UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC: CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR, PARD, PIAD, PIBIT, PADRC E FAPESPA RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO Período: Setembro/2014 a Agosto/2015 ( ) PARCIAL (X) FINAL IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO Título do Projeto de Pesquisa: Gravidade e Cosmologia Modificadas Nome do Orientador: Manuel Eleutério Rodrigues Titulação do Orientador: Doutor Faculdade: Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia (FACET) Instituto/Núcleo: Universidade Federal do Pará (UFPA) /Campus de Abaetetuba Laboratório: Título do Plano de Trabalho: Introdução à Geometria Diferencial Clássica Nome do Bolsista: Luciano José Barbosa Quaresma Tipo de Bolsa: ( ) PIBIC/ CNPq ( ) PIBIC/CNPq AF ( ) PIBIC /CNPq- Cota do pesquisador ( ) PIBIC/UFPA ( ) PIBIC/UFPA AF ( ) PIBIC/ INTERIOR ( ) PIBIC/PARD (X) PIBIC/PADRC ( ) PIBIC/FAPESPA ( ) PIBIC/ PIAD ( ) PIBIC/PIBIT

2 INTRODUÇÃO A Geometria Diferencial é uma importante base para o estudo da Gravitação e da Cosmologia. Desta forma, entender alguns conceitos, tais como curvas e superfícies parametrizadas no plano e no espaço, reparametrização, curvatura e torção, é essencial nesta área da física. Além disso, também é importante realizar o estudo das Equações de Frenet, dos Teoremas Fundamentais das Curvas no plano e no espaço, da Primeira e da Segunda Forma Quadrática das Superfícies, das Geodésicas, dos principais teoremas sobre superfícies, entre outros. Também se faz importante o estudo da história da geometria, visto que também é importante conhecer os principais nomes nesta área e os problemas que tiveram que enfrentar em suas pesquisas. JUSTIFICATIVA Com o foco em estudos sobre Gravitação e Cosmologia, é importante, como ponto de partida, compreender a Geometria Diferencial chamada clássica. Então, através do projeto proposto, estão sendo estudados os conceitos desta área, visando um bom embasamento para estudos posteriores. OBJETIVOS Fazer uma abordagem histórica da Geometria Diferencial. Introduzir conceitos de curvas no espaço e superfícies, parametrização e reparametrização de curvas e superfícies, vetores tangentes e normais às curvas e planos relevantes às superfícies. Introduzir conceitos de curvatura e torção de curvas no espaço. Definir o Teorema Fundamental das Curvas Espaciais. Introduzir o estudo das superfícies através das definições de parametrização de superfícies, primeira e segunda formas quadráticas, curvaturas normal, geodésica e gaussiana. Definir os principais teoremas sobre superfícies. MATERIAIS E MÉTODOS Este projeto de iniciação científica consiste no estudo exploratório da Geometria Diferencial Clássica. Para tanto, o material principal neste estudo é a dissertação de mestrado defendida por José de Ribamar Viana Coimbra [1]. Esta dissertação aborda os tópicos básicos para a compreensão da Geometria Diferencial e é, portanto, um bom material introdutório ao assunto. Esta escolha metodológica manteve-se de acordo com o plano de trabalho que fundamenta este projeto. RESULTADOS Objetivando o estudo da Geometria Diferencial, os resultados do projeto são, portanto, os conhecimentos adquiridos. Assim, os principais pontos são os aspectos históricos do desenvolvimento da Geometria, o estudo das Curvas, tanto no plano quanto no espaço, e o estudo das Superfícies. Estes tópicos estão de acordo com os objetivos do presente projeto, bem como com as informações contidas em [1] e são mostrados, em síntese, a seguir. 1) História da Geometria Diferencial

3 A palavra Geometria, do Grego, significa medir a terra. Isto nos indica o motivo de sua criação, provavelmente a demarcação de terras para a agricultura. As origens da Geometria como área de estudo convergem para o Egito Antigo e a Babilônia, entretanto estudos similares são encontrados entre os hindus e os chineses antigos, apesar destes a utilizarem como um conjunto de regras empíricas. Seguindo a proposta de [1], a história da Geometria Diferencial será descrita através dos trabalhos mais pertinentes dos principais pensadores que contribuíram com o seu desenvolvimento, desde a antiguidade até os tempos mais recentes, com a utilização de uma breve linha do tempo. 1.1) Euclides de Alexandria (325 a.c. 265 a.c.), Arquimedes de Siracusa (287 a.c. 212 a.c.) e Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.). Considerados três dos maiores matemáticos da Antiguidade, Euclides de Alexandria, Arquimedes de Siracusa e Apolônio de Perga marcaram o estudo da geometria em seus estágios iniciais. O esforço de Euclides em compilar o máximo de conhecimento sobre a Geometria resultou na segunda obra mais editada do mundo, atrás apenas da Bíblia, intitulada Os Elementos. Além disso, em sua obra, ele introduziu o método lógico-dedutivo na elaboração de teorias, presente até hoje no estudo da Matemática. A partir de 10 axiomas, Euclides deduziu 465 proposições, as quais contribuíram bastante para o desenvolvimento de diversas áreas na matemática e servem como base, ainda hoje, para livros didáticos sobre o assunto. Em seus estudos, bem como nos de Arquimedes e Apolônio, estão presentes as curvas notáveis. Estas foram pontos de partida para, muito após a era destes pensadores, o Cálculo Diferencial e Integral ser desenvolvido e aplicado à Geometria, originando o que conhecemos como Geometria Diferencial. 1.2) Pierre Fermat ( ) e René Descartes ( ) Fermat e Descartes foram dois franceses responsáveis pelo desenvolvimento da Geometria Analítica, isto é, o estudo da Geometria através do sistema de eixos ligando-a diretamente à Álgebra. 1.3) Gottfried Leibniz ( ) e Isaac Newton ( ) O alemão Leibniz e o inglês Newton desenvolveram, independentemente, os princípios do Cálculo Infinitesimal, possibilitando uma nova abordagem para o estudo da Geometria. 1.4) Christian Huygens ( ), Aléxis Clairaut ( ) e Gaspard Monge ( ) O holandês Huygens publicou um trabalho sobre curvas planas, criando os conceitos de evoluta e involuta de uma curva. O francês Clairaut estudou curvas no espaço tridimensional, mas ateve-se às suas propriedades de primeira ordem e suas retas tangentes. Monge, outro francês, discutiu sobre curvatura e torção das curvas espaciais.

4 1.5) Leonhard Euler( ), Louis Cauchy ( ) e Jean Meusnier ( ) Euler, um suíço, dedicou-se a estudar sobre a isometria de superfícies, mais especificamente às condições necessárias para se desenvolver uma superfície isometricamente. O francês Cauchy introduziu novos métodos ao estudo da Geometria, sistematizou e esclareceu diversos cálculos já utilizados até então e refinou os trabalhos de Monge sobre curvatura e torção, chegando às fórmulas atualmente conhecidas como as Equações de Frenet-Serret, de suma importância para a Geometria Diferencial. Meusnier, mais um francês, publicou um importante teorema relacionando duas curvas com mesmas tangentes em um ponto arbitrário. 1.6) Carl Gauss ( ) e Bernhard Riemann ( ) Ambos alemães, Gauss e Riemann são considerados os criadores da Geometria Diferencial Moderna e sua generalização, a Geometria Riemanniana. Gauss, em seus trabalhos, apresentou o Teorema Egregium, um importante teorema da Geometria Diferencial, utilizado por Riemann em seus próprios trabalhos. Os conceitos fundamentais da Geometria Moderna devem-se a estes dois pensadores, tais como: curvatura gaussiana, métrica, geodésicas, curvatura seccional, entre outros. Vale ressaltar que o trabalho deles abriu as portas para o estudo de superfícies abstratas e de suas geometrias intrínsecas. 1.7) Eugênio Beltrami ( ), Félix Klein ( ) e Henry Poincaré ( ) O italiano Beltrami publicou um trabalho, com base nos estudos de Riemann, sobre espações n-dimensionais e deu os primeiros passos para fora da geometria euclidiana. O alemão Klein foi o responsável pelo Programa Eranger, uma conferência dada por ele na Universidade de Eranger que influenciou o desenvolvimento da Geometria por todo o século XX. Klein declarou que cada geometria consistia no estudo dos invariantes de um particular grupo de transformações. Além disso, ele, bem como o francês Poincaré, desenvolveram diversos modelos com geometrias não euclidianas, utilizando curvaturas gaussianas constantes, superfícies abstratas e métricas diferentes da euclidiana. 1.8) Pierre Bonnet ( ), Elwin Christoffel ( ) e Rudolf Lipschitz ( ) Pierre Bonnet, um francês, pesquisou sobre geodésicas em superfícies e introduziu o conceito de curvatura geodésica, além de ser o autor de um dos teoremas mais importantes da Geometria Diferencial, o Teorema de Gauss-Bonnet. Por outro lado, Christoffel e Lipschitz, ambos alemães, publicaram expressões analíticas para o cálculo da Curvatura Seccional de Riemann, com o uso dos atualmente chamados de Símbolos de Christoffel. 1.9) Gregorio Ricci-Curbastro ( ) e Tulio Levi-Civita ( )

5 Ricci-Curbastro e seu aluno Levi-Civita, italianos, contribuíram com a Geometria através da criação da noção de derivação covariante e de transporte paralelo, os quais fundamentam cursos de Geometria Diferencial no estudo de geodésicas. 1.10) Ernst Minding ( ), Jean Frenet ( ) e Joseph Serret ( ) O polonês Ernst Minding publicou um teorema afirmando que duas superfícies de mesma curvatura gaussiana constante são localmente isométricas, o que é uma recíproca do Teorema Egregium de Gauss para curvatura constante. Os Franceses Frenet e Serret publicaram 6 e 9 formulas, respectivamente, à respeito de curvas espaciais, as quais, em conjunto, são conhecidas como Fórmulas de Frenet-Serret, bastante importantes para o estudo deste tipo de curva. 1.11) Benjamin Olinde Rodrigues ( ) e Joseph Liouville ( ) O francês Olinde Rodrigues, um dos alunos de Monge, desenvolveu uma equação diferencial que relaciona a curvatura normal e linhas de curvatura. Já Liouville, também francês, fez importantes estudos sobre a curvatura geodésica de curvas sobre superfícies regulares e sobre transformações espaciais. 1.12) Hermann Minkowski ( ) e Jacques Hadamard ( ) Hermann Minkowski, da Lituânia, desenvolveu importantes fórmulas para a Geometria Diferencial, as Fórmulas Integrais de Minkowski e fez importantes contribuições à Teoria dos Números através do uso de métodos geométricos. O francês Hadamard foi capaz de provar dois teoremas de grande relevância à Geometria Diferencial envolvendo difeomorfismo entre superfícies regulares completas. 1.13) David Hilbert ( ) Foi um dos grandes responsáveis pela forma atual tanto da Geometria Diferencial quanto da Geometria Riemanniana. O alemão David Hilbert, além de organizar a geometria de forma lógica, também, dentre outras contribuições, forneceu uma demonstração do Teorema da Rigidez da Esfera, bem como provou a impossibilidade de um modelo bidimensional completo imerso em três dimensões com métrica euclidiana para a geometria hiperbólica. 2) Curvas no Plano Curvas no Plano, ou simplesmente curvas planas, são aquelas contidas em um plano. Por conta disso, podem ser tratadas tanto como curvas em duas dimensões, diretamente, como Curvas Espaciais em condições específicas. 2.1) Curvas Parametrizadas As curvas parametrizadas são aplicações

6 R R 2 α :,b t (x(t ), y (t )) Cujo parâmetro é t. Elas são de classe C 0 se x e y forem funções contínuas. São de classe C k, se x e y possuírem derivadas de ordem k e estas forem contínuas. Ou ainda, são de classe C, se possuírem derivadas de qualquer ordem. Outra característica importante é a regularidade. Uma curva é regular se α ' (t 0 ) (0,0), o que garante a existência da reta tangente em todos os pontos da curva. 2.2) Mudança de Parâmetros e Reparametrização de Curvas Seja a curva α (t ) definida como anteriormente. Uma mudança de parâmetros para α é uma aplicação R ]a,b ψ :,d Bijetiva de classe C k, tal que ψ ' (s ) 0, s c,d. Uma reparametrização de α, por sua vez, é a composta ~ α=α ψ=α (ψ (s)) A qual é uma aplicação de em R 2 de mesma classe de α. Quanto à c,d mudança de parâmetros, tendo em vista que a orientação da curva é dada pelo seu vetor tangente, isto é, por α ' (t ), então α e ~ α terão a mesma orientação se ψ ' ( s)> 0 e, logo, terão orientação oposta em caso contrário, já que ~ α ' (s )=α' (ψ (s))ψ ' (s ). Um parâmetro importante no estudo da geometria diferencial é o Comprimento de arco. Assim, considerando a função comprimento de arco R S :a,b t t α ' (u ) du t 0 uma mudança de parâmetros ψ ( s)=s 1 ( s), sendo S 1 a função inversa de S, deixa α e ~ α com a mesma orientação, de modo que ~ α ' (s ) =1, s,d e

7 , s 1 s 0 s 1 α (u) du=s 1 s 0, s 1, s 0, d. Esta reparametrização obtida é a definição de s 0 reparametrização de α pelo comprimento seu de arco. A importância deste parâmetro reside na simplificação matemática que resulta de seu uso, como ocorre no cálculo da curvatura, bem como na interpretação física de alguns fenômenos que envolvem movimento de partículas. 2.3) Curvatura e Equações de Frenet Para o estudo da curvatura e das equações de Frenet, é necessário definir alguns vetores. Entretanto, as curvas no espaço ainda não foram estudadas até o momento, neste projeto. O estudo de curvas no plano, no entanto, que é fundamental para o seu entendimento no espaço, está bem próximo de ser finalizado. Desta forma, os vetores necessários para o estudo no plano são o Vetor Tangente ( T ) e o Vetor Normal ( N ). Assim, considerando α (s ) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, regular e de classe C k, k 3, o vetor tangente é T (s )=α ' ( s)=( x' ( s), y ' (s)) E o vetor normal é N ( s)=( y' (s ), x' (s )) Neste caso são importantes duas observações. O vetor normal é o vetor tangente π girado de no sentido anti-horário e, devido à parametrização da curva, 2 α ' ( s) =1, então T (s ) = N (s) = α ' (s ) =1. Devido a essas observações, podemos concluir que os dois vetores formam uma base ortonormal de R 2, visto que T ( s), N (s ) =0 e os módulos destes vetores são unitários. Desta forma, {T (s),n (s )} α (s ) é o chamado referencial móvel ou referencial de Frenet-Serret, da curva α em s, isto é, é a base ortonormal citada, mas com origem no ponto α (s ) ao longo da curva. Como o {T (s),n (s )} é uma base ortonormal de R 2, qualquer vetor v pode ser expresso como v (s)= v(s ),T (s ) T (s)+ v( s), N (s ) N (s ) Desta forma, se tomarmos a derivada do vetor tangente teremos T ' (s )= T ' ( s),t ( s) T (s )+ T ' (s ), N (s) N (s ) Mas um vetor e sua derivada são ortogonais, logo, o primeiro termo desta expressão é nulo e o número T ' (s), N (s ) é a chamada curvatura ( k ) da curva em s. Assim, temos

8 k (s)= T ' (s ), N (s) E a equação T ' (s )=k (s) N (s ) É a chamada 1ª Equação de Frenet. De uma análise similar para o vetor normal, temos N ' ( s)= k (s) T (s ) A qual é conhecida como a 2ª Equação de Frenet. A curvatura k (s), geometricamente, indica a taxa de variação instantânea da direção do vetor tangente. Isto fica evidente se considerarmos a relação entre a curvatura e o ângulo entre um vetor constante e o vetor tangente à curva. Como apresentado em [1], a curvatura pode ser dada por k (s)=θ ' (s) Onde θ é precisamente o ângulo mencionado acima. Sendo este vetor constante w=(cos (λ ),sen ( λ)), o vetor tangente, isto é, α ' (s) é α ' (s)=(cos (θ (s)+λ), sen (θ (s )+λ )) E a curva pode ser determinada a partir desta Equação Diferencial Ordinária, dados s 0 a,b e λ, x 0, y 0 R quaisquer. Além disso, observando que T ' (s ) e N ( s) são paralelos, a partir da 1ª Equação de Frenet, é perceptível que a curvatura será positiva se estes vetores possuírem mesmo sentido e será negativa em caso contrário. É interessante perceber, também, que curvatura k (s) indica, numericamente, o quanto a curva está afastada de estar contida em uma reta em um dado ponto. O cálculo da curvatura não necessariamente precisa de uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Considerando uma reparametrização pelo comprimento de arco e sabendo que os vetores tangente e normal apenas deixarão de ter comprimento igual a 1, é possível demonstrar que a curvatura vale T ' (t ), N (t ) k (t )= T ' (t ) 3 E, caso a curva esteja parametrizada pelo comprimento de arco, esta expressão, a qual é mais abrangente, resulta exatamente na expressão obtida anteriormente para a curvatura. 2.4) Raio de Curvatura, Círculo Osculador e Evolutas

9 Para uma curva α, regular de classe C k, k 3, o raio de curvatura em s é o número real positivo ρ ( s)= 1. Desta forma, seja a reta normal a α em k (s ) s 0 dada por H s0 (r )=α (s 0 )+rn (s 0 ) O ponto C (s 0 )=H s0 ( ρ (s 0 )) é chamado de centro de curvatura e sua equação é C (s 0 )=α (s 0 )+ 1 k (s 0 ) N (s 0 ) Então, tendo determinado ρ(s 0 ) e C (s 0 ), é possível definir o círculo osculador à curva α em s 0. Ele é um círculo cujo centro é C (s 0 ) e o raio é ρ(s 0 ), ou seja, é um círculo que tangencia a curva em s 0. É interessante observar que o círculo osculador sempre está na região convexa da curva (se tomarmos uma reta tangente à curva, esta é dita convexa se estiver contida em apenas um dos semiplanos delimitados por essa reta). Além disso, o círculo osculador será menor quanto maior for, em módulo, a curvatura. Outra observação importante é o módulo da curvatura do círculo osculador coincide com o módulo da curvatura de α em s 0. Uma evoluta é uma curva composta por todos os centros de curvatura da curva e é dada por α E (s)=α ( s)+ 1 k (s) N (s ) As evolutas são únicas, visto que o centro de curvatura é determinado independentemente da orientação da curva. A evoluta de uma curva regular pode não ser regular, como no caso de um círculo, cuja evoluta é o ponto de seu centro. Além disso, considerando uma curva α, regular de classe C k, k 3, parametrizada pelo comprimento de arco, a evoluta será de classe C k 2, será regular se k ' (s ) 0, s a,b e, se for regular, as retas tangentes à ela serão retas normais à curva α. 2.5) Teorema Fundamental das Curvas no Plano O Teorema Fundamental das Curvas no Plano tem três pontos, a saber R i. Seja uma função de classe k :a,b C k, com k 1. Então existe uma curva regular α de classe C j, com j 3, parametrizada pelo comprimento de arco tal que a função de curvatura de α é k. Este ponto mostra que é possível determinar uma curva a partir de sua função de curvatura. Para tanto, basta lembrar que

10 α ' (s)=(cos (θ (s)+λ), sen (θ (s )+λ )) E que k (s)=θ ' (s) Então, Logo s θ (s)= k (t ) dt s 0 O que permite resolver a EDO encontrando o ângulo θ a partir da curvatura k. ii. Se fixarmos α (s 0 )=P e α ' (s 0 )=v, unitário, então a curva do item i. é única. Este outro ponto versa sobre a unicidade da solução da EDO. Basicamente ele dá as condições iniciais arbitrárias, a partir das quais, de fato, a solução de uma EDO se torna única e não mais uma família de soluções. iii. Se α e β são curvas regulares com mesma curvatura k, então α e β são congruentes. Este último ponto do teorema visa demonstrar que se duas curvas apresentam uma mesma curvatura, uma é o resultado de duas transformações lineares sobre a outra, uma translação por um vetor v e uma rotação por um ângulo θ arbitrários. Em outras palavras, se ambas as curvas tem a mesma curvatura k, então α (s )=(T v R θ β ( s)) Onde T v é a aplicação de uma translação por um vetor v e R θ é a rotação pelo ângulo θ. A função composta desta equação, portanto, representa a congruência entre as curvas. 3) Curvas no Espaço As Curvas no Espaço são, simplificando, como curvas planas em mais dimensões, isto é, com mais graus de liberdade para o seu traço. As suas definições básicas, portanto, são bastante similares às das curvas planas, respeitando essa diferença. 3.1) Curvas Parametrizadas As curvas espaciais parametrizadas são, à semelhança das planas, aplicações do tipo R R 3 α :, b t (x(t ), y (t ),z(t))

11 Cujo parâmetro é t. Elas são de classe C 0 se x, y e z forem funções contínuas. São de classe C k, se x, y e z possuírem derivadas de ordem k e estas forem contínuas. Ou ainda, são de classe C, se as componentes possuírem derivadas de qualquer ordem. Outra característica importante é a regularidade. Uma curva é regular se α ' (t 0 ) (0,0,0). Isto implica na existência de uma reta tangente em todos os seus pontos. 3.2) Mudança de Parâmetros e Reparametrização de Curvas Seja a curva α (t) definida anteriormente. Uma mudança de parâmetros para α é uma aplicação R ]a, b ψ :, d Bijetiva de classe C k, tal que ψ ' (s ) 0, s c,d. Uma reparametrização de α, por sua vez, é, como nas curvas planas, a composta ~ α=α ψ=α (ψ (s)) A qual é uma aplicação de em R 3 de mesma classe de α. O c,d Comprimento de arco, como no plano é definido como segue R S :a,b t t α ' (u ) du t 0 E uma mudança de parâmetros ψ ( s)=s 1 ( s), sendo S 1 a função inversa de S, deixa α e ~ α com a mesma orientação, de modo que, s 1 s 0 ~ α ' (s ) =1, s, d e. Esta reparametrização s 1 α ' (u) du=s 1 s 0, s 1, s 0, d s 0 obtida é a definição de reparametrização de α pelo comprimento seu de arco. A importância deste parâmetro, como no plano, reside na simplificação matemática que resulta de seu uso, como ocorre no cálculo da curvatura e, agora, também na torção, bem como na interpretação física dos fenômenos que envolvem movimento de partículas. 3.3) Curvatura, Torção e Equações de Frenet As Equações de Frenet para curvas no espaço precisam da definição de ambos os vetores apresentados no plano e um a mais. Desta forma, os vetores necessários

12 para o estudo no plano são o Vetor Tangente ( T ) e o Vetor Normal ( N ) e o novo Vetor Binormal (B). Assim, considerando α (s ) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, regular e de classe C k, k 3, o vetor tangente é T (s )= α' ( s) α ' ( s) =α' (s) E o vetor normal é N ( s)= α '' ( s) α '' ( s) Aqui há uma diferença importante quanto ao Vetor Normal, em comparação com as curvas no plano. No plano, este vetor, com mesma direção de α '' ( s), poderia apontar no mesmo sentido ou no oposto deste. Com isso, um sinal negativo na curvatura indicaria apenas diferenças na orientação da curva. No espaço, por outro lado, é a torção que exerce esta função. Para tanto, esta definição para N (s) garante o sinal sempre positivo da curvatura. O último vetor, o binormal, é então B (s )=T (s ) N (s ) Definidos assim por conveniência para parametrizações pelo comprimento de arco, B e N são definidos de outra forma para parametrizações quaisquer, como segue B (t)= α ' (t ) α '' (t ) e N (t )=B (t ) T (t ) α ' (t ) α '' (t ) Assim como no plano, esses vetores formam uma base ortonormal de R 3. Desta forma, {T (s),n (s ), B(s)} α (s ) é o Triedro de Frenet ou referencial de Frenet-Serret, da curva α em s. Com estes três vetores, podemos definir três planos em cada ponto da curva. Como um plano pode ser definido a partir de um vetor ortogonal à ele, cada um deles é definido por um dos vetores e são eles: Plano Osculador, normal à B (s), Plano Retificante, normal à N (s), e o Plano Normal, normal à T (s). A curvatura, diante dessas definições, é k (s)= α ' ' (s ) E a torção é o número τ (s)= B' ( s), N (s )

13 A torção representa a velocidade com a qual o vetor binormal muda de direção. Ou ainda, o quanto a curva se afasta de estar contida em um plano. Desta interpretação, podemos mostrar que uma curva plana é aquela de torção nula e vetor binormal constante, contida no plano osculador. Logo a 1ª, a 2ª e a 3ª Equação de Frenet são, respectivamente T ' (s )=k (s) N (s ) N ' ( s) = k (s ) N (s) τ ( s) N (s ) B ' (s )=τ (s ) N ( s) Caso a curva α não esteja parametrizada pelo comprimento de arco, as suas curvatura e torção são dadas por k (s)= α ' (t) α '' (t ) α ' (t ) 3 τ (s)= α'' (t ),α ' ' (t ) α '' ' (t ) α ' (t ) α ' ' (t ) 3 3.4) Teorema Fundamental das Curvas no Espaço O Teorema Fundamental das Curvas no Espaço também tem três pontos, a saber i. Seja R R e k :a,b τ :a,b funções de classe C. Então existe uma curva regular suave α, parametrizada pelo comprimento de arco tal que a função de curvatura de α é k e a de torção é τ. ii. Se fixarmos α (s 0 )=P e α ' (s 0 )=v 1 e α '' (s 0 )=k(s 0 )v 2, com v 1 e v 2 unitários e ortogonais entre si, então a curva do item i. é única. iii. Se α e β são curvas regulares com mesma curvatura k e torção τ, então α e β são congruentes. Respeitando o número maior de dimensões tanto para a rotação e para a translação no R 3, em comparação com o R 2, e o tratamento delas como isometrias e/ou transformações ortogonais, além das maiores dificuldades em lidar com a determinação de α através da sua curvatura e da sua torção ao mesmo tempo, este teorema para o espaço define os mesmos pontos do que sua versão para o plano. 4) Superfícies 4.1) Superfícies Parametrizadas Uma Superfície Parametrizada Diferenciável é uma aplicação diferenciável do tipo S :U R 2 R 3

14 (u, v) (x (u, v ), y (u, v), z (u, v )) Onde U é um subconjunto aberto e conexo de R 2. Esta superfície será regular se sua derivada, indicada em [1] por ds p para qualquer P=(u, v ) U, for injetiva. Vale ressaltar a notação para a sua derivada em relação a u e a v S u = ( x u, y u, u) z e S = p ( y y y x x x) Um tipo importante de superfícies parametrizadas são as Superfícies de Revolução. Elas são obtidas a partir da revolução de uma curva regular em torno de um eixo. Por exemplo, consideremos a curva α (u)=(f (u),0,g(u )) Com f, g diferenciáveis e f (u) 0 no intervalo pertinente. Esta é uma curva restrita ao plano zx. Para a sua rotação pode-se aplicar sobre ela uma matriz de rotação. Para este exemplo, a rotação de ser em torno eixo z é executada pela seguinte matriz (para rotações nos demais eixos aplica-se a matriz de rotação pertinente e a curva não necessariamente deve ser plana, mas isso simplifica a situação) [ cos (v) sen(v) 0 sen(v) cos (v ) ] De modo que, aplicada à forma matricial de α, temos [ cos (v) sen(v) 0 1] [f (u) (u)cos (v) sen(v) cos (v) 0 0 f (u )sen (v) 0 0 g (u)]=[f ] g(u) De modo que [f (u) cos (v) f (u) sen (v) ]=(f (u)cos ( v), f (u )sen (v ),g(u))=s g (u) É a superfície de revolução da curva α em torno do eixo z e as curvas S (u, v 0 ) e S(u 0,v), com u 0 e v 0 fixos, são chamadas meridianos e paralelos da curva S, respectivamente, e exemplos de curvas coordenadas. O Plano Tangente à S(P), P=(u,v), denotado por T Q S, é definido como o plano paralelo à ambos os vetores S u (P) e S v (P), ou, equivalentemente à isso, ortogonal à S u (P) S v (P). 4.2) Mudança de Parâmetros

15 Seja S uma superfície regular como definido acima e h :V R 2 R 2 uma aplicação diferenciável, tal que h (V )=U e Jh(P) =detjh ( P) 0, P V. Assim, a composta ~ S=S h:v R 2 R 3 é diferenciável, regular e tem a mesma imagem de S. A aplicação h, portanto, é uma mudança de parâmetros para S. 4.3) Primeira Forma Quadrática Com S sendo uma superfície regular, P U e Q=S(P), a Primeira Forma Quadrática, ou Primeira Forma Fundamental, é a aplicação I Q :T Q S R w w, w = w 2 Como w faz parte de T Q S, ele é alguma combinação linear de S u (P) e S v (P), de onde podemos mostrar que se os chamados coeficientes da Primeira Forma Quadrática forem E (P)= S u,s u F (P)= S u, S v G ( P)= S v, S v Então a Primeira Forma Quadrática será I Q (w)=a 2 E ( P)+2 abf ( P)+b 2 G(P) Através da Primeira Forma Quadrática pode-se calcular o comprimento de arco de uma curva contida na superfície. Para tanto, precisa-se determinar o módulo da derivada da curva, visto que a equação do comprimento de arco é b l= ' α (t ) dt a De fato, o módulo ao quadrado da derivada da curva termina por ser α ' (t ) 2 =(u(t )) 2 E (P )+2u(t ) v (t ) F ( P)+(v(t )) 2 G ( P)=I Q (α '(t)) Logo, b l= I Q (α ' (t))dt a Além disso, a Primeira Forma Quadrática também pode ser aplicada no cálculo da área da superfície em questão. Do Cálculo Diferencial temos, A (S(V ))= S u (P) S v (P) dudv V

16 Com V U. Podemos mostrar que S u (P) S v (P) 2 =E (P)G (P ) F (P) 2 Portanto A ( S (V ))= V 2 E( P)G (P) F (P) 2 dudv Das interpretações do que foi apresentado, define-se que, se duas superfícies tem os mesmos coeficientes das suas Primeiras Formas Quadráticas, elas são isométricas. Lembramos que se a superfície também é injetiva, então ela é dita uma superfície simples. Outra relação importante sobre Isometrias, diz respeito à distância intrínseca. Uma aplicação é uma isometria se ela preserva esta distância, definida se l(γ) γ :[a, b] R S(U ) R 3 d (Q 1, Q 2)=inf Sendo S(U ) uma curva regular com γ (a)=q 1 e γ (b)=q ) Aplicação Normal de Gauss A Aplicação Normal de Gauss, N, é definida como N : S (U ) R 3 S 2 R 3 Q=S(U ) S u (P) S v (P) S u (P) S v (P) Uma aplicação da superfície S na esfera unitária bidimensional S 2, contida em R 3. A derivada de N em Q, isto é dn q, mede a taxa de variação dos vetores normais e, logo, o quanto S se distancia de T Q S na vizinhança de Q. É possível provar que este operador diferencial é linear e auto-adjunto. Deixando demonstrações em segundo plano, em última análise este fato implica que é possível associar à dn q uma forma bilinear B e a esta uma forma quadrática. É a partir desse fato que surge a Segunda Forma Quadrática de uma curva, como veremos a seguir. 4.5) Segunda Forma Quadrática Sendo S uma superfície regular, Q=S( P) e N a aplicação normal de Gauss, como definidos anteriormente, a Segunda Forma Quadrática é, então II Q :T Q S R w dn q (w),w

17 Seguindo [1], o sinal negativo nesta definição torna-se útil nos desenvolvimentos posteriores. Os Coeficientes da Segunda Forma Quadrática são e ( P)= ~ N u (P), S u (P) = ~ N (P), S uu (P) f ( P)= ~ N v (P),S u (P) = ~ N (P),S uv (P) g( P)= ~ N v (P), S v (P) = ~ N ( P), S vv (P) Com um vetor w na mesma base {S u (P), S v ( P)} que o caso para a Primeira Forma, pode-se mostrar que II Q ( w )=a 2 e(p)+2abf (P)+b 2 g(p) Com o uso da Primeira e Segunda Forma Quadrática, dn q é obtido com ]=[ ff eg gf fg 2] EG F [dn 2 EG F 2 q ef fe ff EG F 2 EG F Podemos, agora, definir três curvaturas importantes. Seja Q=S(P)=β (0) e θ o ângulo entre o vetor normal a S e o vetor normal a uma curva regular β, então a Curvatura Normal é dada por k n (β ) (Q )=k (β ) (Q)cos (θ) Onde k (β ) é a curvatura de β, como vista na seção 3. Devido ao fato de dn q ser auto-adjunto, temos dn q (e 1 )= k 1 e 1 dn q (e 2 )= k 2 e 2 Sendo e 1 e e 2 vetores unitários e ortogonais contidos no plano tangente à superfície, isto é, bases em T Q S. Estes vetores são os Vetores Principais que indicam as Direções Principais da superfície e k 1, a curvatura normal mínima, e k 2, a máxima, são chamadas de Curvaturas Principais. As três curvaturas se relacionam pela Fórmula de Euler k n (w) (Q )=k 1 cos 2 (θ)+k 1 sen 2 (θ) 4.6) Curvatura Gaussiana e Curvatura Média Define-se a Curvatura Gaussiana como K ( P)=k 1 k 2 E a Curvatura Média como

18 H ( P)= k 1 +k 2 2 Equações nas quais k 1 e k 2 são as curvaturas principais de uma dada superfície. Conhecendo K e H, k 1 e k 2 podem ser obtidas como raízes de x 2 2H (P ) x+k ( P)=0 Estudos a partir destas curvaturas mostram situações interessantes e superfícies cada vez mais complexas. Na época em que foram feitos pela primeira vez, motivaram o estudo de geometrias não-euclidianas e o desenvolvimento da Geometria Riemanniana. 4.7) Geodésicas As Geodésicas são, simplificando, curvas que minimizam a distância entre dois pontos. Geodésicas em um plano euclidiano são, portanto, retas. Em uma superfície qualquer, no entanto, isso não é necessariamente verdade. Mas uma curva deste tipo obedece a seguinte relação D α ' (t) =0 dt A qual representa que a derivada covariante do vetor tangente à curva deve ser nula em todo intervalo entre os limites da curva para que ela seja a menor distância. Através de relações envolvendo esta derivada covariante e a aplicação normal de Gauss, é possível mostrar que elas são proporcionais. A constante de proporcionalidade, o chamado valor algébrico, é conhecido também por Curvatura Geodésica ( k g (t) ), caso a curva seja regular e parametrizada pelo comprimento de arco. Ela mede o quanto a curva deixa de ser geodésica e se relaciona com a curvatura da curva e a curvatura normal da superfície assim k (t ) 2 =k g2 (t )+k n 2 (t) 4.8) Três Importantes Teoremas da Geometria Diferencial Teorema Egregium A Curvatura Gaussiana só depende da Primeira Forma Quadrática Este teorema mostra que, apesar de definida a partir da Segunda Forma Quadrática, a Curvatura Gaussiana só depende da primeira, como mostra a Equação de Gauss 2 EK=( Γ 12 i Γ jk 2 ) u (Γ 11 ) v +Γ 1 12 Γ 2 12 Γ 1 11 Γ (Γ 12 ) 2 Γ Γ 22 Onde com i, j,k=1,2, são os Símbolos de Christoffel, os quais dependem apenas da Primeira Forma Quadrática. Esta equação e mais as equações de Codazzi-Mainardi

19 e v f u =e Γ f ( Γ 2 12 Γ ) g Γ 11 f v g u =e Γ f ( Γ 2 22 Γ ) gγ 12 São chamadas de Equações de Compatibilidade Teorema Fundamental das Superfícies Análogo aos Teoremas Fundamentais das Curvas no Plano e no Espaço, este teorema diz o seguinte Sejam E, F, G, e,f, g funções reais diferenciáveis definidas em um aberto conexo U R 2, tais que E, F, EG F 2 0. Se E,F,G,e,f,g satisfazem as Equações de Compatibilidade, então: i. Existe uma superfície parametrizada regular S :U R 2 R 3 tal que E, F,G são os coeficientes da primeira forma quadrática de S e e,f,g são os da segunda forma quadrática; ii. Se S e Ś são duas superfícies satisfazendo i. então existe um movimento rígido M de R 3, isto é, uma isometria de R 3, tal que Ś=M S. O primeiro ponto, demonstrável com a utilização de Equações Diferencias Parciais, mostra a existência da superfície dados os seus coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas. O segundo, analogamente às curvas, mostra que duas superfícies com os mesmos coeficientes são como as curvas congruentes Teorema de Gauss-Bonnet Sejam S :U R 2 R 3 uma superfície regular e α :[0.l] S(U ) uma curva parametrizada. Dizemos que α é uma curva simples, fechada e regular por partes quando: i. α (0)=α (l ) ; ii. Se t 1, t 2 [0, l ],t 1 t 2, então α (t 1 ) α (t 2 ) ; iii. Existe uma partição 0=t 0 <t 1 < <t k <t k+1 =l de [0, l ] tal que α é regular em cada (t i,t i+1 ),i=0,1,,k. Este último teorema descreve a existência de uma superfície nas condições propostas. PUBLICAÇÕES Não foram originadas publicações a partir deste projeto. CONCLUSÃO O Projeto de Iniciação Científica, por tudo o que foi apresentado neste relatório, foi bem executado. Cumprindo os objetivos estabelecidos, de acordo com o cronograma, com uma exceção. Este projeto, assim, foi capaz de gerar aprendizado significativo dos tópicos propostos sobre Geometria Diferencial.

20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] J. R. V. Coimbra, Uma Introdução à Geometria Diferencial, dissertação de mestrado do IMECC-UNICAMP (2008). DIFICULDADES A exceção na execução completa do cronograma ficou por conta da não apresentação de um minicurso no Campus do Baixo-Tocantins, planejado para cumprir a exigência de apresentação dos resultados à comunidade acadêmica, no lugar de um seminário. Esta atividade foi impossibilitada em decorrência da greve dos servidores, a qual não permitiu a sua regularização na Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia, responsável por este tipo de atividade, na área das Exatas, no campus. PARECER DO ORIENTADOR O aluno realizou as atividades de iniciação científica corretamente. DATA: 10/08/2015 ASSINATURA DO ORIENTADOR ASSINATURA DO ALUNO