram com o seu desenvolvimento, desde a antiguidade até os tempos mais recentes, com a utilização de uma breve linha do tempo. 1.1) Euclides de Alexandria (325 a.c. 265 a.c.), Arquimedes de Siracusa (287 a.c. 212 a.c.) e Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.). Considerados três dos maiores matemáticos da Antiguidade, Euclides de Alexandria, Arquimedes de Siracusa e Apolônio de Perga marcaram o estudo da geometria em seus estágios iniciais. O esforço de Euclides em compilar o máximo de conhecimento sobre a Geometria resultou na segunda obra mais editada do mundo, atrás apenas da Bíblia, intitulada Os Elementos. Além disso, em sua obra, ele introduziu o método lógico-dedutivo na elaboração de teorias, presente até hoje no estudo da Matemática. A partir de 10 axiomas, Euclides deduziu 465 proposições, as quais contribuíram bastante para o desenvolvimento de diversas áreas na matemática e servem como base, ainda hoje, para livros didáticos sobre o assunto. Em seus estudos, bem como nos de Arquimedes e Apolônio, estão presentes as curvas notáveis. Estas foram pontos de partida para, muito após a era destes pensadores, o Cálculo Diferencial e Integral ser desenvolvido e aplicado à Geometria, originando o que conhecemos como Geometria Diferencial. 1.2) Pierre Fermat ( ) e René Descartes ( ) Fermat e Descartes foram dois franceses responsáveis pelo desenvolvimento da Geometria Analítica, isto é, o estudo da Geometria através do sistema de eixos ligando-a diretamente à Álgebra. 1.3) Gottfried Leibniz ( ) e Isaac Newton ( ) O alemão Leibniz e o inglês Newton desenvolveram, independentemente, os princípios do Cálculo Infinitesimal, possibilitando uma nova abordagem para o estudo da Geometria. 1.4) Christian Huygens ( ), Aléxis Clairaut ( ) e Gaspard Monge ( ) O holandês Huygens publicou um trabalho sobre curvas planas, criando os conceitos de evoluta e involuta de uma curva. O francês Clairaut estudou curvas no espaço tridimensional, mas ateve-se às suas propriedades de primeira ordem e suas retas tangentes. Monge, outro francês, discutiu sobre curvatura e torção das curvas espaciais.

4 1.5) Leonhard Euler( ), Louis Cauchy ( ) e Jean Meusnier ( ) Euler, um suíço, dedicou-se a estudar sobre a isometria de superfícies, mais especificamente às condições necessárias para se desenvolver uma superfície isometricamente. O francês Cauchy introduziu novos métodos ao estudo da Geometria, sistematizou e esclareceu diversos cálculos já utilizados até então e refinou os trabalhos de Monge sobre curvatura e torção, chegando às fórmulas atualmente conhecidas como as Equações de Frenet-Serret, de suma importância para a Geometria Diferencial. Meusnier, mais um francês, publicou um importante teorema relacionando duas curvas com mesmas tangentes em um ponto arbitrário. 1.6) Carl Gauss ( ) e Bernhard Riemann ( ) Ambos alemães, Gauss e Riemann são considerados os criadores da Geometria Diferencial Moderna e sua generalização, a Geometria Riemanniana. Gauss, em seus trabalhos, apresentou o Teorema Egregium, um importante teorema da Geometria Diferencial, utilizado por Riemann em seus próprios trabalhos. Os conceitos fundamentais da Geometria Moderna devem-se a estes dois pensadores, tais como: curvatura gaussiana, métrica, geodésicas, curvatura seccional, entre outros. Vale ressaltar que o trabalho deles abriu as portas para o estudo de superfícies abstratas e de suas geometrias intrínsecas. 1.7) Eugênio Beltrami ( ), Félix Klein ( ) e Henry Poincaré ( ) O italiano Beltrami publicou um trabalho, com base nos estudos de Riemann, sobre espações n-dimensionais e deu os primeiros passos para fora da geometria euclidiana. O alemão Klein foi o responsável pelo Programa Eranger, uma conferência dada por ele na Universidade de Eranger que influenciou o desenvolvimento da Geometria por todo o século XX. Klein declarou que cada geometria consistia no estudo dos invariantes de um particular grupo de transformações. Além disso, ele, bem como o francês Poincaré, desenvolveram diversos modelos com geometrias não euclidianas, utilizando curvaturas gaussianas constantes, superfícies abstratas e métricas diferentes da euclidiana. 1.8) Pierre Bonnet ( ), Elwin Christoffel ( ) e Rudolf Lipschitz ( ) Pierre Bonnet, um francês, pesquisou sobre geodésicas em superfícies e introduziu o conceito de curvatura geodésica, além de ser o autor de um dos teoremas mais importantes da Geometria Diferencial, o Teorema de Gauss-Bonnet. Por outro lado, Christoffel e Lipschitz, ambos alemães, publicaram expressões analíticas para o cálculo da Curvatura Seccional de Riemann, com o uso dos atualmente chamados de Símbolos de Christoffel. 1.9) Gregorio Ricci-Curbastro ( ) e Tulio Levi-Civita ( )

5 Ricci-Curbastro e seu aluno Levi-Civita, italianos, contribuíram com a Geometria através da criação da noção de derivação covariante e de transporte paralelo, os quais fundamentam cursos de Geometria Diferencial no estudo de geodésicas. 1.10) Ernst Minding ( ), Jean Frenet ( ) e Joseph Serret ( ) O polonês Ernst Minding publicou um teorema afirmando que duas superfícies de mesma curvatura gaussiana constante são localmente isométricas, o que é uma recíproca do Teorema Egregium de Gauss para curvatura constante. Os Franceses Frenet e Serret publicaram 6 e 9 formulas, respectivamente, à respeito de curvas espaciais, as quais, em conjunto, são conhecidas como Fórmulas de Frenet-Serret, bastante importantes para o estudo deste tipo de curva. 1.11) Benjamin Olinde Rodrigues ( ) e Joseph Liouville ( ) O francês Olinde Rodrigues, um dos alunos de Monge, desenvolveu uma equação diferencial que relaciona a curvatura normal e linhas de curvatura. Já Liouville, também francês, fez importantes estudos sobre a curvatura geodésica de curvas sobre superfícies regulares e sobre transformações espaciais. 1.12) Hermann Minkowski ( ) e Jacques Hadamard ( ) Hermann Minkowski, da Lituânia, desenvolveu importantes fórmulas para a Geometria Diferencial, as Fórmulas Integrais de Minkowski e fez importantes contribuições à Teoria dos Números através do uso de métodos geométricos. O francês Hadamard foi capaz de provar dois teoremas de grande relevância à Geometria Diferencial envolvendo difeomorfismo entre superfícies regulares completas. 1.13) David Hilbert ( ) Foi um dos grandes responsáveis pela forma atual tanto da Geometria Diferencial quanto da Geometria Riemanniana. O alemão David Hilbert, além de organizar a geometria de forma lógica, também, dentre outras contribuições, forneceu uma demonstração do Teorema da Rigidez da Esfera, bem como provou a impossibilidade de um modelo bidimensional completo imerso em três dimensões com métrica euclidiana para a geometria hiperbólica. 2) Curvas no Plano Curvas no Plano, ou simplesmente curvas planas, são aquelas contidas em um plano. Por conta disso, podem ser tratadas tanto como curvas em duas dimensões, diretamente, como Curvas Espaciais em condições específicas. 2.1) Curvas Parametrizadas As curvas parametrizadas são aplicações

6 R R 2 α :,b t (x(t ), y (t )) Cujo parâmetro é t. Elas são de classe C 0 se x e y forem funções contínuas. São de classe C k, se x e y possuírem derivadas de ordem k e estas forem contínuas. Ou ainda, são de classe C, se possuírem derivadas de qualquer ordem. Outra característica importante é a regularidade. Uma curva é regular se α ' (t 0 ) (0,0), o que garante a existência da reta tangente em todos os pontos da curva. 2.2) Mudança de Parâmetros e Reparametrização de Curvas Seja a curva α (t ) definida como anteriormente. Uma mudança de parâmetros para α é uma aplicação R ]a,b ψ :,d Bijetiva de classe C k, tal que ψ ' (s ) 0, s c,d. Uma reparametrização de α, por sua vez, é a composta ~ α=α ψ=α (ψ (s)) A qual é uma aplicação de em R 2 de mesma classe de α. Quanto à c,d mudança de parâmetros, tendo em vista que a orientação da curva é dada pelo seu vetor tangente, isto é, por α ' (t ), então α e ~ α terão a mesma orientação se ψ ' ( s)> 0 e, logo, terão orientação oposta em caso contrário, já que ~ α ' (s )=α' (ψ (s))ψ ' (s ). Um parâmetro importante no estudo da geometria diferencial é o Comprimento de arco. Assim, considerando a função comprimento de arco R S :a,b t t α ' (u ) du t 0 uma mudança de parâmetros ψ ( s)=s 1 ( s), sendo S 1 a função inversa de S, deixa α e ~ α com a mesma orientação, de modo que ~ α ' (s ) =1, s,d e

7 , s 1 s 0 s 1 α (u) du=s 1 s 0, s 1, s 0, d. Esta reparametrização obtida é a definição de s 0 reparametrização de α pelo comprimento seu de arco. A importância deste parâmetro reside na simplificação matemática que resulta de seu uso, como ocorre no cálculo da curvatura, bem como na interpretação física de alguns fenômenos que envolvem movimento de partículas. 2.3) Curvatura e Equações de Frenet Para o estudo da curvatura e das equações de Frenet, é necessário definir alguns vetores. Entretanto, as curvas no espaço ainda não foram estudadas até o momento, neste projeto. O estudo de curvas no plano, no entanto, que é fundamental para o seu entendimento no espaço, está bem próximo de ser finalizado. Desta forma, os vetores necessários para o estudo no plano são o Vetor Tangente ( T ) e o Vetor Normal ( N ). Assim, considerando α (s ) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, regular e de classe C k, k 3, o vetor tangente é T (s )=α ' ( s)=( x' ( s), y ' (s)) E o vetor normal é N ( s)=( y' (s ), x' (s )) Neste caso são importantes duas observações. O vetor normal é o vetor tangente π girado de no sentido anti-horário e, devido à parametrização da curva, 2 α ' ( s) =1, então T (s ) = N (s) = α ' (s ) =1. Devido a essas observações, podemos concluir que os dois vetores formam uma base ortonormal de R 2, visto que T ( s), N (s ) =0 e os módulos destes vetores são unitários. Desta forma, {T (s),n (s )} α (s ) é o chamado referencial móvel ou referencial de Frenet-Serret, da curva α em s, isto é, é a base ortonormal citada, mas com origem no ponto α (s ) ao longo da curva. Como o {T (s),n (s )} é uma base ortonormal de R 2, qualquer vetor v pode ser expresso como v (s)= v(s ),T (s ) T (s)+ v( s), N (s ) N (s ) Desta forma, se tomarmos a derivada do vetor tangente teremos T ' (s )= T ' ( s),t ( s) T (s )+ T ' (s ), N (s) N (s ) Mas um vetor e sua derivada são ortogonais, logo, o primeiro termo desta expressão é nulo e o número T ' (s), N (s ) é a chamada curvatura ( k ) da curva em s. Assim, temos

8 k (s)= T ' (s ), N (s) E a equação T ' (s )=k (s) N (s ) É a chamada 1ª Equação de Frenet. De uma análise similar para o vetor normal, temos N ' ( s)= k (s) T (s ) A qual é conhecida como a 2ª Equação de Frenet. A curvatura k (s), geometricamente, indica a taxa de variação instantânea da direção do vetor tangente. Isto fica evidente se considerarmos a relação entre a curvatura e o ângulo entre um vetor constante e o vetor tangente à curva. Como apresentado em [1], a curvatura pode ser dada por k (s)=θ ' (s) Onde θ é precisamente o ângulo mencionado acima. Sendo este vetor constante w=(cos (λ ),sen ( λ)), o vetor tangente, isto é, α ' (s) é α ' (s)=(cos (θ (s)+λ), sen (θ (s )+λ )) E a curva pode ser determinada a partir desta Equação Diferencial Ordinária, dados s 0 a,b e λ, x 0, y 0 R quaisquer. Além disso, observando que T ' (s ) e N ( s) são paralelos, a partir da 1ª Equação de Frenet, é perceptível que a curvatura será positiva se estes vetores possuírem mesmo sentido e será negativa em caso contrário. É interessante perceber, também, que curvatura k (s) indica, numericamente, o quanto a curva está afastada de estar contida em uma reta em um dado ponto. O cálculo da curvatura não necessariamente precisa de uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Considerando uma reparametrização pelo comprimento de arco e sabendo que os vetores tangente e normal apenas deixarão de ter comprimento igual a 1, é possível demonstrar que a curvatura vale T ' (t ), N (t ) k (t )= T ' (t ) 3 E, caso a curva esteja parametrizada pelo comprimento de arco, esta expressão, a qual é mais abrangente, resulta exatamente na expressão obtida anteriormente para a curvatura. 2.4) Raio de Curvatura, Círculo Osculador e Evolutas

9 Para uma curva α, regular de classe C k, k 3, o raio de curvatura em s é o número real positivo ρ ( s)= 1. Desta forma, seja a reta normal a α em k (s ) s 0 dada por H s0 (r )=α (s 0 )+rn (s 0 ) O ponto C (s 0 )=H s0 ( ρ (s 0 )) é chamado de centro de curvatura e sua equação é C (s 0 )=α (s 0 )+ 1 k (s 0 ) N (s 0 ) Então, tendo determinado ρ(s 0 ) e C (s 0 ), é possível definir o círculo osculador à curva α em s 0. Ele é um círculo cujo centro é C (s 0 ) e o raio é ρ(s 0 ), ou seja, é um círculo que tangencia a curva em s 0. É interessante observar que o círculo osculador sempre está na região convexa da curva (se tomarmos uma reta tangente à curva, esta é dita convexa se estiver contida em apenas um dos semiplanos delimitados por essa reta). Além disso, o círculo osculador será menor quanto maior for, em módulo, a curvatura. Outra observação importante é o módulo da curvatura do círculo osculador coincide com o módulo da curvatura de α em s 0. Uma evoluta é uma curva composta por todos os centros de curvatura da curva e é dada por α E (s)=α ( s)+ 1 k (s) N (s ) As evolutas são únicas, visto que o centro de curvatura é determinado independentemente da orientação da curva. A evoluta de uma curva regular pode não ser regular, como no caso de um círculo, cuja evoluta é o ponto de seu centro. Além disso, considerando uma curva α, regular de classe C k, k 3, parametrizada pelo comprimento de arco, a evoluta será de classe C k 2, será regular se k ' (s ) 0, s a,b e, se for regular, as retas tangentes à ela serão retas normais à curva α. 2.5) Teorema Fundamental das Curvas no Plano O Teorema Fundamental das Curvas no Plano tem três pontos, a saber R i. Seja uma função de classe k :a,b C k, com k 1. Então existe uma curva regular α de classe C j, com j 3, parametrizada pelo comprimento de arco tal que a função de curvatura de α é k. Este ponto mostra que é possível determinar uma curva a partir de sua função de curvatura. Para tanto, basta lembrar que

10 α ' (s)=(cos (θ (s)+λ), sen (θ (s )+λ )) E que k (s)=θ ' (s) Então, Logo s θ (s)= k (t ) dt s 0 O que permite resolver a EDO encontrando o ângulo θ a partir da curvatura k. ii. Se fixarmos α (s 0 )=P e α ' (s 0 )=v, unitário, então a curva do item i. é única. Este outro ponto versa sobre a unicidade da solução da EDO. Basicamente ele dá as condições iniciais arbitrárias, a partir das quais, de fato, a solução de uma EDO se torna única e não mais uma família de soluções. iii. Se α e β são curvas regulares com mesma curvatura k, então α e β são congruentes. Este último ponto do teorema visa demonstrar que se duas curvas apresentam uma mesma curvatura, uma é o resultado de duas transformações lineares sobre a outra, uma translação por um vetor v e uma rotação por um ângulo θ arbitrários. Em outras palavras, se ambas as curvas tem a mesma curvatura k, então α (s )=(T v R θ β ( s)) Onde T v é a aplicação de uma translação por um vetor v e R θ é a rotação pelo ângulo θ. A função composta desta equação, portanto, representa a congruência entre as curvas. 3) Curvas no Espaço As Curvas no Espaço são, simplificando, como curvas planas em mais dimensões, isto é, com mais graus de liberdade para o seu traço. As suas definições básicas, portanto, são bastante similares às das curvas planas, respeitando essa diferença. 3.1) Curvas Parametrizadas As curvas espaciais parametrizadas são, à semelhança das planas, aplicações do tipo R R 3 α :, b t (x(t ), y (t ),z(t))

11 Cujo parâmetro é t. Elas são de classe C 0 se x, y e z forem funções contínuas. São de classe C k, se x, y e z possuírem derivadas de ordem k e estas forem contínuas. Ou ainda, são de classe C, se as componentes possuírem derivadas de qualquer ordem. Outra característica importante é a regularidade. Uma curva é regular se α ' (t 0 ) (0,0,0). Isto implica na existência de uma reta tangente em todos os seus pontos. 3.2) Mudança de Parâmetros e Reparametrização de Curvas Seja a curva α (t) definida anteriormente. Uma mudança de parâmetros para α é uma aplicação R ]a, b ψ :, d Bijetiva de classe C k, tal que ψ ' (s ) 0, s c,d. Uma reparametrização de α, por sua vez, é, como nas curvas planas, a composta ~ α=α ψ=α (ψ (s)) A qual é uma aplicação de em R 3 de mesma classe de α. O c,d Comprimento de arco, como no plano é definido como segue R S :a,b t t α ' (u ) du t 0 E uma mudança de parâmetros ψ ( s)=s 1 ( s), sendo S 1 a função inversa de S, deixa α e ~ α com a mesma orientação, de modo que, s 1 s 0 ~ α ' (s ) =1, s, d e. Esta reparametrização s 1 α ' (u) du=s 1 s 0, s 1, s 0, d s 0 obtida é a definição de reparametrização de α pelo comprimento seu de arco. A importância deste parâmetro, como no plano, reside na simplificação matemática que resulta de seu uso, como ocorre no cálculo da curvatura e, agora, também na torção, bem como na interpretação física dos fenômenos que envolvem movimento de partículas. 3.3) Curvatura, Torção e Equações de Frenet As Equações de Frenet para curvas no espaço precisam da definição de ambos os vetores apresentados no plano e um a mais. Desta forma, os vetores necessários

12 para o estudo no plano são o Vetor Tangente ( T ) e o Vetor Normal ( N ) e o novo Vetor Binormal (B). Assim, considerando α (s ) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, regular e de classe C k, k 3, o vetor tangente é T (s )= α' ( s) α ' ( s) =α' (s) E o vetor normal é N ( s)= α '' ( s) α '' ( s) Aqui há uma diferença importante quanto ao Vetor Normal, em comparação com as curvas no plano. No plano, este vetor, com mesma direção de α '' ( s), poderia apontar no mesmo sentido ou no oposto deste. Com isso, um sinal negativo na curvatura indicaria apenas diferenças na orientação da curva. No espaço, por outro lado, é a torção que exerce esta função. Para tanto, esta definição para N (s) garante o sinal sempre positivo da curvatura. O último vetor, o binormal, é então B (s )=T (s ) N (s ) Definidos assim por conveniência para parametrizações pelo comprimento de arco, B e N são definidos de outra forma para parametrizações quaisquer, como segue B (t)= α ' (t ) α '' (t ) e N (t )=B (t ) T (t ) α ' (t ) α '' (t ) Assim como no plano, esses vetores formam uma base ortonormal de R 3. Desta forma, {T (s),n (s ), B(s)} α (s ) é o Triedro de Frenet ou referencial de Frenet-Serret, da curva α em s. Com estes três vetores, podemos definir três planos em cada ponto da curva. Como um plano pode ser definido a partir de um vetor ortogonal à ele, cada um deles é definido por um dos vetores e são eles: Plano Osculador, normal à B (s), Plano Retificante, normal à N (s), e o Plano Normal, normal à T (s). A curvatura, diante dessas definições, é k (s)= α ' ' (s ) E a torção é o número τ (s)= B' ( s), N (s )

13 A torção representa a velocidade com a qual o vetor binormal muda de direção. Ou ainda, o quanto a curva se afasta de estar contida em um plano. Desta interpretação, podemos mostrar que uma curva plana é aquela de torção nula e vetor binormal constante, contida no plano osculador. Logo a 1ª, a 2ª e a 3ª Equação de Frenet são, respectivamente T ' (s )=k (s) N (s ) N ' ( s) = k (s ) N (s) τ ( s) N (s ) B ' (s )=τ (s ) N ( s) Caso a curva α não esteja parametrizada pelo comprimento de arco, as suas curvatura e torção são dadas por k (s)= α ' (t) α '' (t ) α ' (t ) 3 τ (s)= α'' (t ),α ' ' (t ) α '' ' (t ) α ' (t ) α ' ' (t ) 3 3.4) Teorema Fundamental das Curvas no Espaço O Teorema Fundamental das Curvas no Espaço também tem três pontos, a saber i. Seja R R e k :a,b τ :a,b funções de classe C. Então existe uma curva regular suave α, parametrizada pelo comprimento de arco tal que a função de curvatura de α é k e a de torção é τ. ii. Se fixarmos α (s 0 )=P e α ' (s 0 )=v 1 e α '' (s 0 )=k(s 0 )v 2, com v 1 e v 2 unitários e ortogonais entre si, então a curva do item i. é única. iii. Se α e β são curvas regulares com mesma curvatura k e torção τ, então α e β são congruentes. Respeitando o número maior de dimensões tanto para a rotação e para a translação no R 3, em comparação com o R 2, e o tratamento delas como isometrias e/ou transformações ortogonais, além das maiores dificuldades em lidar com a determinação de α através da sua curvatura e da sua torção ao mesmo tempo, este teorema para o espaço define os mesmos pontos do que sua versão para o plano. 4) Superfícies 4.1) Superfícies Parametrizadas Uma Superfície Parametrizada Diferenciável é uma aplicação diferenciável do tipo S :U R 2 R 3

14 (u, v) (x (u, v ), y (u, v), z (u, v )) Onde U é um subconjunto aberto e conexo de R 2. Esta superfície será regular se sua derivada, indicada em [1] por ds p para qualquer P=(u, v ) U, for injetiva. Vale ressaltar a notação para a sua derivada em relação a u e a v S u = ( x u, y u, u) z e S = p ( y y y x x x) Um tipo importante de superfícies parametrizadas são as Superfícies de Revolução. Elas são obtidas a partir da revolução de uma curva regular em torno de um eixo. Por exemplo, consideremos a curva α (u)=(f (u),0,g(u )) Com f, g diferenciáveis e f (u) 0 no intervalo pertinente. Esta é uma curva restrita ao plano zx. Para a sua rotação pode-se aplicar sobre ela uma matriz de rotação. Para este exemplo, a rotação de ser em torno eixo z é executada pela seguinte matriz (para rotações nos demais eixos aplica-se a matriz de rotação pertinente e a curva não necessariamente deve ser plana, mas isso simplifica a situação) [ cos (v) sen(v) 0 sen(v) cos (v ) ] De modo que, aplicada à forma matricial de α, temos [ cos (v) sen(v) 0 1] [f (u) (u)cos (v) sen(v) cos (v) 0 0 f (u )sen (v) 0 0 g (u)]=[f ] g(u) De modo que [f (u) cos (v) f (u) sen (v) ]=(f (u)cos ( v), f (u )sen (v ),g(u))=s g (u) É a superfície de revolução da curva α em torno do eixo z e as curvas S (u, v 0 ) e S(u 0,v), com u 0 e v 0 fixos, são chamadas meridianos e paralelos da curva S, respectivamente, e exemplos de curvas coordenadas. O Plano Tangente à S(P), P=(u,v), denotado por T Q S, é definido como o plano paralelo à ambos os vetores S u (P) e S v (P), ou, equivalentemente à isso, ortogonal à S u (P) S v (P). 4.2) Mudança de Parâmetros

15 Seja S uma superfície regular como definido acima e h :V R 2 R 2 uma aplicação diferenciável, tal que h (V )=U e Jh(P) =detjh ( P) 0, P V. Assim, a composta ~ S=S h:v R 2 R 3 é diferenciável, regular e tem a mesma imagem de S. A aplicação h, portanto, é uma mudança de parâmetros para S. 4.3) Primeira Forma Quadrática Com S sendo uma superfície regular, P U e Q=S(P), a Primeira Forma Quadrática, ou Primeira Forma Fundamental, é a aplicação I Q :T Q S R w w, w = w 2 Como w faz parte de T Q S, ele é alguma combinação linear de S u (P) e S v (P), de onde podemos mostrar que se os chamados coeficientes da Primeira Forma Quadrática forem E (P)= S u,s u F (P)= S u, S v G ( P)= S v, S v Então a Primeira Forma Quadrática será I Q (w)=a 2 E ( P)+2 abf ( P)+b 2 G(P) Através da Primeira Forma Quadrática pode-se calcular o comprimento de arco de uma curva contida na superfície. Para tanto, precisa-se determinar o módulo da derivada da curva, visto que a equação do comprimento de arco é b l= ' α (t ) dt a De fato, o módulo ao quadrado da derivada da curva termina por ser α ' (t ) 2 =(u(t )) 2 E (P )+2u(t ) v (t ) F ( P)+(v(t )) 2 G ( P)=I Q (α '(t)) Logo, b l= I Q (α ' (t))dt a Além disso, a Primeira Forma Quadrática também pode ser aplicada no cálculo da área da superfície em questão. Do Cálculo Diferencial temos, A (S(V ))= S u (P) S v (P) dudv V

16 Com V U. Podemos mostrar que S u (P) S v (P) 2 =E (P)G (P ) F (P) 2 Portanto A ( S (V ))= V 2 E( P)G (P) F (P) 2 dudv Das interpretações do que foi apresentado, define-se que, se duas superfícies tem os mesmos coeficientes das suas Primeiras Formas Quadráticas, elas são isométricas. Lembramos que se a superfície também é injetiva, então ela é dita uma superfície simples. Outra relação importante sobre Isometrias, diz respeito à distância intrínseca. Uma aplicação é uma isometria se ela preserva esta distância, definida se l(γ) γ :[a, b] R S(U ) R 3 d (Q 1, Q 2)=inf Sendo S(U ) uma curva regular com γ (a)=q 1 e γ (b)=q ) Aplicação Normal de Gauss A Aplicação Normal de Gauss, N, é definida como N : S (U ) R 3 S 2 R 3 Q=S(U ) S u (P) S v (P) S u (P) S v (P) Uma aplicação da superfície S na esfera unitária bidimensional S 2, contida em R 3. A derivada de N em Q, isto é dn q, mede a taxa de variação dos vetores normais e, logo, o quanto S se distancia de T Q S na vizinhança de Q. É possível provar que este operador diferencial é linear e auto-adjunto. Deixando demonstrações em segundo plano, em última análise este fato implica que é possível associar à dn q uma forma bilinear B e a esta uma forma quadrática. É a partir desse fato que surge a Segunda Forma Quadrática de uma curva, como veremos a seguir. 4.5) Segunda Forma Quadrática Sendo S uma superfície regular, Q=S( P) e N a aplicação normal de Gauss, como definidos anteriormente, a Segunda Forma Quadrática é, então II Q :T Q S R w dn q (w),w

17 Seguindo [1], o sinal negativo nesta definição torna-se útil nos desenvolvimentos posteriores. Os Coeficientes da Segunda Forma Quadrática são e ( P)= ~ N u (P), S u (P) = ~ N (P), S uu (P) f ( P)= ~ N v (P),S u (P) = ~ N (P),S uv (P) g( P)= ~ N v (P), S v (P) = ~ N ( P), S vv (P) Com um vetor w na mesma base {S u (P), S v ( P)} que o caso para a Primeira Forma, pode-se mostrar que II Q ( w )=a 2 e(p)+2abf (P)+b 2 g(p) Com o uso da Primeira e Segunda Forma Quadrática, dn q é obtido com ]=[ ff eg gf fg 2] EG F [dn 2 EG F 2 q ef fe ff EG F 2 EG F Podemos, agora, definir três curvaturas importantes. Seja Q=S(P)=β (0) e θ o ângulo entre o vetor normal a S e o vetor normal a uma curva regular β, então a Curvatura Normal é dada por k n (β ) (Q )=k (β ) (Q)cos (θ) Onde k (β ) é a curvatura de β, como vista na seção 3. Devido ao fato de dn q ser auto-adjunto, temos dn q (e 1 )= k 1 e 1 dn q (e 2 )= k 2 e 2 Sendo e 1 e e 2 vetores unitários e ortogonais contidos no plano tangente à superfície, isto é, bases em T Q S. Estes vetores são os Vetores Principais que indicam as Direções Principais da superfície e k 1, a curvatura normal mínima, e k 2, a máxima, são chamadas de Curvaturas Principais. As três curvaturas se relacionam pela Fórmula de Euler k n (w) (Q )=k 1 cos 2 (θ)+k 1 sen 2 (θ) 4.6) Curvatura Gaussiana e Curvatura Média Define-se a Curvatura Gaussiana como K ( P)=k 1 k 2 E a Curvatura Média como

18 H ( P)= k 1 +k 2 2 Equações nas quais k 1 e k 2 são as curvaturas principais de uma dada superfície. Conhecendo K e H, k 1 e k 2 podem ser obtidas como raízes de x 2 2H (P ) x+k ( P)=0 Estudos a partir destas curvaturas mostram situações interessantes e superfícies cada vez mais complexas. Na época em que foram feitos pela primeira vez, motivaram o estudo de geometrias não-euclidianas e o desenvolvimento da Geometria Riemanniana. 4.7) Geodésicas As Geodésicas são, simplificando, curvas que minimizam a distância entre dois pontos. Geodésicas em um plano euclidiano são, portanto, retas. Em uma superfície qualquer, no entanto, isso não é necessariamente verdade. Mas uma curva deste tipo obedece a seguinte relação D α ' (t) =0 dt A qual representa que a derivada covariante do vetor tangente à curva deve ser nula em todo intervalo entre os limites da curva para que ela seja a menor distância. Através de relações envolvendo esta derivada covariante e a aplicação normal de Gauss, é possível mostrar que elas são proporcionais. A constante de proporcionalidade, o chamado valor algébrico, é conhecido também por Curvatura Geodésica ( k g (t) ), caso a curva seja regular e parametrizada pelo comprimento de arco. Ela mede o quanto a curva deixa de ser geodésica e se relaciona com a curvatura da curva e a curvatura normal da superfície assim k (t ) 2 =k g2 (t )+k n 2 (t) 4.8) Três Importantes Teoremas da Geometria Diferencial Teorema Egregium A Curvatura Gaussiana só depende da Primeira Forma Quadrática Este teorema mostra que, apesar de definida a partir da Segunda Forma Quadrática, a Curvatura Gaussiana só depende da primeira, como mostra a Equação de Gauss 2 EK=( Γ 12 i Γ jk 2 ) u (Γ 11 ) v +Γ 1 12 Γ 2 12 Γ 1 11 Γ (Γ 12 ) 2 Γ Γ 22 Onde com i, j,k=1,2, são os Símbolos de Christoffel, os quais dependem apenas da Primeira Forma Quadrática. Esta equação e mais as equações de Codazzi-Mainardi

19 e v f u =e Γ f ( Γ 2 12 Γ ) g Γ 11 f v g u =e Γ f ( Γ 2 22 Γ ) gγ 12 São chamadas de Equações de Compatibilidade Teorema Fundamental das Superfícies Análogo aos Teoremas Fundamentais das Curvas no Plano e no Espaço, este teorema diz o seguinte Sejam E, F, G, e,f, g funções reais diferenciáveis definidas em um aberto conexo U R 2, tais que E, F, EG F 2 0. Se E,F,G,e,f,g satisfazem as Equações de Compatibilidade, então: i. Existe uma superfície parametrizada regular S :U R 2 R 3 tal que E, F,G são os coeficientes da primeira forma quadrática de S e e,f,g são os da segunda forma quadrática; ii. Se S e Ś são duas superfícies satisfazendo i. então existe um movimento rígido M de R 3, isto é, uma isometria de R 3, tal que Ś=M S. O primeiro ponto, demonstrável com a utilização de Equações Diferencias Parciais, mostra a existência da superfície dados os seus coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas. O segundo, analogamente às curvas, mostra que duas superfícies com os mesmos coeficientes são como as curvas congruentes Teorema de Gauss-Bonnet Sejam S :U R 2 R 3 uma superfície regular e α :[0.l] S(U ) uma curva parametrizada. Dizemos que α é uma curva simples, fechada e regular por partes quando: i. α (0)=α (l ) ; ii. Se t 1, t 2 [0, l ],t 1 t 2, então α (t 1 ) α (t 2 ) ; iii. Existe uma partição 0=t 0 <t 1 < <t k <t k+1 =l de [0, l ] tal que α é regular em cada (t i,t i+1 ),i=0,1,,k. Este último teorema descreve a existência de uma superfície nas condições propostas. PUBLICAÇÕES Não foram originadas publicações a partir deste projeto. CONCLUSÃO O Projeto de Iniciação Científica, por tudo o que foi apresentado neste relatório, foi bem executado. Cumprindo os objetivos estabelecidos, de acordo com o cronograma, com uma exceção. Este projeto, assim, foi capaz de gerar aprendizado significativo dos tópicos propostos sobre Geometria Diferencial.

20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] J. R. V. Coimbra, Uma Introdução à Geometria Diferencial, dissertação de mestrado do IMECC-UNICAMP (2008). DIFICULDADES A exceção na execução completa do cronograma ficou por conta da não apresentação de um minicurso no Campus do Baixo-Tocantins, planejado para cumprir a exigência de apresentação dos resultados à comunidade acadêmica, no lugar de um seminário. Esta atividade foi impossibilitada em decorrência da greve dos servidores, a qual não permitiu a sua regularização na Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia, responsável por este tipo de atividade, na área das Exatas, no campus. PARECER DO ORIENTADOR O aluno realizou as atividades de iniciação científica corretamente. DATA: 10/08/2015 ASSINATURA DO ORIENTADOR ASSINATURA DO ALUNO

CURVAS REGULARES E EQUAÇÕES DE FRENET. Thiago Mariano Viana ¹, Dr. Fernando Pereira Souza ²

CURVAS REGULARES E EQUAÇÕES DE FRENET. Thiago Mariano Viana ¹, Dr. Fernando Pereira Souza ² 1 CURVAS REGULARES E EQUAÇÕES DE FRENET Thiago Mariano Viana ¹, Dr. Fernando Pereira Souza ² ¹ Aluno do curso de Matemática CPTL/UFMS, bolsista do grupo PET Matemática CPTL/UFMS; ² Professor do curso de

Leia mais

VARIEDADES COMPACTAS COM CURVATURA POSITIVA

VARIEDADES COMPACTAS COM CURVATURA POSITIVA VARIEDADES COMPACTAS COM CURVATURA POSITIVA Janaína da Silva Arruda 1, Rafael Jorge Pontes Diógenes 2 Resumo: O presente trabalho descreve o estudo das superfícies compactas com curvatura positiva. Um

Leia mais

Geometria Intrínseca das Superfícies

Geometria Intrínseca das Superfícies Geometria Intrínseca das Superfícies Paula Gonçalves Correia Romildo da Silva Pina Goiânia 15 de Junho de 2011 Resumo Neste trabalho foi realizado um estudo sobre superfícies regulares, geometria intrínseca

Leia mais

MAT Geometria Diferencial 1 - Lista 2

MAT Geometria Diferencial 1 - Lista 2 MAT036 - Geometria Diferencial 1 - Lista Monitor: Ivo Terek Couto 19 de outubro de 016 1 Superfícies - parte ; Exercício 1. Mostre que, em um ponto hiperbólico, as direções principais bissectam as direções

Leia mais

7. O Teorema Egregium de Gauss

7. O Teorema Egregium de Gauss 138 SUPERFÍCIES EM R3 7. O Teorema Egregium de Gauss Estamos agora em condições de provar um dos teoremas mais importantes do século XIX. Os matemáticos no final do século XVIII, como Euler e Monge, já

Leia mais

2 Propriedades geométricas de curvas parametrizadas no R 4

2 Propriedades geométricas de curvas parametrizadas no R 4 2 Propriedades geométricas de curvas parametrizadas no R 4 Nesse capítulo trataremos dos conceitos básicos de geometria diferencial referentes à curvas parametrizadas no R 4. 2.1 Curvas Parametrizadas

Leia mais

APLICAÇÕES DAS FÓRMULAS DE FRENET EM CURVAS PLANAS E ESFÉRICAS

APLICAÇÕES DAS FÓRMULAS DE FRENET EM CURVAS PLANAS E ESFÉRICAS APLICAÇÕES DAS FÓRMULAS DE FRENET EM CURVAS PLANAS E ESFÉRICAS Adailson Ribeiro da Silva; Carlos Rhamon Batista Morais; Alecio Soares Silva; José Elias da Silva Universidade Estadual da Paraíba; adailsonribeiro1@gmail.com;

Leia mais

SUPERFÍCIES MÍNIMAS E A REPRESENTAÇÃO DE WEIERSTRASS

SUPERFÍCIES MÍNIMAS E A REPRESENTAÇÃO DE WEIERSTRASS SUPERFÍCIES MÍNIMAS E A REPRESENTAÇÃO DE WEIERSTRASS Paulo Ricardo Goncalves Pereira 1, Rafael Jorge Pontes Diógenes 2 RESUMO O presente trabalho trata de conceitos referentes a geometria diferencial e

Leia mais

Processamento de Malhas Poligonais

Processamento de Malhas Poligonais Processamento de Malhas Poligonais Tópicos Avançados em Computação Visual e Interfaces I Prof.: Marcos Lage www.ic.uff.br/~mlage mlage@ic.uff.br Conteúdo: Notas de Aula Curvas 06/09/2015 Processamento

Leia mais

Aula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria

Aula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria Aula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria A C Tort 1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro 18 de Maio de 2010 Tort (IF

Leia mais

Notas de Aula. Geometria Diferencial

Notas de Aula. Geometria Diferencial Notas de Aula Geometria Diferencial Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Geometria Diferencial

Leia mais

Variedades Riemannianas Bidimensionais Carlos Eduardo Rosado de Barros, Romildo da Silva Pina Instituto de Matemática e Estatística, Universidade

Variedades Riemannianas Bidimensionais Carlos Eduardo Rosado de Barros, Romildo da Silva Pina Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Variedades Riemannianas Bidimensionais Carlos Eduardo Rosado de Barros, Romildo da Silva Pina Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás, Campus II- Caixa Postal 131, CEP 74001-970

Leia mais

Nome:... Q N Assinatura:... 1 RG:... 2 N o USP:... 3 Turma: Teórica... 4 Professor: Edson Vargas... Total

Nome:... Q N Assinatura:... 1 RG:... 2 N o USP:... 3 Turma: Teórica... 4 Professor: Edson Vargas... Total 1 a Prova de MAT036 - Geometria Diferencial I IME - 9/09/016 Nome:................................................... Q N Assinatura:............................................... 1 RG:......................................................

Leia mais

MAT0326 Geometria Diferencial I

MAT0326 Geometria Diferencial I MAT036 Geometria Diferencial I Segunda Prova 06/11/01 Soluções Questão 1 Valor: 3.0 pontos. Considere a superfície S, de Enneper, parametrizada por Xu, v = u u3 3 + uv, v v3 3 + u v, u v. a. Determine

Leia mais

Vetor Tangente, Normal e Binormal. T(t) = r (t)

Vetor Tangente, Normal e Binormal. T(t) = r (t) CVE 0003 - - CÁLCULO VETORIAL - - 2011/2 Vetor Tangente, Normal e Binormal Lembre-se que se C é uma curva suave dada pela função vetorial r(t), então r (t) é contínua e r (t) 0. Além disso, o vetor r (t)

Leia mais

LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007

LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007 LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007 RICARDO SA EARP Vamos tratar a Geometria Diferencial das curvas e superfícies de R 3. Vamos aplicar as equações de compatibilidade; equação de curvatura de Gauss e

Leia mais

LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2008

LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2008 LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2008 RICARDO SA EARP (1) Considere a esfera unitária S 2 = {x 2 + y 2 + z 2 = 1} em R 3. (a) Mostre que a projeção estereográfica usual do pólo norte é dada por Π N (x,

Leia mais

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos. t (e t cos t, e t sin t).

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos. t (e t cos t, e t sin t). Ano lectivo 004/05 Exame de Geometria Diferencial 6/7/05 Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Duração: h30m Soluções 1. Considere a espiral logaritmica γ : R +

Leia mais

3 Superfícies Spacelike em IR 2,1

3 Superfícies Spacelike em IR 2,1 Superfícies Spacelike em IR,. Fórmula de Representação para Spacelike no espaço de Lorentz.. O espaço de Minkowski Seja IR, = IR, ḡ o espaço de Minkowski de dimensão com a métrica de Lorentz ḡ =(dx ) +(dx

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC: CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR,

Leia mais

MAT Geometria Diferencial 1 - Lista 1

MAT Geometria Diferencial 1 - Lista 1 MAT0326 - Geometria Diferencial - Lista Monitor: Ivo Terek Couto 9 de outubro de 206 Observação. Assuma que todas as curvas e superfícies são diferenciáveis. Aquecimento Exercício. Seja α : I R R 3 uma

Leia mais

CURVATURA DE CURVAS PLANAS

CURVATURA DE CURVAS PLANAS CURVATURA DE CURVAS PLANAS PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (1) A tractrix. Vamos continuar com o traçado das curvas planas, agora incluindo o estudo da curvatura ao roteiro sugerido no exercício 1 da lista sobre

Leia mais

O Triedro de Frenet. MAT Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk

O Triedro de Frenet. MAT Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk O Triedro de Frenet MAT 2454 - Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk Seja γ : I IR 3 uma curva de classe C 3 definida num intervalo I IR. Assuma que γ é regular, ou seja, γ (t) 0 para todo

Leia mais

Singularidades Estáveis de Curvas e Superfícies

Singularidades Estáveis de Curvas e Superfícies Singularidades Estáveis de Curvas e Superfícies Aluno: Igor Albuquerque Araujo Orientador: Marcos Craizer Introdução Em matemática, a teoria das singularidades estuda e classifica os germes de aplicações

Leia mais

Lista de Exercícios 1

Lista de Exercícios 1 UFS - PROMAT Disciplina: Geometria Diferencial Professor: Almir Rogério Silva Santos Lista de Exercícios. Seja α : I R 3 uma curva regular. (a) Mostre que α é uma reta se α (t) e α (t) são linearmente

Leia mais

Programa da Disciplina

Programa da Disciplina INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA Ministério da Educação Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba - Campus Cajazeiras Diretoria de Ensino / Coord. do Curso

Leia mais

Evolutas e Involutas: Planas e Espaciais

Evolutas e Involutas: Planas e Espaciais Evolutas e Involutas: Planas e Espaciais Aluno: Igor Albuquerque Araujo Orientador: Marcos Craizer Introdução Foi feito um estudo de conjuntos focais de superfícies. Foram utilizados os softwares Maple

Leia mais

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Ano lectivo 006/07 Exame de Geometria Diferencial 5/7/07 Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Duração: h30m Soluções 1. Determine: a) Uma parametrização da curva

Leia mais

Aplicação Normal de Gauss em Superfícies Regulares: parabolóides osculadores

Aplicação Normal de Gauss em Superfícies Regulares: parabolóides osculadores Aplicação Normal de Gauss em Superfícies Regulares: parolóides osculadores Thiago Rodrigues da Silva Edson Agustini Faculdade de Matemática - Famat Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG Abril de

Leia mais

LISTA 5 DE GEOMETRIA RIEMANNIANA 2007

LISTA 5 DE GEOMETRIA RIEMANNIANA 2007 LISTA 5 DE GEOMETRIA RIEMANNIANA 2007 RICARDO SA EARP (1) Considere S 3 = {(z 1, z 2 ) C 2 ; z 1 2 + z 2 2 = 1}. seja q um inteiro q > 1. Seja Γ = {1, e 2π1/q,..., e 2π(q 1)/q }, o grupo finito agindo

Leia mais

Geometria Diferencial

Geometria Diferencial Geometria Diferencial Curvas no plano e no espaço - Segundo semestre de 2007 Versão 14 compilada com o pdflatex no dia 2 de Agosto de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br

Leia mais

5. Teorema fundamental das curvas

5. Teorema fundamental das curvas 48 CURVAS EM R 3 5. Teorema fundamental das curvas Nesta secção provaremos a versão geral do Teorema Fundamental das Curvas, que mostra que uma curva parametrizada por comprimento de arco fica essencialmente

Leia mais

Mini Curso. Teoria Local das Curvas Planas

Mini Curso. Teoria Local das Curvas Planas Goiânia, 07 a 10 de outubro Mini Curso Teoria Local das Curvas Planas Profa. Dra. Luciana Maria Dias de Ávila Rodrigues - UnB . Estas notas são dedicadas a todos aqueles (alunos, docentes, técnicos...)

Leia mais

2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim

2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim 2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim Antes de iniciarmos o estudo das desigualdades isoperimétricas para curvas convexas, vamos rever alguns conceitos e resultados da Geometria Diferencial

Leia mais

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Ano lectivo 006/07 Exame de Geometria Diferencial 0/7/07 Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Duração: h30m Soluções 1. Em cada uma das alíneas seguintes indique

Leia mais

Mecânica 1. Guia de Estudos P2

Mecânica 1. Guia de Estudos P2 Mecânica 1 Guia de Estudos P2 Conceitos 1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos 1. Cinemática do Ponto Material a. Curvas Definição algébrica: A curva parametriza uma função de duas ou

Leia mais

SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO

SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (1) Superfícies regradas. Seja I um intervalo aberto da reta. Uma superfície imersa regrada S em R 3 é a imagem de uma imersão

Leia mais

Geometria Diferencial II 2 0 Lista de Exerccios (2 0 semestre 2017)

Geometria Diferencial II 2 0 Lista de Exerccios (2 0 semestre 2017) Prof. Marcos Alexandrino Monitor: Pablo Diaz Geometria Diferencial II 2 0 Lista de Exerccios (2 0 semestre 2017) 1. Geodesicas, parte I Ao longo desta sec~ao (M; g) denotara variedade Riemanniana com metrica

Leia mais

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 2. Terceiro Ano - Médio

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 2. Terceiro Ano - Médio Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 2 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta segunda parte, veremos

Leia mais

Minicurso: Algumas generalizaçoes do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é π - (Versão preliminar e incompleta)

Minicurso: Algumas generalizaçoes do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é π - (Versão preliminar e incompleta) Minicurso: Algumas generalizaçoes do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é π - (Versão preliminar e incompleta) Ryuichi Fukuoka: DMA-UEM 18 de outubro de 2006 1 Introdução Comecemos

Leia mais

Marcelo M. Santos DM-IMECC-UNICAMP msantos/

Marcelo M. Santos DM-IMECC-UNICAMP  msantos/ Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência 0 anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Identificação de Cônicas

Leia mais

FÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS)

FÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS) FÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS) Apostila preparada para as disciplinas de Física- Matemática ministradas para os Cursos de Bacharelado em Física do Instituto de Física da Universidade

Leia mais

Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização

Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Produto Escalar: Sejam u = (u 1,..., u n ) e v = (v 1,..., v n ) dois vetores no R n. O produto escalar, ou produto interno euclidiano, entre esses vetores é

Leia mais

MAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN

MAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN MAT1153 / 2008.1 LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN OBS: Faça os exercícios sobre campos conservativos em primeiro lugar. (1 Fazer exercícios 1:(c,

Leia mais

O Plano no Espaço. Sumário

O Plano no Espaço. Sumário 17 Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Equações paramétricas do plano no espaço..... 2 17.3 Equação cartesiana do plano............. 15 17.4 Exercícios........................ 21 1 Unidade

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

Teoria Local das Curvas

Teoria Local das Curvas Teoria Local das Curvas Márcio Nascimento da Silva Departamento de Matemática Universidade Estadual Vale do Acaraú de setembro de 007 mharcius@gmail.com pré-prints do Curso de Matemática de Sobral no.

Leia mais

RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO

RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC : CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR,

Leia mais

CURVAS PLANAS. A orientação de uma curva parametrizada é a direção definida pelos valores crescentes de t.

CURVAS PLANAS. A orientação de uma curva parametrizada é a direção definida pelos valores crescentes de t. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA DISCIPLINA: TÓPICOS EM MATEMÁTICA APLICADOS À EXPRESSÃO GRÁFICA II PROFESSORA: BÁRBARA DE

Leia mais

Lista 3 - FIS Relatividade Geral Curvatura, campos de Killing, fluidos, eletromagnetismo.

Lista 3 - FIS Relatividade Geral Curvatura, campos de Killing, fluidos, eletromagnetismo. Lista 3 - FIS 404 - Relatividade Geral Curvatura, campos de Killing, fluidos, eletromagnetismo. 2 quadrimestre de 2017 - Professor Maurício Richartz Leitura sugerida: Carroll (seções 3.1-3.4,3.6-3.8),

Leia mais

. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,

. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2, INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança

Leia mais

GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS E SUAS MÉTRICAS

GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS E SUAS MÉTRICAS GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS E SUAS MÉTRICAS Fernando da Costa Gomes (bolsista do PIBIC/UFPI), Newton Luís Santos (Orientador, Depto. de Matemática UFPI) RESUMO Neste trabalho, exibimos os modelos clássicos,

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula 4 82

Geometria Analítica II - Aula 4 82 Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio

Leia mais

Apontamentos de GEOMETRIA DIFERENCIAL. Jorge Picado

Apontamentos de GEOMETRIA DIFERENCIAL. Jorge Picado Apontamentos de GEOMETRIA DIFERENCIAL Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 2003 Os apontamentos que se seguem contêm as notas das aulas da disciplina de Geometria Diferencial.

Leia mais

Sistema de Coordenadas Intrínsecas

Sistema de Coordenadas Intrínsecas Sistema de Coordenadas Intrínsecas Emílio G. F. Mercuri a a Professor do Departamento de Engenharia Ambiental, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Paraná Resumo Depois da introdução a cinemática

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u

Leia mais

Equação Geral do Segundo Grau em R 2

Equação Geral do Segundo Grau em R 2 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................

Leia mais

Geometria Diferencial

Geometria Diferencial Geometria Diferencial Exercícios sobre curvas planas e espaciais - 2007 Versão compilada no dia 20 de Setembro de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br Matemática

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II

Lista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II Lista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II 10 de Setembro de 2003 Questão 1 Determine as representações explícitas em coordenadas polares das seguintes curvas: a) O círculo de raio a centrado em (a,

Leia mais

MAT0326 Geometria Diferencial I

MAT0326 Geometria Diferencial I MAT6 Geometria Diferencial I Primeira Prova /9/ Soluções Questão Valor:. =.5 +.5 pontos). a. Mostre que cos arctanx) ) =. + x b. Determine uma curva plana α : R R, parametrizada por comprimento de arco,

Leia mais

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas)

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas) Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 0141 Cronograma para P: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 10 4 de março (segunda) Aula 11 6 de março (quarta) Referências: Cálculo Vol James Stewart Seções

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática Capítulo 2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves de Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula

Leia mais

Uma breve história da Geometria Diferencial (até meados do s

Uma breve história da Geometria Diferencial (até meados do s Uma breve história da Geometria Diferencial (até meados do século XIX) 29 de novembro de 2006 Os postulados de Euclides ( 300 a.c.) Os postulados de Euclides ( 300 a.c.) 1- Dois pontos distintos determinam

Leia mais

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma

Leia mais

Aula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente.

Aula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente. Aula 15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Seja f(x, y) uma função de variáveis. Iremos usar a notação D u f(x 0, y 0 ) para: Derivada direcional de f no ponto (x 0, y 0 ), na direção do vetor unitário

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA SUPERFÍCIES REGULARES E O TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS ADAILSON RIBEIRO DA SILVA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA SUPERFÍCIES REGULARES E O TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS ADAILSON RIBEIRO DA SILVA UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SUPERFÍCIES REGULARES E O TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS ADAILSON RIBEIRO DA SILVA

Leia mais

Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais:

Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais: Funções vetoriais I) Funções vetoriais a valores reais: f: I R t f( n R (f 1 (,f (,...,f n () I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis

Leia mais

Translação e Rotação Energia cinética de rotação Momentum de Inércia Torque. Física Geral I ( ) - Capítulo 07. I. Paulino*

Translação e Rotação Energia cinética de rotação Momentum de Inércia Torque. Física Geral I ( ) - Capítulo 07. I. Paulino* ROTAÇÃO Física Geral I (1108030) - Capítulo 07 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2012.2 1 / 25 Translação e Rotação Sumário Definições, variáveis da rotação e notação vetorial Rotação com aceleração angular

Leia mais

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem: Definição 36. Um sistema da linear da forma x

Leia mais

CAPÍTULO 11 ROTAÇÕES E MOMENTO ANGULAR

CAPÍTULO 11 ROTAÇÕES E MOMENTO ANGULAR O que vamos estudar? CAPÍTULO 11 ROTAÇÕES E MOMENTO ANGULAR Seção 11.1 Cinemática do corpo rígido Seção 11.2 Representação vetorial das rotações Seção 11.3 Torque Seção 11.4 Momento angular Seção 11.5

Leia mais

PERFIL DO ALUNO APRENDIZAGENS ESPECÍFICAS - 5.ºANO

PERFIL DO ALUNO APRENDIZAGENS ESPECÍFICAS - 5.ºANO EB 2.3 DE SÃO JOÃO DO ESTORIL MATEMÁTICA PERFIL DO ALUNO PERFIL DO ALUNO APRENDIZAGENS ESPECÍFICAS - 5.ºANO TEMAS/DOMÍNIOS NUMEROS E OPERAÇÕES NO5 Números racionais não negativos 1. Efetuar operações com

Leia mais

P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L

P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS ÁREA DISCIPLINAR: 500 - MATEMÁTICA DISCIPLINA: MATEMÁTICA A NÍVEL DE ENSINO: Secundário CURSO: Ciências e Tecnologias

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras

Leia mais

GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3

GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET COLEGIADO DE MATEMÁTICA Monografia de Graduação - Bacharelado em Matemática GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais

Álgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais Álgebra Linear I - Aula 19 1. Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais 2 2. 3. Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais

Uma introdução histórica 1

Uma introdução histórica 1 A U L A Uma introdução histórica Meta da aula Apresentar alguns problemas clássicos que motivaram as estruturas algébricas modernas que formam o conteúdo do curso de Álgebra II. objetivos Ao final desta

Leia mais

Capítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio

Leia mais

CAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial

CAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial CAPíTULO 1 Vetores e tensores 1.1. Notação indicial A notação indicial é uma simplificação da notação de uma somatória. Por exemplo, seja a somatória de 3 monômios a i b i (a i multiplicado por b i ) com

Leia mais

Produto interno e produto vetorial no espaço

Produto interno e produto vetorial no espaço 14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a Lista de exercícios MAT 41 - Cálculo III - 01/II Coordenadas no espaço 1. Determinar o lugar geométrico

Leia mais

PROGRAMA DE APRENDIZAGEM

PROGRAMA DE APRENDIZAGEM CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA 1º PERÍODO: DISCIPLINA: Metodologia Científica H111900 04 1 80 EMENTA Finalidade da metodologia científica. Importância da metodologia no âmbito das ciências. Metodologia

Leia mais

PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP

PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TRABALHO, CAMPOS CONSERVATIVOS, TEOREMA DE GREEN, FLUXO DE UM CAMPO AO LONGO DE UMA CURVA, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL DE UM CAMPO NO PLANO, FUNÇÕES HARMÔNICAS PROFESSOR: RICARDO

Leia mais

Definição. Geometria plana

Definição. Geometria plana Geometria analítica Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras. O historiador grego Heródoto

Leia mais

Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.

Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva. Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante

Leia mais

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO

14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO 1 LIVRO Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 14 AULA META Definir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis reais e interpretá-lo geometricamente. Além disso, estudaremos a derivada direcional

Leia mais

Devlin e os problemas do milênio

Devlin e os problemas do milênio Seminários de Ensino de Matemática (SEMA FEUSP) Coordenação: Nílson José Machado - 2012/1 Marisa Ortegoza da Cunha marisa.ortegoza@gmail.com Devlin e os problemas do milênio 8 de agosto de 1900 Congresso

Leia mais

INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA

INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA Victor O. Rivelles Aula 2 Instituto de Física da Universidade de São Paulo e-mail: rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/~rivelles Escola Norte-Nordeste

Leia mais

1 Cônicas Não Degeneradas

1 Cônicas Não Degeneradas Seções Cônicas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de dezembro de 2001 Estudaremos as (seções) cônicas,

Leia mais

A Geometria Euclidiana

A Geometria Euclidiana A Geometria Euclidiana Euclides foi um dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Não se sabe com certeza a data do seu nascimento, talvez tenha sido por volta do ano 35 antes de Cristo. Sabe-se que

Leia mais

Capítulo Propriedades das operações com vetores

Capítulo Propriedades das operações com vetores Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:

Leia mais

3 A estrutura simplética do fluxo geodésico

3 A estrutura simplética do fluxo geodésico 3 A estrutura simplética do fluxo geodésico A partir do ponto de vista da mecânica classica, a geodésica é uma solução da equação de Euler-Lagrange considerando-se o lagrangeano L(x v) = 1 v 2 x O objetivo

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 11 1 Produto Interno 2 Módulo de um Vetor 3 Ângulo Entre Dois Vetores - Vetores

Leia mais

Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I

Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT01168 - Turma A - 019/1 Prova da área I 1-6 7 8 Total Nome: Ponto extra: ( )Wikipédia ( )Apresentação ( )Nenhum Tópico: Cartão:

Leia mais