EM BUSCA DA MATEMÁTICA COMPLEXA: EXPERIÊNCIA COM FRACTAL NO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 EM BUSCA DA MATEMÁTICA COMPLEXA: EXPERIÊNCIA COM FRACTAL NO ENSINO FUNDAMENTAL Leticia Trzaskos Abbeg 1 - SEED-Pr Thiago Phelipe Abbeg 2 - CEUCLAR Valter André Jonathan Osvaldo Abbeg 3 - SEED-PR/PMA/PDH Grupo de Trabalho Educação, Complexidade e Transdisciplinaridade Agência Financiadora: não contou com financiamento Resumo Este trabalho foi desenvolvido com alunos do nono ano do ensino fundamental, tendo como objetivo introduzir o conceito de fractal e a noção de complexidade científica a partir de experimentos e relações. A geometria euclidiana não responde aos problemas complexos da própria natureza e questiona-se a própria linearidade do saber, conjugando diferentes argumentos sobre a natureza da ciência e do conhecimento humano. Desta forma estamos cercados pela complexidade do ambiente e devemos buscar nas relações interdisciplinares formas de compreender este mundo que não pode ser explicado pela visão singular de uma ciência. A experiência produziu nos alunos uma perspectiva que ultrapassa a compreensão de linearidade, de causa e efeito, vislumbrando uma potencialidade transversal na solução dos problemas de ordem complexa. Para conceituar um fractal é regido pelo pensamento complexo, pois ultrapassa a linearidade euclidiana, observando as nuvens que não podem ser consideradas como esferas, que as montanhas não se apresentam como cones, as linhas costeiras não representam círculos e as ondulações da casca de uma árvore não são suave, tampouco os relâmpagos se propagam em linha reta. Esta ação além de motivadora para os educandos proporcionou um contato com a tecnologia que não conheciam trabalhando com a beleza das figuras e com a matemática escondida por trás destas imagens A interação com as tecnologias e o contato com uma matemática que desconheciam relacionada com a arte dos fractais permitiu que os alunos tivessem uma experiência fora da sala de aula, em que o assunto abordado, por ser ministrado com materiais que os alunos estão frequentemente interagindo mas não conhecessem muitos programas e como é usado, interessou-os, permitindo um aprendizado mas eficiente. 1 Pós-graduanda em Didática da Educação Básica pela Faculdade Bagozzi, Professora da rede estadual do Paraná (SEED-Pr). leticiatrzaskos@yahoo.com.br. 2 Mestre em Matemática pela UTFPR, Professor-tutor do CEUCLAR, Professor do Colégio Passionista Nossa Senhora do Rosário e Colégio Ágape. 3 Especialista em Alfabetização (CBM), Professor da Prefeitura Municipal de Araucária (PMA), Pedagogo da rede estadual de ensino do Paraná (SEED-Pr), Diretor d Prepárate Desenvolvimento Humano. vajoa@epreparate.com.br. ISSN

2 10928 Palavras-chave: Escola Pública. Geometria. Tecnologia. Introdução Este trabalho foi desenvolvido com alunos do nono ano do ensino fundamental, tendo como objetivo introduzir o conceito de fractal e a noção de complexidade científica a partir de experimentos e relações. Procuramos na experiência com alunos do ensino fundamental de escola estadual pública (CEG), localizada na periferia da região metropolitana de Curitiba, município com baixo IDH de educação considerado médio (IPEA, 2010). A experiência condiz com os argumentos de Mello (2009, p.31), quanto às possibilidades de transparecer no ensino suas dimensões complexas através da transversalidade disciplinar, no espaço, tempo, currículo e ambiente. As perspectivas do ensino de conceitos complexos na educação básica, nos anos finais do ensino fundamental, se assentam sobre outras experiências já realizadas, como aponta Veit (2007) associando a questão da arte fractal em atividade aplicada aos alunos da 7ª série (atual 8º ano), Kindel (2013) apontando para a possibilidade de trabalhar com a concepção de infinito, Nascimento et al (2012) abordando experimento no ensino da geometria, ou de Paixão (2014) que aborda o uso de softwares para o ensino de fractais no ensino fundamental. O questionamento sobre a aplicação de fractais incide sobre a própria necessidade de explicação das relações geométricas, tendo visto que... Sabemos que nuvens não são exatamente esferas, nem que montanhas podem ser reduzidas a cones, e que linhas litorâneas não são formadas por circunferências. As cascas de árvores não são lisas, nem um raio se propaga em linha reta. Esta idéia foi descrita por Mandelbrot ao defender uma nova geometria, a Geometria Fractal que se diferencia da Geometria de Euclides pois descreve a forma irregular dos diversos fenômenos existentes na natureza, e que são difíceis de serem explicadas por meio da Geometria Euclidiana (GRESSLER, 2008, p.22-23). Desta forma, a geometria euclidiana não responde aos problemas complexos da própria natureza e questiona-se a própria linearidade do saber, conjugando diferentes argumentos sobre a natureza da ciência e do conhecimento humano. Desta forma estamos cercados pela complexidade do ambiente e devemos buscar nas relações interdisciplinares formas de compreender este mundo que não pode ser explicado pela visão singular de uma ciência. Assim, pretendemos explorar tanto a noção de complexidade quanto a perspectiva de ensino de fractais no ensino fundamental para debater os campos limítrofes disciplinares e as possibilidades de ensino.

3 10929 Percebendo a noção de complexidade A construção das diferentes relações entre os conteúdos escolares, galgados nas ciências educacionais enquanto forma de definir, amparar e subsidiar um currículo uniforme, sequenciado, racional e linear transparece nossas dificuldades de interpretar a própria realidade. A abstração da forma do conhecimento escolar não adota a noção de complexidade. Na busca pela sua definição mais apropriada, Edgar Morin aponta inicialmente que: Num primeiro momento a complexidade é um tecido (complexus: o que é tecido junto) de constituintes heterogêneas inseparavelmente associadas: ela coloca o paradoxo do uno e do múltiplo. Num segundo momento, a complexidade é efetivamente o tecido de acontecimentos, ações, interações, retroações, determinações, acasos, que constituem nosso mundo fenomênico. Mas então a complexidade se apresenta com os traços inquietantes do emaranhado, do inextricável, da desordem, da ambiguidade, da incerteza... (MORIN, 2005b, p.13) Esta indefinição e distanciamento da dimensão da ordem afasta o pensamento complexo do conhecimento escolar. No século XX, uma descoberta no campo da Matemática evidenciou os sistemas não-lineares, que originaram a matemática da complexidade, mudando um pouco esta percepção de um mundo linear. (GRESSLER, 2008, p.11) Para conceituar um fractal é regido pelo pensamento complexo, pois ultrapassa a linearidade euclidiana, observando as nuvens que não podem ser consideradas como esferas, que as montanhas não se apresentam como cones, as linhas costeiras não representam círculos e as ondulações da casca de uma árvore não são suave, tampouco os relâmpagos se propagam em linha reta. (MANDELBROT, 1982). Uma definição mais precisa de Fractal, cuja palavra origina-se do Latim e tem significado de fractus, ou seja de, fração. Assim fractais são objetivos que tem como característica a autossemelhança e a complexividade infinita, como se cada parte sempre possui cópias de si mesmas e são gerados pela iteração de processos simples. (MANDELBROT, 1982) Experiências com fractais na educação básica Neste tópico descrevemos alguns trabalhos propostos para a educação básica. Compreendendo que a matemática da complexidade está relacionada a fenômenos da

4 10930 natureza, pois os mesmos não ocorrem linearmente; portanto, tornam-se imprevisíveis. (GRESSLER, 2008, p.11) Desta forma o fractal apresenta duas características muito frequentes, uma complexidade infinita, nunca poderemos representá-lo totalmente, pois sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores repetindo um determinado padrão com ligeiras e constantes variações de si mesmo no seu interior, a autosimilaridade. Como conseqüência dessa autosimilaridade, as diferentes partes de um fractal se mostram similares ao todo. Assim, os fractais têm cópias aproximadas de si em seu interior. (KINDEL, 2013, p.3) A noção de transversalidade associa-se a questão da interdisciplinaridade e por consequência aborda e transborda novos conhecimentos e novos valores... Transversalidade e interdisciplinaridade fundamentam-se na crítica de uma concepção de conhecimento que toma a realidade como um conjunto de dados estáveis, sujeitos a um ato de conhecer isento e distanciado. Ambas apontam a complexidade do real e a necessidade de se considerar a teia de relações entre os seus diferentes e contraditórios aspectos. (MELLO, 2009, p.33) As atividades sobre fractais para trabalhar com geometrias não euclidianas relacionado com aspectos que possuem grande repercussão e contempla contextos relacionados a novas geometrias. E ainda é relatado que as Geometrias Não-Euclidianas e os Fractais. Sendo provável que poucos professores os conheçam profundamente. Em Moreira (2013) relata atividades que podem ser utilizadas juntamente com o computador com o software Geogebra. Concluindo que...com a adaptação de exemplos os professores podem incluir a Geometria Fractal no cotidiano escolar da educação básica, contribuindo de maneira significativa com a apresentação, revisão ou aprofundamento de diversos conteúdos presentes na disciplina de Matemática nesse nível de ensino. (Moreira, 2013, p. 69) Ainda Moreira (2013, p. 69) cita que através da abordagem da Geometria Fractal na educação básica, fica sendo possível construir o desenvolvimento de diversos conteúdos e habilidades de modo que cause curiosidade, e assim evidenciando aplicações dessa ramificação da matemática em algumas das áreas de aplicação do conhecimento. A utilização de ferramentas computacionais como o GeoGebra é ainda citada em Abbeg (2014, p.45) que cita que a versatilidade do GeoGebra ao interagir a Janela de Álgebra, a de Visualização e a Planilha, podendo dar diversas visões do mesmo objeto de estudo, ao mesmo tempo podendo modificar dinamicamente as três opções, assim se torna um poderoso e indispensável recurso que deve ser incentivado como auxiliar no processo de ensino e aprendizagem.

5 10931 A experiência no ensino fundamental O trabalho com fractais no ensino fundamental se revela um desafio de experimentação, todavia, para fins didáticos foi organizado em três momentos, adaptando a sequência proposta por Nascimento et al (2012, p.125): uma abordagem buscando conhecimentos prévios dos alunos, a segunda no laboratório de informática, e a terceira explorando a construção concreta dos conceitos trabalhados. Figura 1- Exemplo de Curva de Koch Fonte: Wangenheim (s.d.) No primeiro momento foi proposto o desenho de uma couve-flor, sem qualquer indicação ou orientação, em desenho livre sem recursos tais como réguas ou compassos, buscando acepções ou concepções matemáticas, sendo o ponto de partida para as diversas relações posteriores a serem elencadas. Figura 2- Desenho do Aluno 8 no primeiro momento

6 10932 Podemos observar que o desenho é esquemático e representa a figura exigida com certa semelhança, todavia desprovida de elementos matemáticos. Representa uma certa infantilidade no traço e exagero das formas, anunciando uma caricatura da proposição. Esta representação advém da própria necessidade de destacar partes marcantes do objeto. Figura 3- Desenho do Aluno 17 no primeiro momento O segundo momento buscou-se as na mediação com as novas tecnologias, no laboratório de informática a construção de fractais utilizando o aplicativo Geogebra. Figura 4- Exemplo de fractal (Floco de neve curva de Koch) construído no Geogebra

7 10933 Para a construção da Figura 4, como foi aplicado com uma turma de 9º ano que não tinham conhecimento do programa Geogebra e suas aplicações, portanto foi necessário uma aula para que pudessem aprender a construção de figuras básicas, como reta, ponto, etc. Tendo a base de como construir, agora podemos começar a construção do floco de neve. Primeiramente construímos um triângulo equilátero, depois dividimos cada lado do triângulo em três partes iguais, apagamos o segmento do meio, em cada lado, este segmento que apagamos,seria a base de um novo triângulo equilátero que vamos construir. Repetimos o mesmo procedimento nos três novos triângulos. Obtendo as figuras acima. Figura 5- Exemplo de fractal (Triângulo de Sierpinski) construído no Geogebra Para a construção da figura acima, começamos construindo um triângulo equilátero, para o próximo passo usamos a ferramenta de ponto médio, sendo assim com os três pontos médio construímos um novo triângulo. Aplicamos o mesmo procedimento para os triângulo obtidos na interação anterior. E assim sucessivamente, obtendo a Figura 5. Esta ação além de motivadora para os educandos proporcionou um contato com a tecnologia que não conheciam trabalhando com a beleza das figuras e com a matemática escondida por trás destas imagens.

8 10934 Os fractais que apresentam a característica da autossemelhança exata são aqueles construídos a partir de figuras geométricas, os chamados Fractais Geométricos, como: Curva de Koch, Triângulo de Sierpinski... Enquanto que, os fractais encontrados na natureza, os Fractais Naturais - couve-flor, gengibre, nuvens, entre outros - apresentam uma autossemelhança estatística, pois as par tes são semelhantes em média ao todo, isto é, as par tes em escalas menores são apenas parecidas com o todo. (NASCIMENTO et al, 2012, p.119) No terceiro momento retomamos ao desenho da couve-flor, seguindo os mesmos critérios de desenho livre, sem recursos tais como réguas ou compassos, conforme podemos observar nas figuras 5 e 6. Figura 5- Desenho do Aluno 8 no terceiro momento Figura 6- Desenho do Aluno 17 no terceiro momento A apropriação dos conceitos de complexidade na matemática demonstra-se evidente na configuração dos desenhos no terceiro momento, ultrapassando o mero desenho esquemático, buscando propriedades matemáticas, como as noções fractais, na sua configuração.

9 10935 Considerações Finais Esta experiência proporcionou um momento de reflexão não apenas sobre as metodologias aplicadas no ensino fundamental, mas, abriu caminho para debater o currículo que tem sofrido uma redução de conteúdos nas últimas décadas, advindo, segundo MORIN (2005a), do processo de modernização da sociedade, na qual a simplificação toma a frente no processo de fragmentação da sociedade. A experiência produziu nos alunos uma perspectiva que ultrapassa a compreensão de linearidade, de causa e efeito, vislumbrando uma potencialidade transversal na solução dos problemas de ordem complexa. A interação com as tecnologias e o contato com uma matemática que desconheciam, relacionada com a arte dos fractais permitiu que os alunos tivessem uma experiência fora da sala de aula, em que o assunto abordado, por ser ministrado com materiais que os alunos estão frequentemente interagindo, mas não conhecessem muitos programas e como é usado, interessou-os, permitindo um aprendizado mas eficiente. REFERÊNCIAS ABBEG, Thiago Phelippe. Equações algébricas no ensino médio: história, resolução numérica e tecnologia educacional f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) Universidade Tecnológica Federal do Paraná GRESSLER, Márcia Denise. Construindo uma percepção complexa da realidade a partir do estudo dos fractais f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, IPEA. Políticas sociais: acompanhamento e análise. Brasília: Ipea, KINDEL, Dora Soraia. Investigações em sala de aula de matemática: a geometria fractal e as sequências numéricas infinitas. In: VI Congresso Internacional de Ensino de Matemática. Anais MANDELBROT, Benoit. The fractal geometry of nature. New York: Freeman and Company, MELLO, Viviane de Oliveira. Os temas transversais na matemática das séries finais do ensino fundamental, teoria ou prática f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, MOREIRA, Rafael de Lima. Fractais f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) Universidade Federal do ABC. MORIN, Edgar. Ciência com consciência. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 2005a.

10 Introdução ao pensamento complexo. Porto Alegre: Sulina, 2005b. NASCIMENTO, M.; SILVA, S. C. R.; MACIEL, N. A. Uma proposta didática para o ensino de geometria fractal em sala de aula na educação básica. Vidya Revista Eletrônica, Santa Maria, v.32, n.2, p , jul.-dez, Disponível em: < Acesso em: 25 jul PAIXÃO, Rogério da Silva. O ensino de fractais no ensino fundamental. Maringá, Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) Universidade Estadual de Maringá. VEIT, Elaine Fraga. Conceitos da geometria dos fractais na sétima série do ensino fundamental. In: Simpósio Nacional de Geometria Descritiva e Desenho Técnico, 17, de 11 a 14 de novembro de Anais... Curitiba: UFPR, Disponível em: < Acesso em: 07 jul WANGENHEIM, Aldo Von. Algumas Técnicas de Análise de Imagens utilizando Fractais. Disponível em < Acesso em: 07 jul. de 2015.