UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA SOBRE AS MARÉS NA PERSPECTIVA DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

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1 UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA SOBRE AS MARÉS NA PERSPECTIVA DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA Leandro Luis Michelson 1 Geise Thaiana dos Santos Braga 1 Sílvio Cézar Mendonça 1 Rodolfo Eduardo Vertuan 2 1 Resumo Para além de apresentar uma introdução acerca do que se entende por Modelagem Matemática em sala de aula, tal como abordar os processos que caracterizam uma atividade desse tipo, esse trabalho tem a intenção de apresentar uma atividade com possibilidades de instigar os alunos à investigação. Trata-se de uma atividade intitulada Altos e baixos de Nemo, em alusão ao personagem do filme Procurando Nemo, a qual busca abordar a altura das marés no litoral paranaense. No contexto de sala de aula, a atividade consiste em instruir os alunos a pesquisarem sobre a atividade das marés em nosso litoral. Com os dados, uma tabela contendo todas as alturas das marés altas e baixas seria construída. A partir daí orientaríamos nossos discentes a encontrarem uma regularidade matemática no comportamento dessas marés, de modo a desenvolverem um modelo que descreva o comportamento dos dados, utilizando-se, inclusive e se necessário, de ferramentas computacionais. Desse modo, é possível obter uma relação que expresse, de modo estimado, a altura das marés em determinada data do ano, além de colocar diante dos alunos a seguinte pergunta: Em que época do ano teremos uma configuração similar a esta encontrada? Pois assim, além de resolverem o problema de encontrar uma descrição para o movimento das marés, terão uma visão mais completa do problema. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Marés; Educação Matemática; Generalização. 1 UTFPR - Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática 2 UTFPR - Docente do curso de Licenciatura em Matemática

2 2 Desenvolvimento 2.1 A Modelagem Matemática Compreende-se que a Modelagem Matemática é uma metodologia de ensino e aprendizagem da Matemática cujo processo desencadeia o desenvolvimento e/ou a construção de modelos, são ferramentas que podem ser utilizadas para responder um problema, fazer uma previsão ou ainda explicar uma situação de cunho investigativo. Tendo como aporte dois conceitos na literatura: Modelo matemático é um sistema axiomático consistindo de termos indefinidos que são obtidos pela abstração e qualificação de ideias essenciais do mundo real (MAKI E THOMPSOM, apud (GAZZETTA, 1989, p. 14)) e Modelo matemático é uma estrutura Matemática que descreve aproximadamente as características de um fenômeno em questão ((SWETZ, 1992, p. 65). Nota-se que a primeira definição remete ao campo de conhecimento a qual é denominada como Matemática Pura, e a segunda, ao da Matemática Aplicada. O primeiro consiste da construção puramente teórica do conhecimento, sem se ocupar de questões que tenham sugerido tal organização. Já no segundo, o diálogo com a prática evidencia-se como essencial. Esta distinção entre Matemática Pura e Aplicada perdura até os dias de hoje, sendo que o objetivo principal da Matemática Aplicada é o de dedicar-se a problemas originados em outras áreas do conhecimento, revelando seu caráter transdisciplinar e sua valorização decorrente da emergência das novas tecnologias (CURY apud RICHIT, 2005, p.128). Conforme já citado, o conhecimento denominado Matemática Pura surgiu a partir de questões atualmente discutidas no campo ao qual se denomina Matemática Aplicada. Sendo assim, dado o número de fenômenos e problemas não resolvidos que ainda temos, tendo em vista que ainda ocorrerão outras descobertas neste campo científico, é de suma importância a construção dos modelos gerarem inquietações investigativas para aquisição do conhecimento ao aluno. Em qualquer um dos dois casos representados pelas definições, um Modelo Matemático para ser desenvolvido requer, em geral, um longo processo. Na maioria das vezes, um cientista utiliza ideias que não foram criadas por ele, e, a partir delas, propõe e, desenvolve um determinado modelo matemático, através de pesquisas e experimentos. Nesse sentido, é imprescindível não ver a Matemática como uma ciência pronta e acabada. A aplicação da Modelagem Matemática em sala de aula deve-se cuidar para que de alguma maneira ocorra o alcance do conhecimento, através de conjecturas, investigações e resolução

3 dos problemas que irão surgir. Nesse sentido, o modelo matemático serve aos interesses do campo da Educação Matemática. Sobre isso Cury (2004) considera que Modelagem é um ambiente de aprendizagem no quais os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade (CURY, 2004, p. 66). Os processos de ensino e de aprendizagem na Modelagem dependem da participação de caráter mediador do professor e um envolvimento coletivo dos alunos. Segundo VERTUAN (2010): [...] as atividades de Modelagem Matemática levam os alunos a verem a Matemática como uma ferramenta para analisar, investigar e interpretar a realidade. Ao desenvolverem uma atividade deste tipo, utilizam vários conceitos matemáticos em problemas reais e se obrigam, inclusive, a conhecerem melhor outras áreas do conhecimento. Logo, a Modelagem não só é uma alternativa para o ensino e a aprendizagem de conteúdos matemáticos, como também é uma alternativa para a formação crítica dos alunos, os quais vivem numa sociedade em constante mudança. (VERTUAN, 2010, p. 06) A educação curricular tem privilegiado, na maior parte das vezes, que o processo de ensino seja focado no professor, dada a preocupação em se cumprir todo o conteúdo, em se falar tudo o que se sabe, em vez de se preocupar se de fato, tudo o que foi trabalhado tem sido aprendido pelos alunos. Na Modelagem Matemática, o fato de compartilhar o processo de ensino com o grupo ou grupos faz a diferença, constitui-se em uma mudança de postura por parte do professor. Essa atitude favorece o estabelecimento de relações afetivas mais fortes entre os alunos e entre professor e alunos. Afetividade que pode se manifestar em comprometimento e estudo. Em relação ao processo que vivenciam os alunos em uma atividade de Modelagem Matemática, pode-se dizer que, de modo geral, algumas ações são realizadas: i) Coletam-se os dados, muitas vezes experimentalmente; ii) Selecionam-se as variáveis; iii) Inicia-se com a formulação de um problema não necessariamente, inicialmente, matemático, destacando algumas hipóteses; iv) Escreve-se um modelo matemático que permite solucionar o problema;

4 v) Valida-se o modelo e utiliza-se dele para responder o problema inicial e refletir sobre a situação em estudo. 2.2 Introduzindo o conteúdo A Modelagem Altos e Baixos de Nemo, situação apresentada em (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012), foi desenvolvida em uma aula na disciplina de Modelagem Matemática no curso de Licenciatura em Matemática. A situação problema proposta era encontrar um modelo matemático para o vai e vem das marés, de forma também a encontrar previsões de marés cheias e marés rasas. A lua tem efeito sobre as marés? Se o efeito dela sobre as marés é dinâmico, ou seja, muda de acordo com o tempo, podemos representar essa variação de alguma maneira? Ou melhor, podemos determinar, com base em dados passados, qual será essa variação no futuro? Sim, é possível ao menos construir modelos que possibilitem previsões. Nós podemos representar o movimento das marés a partir do movimento da Terra em relação à lua e ao Sol e além disso, podemos determinar dias do ano que terão a mesma configuração (ou configurações parecidas), para a posição da lua, Sol, Terra? 2.3 Encontrando uma função que represente o movimento das marés Sabendo que as marés sobem e descem com o passar do tempo, podemos supor que as funções que melhor representam esse movimento são seno e cosseno. Podemos escolher uma delas e ao final verificar como "transformar"uma na outra. A tabela 1 apresenta dados referentes às alturas da maré em Paranaguá, no litoral paranaense, no dia 16/09/2016. Podemos plotar esses dados em um software gerador de gráficos, no nosso caso vamos utilizar o software GeoGebra. Tabela 1: Altura da maré de acordo com o horário Horário 3:30 9:20 16:15 21:40 Altura da maré (m) 1,7-0,1 1,7 0,1 Fonte: Tabua de marés (2016) Como a função seno é periódica, devemos aproximar os nossos dados às características da

5 função seno, como por exemplo, ter intervalos de tempo iguais entre as marés, para obter o período da função. Tabela 2: Convertendo horas em decimais Horário 3:30 9:20 16:15 21:40 Passa a ser 3,5 9,33 16,25 21,66 Fonte: Autores (2016) Tabela 3: Aproximar a pontos de uma função periódica Horário 3,5 9,33 16,25 21,66 Dividindo em intervalos de tempo iguais 3,5 9,55 15,6 21,65 Fonte: Autores (2016) Assim, a tabela que iremos utilizar como base para construir o gráfico será a tabela 4, onde também fizemos o cálculo da médias das duas marés altas e das duas marés baixas. Isso significa que consideramos simplificações no desenvolvimento do modelo matemático. Tabela 4: Tabela a ser plotada Horário 3,5 9,55 15,6 21,65 Altura da maré (m) 1,7 0 1,7 0 Fonte: Autores (2016) De acordo com a figura 1, podemos ver como ficam os novos pontos no gráfico e a distância deles aos originais. Figura 1: Relação dos pontos 3 3 Os pontos em vermelho representam os novos pontos e os pontos em azul os pontos originais.

6 Podemos perceber que a amplitude do gráfico da função seno é 1 e varia de [ 1, 1]. Logo, devemos ajustar a nossa função seno para que ela contenha todos os pontos máximos e mínimos. A constante que devemos encontrar na função f(t) = a + b sin(ct + d) é a letra b, pois o valor máximo que podemos encontrar de sin(ct + d) é 1, logo, b é a variável que modifica a amplitude do gráfico da função seno. Como a amplitude é definida como sendo a variação do ponto médio ao ponto máximo ou mínimo, devemos primeiramente saber qual é o poto médio, que no nosso caso será a letra a. Assim a move o gráfico da função seno verticalmente. Como sabemos os pontos de máximo e de mínimo, podemos calcular o ponto médio. Portanto a = 0, 85. max = 1.7 min = 0 a = 1,7+0 2 = 0, 85 Continuando, podemos calcular o valor de b. A amplitude do nosso gráfico deve variar de 0, 85 á 1, 7. Para calcular o valor de b basta fazer: 1, 7 = 0, 85 + b sin(ct + d) 1, 7 0, 85 = b 0, 85 = b Portanto a função que temos até o momento é: f(t) = 0, , 85 sin(ct + d). Observando o gráfico da figura 2 gerado por f(t) = 0, , 85 sin(ct + d), percebemos que devemos movimentar o gráfico no eixo horizontal e modificar seu período, para isso, devemos encontrar o valor das constantes c e d. Figura 2: Gráfico da função f(t) = 0, , 85 sin(ct + d)

7 A constante c, faz com que o gráfico modifique seu período. Verifiquemos que nos gráficos de funções f(t) = sin(t), f(t) = sin(2t), f(t) = sin(3t), f(t) = sin(4t), os períodos são respectivamente, 2π, π, 2π 3 e π 2. Que geram os gráficos das figuras 3, 4, 5 e 6. Figura 3: Gráfico da função sin(t) Figura 4: Gráfico da função sin(2t) Figura 5: Gráfico da função sin(3t)

8 Figura 6: Gráfico da função sin(4t) Logo, podemos calcular o valor de c com as seguintes informações: A distância de um ponto máximo a outro é a mesma que de um ponto mínimo a outro; Essa distância na função seno equivale a 2π; Essa distância no problema das marés equivale ao tempo de uma maré alta até a outra. Pelos valores obtido no gráfico, podemos perceber que p = 2π, pois o período da função c f(t) = sin(t) é 2π, da função g(t) = sin(2t) é π e da função j(t) = sin( 1 x) é 4π. 2 Na situação em estudo, 15, 6 3, 5 = 12, 1 (tempo de uma maré alta até a outra) 12, 1 = 2π c c = 2π 12,1 c = π 6,05 Portanto a nossa função até o momento é f(t) = 0, , 85 sin( π t + d), que está 6,05 representado graficamente na figura 7: Figura 7: Gráfico da função f(t) = 0, , 85 sin( π 6,05 t + d) Observando o gráfico, percebemos que quase temos uma função que modela o movimento das marés, mas ainda não temos certeza se a constante d é realmente 0, pois somente o gráfico não pode garantir isso. Sabemos que d movimenta o gráfico da função horizontalmente, sendo assim, podemos calcular da seguinte maneira: f(t) = 0, , 85 sin( π 6,05 t + d)

9 (como sabemos o valor de f(t) em um tempo t) 1, 7 = 0, , 85 sin( 3,5π 6,05 + d) 1, 7 0, 85 = 0, 85 sin( 3,5π 6,05 + d) 0,85 0,85 = sin( 3,5π 6,05 + d) (aplicando a inversa de seno em ambos os lados) arcsin(1) = arcsin(sin( 3,5π 6,05 + d)) π = 3,5π + d 2 6,05 π 3,5π = d 2 6,05 19π 242 = d Assim, a função que melhor modela o movimento da marés de acordo com o tempo é: f(t) = 0, , 85 sin( π t 19π ), representada na figura 8. 6, Figura 8: Gráfico da função f(t) = 0, , 85 sin( π 6,05 t 19π 242 ) Anteriormente foi comentado que podemos transformar uma função seno em uma função cosseno, para isso, basta somar π 2 a constante d, os alunos podem descobrir isso sozinhos, movimentando os controles deslizantes no software GeoGebra. Obviamente é possível fazer o inverso também, caso a atividade fosse iniciada com a função cosseno. 2.4 Validação Comparando a função encontrada com os pontos plotados no gráfico, podemos concluir que a função que encontramos se aproxima bastante da descrição do movimento das marés. Para respondermos a pergunta de termos uma configuração igual a esta, teremos que ter uma interpretação física do problema, que também pode ser validada. Percebemos que a configuração que tínhamos para o dia 16/09/2016 é inicio da lua cheia, e estamos quase no início da primavera, ou seja, a quantidade de luz absorvida pela Terra é quase igual nos dois hemisférios, para termos uma configuração parecida, teríamos que ter

10 uma lua cheia próxima ao início do outono, observando o calendário percebemos que este dia é 23/03/2016. Comparando as funções geradas pelos dias 16/09/2016 e 23/03/2016, temos os gráficos das figura 9: Figura 9: Gráfico das funções dos dias 23/03/2016 e 16/09/ Podemos perceber que os gráficos, apesar de serem diferentes, tem características muito parecidas, como os pontos de maré alta e baixa serem praticamente nos mesmos horários, e a altura das marés baixas e altas também estarem muito próximo. Para validar esse tipo de problema teríamos que fazer os cálculos para mais dias, e verificar se em algum desses dias os gráficos seriam ainda mais parecidos. 3 Considerações finais Para este trabalho foi utilizado o software GeoGebra, além de dados coletados na internet a respeito das marés, mais especificamente, do site (MARéS, 2016). O trabalho é de pesquisa e interpretação de dados. Onde depois de se fazer uma coleta dos dados na internet, optou-se por uma aproximação via a Modelagem Matemática. Com esses dados em mãos, procura-se descrever matematicamente o comportamento das marés em função do tempo. Após isso, faz-se uma interpretação dos resultados e procura-se validar estes resultados e responder as perguntas feitas inicialmente. Referências ALMEIDA, L. W. d.; SILVA, K. P. d.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na educação básica. São Paulo: CONTEXTO, CURY, H. N. Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos, propostas. [S.l.]: EDIPUCRS, O gráfico verde representa o dia 23/03/2016 e o gráfico azul representa o dia 16/09/2016.

11 GAZZETTA, M. A modelagem como estratégia de aprendizagem na matemática em cursos de aperfeiçoamento de professores. Rio Claro: [s.n.], MARéS, T. de. TÁBUA DE MARÉS E SOLUNARES Paranaguá < Acesso em: 04 out SWETZ, F. Quando e como podemos usar modelação? Educação e Matemática, v. 23, VERTUAN, R. Modelagem matemática na educação básica. UNESP, Rio Claro, 2010.