PROF. 2 o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. IV

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1 PROF. 2 o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. IV

2 Direção Executiva: Fabio Benites Gestão Editorial: Maria Izadora Zarro Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico: Alan Gilles Mendes Alex França Dominique Coutinho Erlon Pedro Pereira Estevão Cavalcante Paulo Henrique de Leão Estagiários: Amanda Silva Fabio Rodrigues Gabriel Sousa Gustavo Macedo Lucas Araújo Autores: Biologia: Alexandre Bandeira Filosofia: Gustavo Bertoche Física: Wilmington Collyer Geografia: Gonzalo Lopez História: Roberto José Alves Leitura e Produção: Vinícius Carvalho Língua Espanhola: Mizael Souza Língua Inglesa: Caroline Carvalho Língua Portuguesa: Vinícius Carvalho Literatura: Vinícius Carvalho Matemática: Ricardo Viz Química: André Ventura Sociologia: Anne Nunes Irium Editora Ltda Rua Desembargador Izidro, n o Tijuca - RJ CEP: Fone: (21) Atualizações: Língua Espanhola: Karina Paim Língua Inglesa: Maria Izadora Zarro Matemática: Gabriella Moreira Química: Beattriz Guedes É proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, inclusive quanto às características gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

3 Apresentação: Olá, querido aluno. O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com uma proposta de educação exigente e plural. Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros. Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro? Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos. Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funciona para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

4 No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações relevantes e que conversam com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem. com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo. Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa seção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na íntegra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box. Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quantidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube. Além dos exercícios tradicionais, de concursos, propomos uma atividade mais experimental no final de cada capítulo. Na seção Pesquisando, você encontrará uma proposta de reflexão e/ou pesquisa com o intuito de tornar o aprendizado teórico mais prático e concreto. Essa atividade poderá ser usada para seminários e apresentações, de acordo com a agenda pedagógica da escola. Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você encontrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer. A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você. #vamboraaprender A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo. Fabio Benites Diretor-geral (Nelson Mandela)

5 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2º ANO 2016 / 2017 MATEMÁTICA I 1 o BIMESTRE EM2MAT01: Estatística: como organizar e interpretar dados matemáticos? Reconhecer os tipos de gráficos (barras, setores e linhas); Compreender a tabela de frequência e o histograma; Diferenciar as medidas de tendência central e de dispersão assim como identificar as medidas de tendência central ou de dispersão em um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências com dados agrupados ou em gráficos; Resolver problemas envolvendo as medidas de tendência central e de dispersão e de exercícios com análise de gráficos. 2 o BIMESTRE EM2MAT02: Análise Combinatória: aprendendo a fazer diversos tipos de contagem Assimilar a importância do processo de tomada de decisões e princípios multiplicativos; Apresentar a operação fatorial e o seu funcionamento; Introduzir o Princípio Fundamental da Contagem como base para a Análise Combinatória; Estabelecer os conceitos de permutação, arranjo e combinação, bem como suas restrições; Aplicar as ferramentas desenvolvidas em problemas contextualizados e atuais. 3 o BIMESTRE EM2MAT03: Probabilidade: como calcular a probabilidade de eventos? Estruturar as noções de Espaço Amostral, Evento e Probabilidade; Resolver problemas iniciais de probabilidade; Reconhecer a dependência ou independência de eventos; Perceber como elas afetam o cálculo de probabilidades condicionais; Utilizar conectivos e e ou para tratar de probabilidades com mais de um evento. 4 o BIMESTRE EM2MAT04: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos. 1

6 MATEMÁTICA II 1 o BIMESTRE EM2MAT05: Matrizes: como estudar matrizes, determinantes e sistemas lineares? Compreender o significado de uma matriz; Realizar operações envolvendo matrizes; Calcular determinantes de matrizes quadradas e assimilar as diversas propriedades associadas às matrizes; Utilizar conceitos de matrizes para determinar conjuntos-solução de sistemas lineares. 2 o BIMESTRE EM2MAT06: Geometria Espacial: como estudar poliedros, prismas e pirâmides? Compreender a definição de poliedro, sua classificação e a aplicação da relação de Euler; Reconhecer prismas e calcular suas áreas da base, lateral e total e volume, inclusive de paralelepípedo e cubo. Reconhecer pirâmides e calcular suas áreas da base, lateral e total e volume, inclusive do tetraedro regular. Resolver problemas envolvendo poliedros, prismas e pirâmides. 3 o BIMESTRE EM2MAT07: Geometria Espacial: estudando cilindros, cones e sólidos de revolução Definir o que é um cone, mostrando seus principais elementos, planificações, e deduzindo os cálculos de áreas e volume; Resolver problemas envolvendo sólidos de revolução, em especial cilindros e cones; Definir o que é um cilindro, apresentando seus principais elementos, planificações, e os cálculos de áreas e volume; Construir cilindros a partir da revolução de figuras planas. 4 o BIMESTRE EM2MAT08: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos. 2

7 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO ENSINO MÉDIO 2017/2018 O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora. Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico. Veja algumas páginas: 1

8 Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br. Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas: Fundamento 01: Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento. Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo). Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem com o objetivo em mente, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos. Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados. Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal. 2

9 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 Fundamento 03: Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação. Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br. Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente dialoga com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano Formação do Brasil colonial, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno. 3

10 Fundamento 04: Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno. Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no conteudismo puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria. Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como gancho para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil. 4

11 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem. Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto conversa com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado. Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse conversando com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos. 5

12 Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos. Descrição: Há três seções de exercícios tradicionais. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br. Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 praticando 1 teoria 2 praticando 2... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados para casa para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte. Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão. Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões tradicionais são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM. 6

13 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios fora da caixinha, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação. A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo. Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo. Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária. 7

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15 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 MATEMÁTICA I CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ENSINO MÉDIO 2017 o 2 ano 4 o bimestre: Aula: 29 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: Sequências Exercícios: x Para casa: Praticando 1 ao 5 Aula: 30 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: PA Exercícios: x Para casa: Praticando 6 ao 12 Aula: 31 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: PA Exercícios: x Para casa: Praticando 13 ao 20 Aula: 32 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades 9

16 e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: PG Exercícios: x Para casa: Praticando 13 ao 30 Aula: 33 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: PG Exercícios: x Para casa: Praticando 31 ao 38 Aula: 34 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: x Exercícios: Aprofundando Para casa: Aprofundando Aula: 35 Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos Subtópicos: x Exercícios: Aprofundando Para casa: Desafiando e Pesquisando Aula: 36 Tópico: Revisão Objetivos: Subtópicos: Revisão Exercícios: Revisão bimestral Para casa: Revisão bimestral 10

17 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 MATEMÁTICA II 4 o bimestre: Aula: 29 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos Subtópicos: Esfera Exercícios: x Para casa: Praticando 1 ao 8 Aula: 30 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos Subtópicos: Solidos semelhantes e troncos Exercícios: x Para casa: Praticando 9 ao 15 Aula: 31 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos Subtópicos: Solidos de revolução Exercícios: x Para casa: Praticando 16 ao 18 Aula: 32 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos 11

18 Subtópicos: Inscrição e circunscrição de solidos Exercícios: x Para casa: Praticando 19 ao 25 Aula: 33 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos Subtópicos: x Exercícios: Aprofundando Para casa: Aprofundando Aula: 34 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos Subtópicos: x Exercícios: Aprofundando Para casa: Aprofundando Aula: 35 Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos Subtópicos: x Exercícios: Aprofundando Para casa: Desafiando e Pesquisando Aula: 36 Tópico: Revisão Objetivos: Subtópicos: Revisão Exercícios: Revisão bimestral Para casa: Revisão bimestral 12

19 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS ORIENTADOR METODOLÓGICO Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas Objetivos: Compreender a definição de poliedro, sua classificação e a aplicação da relação de Euler; Reconhecer prismas e calcular suas áreas da base, lateral e total e volume, inclusive de paralelepípedo e cubo; Reconhecer pirâmides e calcular suas áreas da base, lateral e total e volume, inclusive do tetraedro regular; Resolver problemas envolvendo poliedros, prismas e pirâmides. Praticando 1) Como a_1=16 e 2an+1 = a n temos que 2a 2 =a 1 = 16 a 2 = 8 2a 3 =a 2 = 8 a 3 = 4 2a 4 = a 3 = 4 a 4 = 2 2a 5 =a 4 =2 a 5 = 1 2) Sabendo que f(0) = 1 e f(n+1)=(4f(n)+1 )/4 pode- -se observar que: f(1)=f(0+1)=5/4 f(2)=f(1+1)=((4.5/4)+1)/4=6/4 f(3)=f(2+1)=((4.6/4)+1)/4=7/4 Pode-se perceber que um termo é igual a seu antecessor somado a 1/4. Logo, como entre 1 e 44 há 44 números temos que f(44)=f(0)+44.1/4=12 Gabarito: D 3) Nessa sequência podemos observar que um termo é igual a seu antecessor somado a 2/6. Logo como entre 2 e 30 há 29 números temos que a 30 =3/6+29.2/6=61/6 Gabarito: B 4) Como f(n+1)=(5f(n)+2)/5 e f(1)=5 podemos observar que: f(2)=f(1+1)=(5f(1)+2)/5=(5.5+2)/5=27/5 f(3)=f(2+1)=(5f(2)+2)/5=(5.27/5+2)/5=29/5 f(4)=f(3+1)=(5f(3)+2)/5=(5.29/5+2)/5=31/5 Logo, podemos perceber que nessa sequencia um termo é igual a seu antecessor somado a 2/5. Como entre 2 e 101 há 100 números, temos que a 100 = /5 = 225/5 = 45 Gabarito: A a 2 =4+3 a 3 =(4+3)+3.2 a 4 =( )+3.3 Então, podemos afirmar que a 51 = =4+3( )= =3829 Gabarito: A 6) Sabendo que a 17 = 47 e r = 2,75 temos que: a 17 =a r 47= a ,75 a 1 =3 Gabarito: E 7) Para essa sequência ser uma PA temos que: r=(x-2)-(1-3x)=(2x+1)-(x-2) 4x-2x+x= x=6 x=2 8) Sejam x-2, x e x+2 os lados desse triângulo temos por Pitágoras que: (x+2)^2=x 2 +(x-2) 2 x 2 +4x+4=x 2 +x 2-4x+4 x 2-8x=0 x(x-8)=0 x=0 ou x=8 Como x é uma medida x deve ser diferente de 0. Portanto, x =8. Com isso os lados do triângulo serão 6, 8 e 10. Logo seu perímetro será = 25. 9) Sabendo que a 2 =a 1 +r; a 7 = a 1 +6r; a 4 = a 1 +3r e a 9 =a 1 +8r 5) Nessa sequência, podemos observar que o primeiro termo é a 1 = 4, logo os subsequentes serão: 1 EM2MAT04

20 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS Então os 4 primeiros termos dessa sequencia são: 10) a 1 = 11 a 2 = 3 a 3 = 5 a 4 = 13 11) O primeiro múltiplo de 15 entre 1 e é o próprio 15 e o maior múltiplo de 15 menor que é Como de 15 em 15 elementos teremos um múltiplo de 15, pode-se afirmar que temos uma PA de razão 15, então a_1=15 e a_n= Portanto, a n =9990=15+(n-1).15 n=666 Logo, como entre 1 e há números = 9334 fichas não foram analisadas. Gabarito: E 12) Pode-se observar que entre 50 e 400 o primeiro múltiplo de 6 é 54 e o último múltiplo de 6 é 396. Então temos uma PA de razão 6 onde a 1 = 54 e a n =396, logo pela fórmula do termo geral temos que: a n = 396=54+(n-1).6 n = 58 Logo, há 58 números múltiplos de 6 entre 50 e ) Nessa PA, r = +4 e a 1 = -8, então a 40 = -8+(40-1).4 a 40 =148. Portanto, S n =(-8+148).40/2= ) Sabendo que 2a 1 + a 3 = 11 e a 2 3a 5 = -12 temos que: Logo, a 60 = -5+(60-1).2 = 113, portanto, S n = (-5+113).60/2 = ) Nesse caso temos uma PA de razão r = 1 onde a 1 =1e S n = 171, portanto como a n =1+(n-1).1 a n = n, temos que: S n =171=(1+ a n ).n/2 = (1+n)n/2 n 2 +n-342=0 n = -25 ou n=24 Como n é um número inteiro positivo temos que n = 24. Então foram feitas 24 linhas. 17) Temos uma PA, onde n= 30, a 1 = 1 e r = 2 então temos que a 30 =1+(30-1).2 = 59. Portanto, S n = (1+59).30/2 = 900 Logo, serão usadas 900 latas. 18) Considerando que todos os frascos tenham comprimidos massa igual a 20 mg, a massa total T dos comprimidos corresponderia a: T = (20) + 3(20) (20) T = 20( ) Logo, a soma entre parênteses é a de uma PA de razão 1, portanto: S=(1+15).15/2= 120 T= T=2400mg Como a balança verificou que a massa total de comprimidos corresponde a 2540 mg, temos que a massa excedente corresponde a massa excedente dos n comprimidos de 30mg em relação aos de 20mg, ou seja as 10mg a mais. Portanto: 10 n = n = 140 n = 14 A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é 14. Gabarito: C 19) Temos que a 1 = 20 e r=5, como o livro tem 17 páginas com 25 linhas cada, o escritor escreveu no total 17.25= 425 linhas, logo S (n) =425. Como a n = 20+(n-1).5=15+5n temos que: S n = 425 = ( n) n/2 n 2 + 7n 170 = 0 n = 17 ou n = 10 Como n é um número inteiro positivo temos que n = 10. Portanto, o escritor terminou de escrever o livro em 10 dias. 15) Pode-se notar que entre 40 e 400 o primeiro múltiplo de 6 é 42 e o último múltiplo de 6 é o número 396. Então temos uma PA onde r = 6, a 1 = 42 e a n = 396. Portanto, a n = 396=42+(n-1).6 n=60 Logo, S n = (42+396).60/2 = ) Temos uma PA de razão r = 12 Então chamemos a primeira linha de a_1= 12 a 20 = a 1 + (n-1)r a 20 = = 240 Portanto, S 20 = ( )20/2 = 2520 EM2MAT04 2

21 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 21) Temos que q = (x+9)/x = (x+45)/(x+9) (x+9) 2 = x(x+45) 27x = 81 x = 3 22) Nessa PG q = 6/3=2 e a 1 = 3. Portanto, a 5 = 3.2 (5-1) = = 48 23) Temos que a 1 = 3,a n =384 e q = 6/3 = 2, portanto, a n = 384 =3.2(n-1) 2 (n-1) =128 = 2 7 n-1=7 n=8. 24) Sabe-se que a_1+ a_3=130 e a_2+a_4=650, então temos que: 25) Então essa PG é (5, 25, 125, 625) 26) Para interpolar 4 meios geométricos entre 2 e 486 teremos a PG = 2,2q,2q 2,2q 3,2q 4,486) então q=486/(2q 4 ) q 5 =243 q=3 Então, os termos serão 6, 18, 54, ) Na PA (x, y, 10) temos que r = y-x = 10-y x = 2y-10 Já na PG (x, y, 18) temos que q=y/x=18/y y 2 = 18x Substituindo a primeira relação encontrada na segunda, temos que: y 2 = 18(2y-10) y 2-36y+180=0 y=6 ou y=30 Se y=6 x=2,se y=30 x=50, mas nesse segundo caso x > y logo não estão em PA ou PG crescente. Portanto, vale y=6 e x=2. 28) O terceiro termo da PA será 3x pois r =x. Já na PG o terceiro termo será 4x pois q = 2. Logo, 3x + 4x = 7x. Gabarito: D 29) Seja a PA ( 1, 1+r, 1+2r, 1 + 3r ) e a PG (1, 2, 4, 8) temos que S PA = 4+6r e S PG =15 logo, 4+6r=15 6r=11 r= 11/6 Gabarito: E 30) Como os retângulos são semelhantes para calcular a área vamos calcular o número de partes do retângulo. Vamos contar quantos triângulos pequenos há em cada retângulo. Fazendo isso chegaremos em 32 4 = = 128. Agora ao contar quantos triângulos pequenos foram pintados em cada retângulo temos que: R1 16R1 16; R2 8R2 8; R3 4R3 4 Logo, temos a PG(16/128;8/128;4/128) Que equivale a PG (1/8,1/16,1/32) Logo a razão da PG é 1/2. Gabarito: C 31) Na PG (2, 4, 8,...) temos que q=4/2=2. Logo, temos que: S n = 2(2 8-1)/(2-1)=2.255=510 32) Na PG (2, 6,...) temos que a_1=2 e q=6/2=3. Para S_n=242 então S n =(a 1 (q n 1 ))/(q-1)=242 2(3 n 1 )/2=242 3 n 1 =242 3 n =243 3 n = 3 5 n=5 Como nessa PG há dois termos é necessário somar mais 3 termos. 33) Temos que 10x+20x+40x x = x.( ) = 7650 Observe que há uma soma da PG= (10, 20, 40,..., 1280) de razão q=2. Logo, a_1=10 e a_n=1280,logo 1280= 10.2 (n-1) 2(n-1)=128 2(n-1)=2^7 n=8 Portanto, S n = (a 1 (q n-1 ))/(q-1) = 10(2 8 1)/ 1= = Com isso 2550x = 7650 x = 3. 34) a) Temos a PG infinita (40, 20, 10,...) de razão q = 1/2, logos = a 1 /(q-1) = 40/(1-1/2) = 80 Portanto, 40x + 20x+10x+...= ( )x= 80x=160 x = 2 b) Temos que x 2 x 2 /2+x 2 /4-x 2 /8+ =x 2 /2+x 2 /4+ = 24 então temos a PG infinita (1/2,1/4, ) de razão q = 1/2. Logo, S = a 1 /(q-1)=(1/2)/(1-1/2) = 1. Portanto, x 2 /2+x 2 /4+ = x 2 (1/2+1/4+ )=x 2 =24 x=2 6 35) Na PG infinita (9,3,1,...) temos que q = 1/3. Logo a 4 = 1/3,a 5 = 1/9 e a 6 = 1/27. Portanto, ao multiplicar os 6 primeiros termos dessa PG temos (1/3).(1/9).(1/27)=1/27 36) a) 1/9 b) 25/99 c) 507/99 3 EM2MAT04

22 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 37) a) Temos a seguinte figura f(1+1) = f(1) + 1 f(2) = 3 f(2+1) = f(2) +1 f(3) = 4 Logo, temos uma PA de razão r = 1. Então f(200) = f(1) = = 201 Gabarito: B 42) Temos que a primeira sequência é uma PA de razão r = 2, logo a n = 3+(n-1).2 = 2n + 1. Já a segunda sequência é uma PA de razão r = 3, logo b n = 3 + (n-1). 3 = 3n Como c n = a n + b n = 2n n = 5n + 1 Logo, c 20 = = 101 Gabarito: C O perímetro do primeiro triângulo será 3+3+3= 9. Já o segundo triângulo será 3/2+3/2+3/2=9/2. Logo, temos a PG infinita (9,9/2, ) de razão q=1/2. Portanto a soma dos perímetros será S=9/(1-1/2)=18cm b) A área do primeiro triângulo será A 1 =(9 3)/4, já a área do segundo triângulo será A 2 =(9 3)/16. Logo, temos a PG infinita ((9 3)/4, (9 3)/16,...) de razão q = 1/4. Portanto a soma das áreas será S=((9 3)/4)/(1-1/4)=((9 3)/4)/(3/4)=3 3 cm 2 38) Ao soltar a bola ela encontra o solo e sobe até a metade da altura inicial, então chamando de d a distância percorrida pela bola a cada vez que bate no solo e sobe, temos que d 1 = h+h/2 = 3h/2,d 2 = h/2 + h/4 = 3h/4, d 3 = h/4+h/8 = 3h/8, logo temos a PG infinita (3/2,3/4,3/8, ) de razão q = 1/2 logo sua soma será S = (3h/2)/(1-1/2) = (3h/2)/(1/2) = 3h Aprofundando: 39) Sabendo que a(n+1 ) a n = 2,logo r=2 como a 2 = 5, pode-se perceber que a(1+1) a 1 = 3. Portanto, a 100 =a r = = ) Sabendo que f(0)=1 e f(n+1) = f(n) +3 é possível observar que: f(0+1) = f(0) + 3 f(1)= 4 f(1+1) = f(1) + 3 f(2) = 7 f(2+1) = f(2) +3 f(3) = 10 Logo, temos uma PA de razão r=3. Então f(200) = f(1) = 4+597=601 Gabarito: C 41) Sabendo que f(0)=1 e f(n+1) = f(n) +1 é possível observar que: f(0+1) = f(0) + 1 f(1)= 2 43) Considerando x a distância entre as cidades C e D e dado que a distância entre B e C mede 10 km a mais que a distância entre C e D, e ainda, que a distância entre A e B mede 10 km a mais que a distância B e C. Como a distância entre as cidades A e D é de 390 km, podemos calcular o valor de x usando a equação abaixo: (10+10+x)+(10+x)+x=390 3x =360 x=120 Se considerarmos que d(a,b), d(b,c) e d(c,d) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética decrescente, podemos escrever: (140,130,120, ) onde a razão é r= -10. Portanto, para calcularmos o vigésimo termo desta progressão: a 20 = 140+(20-1).(-10) a 20 = 50 Gabarito: A 44) A sequência formada pelos números das senhas das pessoas que estavam na fila, incluindo a do último cliente que chegou ao banco, correspondia à seguinte progressão aritmética: (37, 38, 39..., 49). Após a desistência de algumas pessoas, formou-se a seguinte P.A., de razão R e número de termos n: (37, a2, a3, a4,..., 49). Portanto, a n =49=37+(n-1).r 12=(n-1)r n=12/r+1 A P.A. tem menos de 13 elementos. Assim, para o valor de n ser máximo, R deve ser igual a 2. Logo, n=12/2+1 n = 7. Gabarito: B EM2MAT04 4

23 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 45) Como é pretendido instalar 10 telefones entre os km 31 e 229 teremos no total 12 telefones. Nesse caso temos uma PA onde a 1 =31 e a 12 = 229 logo, a 12 = 229=31+(12-1).r 198 = 11r r = 18 Portanto, a distância entre cada telefone será 18km. 46) Temos uma PA onde a 1 = 40,r=6 e a n = 136,então: a n = 136 = 40+(n-1).6 96 = (n-1).6 n = 17 Como deve-se excluir o primeiro sábado, temos que houveram 17-1 = 16 sábados. Gabarito: B 47) Sabe-se que os preços dos livros estão em uma PA e que a 3 + a 4 + a 5 = 5(a 1 + a 2 ), portanto, temos que: 3a 1 +9r=5(2a 1 +r) 3a 1 +9r=10a 1 +5r 7a 1 =4r a 1 =4r/7 Sabendo que a 1 é um número inteiro positivo, temos que o menor valor de r que satisfaz essa condição é r = 7. Logo, a 1 =4,a 2 = 11,a 3 = 18,a 4 = 25 e a 5 = 32 Logo, o valor a ser desembolsado pelo professor será S = = 90 Gabarito: A 48) a) Sabendo que a soma dos ângulos internos de um pentágono é S=180(5-1)=720. Sejam os ângulos em PA (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r) pode-se afirmar que: x+2r+x+r+x+x-r+x-2r=720 5x=720 x=144 Então um dos ângulos desse pentágono mede 144 b) Como a 3 = x = 144, temos que a 3 = a 1 +2r = 144 a 1 = 144-2r. Supondo a 1 < r<36 r> 54. Note que ao escolher valores de r maiores que 144 teremos valores negativos para o primeiro termo da PA. Como ângulos são sempre maiores que zero, pode-se afirmar que afirmação a 1 <36 é falsa. 49) Pode-se notar que entre 100 e 250, o primeiro múltiplo de 7 é 105 e o último é 245. Então temos uma PA r=7,a 1 =105 e a n =245. Portanto, a n = 245=105 + (n-1).7 140=(n-1).7 n=21 Logo, a soma dos termos dessa PA será: S 21 =( ).21/2=3675 Gabarito: E 50) O primeiro número par de dois algarismo é o número 10, já o último número será 98. Com isso temos uma PA onde r = 2,a 1 = 10 e a n =98. Portanto, a n = 98 = 10+(n-1).2 88=(n-1).2 n=45 Então, S 95 =(10+98).45/2=2430. Com isso temos que a média aritmética será M = 2430/45=54 Gabarito: E 51) Na PA (-7, -3,...) temos r= 4 e a 1 = -7 e S n =3150. Como: a n = -7+(n-1).4 = 4n-11 temos que: S n = 3150=(-7+4n-11).n/2 2n^2-9n-3150 = 0 n=-75/2 ou n=42 Como n é um número inteiro positivo, temos que n = 42. Como já é conhecido dois termos, temos que resta somar a eles 42-2=40 termos. Gabarito: A 52) Sabe-se que a 4 = 7,a_30=111, portanto, temos que: { (a 1 + 3r = 7a 1 +29r = 111) 26r = 104 r=4 a 1 =-5 Logo, a 20 = -5+(20-1).4 = 71, com isso S 20 = (-5+71).20/2 = 660 Gabarito: C 53) Sabe-se que n = 51,a 26 = 2, então, a 26 = a r = 2. Por outro lado, S 51 = (a 1 + a 51 ). 51/2 = (2a n)51/2 = (a n) 51 = 2.51 = 102 Gabarito: C 5 EM2MAT04

24 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 54) Sabe-se que S_n=3n+2n 2, podemos afirmar que: S 1 = a 1 = = 5 e S 2 =a_1+a 2 = =14 a 2 =9, portanto, como temos uma PA a 2 -a 1 = r r=4. Logo, a 12 = 5+(12-1).4 = 49 Gabarito: C 55) Em relação ao 1º corredor sabe-se que: a 1 = 8 e r 1 = 2 então: a n1 = 8 + 2(n-1) = 8 + 2n 2 = 2n + 6) Já em relação ao 2º corredor, sabe-se que: a 1 = 17 e r 2 = 1 então: a n2 = 17 + (n-1).1= 17 + n - 1 = n + 16 Como a última distância percorrida foi a mesma, então a n1 = a n2 2n + 6 = n + 16 n=10 Portanto, S 1 = n(8 + 2n + 6)/2 = n(2n + 14)/2 = n(n+7) = 10(17) = 170 e S 2 = n((17 + n + 16)/2 )= n((n + 33)/2)=10.43/2=215 Logo, S 1 + S 2 = ( ) km = 385 km. 56) Se de baixo para cima o número de placas por fileira vai sendo sucessivamente dividido por 2, então, de cima para baixo irá sendo sucessivamente multiplicado por 2, donde se depreende que cada fileira deverá conter uma quantidade de placas que será igual a uma potência de 2. Se a última deverá conter apenas uma placa, sua quantidade, obviamente, deverá ser representada por 2⁰ =1. Por outro lado, temos que o número de fileiras de placas será n=3,50/0,50 = 7. Com isso, temos uma PG onde a_7=1,q=1/2, logo: a 7 = a 1.(1/2)(7-1) = 1 a 1 = 64 Portanto, S 7 = 64((1/2) n-1 )/((1/2-1) )=64(1/128-1)/ (-1/2)=-128(1/128-1)=-1+128=127 Gabarito: E 57) Temos uma PG onde q = 2 e a 1 = 1000 a) às 11h terão se passado 3 horas, então n=3 a 3 = (3-1) =4000 b) Nesse caso, a_n=512000, então a n = (n-1)= (n-1) =512=2 9 n-1=9 n=10 Como as bactérias começaram a crescer às 8h temos que esse número é atingido às 8+10= 18h. 58) Temos que a 1 = 5000 e a 3 =6050 logo, como temos uma PG, vale que a 2 /a 1 =a 3 /a 2 a 2 =a 1.a 3 a 2 = a 2 =5500 a 4 /a 3 =a 3 /a 2 a 4 =(a3 2 )/a 2 a 4 = /5500 a 4 = 6655 Portanto o aumento foi de a 4 -a 2 = = 1155 Gabarito: C 59) Seja x um número para existir a PG (1-x,11/8- -x,31/16-x) temos que: Gabarito: C 60) Temos a PA (4,4+r,4+2r)e a PG(4,4q,4q 2 ) e sabe-se que: (4+r)=4q+2 r=4q-2 Como o terceiro termo de ambas são iguais, temos que: 4+2r=4q 2 4+2(4q-2)=4q 2 4+8q- -4=4q 2 q 2-2q=0 q(q-2)=0 q=0 ou q=2 Como, q 0,temos que q=2. Logo, o terceiro termo é =16 Gabarito: D 61) Da PA (1, a, b) temos que a-1=b-a b=2a-1 Da PG (1, b, a) temos que b/1=a/b b 2 =a Portanto, (2a-1) 2 =a 4a 2-4a+1=a 4a 2- -5a+1=0 a=1 ou a=1/4 Como temos uma PG não constante, a não pode ser 1. Logo a=1/4 Gabarito: B 62) Temos que x+x/3+x/9+ =(1+1/3+1/9+ ) x=60 Logo, temos uma soma infinita de uma PG onde q=1/3 e a_1=1. Portanto S=1/((1-1/3) )=1/(2/3)=3/2 Com isso, temos que (1+1/3+1/9+ )x=3/2 x=60 x=40 Gabarito: B EM2MAT04 6

25 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 63) Temos uma PG onde a 1 = 1,q = 3 e n = 7 Como é desejado saber o número de frutos atacados pela moléstia devemos calcular a soma de todos os frutos atacados durante os 7 dias, logo tem-se S 7 = 1.(1-3 7 )/(1-3)=(1-2187)/(-2)=-2186/(-2)=1093 Gabarito: E 64) Temos a PG (6, 6/4, 6/16...) onde q=1/4. Devemos calcular a soma infinita dos termos, logo temos que S = a 1 /(1 - q) S=6/(1-1/4) S=6/(3/4) S=8 Gabarito: 8 65) Temos uma PG de razão q=2 onde a 1 =1 Entre o dia 1 e o dia 24 temos 24 dias, logo n = 24. Com isso, o valor recebido no dia 24 será a 24 = 1.2 (24-1) = 2 23 Como o valor do presente deve ser o dobro do valor recebido no dia temos que o valor do presente deve ser = Por outro lado, sabemos que a quantia recebida pelo filho nesse período será S 24 = 1( )/(1-2)= Logo, o presente do pai será equivalente a toda quantia recebida mais 1 real. Gabarito: D 69) Sabe-se que a 1 = 10, logo temos que: log (a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ) = log (a 1 6 q 15 ) = log ( 10 6.q 15 )= 6 +15log q = 36 15log q = 30 log q = 2 q = 10 2 q = ) Temos duas PGs infinitas, primeiro vamos fazer a soma das alturas atingidas após a primeira colisão com o chão, que nos dá a seguinte sequência: (2/3 a,4/9 a, ) de razão q = 2/3. Logo S 1 = (2a/3)/(1-2/3) = (2a/3)/(1/3) = 2a Agora é preciso calcular a somas das "quedas" da bola desde a, que nos dá a seguinte sequência: (a,2/3 a,4/9 a,...). Logo, S 2 = a/(1-2/3)=3a Somando os espaços de subida S 1 e de decida S 2 vamos te 5h. 66) Na PG (a 1,a 2,a 3 ) temos que a 3 = ((a 1 +a 2 ))/6=(a 1 +a 1 q)/6, por outro lado, a 3 = a 1 q 2, logo a 1.q 2 = (a 1 + a 1 q)/6 q 2 =(1+q)/6 6q 2 -q-1 = 0 q = 1/2 ou q = 1/3 Como temos uma PG decrescente, temos que q = 1/2 Desafiando: 67) Como r = 20 temos uma PA (x, x+20, x+40, x+60). Logo sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360, temos que 4x+120=360 4x = 240 x=60 Logo, o maior ângulo será 60+60= ) Sabe-se que há 40 níveis. Observando a figura temos que primeiro nível é constituído de 2 cartas, a razão é 3 logo temos a PA (2, 5, 8). Logo, a 40 = a r a 40 = a 40 = 119 Sendo assim, S n = (a 1 + a n ).n/2 S 40 = ( ).40/2 S 40 = S 40 = EM2MAT04

26 SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS EM2MAT04 8

27 GEOMETRIA ESPACIAL: QUAIS AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DE ESFERAS E TRONCOS? ORIENTADOR METODOLÓGICO Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos? Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos. Praticando 1) Área = 4πr 2 = 4.π.6 2 = 144π cm² 4/3 πr 3 = 4/3.π.6 3 = 288π cm³ 2) 36π = 4/3 πr 3 => 27 = r 3 => r = 3. Assim, a área será S = 4π3 2 = 36π cm 2 3) 360/20 = 18. Assim, teremos ( /3 π4 3 ) ( x) => x = (4. 18.π. 4 3 )/(3. 360) 4,2π cm 3 4) 4/3 π.9 3 = π.9 2.h => h = 4/3.9 => h = 12 mm para completar 300 ml é o volume de água na lata, assim, temos ,2 = 48,8 ml 8) Vejamos quanto de volume a esfera ocupa nesse cilindro:4/3 π.3 3 = π.6 2.h => h=1 m. Logo. A altura mínima será de = 9 m. 9) 3/3.( Sb + Sb) = 21 => Sb = 21 => Sb = 1 => l = 1 cm 10) 105 = (ht/3).(6 2 + ( (6 2 ).3 2 )+3 2 => 105 = (ht/3). ( ) => (ht/3) = 105/63 => ht = 5 cm..(al) 2 =5 2 + ((6-3)/2) 2 =>Al= (( )/4)=>Al=1/2 109 cm² 11) AB = 4 2 =16 cm².ab = 3 2 =9 cm².h = 6 cm.v = 6/3.(9+16+ (9.16))=74cm² 12) V = πd/3 ( r 2 + r.r + R 2 ) Por semelhança de triângulos podemos encontrar o raio menor, assim, temos:4/10=r/2=>r=0,8.v = π.2(0,8 2 +0, ) = 12,48π.Al = πg (r + R) Por Pitágoras, podemos encontrar a geratriz desse tronco, assim, teremos: ,2 2 = g 2 => g 2 = 37,44 => g = 37,44.Al = π. 37,44 (2,8) = 2,8π 37,44.At= 2,8π 37,44 + π π.0,8 2 = 7,44π 37,44 5) V1 = πr 2 h ; V2 = 4/6 πr 3 e V3 = 4r 2.h Repare que h = r, já que a altura da semi-esfera é o próprio raio, assim, temos: V1 = πr 3 ; V2 = 4/6 πr 4 e V3 = 4r³, supondo r = 1, teremos que V1=π ; V2 = 4/6 π e V3 = 4, assim, V2 < V1 < V3, letra E. 6) Volume: V = (4πr 3 )/3.V (maior)=(4π1 3 )/3 = 4π/3.V (menor)=(4π0,5 3 )/3 = 0,5π/3.(4π/3)/(0,5π/3)=8, logo, com 1 brigadeiro, fazemos 8 dos menores. 13) Volume do Cilindro: π.l 2.2L=2πL 3.Volume do tronco: π.l(l 2 +L.2L+4L 2 )=π(l 3 +6L 2 ).Volume do paralelepípedo:l 2.2L=2L³ Logo, V2 > V1 > V3, letra C 14) Sendo V, A e a os valores do volume, área e aresta, respectivamente do pacote maior e V, A e a as mesmas grandezas do pacote menor, assim, temos: 7) 2 cm = 2 dm, assim, temos: 60.4/3.π.(0,1) 3 = 0,2512 dm 3 =0,2512 l = 251,2 ml, logo, o que falta 13 EM2MAT08

28 GEOMETRIA ESPACIAL: QUAIS AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DE ESFERAS E TRONCOS? 15) V = 400 ml => V/v = (H/h) 3 => V/v = (H/(H/2)) 3 => V/v = 8 => v = V/8 = 400/8 = 50 ml 16) Formamos dois cilindros com essa revolução, cujos volumes são:.vg=π,4 2.8=128π e Vp=π.2 2.8=32π Logo, o volume que queremos é dado por: V = 128π - 32π = 96π 17) A área indicada é dada pela subtração do tronco de cone formado menos do cilindro, assim, temos:.vt = πd/3 (r 2 + r.r + R 2 )=π.2( )=182π.Vc = π = 54π.182π 54π = 128π 18) O volume gerado será dado pelo volume de um cone subtraído do volume de um cilindro, assim, teremos:.vcil=π.4l 2.L=4πL 3 e Vcone=1/3 πl 2.L=(πL 3 )/3 Logo, o volume é dado por: 4πL 3 (πl 3 )/3 = (11πL 3 )/3 (AB)² = (AH)² + (BH)² (AB)² = 12² + 5² = = 169 AB = 169 AB = 13 cm No retângulo formado dentro desse cone, temos: OP = r AP = 13-5 = 8 cm AO = 12-r Novamente aplicando-se Pitágoras, fica: (AO)² = (AP)² + (OP)² (12-r)² = 8² + r² r + r² = 64 + r² r = 64 24r = = 80 r = 80/24=10/3 22) 1/3 πr 2 H = πr 2 h => h = H/3 Como a distância pedida no enunciado é metade da altura do cilindro, temos que essa distância é de (H/3)/2=H/6 19) O sólido formado é dado abaixo: 23) 24) Percebemos que a pirâmide com base sendo o quadrado XYCB toma 1/4 do cubo, assim, o sólido desejado equivale a 3/4 do cubo. 20) O raio da base desse cilindro é a metade da diagonal do cubo, assim, teremos: 2.π.((h 2)/2)h = πh ) Observe a situação descrita: 25) As esferas possuem o mesmo raio do cilindro, assim, temos:.vc = π = 80π e,como cabem 5 esferas dentro desse cilindro, temos,ve = 5.4/3.2 3.π = 160/3 π => Vext = 80π 1 60/3 π = 80π/3 Aplicando Pitágoras, vem: EM2MAT08 14

29 GEOMETRIA ESPACIAL: QUAIS AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DE ESFERAS E TRONCOS? 26) Aprofundando: IV) O paralelepípedo entra colocando a aresta de 4cm na vertical. A profundidade da caixa é de 5cm. V) O cilindro entra, pois seu diâmetro de base será de 2cm. A altura é compatível com a profundidade. Logo, letra C 32) Sabendo que a razão entre os volumes semelhantes é o cubo da razão de semelhança, temos: 27) a 3 = => a = = 24, assim, cabem 8 esferas 28) Há no total ( ) = 21 semiesferas. Considere R o raio da esfera e a, a aresta do cubo. Assim, teremos: 29) O volume do cone é dado por: 1/3.π.1 2.7=7π/3 Já o volume da esfera é dado por: 4/3.π.2 3 = 32π/3 Logo, é mais vantajoso comprar a bola de futebol pois vem mais chocolate pelo mesmo preço. 30) V = π.r 2.h/3+(2πr^3)/3 V = (π.1, π1,5 3 )/3 V = 6,75π cm³ Agora dividimos o volume total do pote pelo volume de cada casquinha. Vt = π.r².h Vt = π.9².5 Vt = 405π Agora o número n de casquinha n = Vt/V n = 405π/6,75π n = 60 casquinhas 33) Considerando que, inicialmente, a quantidade de hipoclorito seja V e a diluição com água foi de 27% em relação a um volume inicial (Vi). Com o acréscimo da água, o percentual em relação ao volume final (Vf) foi de 8%, mas a quantidade de hipoclorito ainda é V. A razão entre os volumes é proporcional ao cubo da razão de suas dimensões, assim, teremos: 34) OS volumes são dados por: 31) I) O cone entra, pois a base terá diâmetro de 3cm e a altura será de 1cm II) O cubo entra, pois a aresta é de 2cm. III) A esfera não entra, pois seu diâmetro será de 3cm e na abertura de 2cm da caixa não passa. 35) Sendo x o preço da manteiga, temos: 5, Kg x ,125 Kg.x=5,2.0,125=0,65 15 EM2MAT08