MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES

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1 MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES Maria Isaura de Albuquerque Chaves Escola de Aplicação UFPA Resumo Este mini curso tem como objetivo oferecer ao alguns subsídios teóricos e práticos para a elaboração de atividades de Modelagem para a Educação Básica. A metodologia consistirá em expor e discutir algumas concepções de Modelagem, em mostrar exemplos de atividades geradas por essas concepções, bem como alguns outros que foram organizados e aplicados no Ensino Médio e, em seguida, a título de exercício, oportunizar ao um momento para que ele próprio elabore atividades de Modelagem. Com isso, espera-se que o possa construir um referencial de apoio para iniciar-se na elaboração de atividades e em suas aplicações em sala de aula. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Elaboração de atividades e Educação Básica. Introdução O ensino dentro do processo de Modelagem 1 é organizado de forma diferenciada em relação ao que comumente é feito nas salas de aula de Matemática. Tal diferenciação evidenciase nos conteúdos de ensino trabalhados que muitas vezes não obedece a seqüência predeterminada no planejamento escolar, na necessidade da pesquisa e de abordar conhecimentos de outras áreas, nas estratégias a serem usadas pelo que precisam considerar a participação do. A Modelagem diferencia-se principalmente porque toma como ponto de partida problematizações com referência no cotidiano, não se tratando de uma 1 Para evitar repetições textuais, usarei apenas Modelagem para referir-me a Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática.

2 simples contextualização, mas de um estudo sobre determinada situação real, com suas múltiplas e complexas variáveis, por meio da Matemática. Porém ao optar por Modelagem, o não tem, a exemplo do que tradicionalmente acontece, um livro-texto para servir de apoio na oferta de atividades e ainda com resoluções e respostas ao final da edição. A organização da atividade de Modelagem, que engloba desde a sua finalidade ou o para quê a Modelagem será usada, até o cuidado com a diversidade da sala de aula, que diz respeito ao onde e o para quem a Modelagem será usada, é de fato, papel do. Dessa feita, este mini-curso tem como principal objetivo levar ao conhecimento dos es alguns subsídios teóricos e práticos para a elaboração de atividades de Modelagem para que eles possam construir um referencial de apoio à elaboração de suas próprias atividades. Modelagem Matemática: concepções e possibilidades Modelagem Matemática pode ser entendida como um processo que consiste na tradução/organização de situações/problemas, provenientes do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento, segundo a linguagem simbólica da Matemática, fazendo aparecer um conjunto de símbolos ou relações matemáticas Modelo Matemático que procura representar ou organizar a situação/problema proposta, com vistas a compreendê-la ou solucioná-la. O processo de Modelagem dessas situações/problema é composto por etapas ou fases. Em uma fase preliminar ocorre o envolvimento com um tema (realidade) a ser estudado/problematizado, por meio de um estudo indireto, como pesquisas em jornais, livros ou revistas ou de um estudo direto como uma pesquisa de campo, por exemplo. É nessa fase, comumente chamada de Interação, que se observa ou identifica o problema a ser estudado e fazse o levantamento de dados qualitativos e quantitativos que propiciarão a construção do futuro modelo. Após a interação com a realidade que se pretende estudar e de posse dos dados qualitativos e quantitativos faz-se um levantamento de hipóteses/conjecturas e uma conseqüente seleção de variáveis que concorrem para a escrita ou tradução da situação-problema para a linguagem matemática. Como, em geral, um modelo matemático não representa a situação/problema em sua totalidade, mas um recorte ou uma aproximação a partir de idealizações sobre a mesma é no

3 momento da seleção de variáveis que fazemos o recorte, ou que selecionamos e escolhemos as variáveis intervenientes para a construção do modelo, segundo os interesses/necessidades do modelador. Na etapa seguinte, chega-se a um Modelo Matemático. A validação desse modelo ocorre por meio da análise crítica das respostas que este oferece quando aplicado à situação que o originou, no sentido de verificar o quanto as mesmas são adequadas ou não, mais ou menos precisas, indicando assim o grau de refinamento do modelo. Caso o modelo não atenda às necessidades que o geraram, o processo deve ser retomado em alguma de suas etapas. A essa etapa de questionamento dos resultados obtidos, chama-se de Validação do Modelo Matemático ou simplesmente, Validação. A resolução de algumas situações/problemas no processo de Modelagem pode não resultar na construção de um Modelo Matemático. Nesse caso, a ênfase é dada na utilização das teorias matemáticas para organizar ou oferecer uma solução a situação/problema proposta e a validação se dá por meio de uma análise crítica das respostas obtidas, no sentido de verificar o quanto as mesmas são pertinentes ou não. Aqui se busca validar, ou não, um processo de resolução de uma situação/problema oriunda do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento, e não de um Modelo Matemático que a represente. Ressalta-se que, as etapas, ora apresentadas e inspiradas nas que propõem Biembengut e Hein (2003), são apenas uma tentativa de se organizar o processo de Modelagem, mas não são rígidas, muito menos seguem sempre a mesma ordem. No âmbito da Educação Matemática, Modelagem pode ser definida como uma estratégia de ensino-aprendizagem [que] parte de uma situação/tema e sobre ela desenvolve questões, que tentarão ser respondidas mediante o uso do ferramental matemático e da pesquisa sobre o tema. (BIEMBENGUT e HEIN, 2003, p. 28) Nessa abordagem, um tema é escolhido e o utiliza as mesmas etapas e subetapas do processo de modelagem, quais sejam: interação, levantamento de hipóteses/conjecturas, seleção de variáveis, tradução da situação-problema para a linguagem matemática e validação testagem do Modelo ou da solução obtida. Burak (2004) que defende uma concepção de Modelagem prioritariamente voltada para a Educação Básica, organiza o processo, cuja ênfase centra-se em si mesmo e não na obtenção de um Modelo, em cinco etapas básicas: escolha do tema; pesquisa exploratória; levantamento

4 do(s) problema(s) ou situações problema; resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento dos conteúdos matemáticos no contexto do tema; análise crítica das soluções. Na escolha do tema o apresenta aos s alguns temas que possam gerar interesse do grupo. Os s também podem sugerir os temas. Em seguida os s são orientados a procurar informações, via pesquisa de campo ou bibliográfica para o desenvolvimento do tema escolhido pesquisa exploratória. De posse dos materiais e dos dados da pesquisa desenvolvida, incentiva-se os s a conjecturar sobre tudo que pode ter relação com a Matemática. Estes são incitados a elaborar conjuntamente com o, problemas ou situações que permitam vislumbrar a possibilidade de aplicar ou aprender conteúdos matemáticos. Na resolução dos problemas e desenvolvimento dos conteúdos matemáticos no contexto do tema busca-se responder os problemas levantados com o auxílio do conteúdo matemático que foi requisitado em virtude da necessidade de respostas às questões levantadas. Assim, o conteúdo matemático primeiro é aplicado para posteriormente ser sistematizado, fazendo um caminho inverso do usual, onde primeiro se ensina o conteúdo para depois aplicar. Diferente também do usual o processo não se encerra com a obtenção de uma resposta para o problema proposto. Tem-se agora, a análise crítica das soluções etapa marcada pela criticidade, não apenas em relação à Matemática, mas também em relação a outros aspectos, como a viabilidade e coerência das resoluções apresentadas, que muitas vezes são resolvíveis matematicamente, mas inviáveis para a situação estudada e para situações reais do cotidiano. Não é necessariamente a análise de um modelo, mas dos conteúdos, dos seus significados e no que eles podem contribuir para a melhoria das ações e decisões enquanto pessoas integrantes da sociedade e da comunidade em que participam (BURAK e KLÜBER, 2006) Barbosa (2003a, p.69) concebe Modelagem como um ambiente de aprendizagem no qual os s são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade, em que problematizar refere-se ao ato de criar perguntas ou problemas e investigar, refere-se à busca, à seleção, à organização e à manipulação de informação e de reflexão, na perspectiva de resolver os problemas ou responder as perguntas. Para a materialização, ou seja, para a utilização em sala de aula da modelagem, o autor identifica três regiões de possibilidades, as quais ele chama de casos. Os casos não são

5 prescritivos, mas trata-se da idealização de um conjunto de práticas correntes na comunidade (p.70). Os casos de Barbosa (2003b, p.70) são categorizados conforme as tarefas que competem ao ou aos s desenvolverem dentro do processo de Modelagem, na sala de aula, No caso 1, o apresenta um problema, devidamente relatado, com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos s (...), acompanhados pelo, (...) a tarefa de resolver o problema. Já no caso 2, os s deparamse apenas com o problema para investigar (...) Ao, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial. (...) E, por fim, no caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas não-matemáticos, que podem ser escolhidos pelo ou pelos s. (idem, p. 69). Ainda que os casos não sejam prescritivos, conforme ressalta o autor, pode-se vislumbrar a partir deles, várias formas de se organizar e de se mediar atividades de Modelagem, ou várias possibilidades de utilização. São caminhos/opções por meio dos quais podemos implantar e desenvolver o processo de Modelagem de forma gradativa nas aulas de matemática, fazendo-se variar em número e em grau as atividades/tarefas que competem a cada um e s de acordo com as possibilidades e as limitações oferecidas pelo contexto escolar e pelo grau de amadurecimento do frente à Modelagem Matemática. Enquanto Burak (2004) foca o desenvolvimento do processo de Modelagem, Barbosa (2003b) chama atenção para possíveis variações dos papeis de cada um dos participantes do processo e. Ou seja, enquanto um aponta o como se pode fazer Modelagem na sala de aula, o outro aponta as possibilidades para e envolverem-se nesse como. Dessa feita, combinando os casos de Barbosa (2003b) com as etapas propostas por Burak (2004), Biembengut e Hein (2003) temos algumas possibilidades para o desenvolvimento da Modelagem na sala de aula, que, por sua vez se também combinadas podem gerar outras: ETAPAS DO PROCESSO POSSIBILIDADE 1 POSSIBILIDADE 2 POSSIBILIDADE 3 ESCOLHA DO TEMA ELABORAÇÃO DA SITUAÇÃO-PROBLEMA

6 COLETA DE DADOS QUALITATIVOS E QUANTITATIVOS SIMPLIFICAÇÃO DOS DADOS TRADUÇÃO DO PROBLEMA/ RESOLUÇÃO ANÁLISE CRÍTICA DA SOLUÇÃO/VALIDAÇÃO Metodologia As atividades de Modelagem precisam dar conta de todas as etapas do processo ao mesmo tempo em que proporcionam a mediação do e o envolvimento dos s. Tais características tornam a elaboração das atividades uma tarefa nada trivial, algo que não cabe em, por exemplo, um receituário, haja vista tantas especificidades que incluem. Ainda assim, a partir da construção de um referencial teórico e prático em Modelagem para a sala de aula, é possível organizar-se algumas diretrizes a cerca da elaboração dessas atividades. Nessa direção e com essa expectativa serão desenvolvidas as seguintes ações: Breve exposição de algumas concepções de Modelagem presente na literatura (BIEMBENGUT(2003), BURAK(2004), BARBOSA(2003b)) visando levar os es a compreenderem o que caracteriza uma atividade de Modelagem Matemática e como pode ser organizada para a sala de aula. Apresentação de alguns exemplos organizados conforme a concepção de Biembengut (2003), Burak(2004), Barbosa(2003b). Outros exemplos, organizados e utilizados no Ensino Médio, serão também apresentados. Oferta de recortes de jornais, revistas e páginas da web, para que os es façam um breve exercício em elaboração de atividades de Modelagem. Considerações finais

7 Obviamente não se pode idealizar objetivos e metas ambiciosas para um mini curso de 3 horas de duração, ainda mais se o público for leigo no assunto, o que é comum em eventos. Daí que do objetivo, inicialmente traçado para o mini curso, de levar ao conhecimento dos es participantes alguns subsídios teóricos e práticos para a elaboração de atividades de Modelagem para que eles possam construir um referencial de apoio à elaboração de suas próprias atividades, mediado pelas ações de formação desenvolvidas, espera-se que pelo menos, que o sinta-se convidado em conhecer mais a cerca de Modelagem, bem como se inspire a organizar e mediar suas próprias atividades, para suas respectivas salas de aulas, organizando, dessa forma, o ensino e a aprendizagem da Matemática, segundo perspectivas mais condizentes com as demandas sociais atuais feitas a escola, o que poderá trazer, dentre outras coisas, mais satisfação para o trabalho docente. Referências bibliográficas BARBOSA, J. C. Uma perspectiva de modelagem matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., Piracicaba. Anais... Piracicaba: UNIMEP, 2003a. 1 CD-ROM, Disponível em: Acesso em: 5 jun BARBOSA, J. C. Modelagem matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim, v. 27, n. 98, p.65-74, 2003b. BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3. ed. São Paulo: Contexto, BURAK, D.. Modelagem matemática e a sala de aula. In: I EPMEM -ENCONTRO PARANAENSE DA MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004, Londrina. Anais... UEL, BURAK, D. & KLÜBER, T.E., A modelagem matemática e suas perspectivas para o ensino de matemática na educação básica, In: II ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2006, Apucarana. Anais... Apucarana: FAP, 2006.