Configurações centrais e o problema de n corpos

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1 Configurações centrais e o problema de n corpos Universidade Federal de Itajubá UNIFEI lfmelo@unifei.edu.br III Semana da Matemática, UNIFAL, 27 de Agosto de 2015

2 Trecho de uma carta de Legendre a Jacobi Fourier opinava que a finalidade primordial da matemática consistia em sua utilidade pública e na explicação dos fenômenos naturais; mas um filósofo como ele deveria saber que a finalidade única da ciência é a de render honra ao espírito humano e que, por certo, uma questão sobre números vale tanto quanto uma questão sobre o sistema do mundo. Carta de 02 de julho de Gesammelte Werke, vol. 1, Berlin (Reimer), 1881, p. 454.

3 Plano da Apresentação: 1 Preliminares; 2 Problema de 2 corpos; 3 Problema de n corpos; 4 Soluções Homográficas; 5 ; 6 Equações de Dziobek Laura Andoyer; 7 Exemplos de. 8 Problemas em Aberto.

4 1. Preliminares: Lei da Gravitação de Newton Considere um corpo de massa m 1 localizado na posição r 1 e um corpo de massa m 2 localizado na posição r 2. A lei da gravitação de Newton afirma que o corpo de massa m 1 exerce uma força sobre o corpo de massa m 2, sendo a magnitude desta força G m 1 m 2 r 1 r 2 2, onde G é a constante gravitacional e r 1 r 2 é a distância entre os centros de gravidade dos corpos. A direção da força é dada pela reta que une os dois corpos e o sentido da força sobre o corpo em r 2 é de r 2 para r 1.

5 2. Problema de 2 Corpos O problema Newtoniano de 2 corpos consiste no estudo do movimento de 2 corpos de massas m 1 e m 2 localizados pelos vetores posições r 1 e r 2, respectivamente, interagindo entre eles através da força de atração gravitacional, de acordo com a Lei da Gravitação de Newton. As equações de movimento, obtidas da segunda lei de Newton, são dadas por m 1 r 1 = Gm 1m 2 r 2 r 1 2 r 2 r 1 r 2 r 1, m 2 r 2 = Gm 1m 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 r 1 r 2.

6 3. Problema de n Corpos O problema Newtoniano de n corpos consiste no estudo do movimento de n corpos de massas m 1,...,m n, localizados pelos vetores posições r 1,...,r n R d, d = 2, 3, interagindo entre eles através das forças de atrações gravitacionais de acordo com a Lei da Gravitação de Newton.

7 Equações de movimento As equações de movimento são dadas por m i r i = n j=1, j i para i = 1, 2,...,n. Gm i m j r i r j 2 r i r j r i r j r i = n j=1, j i Aqui tomamos a constante gravitacional G = 1; m j rij 3 (r i r j ), (1) r j é o vetor posição do corpo de massa m j em um referencial inercial; r ij = r i r j é a distância Euclidiana entre os corpos de massas m i e m j.

8 Centro de massa O centro de massa do sistema, dado por 1 M n m j r j, j=1 onde M = m m n é a massa total, será considerado a origem do referencial inercial. Tal referencial inercial é chamado referencial inercial baricêntrico.

9 Comentário Uma vez que soluções gerais do problema de n corpos não podem ser obtidas explicitamente, grande importância tem sido dada à procura de soluções particulares onde os n corpos satisfazem certas condições adicionais.

10 Configurações Uma configuração para os n corpos é um vetor onde é o conjunto das colisões. r = (r 1,..., r n ) R nd, = {r i = r j, i j} Duas configurações r = (r 1,..., r n ) e r = (r 1,..., r n ) são similares se for possível passar de uma à outra fazendo apenas dilatações ou rotações de R d.

11 4. Soluções Homográficas Uma solução homográfica do problema de n corpos é uma solução tal que a configuração dos n corpos em um instante t (com respeito ao referencial inercial baricêntrico) permanece similar a ela própria quando t varia.

12 Euler As primeiras três soluções homográficas foram encontradas por Euler em 1767 para o problema de 3 corpos. Para essas três soluções as configurações dos 3 corpos são colineares. L. Euler, De moto rectilineo trium corporum se mutuo attahentium, Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 11 (1767),

13 Figura : Soluções homográficas devidas a Euler. Ver página

14 Lagrange Em 1772 Lagrange encontrou duas soluções homográficas adicionais no problema de 3 corpos. Neste caso as configurações formadas pelos três corpos estão nos vértices de um triângulo equilátero. J. L. Lagrange, Essai sur le problème de trois corps, Oeuvres, vol 6, Gauthier Villars, Paris, 1873.

15 m 2 m1 : m2 : m3 1: 2 : 3 c.m. m 1 m 3 Figura : Soluções homográficas devidas a Lagrange.

16 5. Configurações centrais Em um dado instante t = t 0 a configuração dos n corpos é central se a aceleração gravitacional r i agindo sobre o corpo de massa m i é proporcional à sua posição r i (com relação ao referencial inercial baricêntrico), isto é, para todo i = 1,...,n. r i = λr i, λ < 0, (2) Pode ser provado que, neste caso, λ = U 2I, U = 1 i<j n m i m j r ij, I = n m i r i 2, U é a função potencial Newtoniano e I é o momento de inércia. i=1

17 Equações das configurações centrais Assim, de (1) e de (2), temos para i = 1, 2,...,n. λr i = n j=1, j i m j rij 3 (r i r j ), (3) A equação (3) é conhecida como equação das configurações centrais.

18 Teorema de Laplace Teorema. A configuração dos n corpos em uma solução homográfica é central em qualquer instante de tempo. A. Wintner, The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton University Press,

19 Classes de configurações centrais Dada uma configuração central, uma dilatação ou uma rotação (centrada no centro de massa) da mesma fornece uma outra configuração central. Dizemos que duas configurações centrais estão relacionadas se podemos passar de uma a outra através de uma dilatação e/ou uma rotação. Assim, podemos estudar classes de configurações centrais definidas pela relação de equivalência acima.

20 Importância das configurações centrais Permitem construir soluções homográficas. C. Vidal e G. Renildo, Homographic solutions in the n body problem, Cubo, 6 (2004),

21 Importância das configurações centrais Se os n corpos tendem a uma colisão simultânea então os corpos tendem a uma configuração central. D. Saari, On the role and properties of central configurations, Cel. Mech., 21 (1980), 9 20.

22 Importância das configurações centrais Existe uma relação entre as configurações centrais e as bifurcações das hipersuperfícies de energia e momento angular constantes. S. Smale, Topology and mechanics II: The planar n body problem, Invent. Math., 11 (1970),

23 Configurações centrais planares Nesta apresentação estaremos interessados apenas em configurações centrais planares não colineares.

24 Conjectura de Wintner/Smale Questão. No Problema de n Corpos, o número de classes de configurações centrais planares, para qualquer escolha de massas positivas m 1,..., m n, é finito? S. Smale, Mathematical problems for the next century, Math. Intelligencer, 20 (1998), 7 15.

25 Problema planar de 4 corpos Hampton e Moeckel provaram o seguinte teorema. Teorema. Se as massas são positivas, então existe apenas um número finito de classes de equivalência de configurações centrais planares para o problema de 4 corpos. Os autores mostraram que este número está entre 32 e M. Hampton and R. Moeckel, Finiteness of relative equilibria of the four body problem, Invent. Math., 163 (2006),

26 Problema planar de 5 corpos Recentemente Albouy e Kaloshin provaram o seguinte teorema. Teorema. O número de classes de equivalência de configurações centrais é finito no problema planar de 5 corpos, exceto, possivelmente para um subconjunto de medida nula para as massas dos corpos. A. ALBOUY AND V. KALOSHIN, Finiteness of central configurations of five bodies in the plane, Ann. of Math., 176 (2012),

27 6. Equações de Dziobek Laura Andoyer Para muitos propósitos, o mais conveniente conjunto de equações para as configurações centrais planares pode ser escrito como f ij = n k=1,k i,j para 1 i < j n, onde m k (R ik R jk ) ijk = 0, (4) R ij = 1 rij 3, ijk = (r i r j ) (r i r k ). Y. Hagihara, Celestial Mechanics, vol 1, MIT Press, Massachusetts, 1970.

28 Observações Observe que em (4), ijk é o dobro da área orientada do triângulo com vértices em r i, r j e r k, nesta ordem. Assim, ijk = kij, ijk = ikj, para todo i, j, k. É claro que para todo i, j. R ij = R ji,

29 Teorema Pode se mostrar o seguinte teorema: Teorema. Considere n corpos com massas m 1, m 2,..., m n num mesmo plano e não colineares, localizadas, respectivamente, em r 1, r 2,...,r n. Então, o sistema (3) é equivalente ao sistema (4). L.F. Mello, F.E. Chaves e A.C. Fernandes, Configurações centrais planares do tipo pipa, Revista Brasileira de Ensino de Física, 31 (2009),

30 7. Exemplos de configurações centrais: Lagrange Considere 3 corpos não colineares de massas positivas. Das equações (4) temos f 12 = m 3 (R 13 R 23 ) 123 = 0, f 13 = m 2 (R 12 R 23 ) 132 = 0, f 23 = m 1 (R 12 R 13 ) 123 = 0. Como m i > 0 e ijk 0 segue que R 12 = R 13 = R 23. Em outras palavras, os corpos estão sobre os vértices de um triângulo equilátero.

31 Teorema de Lagrange Teorema. Considere 3 corpos não colineares de massas positivas. Estes três corpos formam uma configuração central se, e somente se, estão nos vértices de um triângulo equilátero.

32 Exemplo de Roberts Considere 5 corpos de massas m 1 = m 3 = 1, m 2 = m 4 = m, m 5 = p, nas posições (1, 0),( 1, 0),(0, k),(0, k),(0, 0), respectivamente, de acordo com a figura a seguir.

33 Exemplo de Roberts Figura : Exemplo de Roberts.

34 Exemplo de Roberts O conjunto de equações (4) reduz a f 12 = 0, a qual pode ser escrita como (R 13 R 23 ) m(r 14 R 24 ) p(r 15 R 25 ) 125 = 0, ou equivalentemente como ( 2 m c 3 1 ) 4k 3 + p (1 1k ) ( ) c 3 = 0. Para m = 1 e p = 1/4 a equação acima é satisfeita para todo k R +.

35 Exemplo de Roberts Teorema. No problema planar de 5 corpos para as massas (1, 1, 1, 1, 1/4), existe uma família a um parâmetro de configurações centrais planares onde os quatro corpos com massas iguais estão posicionados nos vértices de um quadrilátero (losango) e o quinto corpo está no centro deste quadrilátero. G. E. Roberts, A continuum of relative equilibria in the five body problem, Physica D, 127 (1999),

36 Teorema da Reta Mediatriz O Teorema da Reta Mediatriz, ou Teorema da Reta Perpendicular Bissetora, é um clássico da literatura. Teorema da reta perpendicular bissetora. Seja r = (r 1,...,r n ) uma configuração central planar e tome r i e r j, i j, quaisquer duas de suas posições. Então, se um dos dois cones abertos determinados pela reta L através de r i e r j e a sua reta perpendicular bissetora B contém pontos da configuração, então o outro cone também deverá conter pontos da configuração (veja Figura a seguir). R. Moeckel, On central configurations, Math. Z. 205 (1990),

37 Teorema da reta perpendicular bissetora B r i r j L Figura : A reta L através de r i e r j e sua reta perpendicular bissetora B. Esta configuração não pode ser central, pois, existem corpos apenas em um dos dois cones abertos.

38 Exemplo de configurações encaixantes Considere 6 corpos num plano com as seguintes propriedades (de acordo com a figura seguinte): os corpos estão sobre os vértices de dois triângulos equiláteros encaixantes; os baricentros são comuns; o triângulo de lado menor está com uma rotação de ângulo π/3 com respeito ao triângulo de lado maior.

39 Configurações encaixantes m 3 m 6 a m 5 m 1 m 4 1 Figura : Triângulos encaixantes. m 2

40 Configurações encaixantes As seguintes relações são verificadas: R 12 = R 13 = R 23 = 1, R 45 = R 46 = R 56 = a 3, R 34 = R 15 = R 26, R 14 = R 16 = R 24 = R 25 = R 35 = R 36, 124 = 163 = 235, 146 = 254 = 365, 125 = 236 = 234 = 126 = 143 = 153, 145 = 156 = 364 = 345 = 264 = 256.

41 Configurações encaixantes Assim, f 12 = 0 (R 15 R 25 ) 125 (m 5 m 6 ) = 0 m 5 = m 6 ; f 13 = 0 (R 35 R 15 ) 134 (m 4 m 5 ) = 0 m 4 = m 5 ; f 23 = 0 (R 25 R 15 ) 234 (m 4 m 6 ) = 0 m 4 = m 6 ; f 45 = 0 (R 25 R 15 ) 145 (m 1 m 3 ) = 0 m 1 = m 3 ; f 46 = 0 (R 25 R 15 ) 246 (m 2 m 3 ) = 0 m 2 = m 3 ; f 56 = 0 (R 15 R 25 ) 156 (m 1 m 2 ) = 0 m 1 = m 2.

42 Configurações encaixantes Portanto, temos m 1 = m 2 = m 3 = M, m 4 = m 5 = m 6 = m. A única equação restante de (4) é a seguinte M[(1 R 25 ) 142 +(1 R 15 ) 143 ]+m[(r 15 R 45 ) 145 +(R 25 R 45 ) 146 ] = 0, a qual pode ser escrita como m M = (1 R 25) 142 +(1 R 15 ) 143 (R 45 R 15 ) 145 +(R 45 R 25 ) 146, uma vez que o denominador (R 45 R 15 ) 145 +(R 45 R 25 ) 146 > 0.

43 Configurações encaixantes Vale o seguinte teorema. Teorema. Seja r o raio da circunferência que contém os vértices m 4, m 5 e m 6, de acordo com a figura acima. Para cada 0 < r < 0, existem massas positivas M e m tais que as massas m 1 = m 2 = m 3 = M e m 4 = m 5 = m 6 = m estão numa configuração central planar encaixante. Em termos do comprimento a do lado do triângulo menor, o teorema acima pode ser reescrito usando 0 < a < 0,

44 Configurações encaixantes Esboço da prova. Para cada 0 < r < 0, o numerador g(r) = (1 R 25 ) 142 +(1 R 15 ) 143 é positivo, como pode ser visto na seguinte figura.

45 Configurações encaixantes g(r) r Figura : Gráfico de (1 R 25 ) 142 +(1 R 15 ) 143.

46 Configurações centrais do tipo pipa As configurações centrais planares não colineares do problema de 4 corpos que têm a forma de pipa, ou simplesmente as configurações centrais do tipo pipa, são àquelas que têm um eixo de simetria passando por dois dos corpos. A configuração do tipo pipa é chamada convexa se nenhum dos corpos está localizado no interior do fecho convexo dos outros três. Caso contrário, dizemos que a configuração do tipo pipa é côncava.

47 Pipa cônvava Figura : Pipa côncava.

48 Pipa convexa Figura : Pipa convexa.

49 Configurações do tipo pipa Consideraremos os corpos de massas m 3 e m 4 sobre a reta de simetria das configurações do tipo pipa, sendo que a posição do corpo de massa m 3 estará fixa, conforme a figura a seguir.

50 Configurações do tipo pipa Figura : Configuração do tipo pipa.

51 Configurações do tipo pipa Teorema. Considere quatro corpos de massas m 1, m 2, m 3 e m 4 localizados em ( x, 0), (x, 0), (0, 3/2), (0, y), com x > 0 e y < 3/2, de acordo com a figura acima. Valem as seguintes afirmações:

52 Configurações do tipo pipa 1. Para cada ( 2 ) ( 3 3 x 0, , 2 ) 3+3, 2 existe um intervalo aberto não vazio I x0 tal que, para cada y 0 I x0, existem massas positivas m 1 = m 2, m 3 e m 4 de modo que os quatro corpos, como na figura acima, estão numa configuração central do tipo pipa;

53 Configurações do tipo pipa 2. Para x 0 = 1/2 e y 0 = 3/6, existem massas positivas m 1 = m 2 = m 3 e m 4 de modo que os quatro corpos, como na figura acima, estão numa configuração central do tipo pipa côncava;

54 Configurações do tipo pipa 3. Para x 0 = 3/2 e y 0 = 3/2, existem massas positivas m 1 = m 2 = m 3 = m 4 de modo que os quatro corpos, como na figura acima, estão numa configuração central do tipo pipa convexa.

55 Esboço da Prova Nossas configurações do tipo pipa, sem colisões, devem satisfazer, entre outras, as seguintes relações r 13 = r 23, r 14 = r 24, 143 = 234.

56 Esboço da Prova Consideremos as equações de Andoyer, temos f 12 = m 3 (R 13 R 23 ) m 4 (R 14 R 24 ) 124 = 0, (5) f 13 = m 2 (R 12 R 32 ) m 4 (R 14 R 34 ) 134 = 0, (6) f 14 = m 2 (R 12 R 42 ) m 3 (R 13 R 43 ) 143 = 0, (7) f 23 = m 1 (R 21 R 31 ) m 4 (R 24 R 34 ) 234 = 0, (8) f 24 = m 1 (R 21 R 41 ) m 3 (R 23 R 43 ) 243 = 0, (9) f 34 = m 1 (R 31 R 41 ) m 2 (R 32 R 42 ) 342 = 0. (10)

57 Esboço da Prova Podemos reescrever a equação (10) da seguinte maneira (m 1 m 2 ) (R 31 R 41 ) 341 = 0. Nas hipóteses do Teorema, o termo 134 nunca se anula, daí m 1 = m 2 ou R 13 = R 14. Se R 13 = R 14, temos um quadrado, que é uma configuração central se, e somente se, m 1 = m 2 = m 3 = m 4 (veja item 3 do Teorema). Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que m 1 = m 2 = 1.

58 Esboço da Prova A equação (5) é trivialmente satisfeita. Usando as relações de simetria acima, temos e f 13 = 0 f 23 = 0 f 14 = 0 f 24 = 0. Portanto, é suficiente encontrar soluções para (6) e (7), com valores positivos para as massas m 3 e m 4.

59 Esboço da Prova Reescrevendo estas equações de modo a obter m 3 e m 4 como funções das posições, temos m 3 = (R 12 R 42 ) 142 (R 43 R 13 ) 143, (11) m 4 = (R 12 R 32 ) 132 (R 34 R 14 ) 134. (12)

60 Esboço da Prova Desejamos encontrar, se existirem, regiões no semiplano x > 0 para as quais teremos valores positivos para ambas as massas. Devemos, então, estudar o sinal dos termos envolvidos nas expressões de m 3 e m 4 em (11) e (12), respectivamente.

61 Esboço da Prova Para o sinal das áreas orientadas consideremos primeiramente 0 < y < 3/2. Neste caso, nas expressões (11) e (12) vale 142 < 0, 143 > 0, 132 < 0, 134 < 0.

62 Esboço da Prova Assim, comparando o sinal de cada um dos termos de (11) e (12), teremos que se (x, y) A 1 A 2, as massas m 3 e m 4 serão positivas, onde A 1 = { (x, y) R 2 : < x < , 3 x < y < } 3x, { A 2 = (x, y) R 2 : 1 } < x < 2, 0 < y < 3 x

63 Esboço da Prova Consideremos agora y < 0. Neste caso, nas expressões (11) e (12), temos 142 > 0, 143 > 0, 132 < 0, 134 < 0. Novamente, comparando o sinal de cada um dos termos de (11) e (12), teremos que se (x, y) A 3 = B 1 B 2, as massas m 3 e m 4 serão positivas, onde B 1 = { (x, y) R 2 : 1 2 < x 3 2, 3x < y < } 3 3+4x 2, 2 { B 2 = (x, y) R 2 : 3 2 x < 2 3+3, } 3 3 3x < y < 2 3 x

64 Esboço da Prova O caso y = 0 não precisa ser considerado, pois, não ocorre configuração central do tipo pipa, devido ao Teorema da Reta Perpendicular Bissetora. R. Moeckel, On central configurations, Math. Z., 205 (1990),

65 Esboço da Prova Finalmente, concluímos que se (x 0, y 0 ) A 1 A 2 A 3 (veja figura a seguir), então as massas m 1 = 1, m 2 = 1, m 3 = m 3 (x 0, y 0 ), m 4 = m 4 (x 0, y 0 ), com posições ( ) 3 r 1 = ( x 0, 0), r 2 = (x 0, 0), r 3 = 0,, r 4 = (0, y 0 ), 2 formam uma configuração central do tipo pipa. O intervalo I x0 do enunciado do teorema é obtido tomando a interseção da reta x = x 0 com a região aberta A i, i = 1, 2, 3.

66 Figura : Regiões de existência das configurações do tipo pipa.

67 8. Problemas em aberto É possível exibir um contínuo de configurações centrais planares a la Roberts para o problema de 4 corpos? Catalogar as configurações centrais planares, uma vez que temos um número finito delas, para o problema de 4 corpos.

68 Outras referências F. R. Moulton, The straight line solutions of n bodies, Ann. of Math., 12 (1910), A. Albouy, On a paper of Moeckel on central configurations, Regular and Chaotic Dynamics, 8 (2003),

69 FIM. OBRIGADO!