DIFERENTES CARACTERIZAÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UM ESTUDO Gabriele Granada Veleda 1 Lourdes Maria Werle de Almeida 2

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1 DIFERENTES CARACTERIZAÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UM ESTUDO Gabriele Granada Veleda 1 Lourdes Maria Werle de Almeida 2 Resumo: Neste trabalho apresentamos quinze diferentes definições de Modelagem Matemática que utilizam o termo realidade e foram citadas em trabalhos publicados em duas edições da CNMEM. As definições foram selecionadas a partir de um levantamento realizado em Broering (2009) e, ao analisá-las, identificamos quatro diferentes caracterizações de Modelagem Matemática: um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade; um processo (ou ferramenta) para compreender a realidade; um recurso didático que oportuniza tratar de problemas da realidade nas aulas de Matemática e um ambiente de aprendizagem que oportuniza aos alunos investigar a realidade por meio da Matemática. Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; definições. Introdução Nas últimas décadas a Modelagem Matemática tem sido utilizada no contexto escolar vinculada com os objetivos da Educação Matemática e, neste contexto, é possível destacar diferentes definições para a Modelagem 3. Existem trabalhos que focam na compreensão sobre o que é Modelagem no âmbito da Educação Matemática. Araújo (2007), por exemplo, fez um levantamento de experiências em que os autores das experiências usaram a denominação Modelagem Matemática em suas atividades e constatou diversas definições acerca do que é Modelagem. Essa diversidade de definições sobre a Modelagem Matemática também foi abordada por Broering (2009), que destacou 50 diferentes definições citadas em trabalhos publicados na Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática (CNMEM), que ocorreram nos anos de 2005 e De acordo com a pesquisa de Araújo (2007) é possível afirmar que as definições de Modelagem têm em comum o objetivo de apresentar a resolução de algum problema da realidade, por meio do uso de teorias e conceitos matemáticos (p. 18). 1 Universidade Estadual de Londrina 2 Universidade Estadual de Londrina 3 No decorrer do texto utilizaremos o termo Modelagem para nos referirmos à Modelagem Matemática a fim de evitarmos repetições.

2 Embora existam alguns pontos de convergência nas diferentes definições, elas não convergem para uma única caracterização de Modelagem Matemática. Neste trabalho, identificamos essas diferentes caracterizações. As diferentes definições de Modelagem Matemática na Educação Matemática Para selecionar as definições que foram analisadas neste trabalho, utilizamos o levantamento feito por Broering (2009), que identificou 50 definições diferentes de Modelagem Matemática citadas em trabalhos publicados nas edições IV e V da CNMEM. Dentre essas definições, selecionamos apenas as definições que utilizam explicitamente o termo realidade, não incluindo termos relacionados como, por exemplo, situação real, mundo real, fenômenos do cotidiano. Foram selecionadas 15 definições. No quadro a seguir transcrevemos cada uma dessas definições associando-as a um código, que permitirá nos referirmos a essas definições quando houver necessidade. Quadro 1 Definições de Modelagem Matemática com o termo realidade código definição D01 (...) consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolve-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real D02 Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual D03 (...) a Modelagem Matemática, em seus vários aspectos, é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la. Nesse sentido é também um método científico que ajuda a preparar o indivíduo para assumir o seu papel de cidadão D04 É um método da Matemática aplicada, usado em grande variedade de problemas econômicos, biológicos, geográficos, de engenharia e de outros (...) [que] foi apreendido e re-significado para o ensino-aprendizagem como uma das formas de utilizar a realidade nas aulas de Matemática D05 Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem onde os alunos são convidados a indagar e/ou investigar por meio da matemática situações oriundas de outras áreas da

3 realidade código D06 D07 D08 D09 D10 D11 D12 D13 D14 D15 Quadro 1 Definições de Modelagem Matemática com o termo realidade (continuação) definição Um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade (...) uma ferramenta capaz e eficaz para a compreensão e interpretação da realidade A Modelagem é considerada uma abordagem, por meio da matemática, de um problema não-matemático da realidade, ou de uma situação não-matemática da realidade, escolhida pelos alunos reunidos em grupo, de tal forma que as questões da Educação Matemática Crítica embasem o desenvolvimento do trabalho Modelagem Matemática é uma representação do chamado mundo-real através da linguagem matemática, levando a uma previsão de fatos. Dá-se através de muitos passos, sendo que exige que se faça um teste rigoroso a cada um desses passos. Através da MM 4 definem-se as estratégias de ação na realidade, sendo a própria modelagem uma alternativa de se buscar o conhecimento (...) um processo dinâmico que envolve realidade-reflexão sobre a realidade, que resulta numa ação planejada, consciente. (...) a Modelagem é um meio para integrar dois conjuntos disjuntos: matemática e realidade (...) é a arte de transformar situações do meio circundante em modelos matemáticos Um ambiente de ensino e de aprendizagem no qual o professor, através de problematizações de situações com referência na realidade, oportuniza ao aluno a construção de modelos matemáticos, sobre os quais ele faça inferências e/ou projeções, cabendo ao professor o acompanhamento das atividades, no sentido de conduzir o aluno na/para a construção do conhecimento matemático (...) criação de ambientes de aprendizagem em que os alunos são convidados a resolver problemas que obedeçam a uma metodologia de problematização da realidade, por meio da matemática Modelagem Matemática não é apenas um ajuste de uma tabela, mas sim uma análise matemática de toda uma situação, é a matemática inserida na realidade, com suas previsões e imprevistos, relacionando a ciência e fenômenos naturais, com a exatidão e a lógica da matemática, sem deixar de lado os conhecimentos populares, mas procurando, sempre que possível, formalizá-los A Modelagem Matemática é um recurso didático que oportuniza situações de aplicação de 4 Alguns autores utilizam a abreviação MM para se remeter a Modelagem Matemática.

4 conteúdos da matemática escolar a elementos da realidade Diferentes caracterizações de Modelagem Matemática: uma análise A definição de Modelagem Matemática mais utilizada é citada em 19 trabalhos publicados na IV CNMEM e na V CNMEM e identificada neste trabalho como D01. Essa definição foi proposta por Bassanezi em 2002, em seu livro intitulado Ensino- Aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. As definições D02 e D11 parecem ser uma interpretação da definição D01, pois nessas definições encontramos os termos arte de transformar situações da realidade, embora na definição D02 o objetivo da Modelagem Matemática esteja mais próximo a visão da Matemática Aplicada, que é tida como um método de pesquisa que procura associar a uma situação um modelo matemático, e a definição D11 evidencia a distinção entre o mundo real e o mundo matemático. Acreditamos que na definição D02 a expressão situação da realidade possui o mesmo significado de problema da realidade, expressão utilizada na definição D01, pois um problema pode não se configurar como problema para todas as pessoas. Para essa mesma expressão, a definição D11 faz menção a situações do meio circundante ; segundo o dicionário eletrônico Houaiss, circundante é o que está a nossa volta, nos envolve, nos rodeia. Portanto, é possível inferir que o autor usa meio circundante como um sinônimo para realidade. Com isso, entendemos que as definições D01, D02 e D11 caracterizam a Modelagem Matemática como um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade. Ainda que a definição D14 apresente termos diferentes dessas três definições, nela também se observa a mesma caracterização para a Modelagem, pois propõe a Modelagem como uma maneira de analisar uma situação da realidade por meio da Matemática. Nas definições D03, D07, D09 e D10 são possíveis destacar alguns termos que fazem menção a compreensão e conhecimento da realidade e a ação sobre ela. Nessas definições, compreendemos que a Modelagem Matemática está caracterizada como um processo, ou ferramenta, capaz de auxiliar na compreensão e transformação da realidade.

5 As demais definições apontam que a Modelagem Matemática pode ser utilizada no contexto escolar. Nas definições D04, D08 e D15, a Modelagem Matemática é apresentada como um recurso didático que auxilia na aplicação da Matemática do contexto escolar à realidade. O que as diferencia é que a definição D04 relata a origem da Modelagem Matemática e propõe que esse método foi transferido para o meio escolar como um meio de utilizar a realidade nas aulas de Matemática e, na definição D08, há um destaque à Educação Matemática Crítica 5, cuja preocupação não é somente o ensino e aprendizagem da Matemática, mas também promover o desenvolvimento de habilidades matemáticas e a participação crítica dos alunos na sociedade. A definição D05 foi a segunda definição mais utilizada, sendo citada em 17 trabalhos publicados na IV e na V CNMEM. Essa definição, assim como as definições D06, D12 e D13, utiliza a expressão ambiente de aprendizagem que, de acordo com Skovsmose (2000) e Barbosa (2007), refere-se às condições proporcionadas aos alunos para desenvolverem suas ações. Outro termo comum às definições D06, D12 e D13 diz respeito à problematização. Segundo o dicionário eletrônico Houaiss, o vocábulo problematizar pode ser compreendido como o ato de por algo em dúvida, questionar, o que pode ser compreendido como um sinônimo para o termo indagar, que aparece na definição D05. Assim, podemos inferir que algumas definições apresentam caracterizações semelhantes para Modelagem Matemática. Agrupamos estas definições de acordo com essas caracterizações, considerando termos e ideias que identificamos. 5 Para maiores informações sobre a da Educação Matemática Crítica veja Aporism and Critical Mathematics Education, de Ole Skovsmose.

6 grupo G01 G02 G03 G04 Quadro 2 Os grupos caracterizações de Modelagem Matemática Um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade Um processo (ou ferramenta) para compreender a realidade Um recurso didático que oportuniza tratar de problemas da realidade nas aulas de Matemática Um ambiente de aprendizagem que oportuniza aos alunos investigar a realidade por meio da Matemática definição D01 D02 D11 D14 D03 D07 D09 D10 D04 D08 D15 D05 D06 D12 D13 As diferentes caracterizações de Modelagem Matemática em atividades Nessa subseção enunciamos quatro atividades de Modelagem Matemática com a finalidade de evidenciar a caracterização de Modelagem apresentada por cada grupo de definições. Essas atividades de Modelagem Matemática são encontradas nos mesmos trabalhos que citam as definições selecionadas. No quadro 2 indicamos o título da atividade relacionada a cada grupo. Quadro 3 Título das atividades grupo título da atividade G01 Determinação da porcentagem de ocupação de um tanque fechado G02 O caminho para a casa própria G03 Tanque de combustível G04 Modelagem do transporte escolar

7 A atividade de Modelagem Matemática referente ao grupo G01 trata da determinação da porcentagem de ocupação de um tanque fechado e consta no trabalho de Fontanini e Almeida (2007). Essa atividade foi desenvolvida na disciplina de Cálculo Integral e Diferencial I com alunos da primeira série de um curso em Tecnologia em Manutenção Industrial Mecânica e os dados utilizados no desenvolvimento da atividade foram obtidos de uma empresa do ramo alimentício. O desenvolvimento dessa atividade está relacionado ao fato de que a combinação de subprodutos diferentes e em proporções diferentes dá origem a diferentes produtos, sendo que estes subprodutos ficam armazenados em tanques fechados. É necessário ter um controle após cada processo da quantidade de produto que está presente em cada tanque, e isto é feito por meio de sensores de pressão presentes em cada tanque. Nesse sentido, a Modelagem Matemática é utilizada para a generalização da situação, possibilitando previsões. A partir dos dados disponibilizados aos alunos, eles elaboraram a seguinte questão norteadora: Qual a relação entre a pressão exercida pelo subproduto no sensor e a porcentagem de ocupação do tanque? Na busca de responder essa pergunta, os alunos observaram que as duas grandezas são proporcionais e, concluíram a atividade ao encontrarem um modelo matemático que determina o valor da porcentagem de ocupação do subproduto no interior do tanque em função da pressão exercida por este subproduto no fundo do tanque, o que nos permite observar que a situação da realidade foi transformada em um problema matemático e a resolução desse problema matemático foi interpretada na linguagem usual. A atividade de Modelagem Matemática apresentada em Fontanini e Almeida (2007) caracteriza a Modelagem como um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade, pois o modelo matemático é um meio de solucionar o problema da realidade estudado: saber a quantidade de produto armazenado em um tanque fechado. Para exemplificar a caracterização de Modelagem Matemática proposta pelo grupo G02, selecionamos a atividade apresentada em Cirilo e Almeida (2007), que foi desenvolvida por um grupo de alunos do segundo ano do curso de Licenciatura em Matemática, e tem como tema a aquisição da casa própria.

8 Essa atividade foi proposta pelos alunos a partir da leitura de uma reportagem publicada em uma revista de circulação nacional que tratava do assunto, apresentando uma simulação de empréstimo, dos valores das parcelas e do valor total pago ao final do financiamento. O objetivo dos alunos era saber como foram calculados os valores das prestações apresentadas na reportagem, qual o valor da n-ésima prestação e como obter os valores das prestações. Essas inquietações foram decorrentes de que alguns alunos do grupo possuíam imóveis financiados ou pretendiam financiar, ou seja, a Modelagem Matemática foi utilizada na busca de entender a realidade e, assim, agir sobre ela. Para o desenvolvimento da atividade a professora disponibilizou aos alunos tabelas com diferentes tipos de financiamento, e os alunos optaram por estudar o financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Depois de escolherem o tipo de financiamento, os alunos se basearam em conceitos já conhecidos e teorias estudas anteriormente para desenvolverem os cálculos, ou seja, aliaram teoria e prática. Após algumas pesquisas, análises e simplificações, os alunos encontraram um modelo matemático que permite determinar o valor de cada prestação, e o valor final do financiamento pode ser calculado pelo somatório de todas as prestações. Essa atividade caracteriza a Modelagem Matemática como um processo (ou ferramenta) para compreender a realidade, uma vez que os alunos utilizaram os conceitos matemáticos para compreender como os dados apresentados na reportagem foram calculados. A atividade referente ao grupo G03 foi apresentada em Borges e Silva (2007), e tem como título Volume de um tanque de combustível. Essa atividade foi desenvolvida por um grupo de alunos do curso de Licenciatura em Matemática de uma Universidade do interior Rio Grande do Sul (RS) nas aulas da disciplina de Modelagem Matemática. O objetivo dos alunos era determinar a quantidade de combustível remanescente em um tanque sabendo a altura da parte umedecida de uma régua e as medidas internas do tanque, pois, o combustível usado em máquinas agrícolas de propriedades rurais é comprado em grandes quantidades e armazenado em tanques cilíndricos colocados na posição horizontal, para ser usado de acordo com a necessidade de consumo. Como os

9 tanques não dispõem de um sistema automático de controle de volume, os agricultores utilizam o método da régua, que consiste em introduzir uma régua ou vareta em um orifício situado na parte superior do tanque, até atingir o fundo, a parte umedecida da régua indica a altura do combustível e o agricultor associa, de maneira intuitiva, a altura da parte umedecida da régua com a quantidade de combustível no tanque. Com a utilização de algumas fórmulas e conceitos matemáticos previamente estudados, os alunos construíram um modelo matemático que permite calcular a quantidade de combustível armazenado no tanque utilizando a altura da parte umedecida da régua. A partir desse modelo, foi elaborada uma tabela que associa cada altura da parte umedecida da régua com a quantidade de combustível, assim os agricultores podem continuar com a utilização do método da régua e determinar mais precisamente a quantidade de combustível remanescente no tanque. É possível observar que a Modelagem Matemática foi utilizada nessa atividade como um recurso didático que permite a aplicação de conteúdos e conceitos matemáticos aprendidos em sala de aula, pois seu desenvolvimento foi feito de duas maneiras diferentes, uma utilizando conceitos e fórmulas de geometria e outra utilizando conceitos de integral. Entendemos que a atividade apresentada em Borges e Silva (2007) caracteriza a Modelagem Matemática como um recurso didático que oportuniza tratar de problemas da realidade nas aulas de Matemática, pois os conceitos matemáticos foram utilizados em sala de aula, permitindo que os alunos utilizassem e aplicassem conceitos matemáticos já conhecidos para tratar o problema da realidade, que é determinar a quantidade remanescente de combustível em um tanque. A atividade de Modelagem Matemática apresentada em Machado e Cury (2005), que exemplifica a caracterização de Modelagem apresentada pelo grupo G04, tem como tema o transporte escolar. Essa atividade foi proposta por alunos do 7 o ano (6 a série) do Ensino Fundamental de uma escola rural do interior do Rio Grande do Sul que estavam preocupados com a qualidade do transporte escolar oferecido pela Prefeitura local. Para estudar sobre o tema os alunos começaram por expor suas preocupações. Suas dúvidas envolviam saber de quem é a responsabilidade por oferecer o transporte escolar e o

10 que é requerido para o transporte ser considerado de qualidade. Sendo assim, é possível observar que a Modelagem Matemática foi utilizada para indagar e investigar uma situação da realidade utilizando conceitos matemáticos. O desenvolvimento dessa atividade incluiu um questionário elaborado pelos alunos, com a finalidade de saber quantos alunos utilizavam o transporte escolar oferecido pela Prefeitura, qual a lotação de cada ônibus e os horários que utilizavam o transporte. Para que os alunos melhor compreendessem o tema em estudo, a professora apresentou aos alunos o Estatuto da Criança e do Adolescente, mais precisamente o artigo que trata dos deveres da família e do governo para com as crianças e adolescentes em relação à educação, cultura esporte e lazer. Durante o desenvolvimento da atividade também aconteceu uma palestra explicativa ministrada por um policial inspetor. Os alunos elaboraram dois modelos matemáticos que descreviam os dados quantitativos registrado nos questionários. Na atividade apresentada em Machado e Cury (2005) observamos a Modelagem Matemática caracterizada como um ambiente de aprendizagem que oportuniza aos alunos investigar a realidade por meio da Matemática, pois o que é considerado como principal não é o modelo final, mas sim todo o ambiente que foi criado durante o desenvolvimento da atividade, que inclui o estudo do Estatuto da Criança e do adolescente e a palestra ministrada pelo policial inspetor. Considerações finais No início deste texto salientamos a existência de diferentes definições e de Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática. Neste trabalho, selecionamos 15 definições de Modelagem citadas em trabalhos apresentados em duas edições da Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática (CNMEM) que ocorreram nos anos de 2005 e 2007 e que utilizam explicitamente o termo realidade com a finalidade de evidenciar as diferentes caracterizações que cada definição de Modelagem apresenta.

11 Ao analisarmos as 15 definições selecionadas, identificamos algumas características comuns que nos permitiram agrupá-las em quatro grupos conforme a caracterização de Modelagem Matemática apresentada: um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade; um processo (ou ferramenta) para compreender a realidade; um recurso didático que oportuniza tratar de problemas da realidade nas aulas de Matemática e um ambiente de aprendizagem que oportuniza aos alunos investigar a realidade por meio da Matemática. Observando a quantidade de definições que compõem cada grupo, podemos afirmar que não existe uma caracterização de Modelagem Matemática que seja a mais utilizada. Embora nossa análise aponte para quatro diferentes caracterizações de Modelagem no âmbito da Educação Matemática, não podemos garantir que essas são as únicas caracterizações existentes, pois essas caracterizações foram obtidas a partir de um número restrito de definições. A análise de mais definições poderá permitir a construções de outros grupos que apresentem outras caracterizações. Com esse trabalho buscamos impulsionar o debate no âmbito da Educação Matemática no que diz respeito à utilização da Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para estabelecer a relação entre a Matemática e a realidade e estimular a investigação de fundamentos teóricos subjacentes a diferentes definições, levando a reflexão de como a Modelagem Matemática pode ser caracterizada e utilizada pelo professor em sua prática pedagógica. Referências ARAÚJO, J. de L. Relação entre matemática e realidade em algumas perspectivas de modelagem matemática na educação matemática. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. de L. (orgs.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais, Recife, v. 3, p BORGES, P. A. P. e SILVA, D. K. Modelagem Matemática, escola e a transformação da realidade. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5, 2007, Ouro Preto. Anais... Ouro Preto: UFMG, CD-ROM. BROERING, G. F. Diferentes Conceitualizações de Modelagem Matemática p. Monografia (Especialização em Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2009.

12 CIRILO, K. S. S. e ALMEIDA, L. M. W. A transposição didática do conceito de integral: a modelagem matemática como caminho. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5, 2007, Ouro Preto. Anais... Ouro Preto: UFMG, CD-ROM. FONTANINI, M. L. de C. e ALMEIDA, L. M. W. O uso de mapas conceituais na busca de indícios de aprendizagem significativa dos conteúdos matemáticos em atividades de modelagem matemática In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5, 2007, Ouro Preto. Anais Ouro Preto: UFMG, CD-ROM. MACHADO, E. S. e CURY, H. N. Modelagem e transporte escolar: uma investigação com alunos de ensino fundamental. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 4, 2005, Feira de Santana. Anais... Feira de Santana: CNMEM, CD-ROM.