Teoria de Jogos. Danilo G. Muniz
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- Luiz Felipe Quintanilha Garrau
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1 Teoria de Jogos Danilo G. Muniz
2 Introdução à teoria de jogos Onde será que esse cara vai investir? John Nash
3 Introdução à teoria de jogos Teoria evolutiva de jogos é um modo de pensar sobre evolução no nível dos fenótipos em que a aptidão de cada fenótipo depende de sua frequência na população John Maynard-Smith
4 Em outras palavras... Método (um pouco matemático) para gerar previsões evolutivas quando a aptidão de um indivíduo depende tanto da própria estratégia, quanto da estratégia dos outros membros da população.
5 O que tem a ver com jogos?
6 E como funciona? Como montar um modelo de teoria de jogos? Qual o cenário? Qual a teoria ecológica? Quais as estratégias possíveis? Análise e conclusões Como essas estratégias interagem entre si? Matriz de payoffs
7 Pressupostos dos modelos População infinita (vamos trabalhar com proporções) Existem N estratégias (fenótipos) diferentes na população Indivíduos realizam interações um-a-um Encontros são totalmente ao acaso Interações entre os indivíduos influenciam sua aptidão (fitness)
8 Matriz de ganhos (payoffs) A matriz é lida do ponto de vista das linhas... na interação com: Ganho líquido... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo 1 a b Fenótipo 2 c d
9 Uma população qualquer... Matriz de payoffs... na interação com: Frequências fenotípicas Ganho líquido... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Frequências Fenótipo 1 a b Fenótipo 2 c d s 1 s 2
10 Aptidão dos fenótipos Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo 1 a b Fenótipo 2 c d Frequências s 1 s 2 w 1 = a s 1 + b s 2 w 2 = c s 1 + d s 2
11 É como multiplicar matrizes! Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo 1 a b Fenótipo 2 c d X Freq. s 1 s 2
12 É como multiplicar matrizes! Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo 1 a b Fenótipo 2 c d Freq. s 1 X = s 2 Aptidões w 1 w 2 w 1 = a s 1 + b s 2 w 1 = c s 1 + d s 2
13 Mas essas aptidões servem pra quê?
14 Frequência na próxima geração Equação do replicador s (t+1) = s (t) w ഥw Aptidão média da população ഥw = w 1 s 1 + w 2 s 2 s 1(t+1) = s 1(t) w 1 ഥw s 2(t+1) = s 2(t) w 2 ഥw
15 Estratégias evolutivamente estáveis
16 Estratégia evolutivamente estável Evolutionary stable strategy (ESS) Uninvadable strategy 1) Estratégia que não pode ser invadida por uma estratégia mutante inicialmente rara 2) Consegue invadir uma população quando Inicialmente rara
17 Como identificar o invencível?... na interação com: Ganho líquido... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo Estratégia evolutivamente estável pura
18 Como identificar o invencível?... na interação com: Ganho líquido... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo 2 2 1
19 Nem sempre existe um invencível... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo Frequências 0,5 0,5 w 1 = 0,5 + 1 = 1,5 w 2 = 1 + 0,5 = 1,5
20 Estratégia evolutivamente estável mista... na interação com: Ganho líquido... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo Frequências 0,5 0,5 Estratégia evolutivamente estável mista
21 ESS mista Poderia ser imaginada como um ESTADO EVOLUTIVAMENTE ESTÁVEL Estado populacional que, mesmo se perturbado, tende a se reestabelecer
22 Nem sempre existe um invencível... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo Frequências 0,3 0,7 w 1 = 0,3 + 1,4 = 1,7 w 2 = 0,6 + 0,7 = 1,3
23 Nem sempre existe um invencível... Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo Frequências 0,7 0,3 w 1 = 0,7 + 0,6 = 1,3 w 2 = 1,4 + 0,3 = 1,7
24 Voltamos ao estado estável Fenótipo 1 Fenótipo 2 Fenótipo Fenótipo Frequências 0,5 0,5 w 1 = 0,5 + 1 = 1,5 w 2 = 1 + 0,5 = 1,5
25 Jogo gavião-pombo
26 Modelo gavião-pombo (hawk-dove) O gavião e o pombo simbolizam dois tipos de estratégias Agressividade Paciência
27 Modelo gavião-pombo (hawk-dove) Modelo de disputa intraespecífica Duas estratégias - Sempre luta pelo recurso - Sempre foge da luta - Divide o recurso com outro pombo
28 Modelo Gavião-pombo V = valor do recurso ; C = custo da luta... na disputa contra: Ganho líquido... V C 2 V 0 V 2
29 Modelo Gavião-pombo Equações de aptidão (fitness) w g = s g V C 2 + s p V w p = s p V 2 ѡ: aptidão; s: proporção (share) de cada estratégia ; g: gavião; p: pombo; V: benefício da vitória; C: custo da luta
30 Modelo Gavião-pombo V = 5; C = 2... na disputa contra: Ganho líquido... V C 2 = 1,5 V = 5 0 V 2 = 2,5
31 Modelo Gavião-pombo V = 2; C = 5... na disputa contra: Ganho líquido... V C 2 = -1,5 V = 2 0 V 2 = 1
32 A ESS nem sempre é a mesma... E agora?
33 Modelo Gavião-pombo Quando a população entra em equilíbrio? w g = w p s g V C 2 + s p V = s p V 2
34 Modelo Gavião-pombo Vamos calcular a proporção de gaviões em equilíbrio... V C s g 2 V C s g 2 + s p V = s p V + 1 s g V = 1 s g V 2 2 Substitui (s p ) por (1-s g ) s g V s gc + V s 2 2 gv = V s gv 2 2 Faz as multiplicações
35 Modelo Gavião-pombo s g V s gc + V s 2 2 gv = V s gv 2 2 s g V 2 + s gv 2 s gc 2 + V s gv = V 2 s gc 2 + V = V 2
36 Modelo Gavião-pombo x 2 s gc 2 + V = V 2 s g C + 2V = V V = s g C s g = V C
37 Modelo Gavião-pombo V = 1
38 É agora que entra a equação do replicador? Deve ser né...
39 Frequência na próxima geração Equação do replicador s (t+1) = s (t) w ഥw Aptidão média da população ഥw = w 1 s 1 + w 2 s 2 s 1(t+1) = s 1(t) w 1 ഥw s 2(t+1) = s 2(t) w 2 ഥw
40 Modelo Gavião-pombo V = 1; C = 2... na disputa contra: Ganho líquido... Frequências V C 2 V 0,001 0 V 2 0,999
41 Modelo Gavião-pombo V = 1
42 Modelo Gavião-pombo V = 1; C = 2... na disputa contra: Ganho líquido... Frequências V C 2 V 0,001 0 V 2 0,999
43 Modelo Gavião-pombo V = 1 ; C = 2
44 Jogo do altruísmo
45 Modelo simplificado de altruísmo Altruísta Concede um benefício em qualquer interação Egoísta Aceita benefícios
46 Jogo do altruísmo b = Benefício de interagir com um altruísta c = custo do altruísta ao interagir... na interação com: Ganho líquido... Altruísta Egoísta Altruísta 1 + b c 1 c Egoísta 1 + b 1
47 Equilíbrio Equilíbrio ocorre quando c = 0... na interação com: Ganho líquido... Altruísta Egoísta Altruísta 1 + b c 1 c Egoísta 1 + b 1
48 Quando c > 0 b = 1 ; c = 0,5 Egoísta Altruísta
49 Quando c > 0
50 Equilíbrio Com c > 0, o altruísta sempre perece!... na interação com: Ganho líquido... Altruísta Egoísta Altruísta 1 + b c 1 c Egoísta 1 + b 1
51 Jogo do altruísmo Quando c > 0, o egoísmo é a estratégia evolutivamente estável
52 O que acontece se o altruísta for seletivo? W.D. Hamilton propõe a ideia do altruísta seletivo R. Dawkins Eu tenho uma barba verde, e serei altruísta com quem possui uma barba verde
53 Jogo do barbaverde Altruísta Concede um benefício em qualquer interação Egoísta Aceita benefícios Barbaverde Concede um benefício a outro barbaverde
54 Matriz de payoffs b = Benefício do altruísmo c = custo do altruímo... na interação com: Ganho líquido... Altruísta Egoísta Barbaverde Altruísta 1 + b c 1 c 1 c Egoísta 1 + b 1 1 Barbaverde 1 + b b c
55 Jogo do barbaverde Frequências Iniciais Altruísta: 0,7 Egoísta: 0,2 Barbaverde: 0,1
56 Jogo do barbaverde Frequências Iniciais Altruísta: 0,7 Egoísta: 0,2 Barbaverde: 0,1
57 Jogo do barbaverde Quando b > c, ser um barbaverde é uma estratégia evolutivamente estável... na interação com: Ganho líquido... Altruísta Egoísta Barbaverde Altruísta 1 + b c 1 c 1 c Egoísta 1 + b 1 1 Barbaverde 1 + b b c
58 Jogo do barbaverde Ser egoísta nem sempre é a melhor alternativa.
59 Jogo pedra-papel-tesoura
60 Jogo pedra-papel-tesoura
61 Jogo pedra-papel-tesoura Proposição teórica Explicar a coexistência contínua de estratégias alternativas
62 Jogo pedra-papel-tesoura Estratégia 1 Estratégia 3 Estratégia 2
63
64
65 Matriz pedra-papel-tesoura... na interação com: Ganho líquido... Pedra Papel Tesoura Pedra 1 ½ 2 Papel 2 1 ½ Tesoura ½ 2 1
66 Equilíbrio pedra-papel-tesoura s pedra = s papel = s tesoura... na interação com: Ganho líquido... Pedra Papel Tesoura Pedra 1 ½ 2 Papel 2 1 ½ Tesoura ½ 2 1
67 Pedra-papel-tesoura
68 Lagarto pedra-papel-tesoura Uta stansburiana
69 Lagarto pedra-papel-tesoura Defende uma fêmea só. Cooperativo. Agressivo Defende haréns sozinho Imita fêmeas e copula furtivamente
70 Pedra-papel-tesoura-lagarto-spock?
71 Jogo da razão sexual
72 Pressupostos dos modelos População infinita Existem N estratégias (fenótipos) diferentes na população Encontros são totalmente ao acaso Indivíduos realizam interações um-a-um Estratégias influenciam interações que influenciam a aptidão
73 O que acontece se houver infinitas estratégias possíveis?
74 Infinitas estratégias? Faz sentido isso? Recursos limitados Estrutura, atividade coisa assim 1 Estrutura, atividade coisa assim 2
75 Jogo da razão sexual Filhotes machos Ovos limitados Filhotes fêmeas
76 Mas e a ESS? O conceito de estratégia evolutivamente estável... 1) Estratégia que não pode ser invadida por uma estratégia mutante inicialmente rara 2) Consegue invadir uma população quando Inicialmente rara
77 ESS em um mundo infinito... Filhotes machos Filhotes fêmeas Forma ideal de divisão de recursos Razão sexual da prole
78 Fêmeas possuem uma quantidade fixa de ovos Aptidão (fitness) medida como número de netos
79 Hora de calcular um pouco...
80 Mas o que a gente tem que calcular? Aptidão de uma fêmea mutante em uma população que produz filhotes com uma razão sexual característica
81 Hora de calcular um pouco... Ovos por fêmea: N Proporção de machos na prole da fêmea mutante: S Proporção de machos gerados pelas outras fêmeas da população S Filhas: (1-S) N Filhos: S N
82 Hora de calcular um pouco... Netos gerados pelas filhas Numero de filhas por fêmea Numero de filhotes por filha (1-S) N N (1-S) N 2
83 Hora de calcular um pouco... Netos gerados pelos filhos (Machos precisam fertilizar fêmeas)
84 Hora de calcular um pouco... Netos gerados pelos filhos (Machos precisam fertilizar fêmeas) Número médio de parceiras por macho: Total de fêmeas / Total de machos (1-S )/ S
85 Hora de calcular um pouco... Filhotes por filho N [ (1-S )/ S ] N [ (1-S )/ S ] S N Número de filhos S N 2 [ (1-S )/ S ] (Total de netos gerados pelos filhos)
86 Total de netos da fêmea mutante... (1-S) N 2 + S N 2 [ (1-S )/ S ] w = N 2 1 S + S 1 S S
87 Total de netos da fêmea dominante w = N 2 1 S + S 1 S S
88 Total de netos da fêmea dominante w = N 2 w = N 2 1 S + S 1 S S 1 S + 1 S w = N S w = 2 N 2 (1 S )
89 Em busca da ESS!! S (razão sexual da prole da população)
90 Em busca da ESS!! S (razão sexual da prole da população)
91 Em busca da ESS! Encontrar o valor de S que faz com que w > w para qualquer S? w = N 2 1 S + S 1 S S w = 2 N 2 (1 S )
92 Análise de invasibilidade 1) Vários valores de S e S 2) Calcula w e w
93 Análise de invasibilidade 1) Vários valores de S e S 2) Calcula w e w w w > 0 w w <= 0
94 Análise de invasibilidade 1) Vários valores de S e S 2) Calcula w e w
95 Análise de invasibilidade
96 Em busca da ESS!! S = 0,5 S (razão sexual da prole da população)
97 Mensagens finais A teoria de jogos é um método para gerar previsões evolutivas (não só na área de comportamento!). O jogo é qualquer situação em que a aptidão de um indivíduo depende de sua estratégia e da estratégia dos outros indivíduos Boa parte da análise de um jogo é procurar a estratégia evolutivamente estável (que nem sempre existe)
98 Bibliografia
99 Hora do intervalo!
100 Jogo Gavião-pombo no excel! s (t+1) = s (t) w ഥw ഥw = w 1 s 1 + w 2 s 2... na disputa contra: Ganho líquido... V C 2 V 0 V 2
101 Jogo do cuidado parental Maynard-Smith Anim. Behav.
102 Quem cuida da prole? Fêmea guardiã Fêmea desertora Macho guardião Cuidado biparental Cuidado paternal exclusivo Macho desertor Cuidado maternal exclusivo Sem cuidado parental
103 Historinha do modelo Se o macho cuidar da prole, ele se reproduz uma vez. Se desertar, ele tem uma segunda chance Macho desertor tem probabilidade p de copular de novo Fertilidade das fêmeas Desertora: W ; guardiã: w
104 Parâmetros do modelo Macho desertor tem probabilidade p de copular de novo Fertilidade das fêmeas Desertora: W ; guardiã: w Sobrevivência da prole: P 2 >= P 1 >= P 0
105 Matriz de payoffs Fêmea Macho Guarda Deserta Guarda Deserta
106 Matriz de payoffs Fêmea Macho Guarda Deserta Guarda wp 2 wp 2 WP 1 WP 1 Deserta wp 1 (1+p) wp 1 WP 0 (1+p) WP 0
107 Hora do exercício
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