Coordenadas Baricéntricas

Transcrição

1 Geração de Malhas SME5827 Coordenadas Baricéntricas Afonso Paiva ICMC-USP 4 de outubro de 2013

2 Coordenadas Baricéntricas Denição O ponto v é o baricentro dos pontos v 1,..., v n com pesos w 1,..., wn se somente se v = w 1v wnv n w wn Os valores wi são as coordendas baricéntricas de v.

3 Coordenadas Baricéntricas Denição O ponto v é o baricentro dos pontos v 1,..., v n com pesos w 1,..., wn se somente se v = w 1v wnv n w wn Os valores wi são as coordendas baricéntricas de v. Coordenadas Baricéntricas Normalizadas wi(v) λ i (v) = w 1 (v) + + wn(v)

4 Coordenadas Baricéntricas Denição O ponto v é o baricentro dos pontos v 1,..., v n com pesos w 1,..., wn se somente se v = w 1v wnv n w wn Os valores wi são as coordendas baricéntricas de v. Coordenadas Baricéntricas Normalizadas λ i (v) = wi(v) w 1 (v) + + wn(v) Logo, v = i λ i v i com i λ i = 1, isto é, uma combinação convexa dos pontos v 1,, v n.

5 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 T x v 1 v 2 Objetivo: dado x T, queremos λ 1, λ 2, λ 3 0 tal que: λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1, e x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3

6 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo Precisamos resolver o sistema linear de ordem 3: v 1 1 v 1 2 v 2 1 v 2 2 v 3 1 v 3 2 λ 1 λ 2 λ 3 = 1 x 1 x 2

7 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo Precisamos resolver o sistema linear de ordem 3: v 1 1 v 1 2 v 2 1 v 2 2 v 3 1 v 3 2 λ 1 λ 2 λ 3 Pela Regra de Cramer a solução (única) é = 1 x 1 x 2 λ 1 = A 1, λ 2 = A 2, λ 3 = A 3. A v 3 A A A A 2 x A 1 A 3 v 1 v 2

8 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 x A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades

9 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 x A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R);

10 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 x A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ;

11 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 x A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(x) = 3 i=1 λ i(x)f (v i );

12 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 x A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(x) = 3 i=1 λ i(x)f (v i ); precisão linear: se f é linear g = f.

13 Coordenadas Baricéntricas em Polígonos v 4 v 3 v 5 x v 2 v n v 1 Seja Ω um polígono convexo. As funções λ i : Ω R, i = 1,..., n, são coordenadas baricéntricas se para todo x Ω, temos λ i 0, i = 1,..., n e x = n λ i (x)v i, i=1 n λ i (x) = 1 i=1

14 Wachspress Coordinates: Wachspress, 1973 v i+1 x v i v i-1 Dado um polígono convexo com n vértices. Seja λ i (x) = wi(x) n j=1 w j(x) com wi(x) = A(v i 1, v i, v i+1 ) A(x, v i 1, v i )A(x, v i, v i+1 ) Então λ 1,..., λ n são coordenadas baricéntricas.

15 Wachspress Coordinates: Wachspress, 1973 Prova: Sejam Ai = A(x, v i, v i+1 ) e Bi = A(v i 1, v i, v i+1 ) Assim, podemos escrever x como: e reagrupando: x = A i Bi Ai 1Ai Bi Somando os dois lados em i: v i 1 + (B i Ai 1 Ai) Bi v i + A i 1 v i+1 Bi (v i x) = 1 (v i v i 1 ) 1 (v i+1 v i ) Ai 1 Ai Bi Ai 1Ai i (v i x) = 0 i wi(v i x) = 0 x = i wi v i j w j

16 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 v i+1 x α i α i-1 v i v i-1 Dado um polígono convexo com n vértices. Seja λ i (x) = wi(x)/ n j=1 w j(x), onde [ ( ) ( )] 1 αi 1 (x) αi (x) wi(x) = tan + tan v i x 2 2 Então λ 1,..., λ n são coordenadas baricéntricas.

17 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Prova: Fazendo e i = (v i x)/ v i x, basta provar que n i=1 [ tan ( αi 1 2 ) + tan ( αi 2 )] e i = 0 n tan i=1 ( αi 2 ) (e i + e i+1 ) = 0 Para mostrar isto, faça e i = (cos(θ i ), sin(θ i )) e α i = θ i+1 θ i. Logo, tan ( αi ) ( αi ) (e i + e i+1 ) = tan (cos(θ i ) + cos(θ i+1 ), sin(θ i ) + sin(θ i+1 )) 2 2 = (sin(θ i+1 ) sin(θ i ), cos(θ i ) cos(θ i+1 )) Somando a última expressão em i, temos i w i(v i x) = 0.

18 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Não é limitado a polígonos convexos, pode ser estendido para pontos no núcleo de um polígono estrelado. Propriedades

19 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Não é limitado a polígonos convexos, pode ser estendido para pontos no núcleo de um polígono estrelado. Propriedades linearidade na fronteira: λ i [vi,v i+1] L(R 2 ; R);

20 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Não é limitado a polígonos convexos, pode ser estendido para pontos no núcleo de um polígono estrelado. Propriedades linearidade na fronteira: λ i [vi,v i+1] L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ;

21 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Não é limitado a polígonos convexos, pode ser estendido para pontos no núcleo de um polígono estrelado. Propriedades linearidade na fronteira: λ i [vi,v i+1] L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(x) = n i=1 λ i(x)f (v i );

22 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Não é limitado a polígonos convexos, pode ser estendido para pontos no núcleo de um polígono estrelado. Propriedades linearidade na fronteira: λ i [vi,v i+1] L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(x) = n i=1 λ i(x)f (v i ); precisão linear: se f é linear g = f.

23 Mean Value Coordinates (MVC): Floater, 2003 Não é limitado a polígonos convexos, pode ser estendido para pontos no núcleo de um polígono estrelado. Propriedades linearidade na fronteira: λ i [vi,v i+1] L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(x) = n i=1 λ i(x)f (v i ); precisão linear: se f é linear g = f. suavidade: C 0 em v i, caso contrário C

24 Aplicação: deformação

25 Aplicação: deformação Algoritmo: Dado x Ω.

26 Aplicação: deformação Algoritmo: Dado x Ω. 1. Escreva x na forma x = i λ i(x)v i usando MVC;

27 Aplicação: deformação Algoritmo: Dado x Ω. 1. Escreva x na forma x = i λ i(x)v i usando MVC; 2. Faça x = i λ i(x)v i.

28 Aplicação: parametrização de malhas Próxima aula...