2.4 - Método de Mononobe-Okabe (M-O) Considerações iniciais

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1 .4 - Método de Mononobe-Okabe (M-O).4. Considerações iniciais O método de Mononobe-Okabe surge na suência dos estudos de Okabe (94) e de Mononobe e Matsuo (99), sendo um dos primeiros métodos de resolução do problema sísmico. Ainda oje é largamente utilizado no dimensionamento de muros de suporte, juntamente com as sucessivas generalizações e adaptações de que entretanto foi objecto. O método aplica-se a solos incoerentes, secos e omogéneos, podendo contemplar quaisquer inclinações do tardoz da estrutura e do talude do solo suportado e ainda a existência de sobrecargas uniformemente distribuídas. Uma primeira extensão do método engloba já a sua aplicação a solos incoerentes submersos, ou parcialmente submersos, visando a sua aplicação a solos incoerentes de baixa e alta permeabilidade. Neste caso, além dos impulsos sísmicos devidos ao solo, á que contabilizar os impulsos idrostáticos e também os impulsos idrodinâmicos resultantes da parcela de água livre nos poros, parcela esta que é função da permeabilidade do solo, como será referido em Formulação Mononobe estabeleceu a sua teoria e a correspondente expressão para calcular impulsos devidos às acções sísmicas recorrendo ao artifício de considerar que o efeito das acelerações sísmicas é o de modificar a direcção da força gravítica W, ficando vertical, rodando os planos vertical e orizontal de referência de um ângulo θ no mesmo sentido. Com este artifício os ângulos β e i passam a ser β+θ e i+θ, como ilustram as figuras a) e b). Fig. Equilíbrio de uma cunadurante o sismo W s é o peso da cuna deslizante; W é a força orizontal de inércia actuante na cuna de solo devido à acção sísmica; R s é a reacção na superfície de rotura; I as é a reacção no tardoz da estrutura ao impulso activo sísmico. 9

2 θ arctg () ± v com e v coeficientes sísmicos. O impulso activo sísmico pode ser calculado utilizando a teoria de Coulomb, a partir da expressão: Ias a () em que os índices representam características da cuna rodada que se obtêm a partir de, e a como indicado a seguir. a obtém-se da expressão (.00- Guerra, N.), substituindo β por β+θ e i por i+θ: a (3) cosec( β+ θ ).sen( β+ θ - φ ) sen( β+ θ+ δ ) + sen( φ + δ ).sen( φ sen( β - i) - θ - i) A rotação do muro baixou a altura deste de para (ver figura ) interessando apresentar a expressão do impulso em função da altura original do muro, (Mineiro, 978). Nas duas figuras, rodada e por rodar, o comprimento lda parede é o mesmo e pode escrever-se: [ ( β + θ) ] sin( 80 β) ( β + θ) sin l (4) sin 80 sin β Por outro lado a expressão de I as foi deduzida em função de W s, interessando igualmente apresentar a expressão do impulso em relação ao peso da cuna W, ou seja: W W ( ± ) ( ± ) ( ± ) W cos θw. s v v cos θ v cos θ (5) Substituindo em () as uações (4) e (5) e a expressão a como indicado, obtém-se: Ias as (± v) (6) em que as (coeficiente de impulso activo sísmico) é dado por: sen ( β + θ) as [. ]. a (7) cosθ sen β com a dado pela expressão (3), ou 0

3 cos ( φ - θ - ψ) as sen( φ + δ)sen( φ - θ - i) cosθcos ψ cos( δ + ψ + θ) + cos( + + )cos(i - ) δ ψ θ ψ é a altura do muro; é o peso volúmico do solo; θ é o ângulo sísmico; i é o ângulo que o solo suportado faz com a orizontal; β é o ângulo da face interior da estrutura com a orizontal; ψ é o ângulo que o tardoz do muro faz com a vertical; φ é o ângulo de atrito interno; δ é o ângulo de atrito muro-solo do tardoz. 0,5 (8) Expressões análogas podem ser deduzidas par o caso do impulso passivo sísmico: sendo: I ps ps (± v) (9) cos ( φ-θ + ψ ) ps (0) 0, 5 sen( φ+ δ )sen( φ θ + i) cos θcos ψ cos( δ ψ + θ ) cos( δ ψ + θ )cos(i - ψ ) No caso de estruturas de suporte com o paramento interior vertical (β90 o ) e superfície do terreno orizontal (i0), os coeficientes de impulso sísmico são dados por: as + cos( φ θ ) sen( φ + δ ).sen( φ cos( δ + θ ) - θ ) cos( δ + θ )cos θ.4.3 Validade ps cos( φ θ ) sen( φ + δ ).sen( φ cos( δ + θ ) - θ ) cos( δ + θ )cos θ As expressões (8) e (0) têm limites de utilização:

4 impulso activo - para que a raiz quadrada da uação (8) não tena soluções imaginárias, isto é, para que o uilíbrio seja possível, terá que verificar-se φ -θ-i 0 φ -θ-i 0 i φ θ significa que o talude do solo suportado terá que ter, pelo menos, um coeficiente de segurança pseudo-estático unitário (limitação da inclinação i do talude). φ -θ-i 0 θ φ i significa que, no caso do talude orizontal (i0), uma camada de solo orizontal não pode transmitir forças de corte resultantes de acelerações maiores que θ φ (limitação da aceleração). Com efeito, introduzindo a expressão () tem-se: θ arctg φ i () ± v ( ± v) tg( φ i) Existe portanto uma aceleração orizontal crítica que não pode ser excedida, correspondente a um coeficiente sísmico orizontal, igual a: crit ( ± v) tg( φ i) () impulso passivo - para que a raiz quadrada da uação (0) não tena soluções imaginárias, terá que verificar-se φ θ+ i Ponto de aplicação A determinação exacta dos pontos de aplicação dos impulsos é um problema complicado, só possível caso a caso, isto é, para um dado sismo e um dado muro com o respectivo maciço suportado, recorrendo a análises numéricas ou ensaios em centrifugadora, de modo a ter em consideração as características da acção sísmica, incluindo as acelerações na direcção vertical, a rigidez do sistema solo-estrutura, a resistência ao corte do solo e da interface terras/muro, as características do maciço de fundação, etc (Matos Fernandes, M.). Assim, são normalmente adoptados critérios simplificados, considerando que o impulso activo sísmico total I as pode ser separado em duas parcelas. Uma é o impulso activo estático que já se exercia antes do sismo, I a, e que actuará, evidentemente, no terço inferior da altura da estrutura. A outra parcela é a força correspondente ao acréscimo do impulso activo devido à acção sísmica ( I as ) que se supõe actuar no centro de gravidade da cuna crítica ou, de uma forma simplificada (Mineiro, 978) pode considerar-se I as aplicada a /3 de, medido a partir do topo da estrutura. Ias as (3) em que as é dado por: ( as as ± v) - a

5 Segundo Seed e Witman (970) pode considerar-se o impulso incremental sísmico aplicado num ponto situado a 0,60 da base do muro. Serif, Isibasi e Lee (98) sugerem que para a verificação ao deslizamento Ia actuará a 0,4 da base do muro e Ias actuará a 0,48 da base do muro. 3 Impulsos sísmicos em estruturas com deslocamentos condicionados 3. Considerações iniciais Como referido anteriormente, os métodos pseudo-estáticos admitem que a estrutura sofre um deslocamento suficiente para que se instale no solo suportado um estado de uilíbrio limite, activo ou passivo. Estruturas cujos deslocamentos estejam condicionados, como sejam alguns muros gravidade fundados em roca, ou paredes de caves aterradas impedidas de se deslocarem, a resistência ao corte do solo suportado não é mobilizada. Em condições estáticas, estas estruturas são dimensionadas para impulsos superiores ao activo, nomeadamente para o impulso em repouso, pelo que para condições sísmicas deverá passar-se o mesmo. O EC8 especifica, no seu anexo E9, para o cálculo do acréscimo de impulso sísmico em repouso no caso de tardoz vertical e terrapleno orizontal, a expressão: I 0s α.s.. H α é a razão entre a aceleração no terreno e a aceleração da gravidade (a vg /a g ); S é uma característica do tipo de terreno; H é a altura do muro. Especifica ainda que esta força está aplicada a meia altura do muro. 3. Soluções elásticas Um maciço terroso em contacto com um paramento que não experimenta deslocamentos, não está em uilíbrio limite, logo está em uilíbrio elástico. Wood (973) analisou precisamente no domínio elástico linear, a resposta de um maciço de solo omogéneo, como representado na figura 3. Fig. 3 Solução de Wood em estruturas com deslocamentos condicionados (adaptado de ramer, 996) 3

6 O autor admitiu o maciço limitado por duas fronteiras laterais e uma fronteira inferior rígidas, sob a acção de forças de inércia orizontais distribuídas por todo o meio, constantes no tempo e no espaço, associadas a uma aceleração com igual direcção e sentido oposto. Admitiu ainda que a amplificação dinâmica para solicitações sísmicas de baixas fruências (menos de metade da fruência fundamental do maciço suportado, f V s /4H) é desprezável, situação aduada à maior parte dos casos práticos. Nestas condições, os acréscimos de impulso sísmico e de momento derrubador (relativamente à base do muro), vêm então (ramer, 996): I H F p M 3 H F m em que F p e F m são factores adimensionais de impulso e de momento símicos tabelados na figura 4, em função de diferentes valores do coeficiente de Poisson. O ponto de aplicação deste impulso dista da base do paramento uma altura, dada por : normalmente 0,63. M I Fig. 4 Factores adimensionais de impulso e de momento (Wood,973) 4

7 4 Efeitos da água nos impulsos sísmicos 4. Considerações iniciais O método M-O descrito aplica-se a solos incoerentes e secos. Esta é a ipótese mais fruente visto que a maioria das estruturas de suporte são projectadas e construídas com um aduado sistema de drenos para impedir a formação de uma toala freática no maciço suportado. No entanto, tal não é possível em situações em que o maciço e a própria estrutura estão submersos ou parcialmente submersos, como é por exemplo o caso dos muros-cais. Neste caso, é necessária uma correcta avaliação das pressões exercidas pela água: a pressão idrostática que aumenta linearmente em profundidade e actua na estrutura antes, durante e após o sismo e a pressão idrodinâmica que resulta da resposta sísmica da água. 4. Impulso sísmico de uma massa de água livre Para estruturas de suporte, a pressão da água é função da permeabilidade do solo e das condições de fronteira. No caso de solos de elevada permeabilidade, aceita-se que a água se pode movimentar livremente, o que implica também que as condições de fronteira não limitam o seu movimento. Assim, a pressão idrodinâmica é normalmente calculada como se existisse apenas água no tardoz da estrutura (figura 5), com base na solução aproximada proposta por Westergaard (933). Fig. 5 Solução de Westergaard para impulsos idridinâmicos (Matos Fernandes, M.) A solução analítica proposta foi desenvolvida pelo autor para o caso de uma barragem de betão de paramento vertical, suportando uma massa de água semi-infinita, sujeita a uma solicitação sísmica na sua base rígida, mas considerando unicamente a componente orizontal do sismo actuando numa direcção perpendicular à parede vertical. Segundo o autor, a pressão da água sobre o paramento à profundidade z abaixo da superfície da massa de água com altura, vale: 7 Ps (z) z 8 é o coeficiente sísmico orizontal; é o peso volúmico da água. 5

8 O impulso total obtém-se integrando a uação anterior até à profundidade, ou seja, a resultante do diagrama de pressões ao longo da altura total da água, vale: 7 I s Ps( z )dz (4) 0 distando o respectivo ponto de aplicação cerca de 0,6 da superfície da água. 4.3 Impulsos devidos a acções sísmicas em solo saturados 4.3. Impulsos em maciços submersos de elevada permeabilidade A presença da água no solo suportado por uma estrutura de suporte influencia as pressões sísmicas sobre o muro de três modos: altera as forças de inércia actuantes, dá origem a pressões idrodinâmicas no tardoz e ao desenvolvimento de excessos de pressões intersticiais devido ao movimento cíclico dos solos. As forças de inércia nos solos saturados dependem do movimento relativo entre as partículas sólidas do maciço e das pressões intersticiais nos seus poros. Em maciços de elevada permeabilidade (k 0-3 m/s), areias grossas, cascalos ou enrocamentos é em regra admitido que a água e o solo se comportam independentemente durante o sismo, sem desenvolvimento de excessos de pressões intersticiais, calculando-se em separado os respectivos impulsos. Assim, o impulso sísmico do solo abaixo do nível freático calcular-se-á, tal como o estático, em termos de tensões efectivas utilizando o peso volúmico submerso: Ias as (± v) (5) as é um coeficiente de impulso activo sísmico calculado pela expressão (8), mas com base num ângulo sísmico θ diferente de θ. A determinação do ângulo sísmico uivalente, θ, é feita admitindo que unicamente a parte sólida está sujeita à aceleração orizontal. A tangente do ângulo sísmico uivalente é dada por: FH d tgθ (6) FV (± v) F H é a força orizontal de inércia, resultante da aplicação do coeficiente sísmico orizontal ao esqueleto sólido, isto é, ao peso volúmico seco; F v é a força vertical que actua na massa de solo resultante da diferença entre a força gravitacional total (± v ) e a força de impulsão (± v ) d é o peso volúmico seco do solo; é o peso volúmico submerso do solo; é o coeficiente sísmico orizontal; v é o coeficiente sísmico vertical. 6

9 Se se considerar v 0, tem-se: tgθ d Com G + e d e G substituindo em (6), vem: + e G tg θ. (± v) G (7) Se se assumir um valor médio de,65 para G, tem-se: tg θ,6tgθ Se se considerar v 0, tem-se:,6 O impulso sísmico calculado para o ângulo sísmico θ não inclui a pressão idrodinâmica, pelo que o incremento do impulso sísmico, resultante da diferença entre as uações (5) e (.99 N. Guerra) terá que ser combinado com o impulso idrodinâmico incremental dado pela uação (4). Dado que o solo e a água livre actuam independentemente, não é provável que os valores máximos dos impulsos actuem em simultâneo, pelo que alguns autores aconselam que o impulso sísmico total seja igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos dois impulsos incrementais. É de salientar que nos muros cais ou estruturas similares (Matos Fernandes, M., 994) como representado na figura 6, á ainda que ter em conta a depressão idrodinâmica em frente do muro, depressão cujo valor máximo, em módulo, é dado pela uação (4). Fig. 6 Impulsos sísmicos em maciços submersos de elevada permeabilidade(matos Fernandes, M., 994) 7