Configurações centrais planares no problema de 5 corpos

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1 Configurações centrais planares no problema de 5 corpos Universidade Federal de Itajubá UNIFEI lfmelo@unifei.edu.br IX Encontro Mineiro de Equações Diferenciais UFSJ, 18 de Setembro de 2015

2 Plano da Apresentação: 1 Problema de n corpos; 2 Soluções Homográficas; 3 ; 4 Equações de Dziobek Laura Andoyer; 5 Exemplos de. 6 Teorema Principal.

3 1. Problema de n Corpos O problema Newtoniano de n corpos consiste no estudo do movimento de n corpos de massas m 1,...,m n, localizados pelos vetores posições r 1,...,r n R d, d = 2, 3, interagindo entre eles através das forças de atrações gravitacionais de acordo com a Lei da Gravitação de Newton.

4 Equações de movimento As equações de movimento são dadas por m i r i = n j=1, j i para i = 1, 2,...,n. Gm i m j r i r j 2 r i r j r i r j r i = n j=1, j i Aqui tomamos a constante gravitacional G = 1; m j rij 3 (r i r j ), (1) r j é o vetor posição do corpo de massa m j em um referencial inercial; r ij = r i r j é a distância Euclidiana entre os corpos de massas m i e m j.

5 Centro de massa O centro de massa do sistema, dado por 1 M n m j r j, j=1 onde M = m m n é a massa total, será considerado a origem do referencial inercial. Tal referencial inercial é chamado referencial inercial baricêntrico.

6 Comentário Uma vez que soluções gerais do problema de n corpos não podem ser obtidas explicitamente, grande importância tem sido dada à procura de soluções particulares onde os n corpos satisfazem certas condições adicionais.

7 Configurações Uma configuração para os n corpos é um vetor r = (r 1,..., r n ) R nd, onde = {r i = r j, i j} é o conjunto das colisões. Duas configurações r = (r 1,..., r n ) e r = (r 1,..., r n ) são similares se for possível passar de uma à outra fazendo apenas dilatações ou rotações de R d.

8 2. Soluções Homográficas Uma solução homográfica do problema de n corpos é uma solução tal que a configuração dos n corpos em um instante t (com respeito ao referencial inercial baricêntrico) permanece similar a ela própria quando t varia.

9 Euler As primeiras três soluções homográficas foram encontradas por Euler em 1767 para o problema de 3 corpos. Para essas três soluções as configurações dos 3 corpos são colineares. L. Euler, De moto rectilineo trium corporum se mutuo attahentium, Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 11 (1767),

10 Figura : Soluções homográficas devidas a Euler.

11 Lagrange Em 1772 Lagrange encontrou duas soluções homográficas adicionais no problema de 3 corpos. Neste caso as configurações formadas pelos três corpos estão nos vértices de um triângulo equilátero. J. L. Lagrange, Essai sur le problème de trois corps, Oeuvres, vol 6, Gauthier Villars, Paris, 1873.

12 m 2 m1 : m2 : m3 1: 2 : 3 c.m. m 1 m 3 Figura : Soluções homográficas devidas a Lagrange.

13 3. Configurações centrais Em um dado instante t = t 0 a configuração dos n corpos é central se a aceleração gravitacional r i agindo sobre o corpo de massa m i é proporcional à sua posição r i (com relação ao referencial inercial baricêntrico), isto é, para todo i = 1,...,n. r i = λr i, λ < 0, (2) Pode ser provado que, neste caso, λ = U 2I, U = 1 i<j n m i m j r ij, I = n m i r i 2, U é a função potencial Newtoniano e I é o momento de inércia. i=1

14 Equações das configurações centrais Assim, de (1) e de (2), temos para i = 1, 2,...,n. λr i = n j=1, j i m j rij 3 (r i r j ), (3) A equação (3) é conhecida como equação das configurações centrais.

15 Teorema de Laplace Teorema. A configuração dos n corpos em uma solução homográfica é central em qualquer instante de tempo. A. Wintner, The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton University Press,

16 Classes de configurações centrais Dada uma configuração central, uma dilatação ou uma rotação (centrada no centro de massa) da mesma fornece uma outra configuração central. Dizemos que duas configurações centrais estão relacionadas se podemos passar de uma a outra através de uma dilatação e/ou uma rotação. Assim, podemos estudar classes de configurações centrais definidas pela relação de equivalência acima.

17 Importância das configurações centrais Permitem construir soluções homográficas. C. Vidal e G. Renildo, Homographic solutions in the n body problem, Cubo, 6 (2004),

18 Importância das configurações centrais Se os n corpos tendem a uma colisão simultânea então os corpos tendem a uma configuração central. D. Saari, On the role and properties of central configurations, Cel. Mech., 21 (1980), 9 20.

19 Importância das configurações centrais Existe uma relação entre as configurações centrais e as bifurcações das hipersuperfícies de energia e momento angular constantes. S. Smale, Topology and mechanics II: The planar n body problem, Invent. Math., 11 (1970),

20 Configurações centrais planares Nesta apresentação estaremos interessados apenas em configurações centrais planares não colineares.

21 Conjectura de Wintner/Smale Questão. No Problema de n Corpos, o número de classes de configurações centrais planares, para qualquer escolha de massas positivas m 1,..., m n, é finito? S. Smale, Mathematical problems for the next century, Math. Intelligencer, 20 (1998), 7 15.

22 Problema planar de 4 corpos Hampton e Moeckel provaram o seguinte teorema. Teorema. Se as massas são positivas, então existe apenas um número finito de classes de equivalência de configurações centrais planares para o problema de 4 corpos. Os autores mostraram que este número está entre 32 e M. Hampton and R. Moeckel, Finiteness of relative equilibria of the four body problem, Invent. Math., 163 (2006),

23 Problema planar de 5 corpos Recentemente Albouy e Kaloshin provaram o seguinte teorema. Teorema. O número de classes de equivalência de configurações centrais é finito no problema planar de 5 corpos, exceto, possivelmente para um subconjunto de medida nula para as massas dos corpos. A. ALBOUY AND V. KALOSHIN, Finiteness of central configurations of five bodies in the plane, Ann. of Math., 176 (2012),

24 4. Equações de Dziobek Laura Andoyer Para muitos propósitos, o mais conveniente conjunto de equações para as configurações centrais planares pode ser escrito como f ij = n k=1,k i,j para 1 i < j n, onde m k (R ik R jk ) ijk = 0, (4) R ij = 1 rij 3, ijk = (r i r j ) (r i r k ). Y. Hagihara, Celestial Mechanics, vol 1, MIT Press, Massachusetts, 1970.

25 Observações Observe que em (4), ijk é o dobro da área orientada do triângulo com vértices em r i, r j e r k, nesta ordem. Assim, ijk = kij, ijk = ikj, para todo i, j, k. É claro que para todo i, j. R ij = R ji,

26 Teorema Pode se mostrar o seguinte teorema: Teorema. Considere n corpos com massas m 1, m 2,..., m n num mesmo plano e não colineares, localizadas, respectivamente, em r 1, r 2,...,r n. Então, o sistema (3) é equivalente ao sistema (4). L.F. Mello, F.E. Chaves e A.C. Fernandes, Configurações centrais planares do tipo pipa, Revista Brasileira de Ensino de Física, 31 (2009),

27 5. Exemplos de configurações centrais: Lagrange Considere 3 corpos não colineares de massas positivas. Das equações (4) temos f 12 = m 3 (R 13 R 23 ) 123 = 0, f 13 = m 2 (R 12 R 23 ) 132 = 0, f 23 = m 1 (R 12 R 13 ) 123 = 0. Como m i > 0 e ijk 0 segue que R 12 = R 13 = R 23. Em outras palavras, os corpos estão sobre os vértices de um triângulo equilátero.

28 Teorema de Lagrange Teorema. Considere 3 corpos não colineares de massas positivas. Estes três corpos formam uma configuração central se, e somente se, estão nos vértices de um triângulo equilátero.

29 Exemplo de Roberts Considere 5 corpos de massas m 1 = m 3 = 1, m 2 = m 4 = m, m 5 = p, nas posições (1, 0),( 1, 0),(0, k),(0, k),(0, 0), respectivamente, de acordo com a figura a seguir.

30 Exemplo de Roberts Figura : Exemplo de Roberts.

31 Exemplo de Roberts O conjunto de equações (4) reduz a f 12 = 0, a qual pode ser escrita como (R 13 R 23 ) m(r 14 R 24 ) p(r 15 R 25 ) 125 = 0, ou equivalentemente como ( 2 m c 3 1 ) 4k 3 + p (1 1k ) ( ) c 3 = 0. Para m = 1 e p = 1/4 a equação acima é satisfeita para todo k R +.

32 Exemplo de Roberts Teorema. No problema planar de 5 corpos para as massas (1, 1, 1, 1, 1/4), existe uma família a um parâmetro de configurações centrais planares onde os quatro corpos com massas iguais estão posicionados nos vértices de um quadrilátero (losango) e o quinto corpo está no centro deste quadrilátero. G. E. Roberts, A continuum of relative equilibria in the five body problem, Physica D, 127 (1999),

33 Teorema da Reta Mediatriz O Teorema da Reta Mediatriz, ou Teorema da Reta Perpendicular Bissetora, é um clássico da literatura. Teorema da reta perpendicular bissetora. Seja r = (r 1,...,r n ) uma configuração central planar e tome r i e r j, i j, quaisquer duas de suas posições. Então, se um dos dois cones abertos determinados pela reta L através de r i e r j e a sua reta perpendicular bissetora B contém pontos da configuração, então o outro cone também deverá conter pontos da configuração (veja Figura a seguir). R. Moeckel, On central configurations, Math. Z. 205 (1990),

34 Teorema da reta perpendicular bissetora B r i r j L Figura : A reta L através de r i e r j e sua reta perpendicular bissetora B. Esta configuração não pode ser central, pois, existem corpos apenas em um dos dois cones abertos.

35 6. Teorema principal Considere 5 corpos no plano dispostos de acordo com a seguinte figura. r 5 r 4 r 3 1 r 1 1 r 2 Figura : Configuração convexa, mas não estritamente convexa.

36 Configurações convexas Temos o seguinte teorema. Teorema 1 Existem posições r 1, r 2, r 3, r 4 e r 5 e massas positivas m 1, m 2, m 3, m 4 e m 5, de acordo com a Figura 5, as quais formam uma configuração central convexa, mas não estritamente convexa no plano.

37 Outras referências K.-C. CHEN, J.-S. HSIAO, Convex central configurations of the n body problem which are not strictly convex, J. Dyn. Diff. Equat., 24 (2012), M. GIDEA, J. LLIBRE, Symmetric planar central configurations of five bodies: Euler plus two, Celest. Mech. Dyn. Astr., 106 (2010),

38 FIM. OBRIGADO!