Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência

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1 Ana Paula Martins Lima Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da UFBA Orientador: Prof. Marcela Silva Novo Salvador Setembro de 2014

2 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Ana Paula Martins Lima Ana Paula Martins Lima recebeu o grau de bacharel em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal da Bahia, em julho de Em setembro de 2013, foi contratada pela Petróleo Brasileiro S.A. Petrobrás, como Engenheira de Petróleo Junior. Lima, Ana Paula Martins Ficha Catalográfica Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência / Ana Paula Martins Lima; orientador: Marcela Silva Novo. Salvador : UFBA, Departamento de Engenharia Elétrica, v., 107 f: il. ; 29,7 cm 1. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da Bahia, Departamento de Engenharia Elétrica. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia Elétrica Tese. 2. Camadas Perfeitamente Casadas. 3. Eletromagnetismo Computacional. 4. Método dos Volumes Finitos. 5. Número de Condição. 6.. I. Novo, Marcela Silva. II. Universidade Federal da Bahia. Departamento de Engenharia Elétrica. III. Título. CDD: 621.3

3 Ana Paula Martins Lima Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da UFBA. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Marcela Silva Novo Orientadora Departamento de Engenharia Elétrica UFBA Prof. Vitaly Félix Rodrìguez Esquerre Universidade Federal da Bahia - UFBA Prof. Fernando Augusto Moreira Universidade Federal da Bahia - UFBA Prof. José Ricardo Bergmann Pontíficia Universidade Católica do Rio de Janeiro - PUC-Rio Salvador, 12 de Setembro de 2014.

4 Agradecimentos A realização deste projeto foi possível apenas com a ajuda e o apoio de algumas pessoas a quem devo expressar enorme gratidão. Primeiro, à minha orientadora, Profa Marcela Silva Novo, pela orientação que tornou esta Dissertação de Mestrado uma realidade. Aos meu amigos em geral, pelo apoio e motivação nos momentos de maiores dificuldades e incertezas. Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pelo suporte financeiro que contribui para a viabilização deste trabalho. Finalmente, um agradecimento especial aos meus pais. À minha mãe, Edimar Leiros Martins Lima, e ao meu pai, José Antônio de Carvalho Lima, por toda a confiança e apoio incondicional durante a realização deste trabalho.

5 Resumo Lima, Ana Paula Martins; Novo, Marcela Silva. Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência. Salvador, p. Dissertação de Mestrado Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia. O objetivo principal deste trabalho é analisar a degradação do número de condição da matriz resultante da discretização das equações de Maxwell pelo método dos volumes finitos (FVM) quando camadas perfeitamente casadas (PML) são utilizadas como condição de contorno absorventes (ABC) em estruturas coaxiais. O estudo do número de condição é realizado em conjunto com o estudo do coeficiente de reflexão da PML para assegurar níveis de absorção da onda satisfatórios. A modelagem numérica é realizada através da aplicação do FVM bidimensional (FVM-2D), incorporando ao domínio computacional PMLs cilíndricas nas direções longitudinal e radial. Dois perfis de atenuação da PML foram estudados: polinomial e geométrico. Além disso, a Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS- PML) também foi analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML apresenta um condicionamento melhor para um dado nível de absorção. Para fins de comparação, dois métodos iterativos foram implementados e testados: método dos gradientes biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB) e método generalizado dos mínimos resíduos (GMRES). Em todos os casos considerados, os dois tipos de PML apresentaram desempenho semelhante em termos de absorcão da onda e do número de condição da matriz do sistema. Embora a PML tem sido aplicada com grande sucesso em métodos no domínio do tempo, sua utilização como ABC em métodos no domínio da frequência ainda é limitada. A inclusão da PML no domínio computacional aumenta significativamente o número de condicão da matriz do sistema e consequentemente deteriora a convergência dos métodos iterativos utilizados na solução do sistema. Palavras chave Camadas Perfeitamente Casadas. Eletromagnetismo Computacional. Método dos Volumes Finitos. Número de Condição..

6 Abstract Lima, Ana Paula Martins; Novo, Marcela Silva. Analysis of Perfectly Matched Layers for Bi-dimensional Finite Volume Simulations in the Frequency Domain. Salvador, p. MsC Thesis Department of Electrical Engineering, Universidade Federal da Bahia. The main objective of this work is to analyze the degradation of the condition number of the matrix resulting from the discretization of Maxwell s equations by finite volume method (FVM) when perfectly matched layers (PML) are used as absorbing boundary condition (ABC) in coaxial structures. The study of the condition number is done in conjunction with the study of the reflection coefficient of PML to ensure satisfactory levels of wave absorption. The numerical modeling is done by using a bi-dimensional finite volume method (2-D FVM) that incorporates cylindrical PMLs in the radial and longitudinal directions. This is assessed by comparing the performance of two PML loss profiles, viz., polynomial and geometric grading. Moreover, the Complex-Frequency Shifted Perfectly Matched Layer (CFS-PML) is also analyzed in order to evaluate what kind of PML has better conditioning for a given level of absorption. For comparison purposes, two iterative methods are implemented and tested: biconjugate gradient stabilized method (BiCGSATB) and generalized minimal residual method (GMRES). Although PML has been used with great success in the time domain methods, in the frequency domain its usefulness is limited. The inclusion of the PML in computational domain significantly increases the CN of the matrix of the system and consequently the convergence deteriorates. Keywords Computational Electromagnetics. Condition Number. Finite Volume Method. Perfectly Matched Layer..

7 Sumário 1 Introdução Contexto Objetivos da Dissertação Organização da Dissertação 20 2 Método dos Volumes Finitos Introdução Formulação do Problema Discretização Definição do Domínio do Problema Discretização das Esquações 24 3 Camadas Perfeitamente Casadas (PML) PML Anisotrópica via Coordenadas Espaciais Complexas Desempenho Teórico da PML O Espaço Contínuo O Espaço Discreto Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) 37 4 Resultados Numéricos Ajuste nos Parâmetros dos Métodos Iterativos e do Pré-Condicionador PML na Direção Longitudinal Validação Estudo do Coeficiente de Reflexão Numérico Estudo do Número de Condição CFS-PML na Direção Longitudinal Validação Estudo do Coeficiente de Reflexão Numérico Estudo do Número de Condição Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Longitudinal PML na Direção Radial Validação Estudo do Coeficiente de Reflexão Numérico Estudo do Número de Condição CFS-PML na Direção Radial Validação Estudo do Coeficiente de Reflexão Numérico Estudo do Número de Condição Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Radial 95 5 Conclusões 99 Referências Bibliográficas 101 A Artigos publicados 107

8 Lista de figuras 1.1 Configuração básica da ferramenta LWD. (a) Ferramenta convencional. (b) Ferramenta direcional. [7] Resumo do contexto e motivação deste trabalho Interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas para a discretização espacial dos campos EM na grade cilíndrica Superfície constante na direção φ Superfície constante na direção ρ Superfície constante na direção z Perfil Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10 camadas com interface em z = Perfil Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10 camadas com interface em z = Geometria do problema bidimensional (2D) para aplicação da PML na direção longitudinal Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção longitudinal Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com PML na direção longitudinal Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos não utilizam précondicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual a NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual a NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo) Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP ML = 1. 50

9 4.8 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Em ambos os casos, NP ML = 6 e KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores da parte real da variável de expansão (KPML) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores do número de camadas da PML (NP ML) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Tanto para o perfil polinomial (em cima), quanto para o geométrico (embaixo), NP ML = 6 e KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores da parte real da variável de expansão (KP ML) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS- PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML igual a NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αz max = Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo) Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS- PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da CFS-PML igual a NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e α max z =

10 4.17 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores de α, utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = 6 e KP ML = αz max X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para diferentes valores de αz max. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = 6 e KP ML = αz max X número de condição para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Frequência X número de condição para diferentes valores da condutividade da PML (σ). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = 6, KP ML = 1 e α max = Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção radial Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com PML na direção radial Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos não utilizam précondicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML - NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo). 77

11 4.27 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes, utilizando o BICGSTAB. Em ambos os casos, NP ML = 6 e KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores da parte real da variável de expansão (KPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores do número de camadas da PML (NP ML) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Tanto para o perfil polinomial (em cima), quanto para o geométrico (embaixo), NP ML = 6 e KP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores da parte real da variável de expansão (KP ML) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS- PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML - NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2 e α max = Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS- PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Regiões onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo). 90

12 4.36 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS- PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML - NP ML = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2 e α max = Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores de αρ max diferentes, utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = 6 e KP ML = αρ max X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores de αρ max diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = 6 e KP ML = αρ max X número de condição para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = Frequência X número de condição para diferentes valores da condutividade da PML (σ). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, NP ML = 6, KP ML = 1 e α max ρ =

13 Lista de tabelas 4.1 Dados de entrada utilizados na simulação de ajuste dos parâmetros do pré-condicionador e dos métodos iterativos Número de iterações em função da droptol do pré-condicionador ILU Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função do número de camadas da PML (NP ML). O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função dos parâmetros m e g. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função de KP ML. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número de condição quando a PML é introduzida ao domínio na direção longitudinal Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função do αz max, considerando COEF = 10 6 e KP ML = Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função do KP ML, considerando COEF = 10 6 e αz max = Dados de entrada da validação do método FVM terminado com a PML na direção radial Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função do número de camadas da PML (NP ML). O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função dos parâmetros m e g. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função de KP ML. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número de condição com a PML introduzida na direção radial Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função de αρ max, considerando COEF = 10 6 e KP ML = Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função de KP ML, considerando COEF = 10 6 e αρ max =

14 Sumário das notações ABC - Absorbing Boundary Condition (Condição de Contorno Absorvente) Bi-CGSTAB - Biconjugate Gradient Stabilized Method (Método do Gradiente Bi-Conjugado Estabilizado) CFS-PML - Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer COEF - Coeficiente de Reflexão Teórico COEFN - Coeficiente de Reflexão Numérico CN - Condition Number (Número de Condição) FDM - Finite difference Method (Método das Diferenças Finitas) FDTD - Finite-Difference Time-Domain (Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo) FETD - Finite-Element Time-Domain (Método dos Elementos Finitos no Domínio do Tempo) FVM - Finite Volume Method (Método dos Volumes Finitos) FVTD - Finite-Volume Time-Domain (Método dos Volumes Finitos no Domínio do Tempo) GMERS - Generalized Minimal Residual Method (Método Generalizado dos Mínimos Resíduos) ILU - Incomplete LU Factorization (Fatorização Incompleta LU) KPML - Parte Real da Variável de Expansão LUINC - Pré-Ccondicionador baseado em fatorização LU Incompleta LWD - Logging-While-Drilling NMM - Numerical Mode Matching (Método do Casamento de Modos) NPML - Número de Camadas da PML PEC - Perfect Electrical Conductor (Condutor Elétrico Perfeito) PML - Perfectly Matched Layer (Camadas Perfeitamente Casadas) TOE - Taxa de Onda Estacionária N ρ - Número de Volumes na Direção Radial N φ - Número de Volumes na Direção Azimutal N z - Número de Volumes na Direção Longitudinal µ - Permeabilidade Magnética do Meio (H/m) ϵ - Permissividade Elétrica do Meio (F/m) σ - Condutividade Elétrica do Meio (S/m)

15 Lista de tabelas 15 J s - Vetor Densidade de Corrente Elétrica (A/m 2 ) ρ - Densidade de Carga Elétrica (C/m 3 ) E - Vetor Intensidade de Campo Elétrico (V/m) H - Vetor Intensidade de Campo Magnético (A/m) Ω - Contorno da Região de Interesse ρ - Incremento Espacial na Direção Radial z - Incremento Espacial na Direção Longitudinal S φ - Superfície Dual com Área dada por ρ z S ρ - Superfície Primária com Área dada por ρ i φ z S z - Superfície Primária com Área dada por (ρ 2 i+1 ρ 2 i )/2 φ I φ (i, k) - Componente da Corrente que atravessa a célula (i,k) I 0 - Amplitude da Corrente de Excitação r tx - Volume da Posição da Corrente de Excitação na Direção Radial z tx - Volume da Posição da Corrente de Excitação na Direção Longitudinal s ρ - Variável de Expansão Complexa na Direção Radial s z - Variável de Expansão Complexa na Direção Longitudinal ζ - Variável Espacial Complexa ρ - Variável Espacial Complexa na Direção Radial z - Variável Espacial Complexa na Direção Longitudinal ζ 0 - Interface da PML d - Espessura da PML R(θ) - Erro de Reflexão η - Impedância Característica Γ - Coeficiente de Reflexão σ ζ - Condutividade da PML considerando Propagação na Direção ζ m - Índice de Escalonamento Polinomial σ max z - Condutividade Máxima na PML - Perfil Polinominal g - Índice de Escalonamento Geométrica σ 0 z - Condutividade Máxima na PML - Perfil Geométrico α ζ - Parâmetro Adicional da CFS-PML γ - Constante de Propagação Complexa

16 1 Introdução 1.1 Contexto A grande dependência da sociedade atual com relação ao petróleo pode ser observada no dia a dia das pessoas. É difícil encontrar um setor ou mesmo um produto que seja completamente independente deste recurso natural. Seja como combustível para o transporte motorizado (gasolina e óleo diesel) ou na composição de produtos derivados (polímeros plásticos e até medicamentos), o petróleo está enraizado no cotidiano. A descoberta de uma jazida de petróleo em uma nova área é uma tarefa que envolve um longo e dispendioso estudo e análise de dados geofísicos e geológicos das bacias sedimentares. A identificação de uma área favorável à acumulação de petróleo é realizada através de métodos geofísicos e geológicos, que, atuando em conjunto, conseguem indicar o local mais propício para a perfuração. Somente após exaustivo prognóstico do comportamento das diversas camadas do subsolo, os geólogos e geofísicos decidem propor a perfuração de um poço, que é a etapa que exige mais investimentos em todo processo de prospecção. Mundialmente, já se constatou que a descoberta de novos reservatórios de grande porte se tornará cada vez mais rara com o passar dos anos. Ou seja, há um grande interesse na indústria petrolífera no desenvolvimento de novas técnicas exploratórias que visem reduzir o custo elevado do processo de exploração e que impulssionem uma maior recuperação dos fluidos contidos nas formações. Dentre as diferentes técnicas de exploração geofísica baseadas em métodos eletromagnéticos, a técnica de perfilagem de poços conhecida por Loggingwhile-drilling (LWD) tem recebido considerável atenção na comunidade científica e nas empresas de exploração petrolífera [1 6]. A técnica LWD é de grande utilidade no geodirecionamento de poços direcionais e/ou horizontais e a sua principal vantagem é o fato de prover informações em tempo real das propriedades físicas das formações, dos parâmetros

17 Capítulo 1. Introdução 17 geométricos dos poços (inclinação e azimute), além das propriedades mecânicas do processo de perfuração. O conjunto destas informações, quando obtido em tempo real, otimiza o processo de perfuração do poço e permite que as medidas do sensor sejam realizadas antes que o fluído de perfuração invada a formação profundamente. Desta forma, evita-se que a resposta do sensor sofra qualquer alteração durante o processo da perfuração. A configuração básica da ferramenta LWD convencional e direcional, empregando antenas em espiras perpendiculares e inclinadas em relação ao eixo da ferramenta é dada na Figura 1.1. Figura 1.1: Configuração básica da ferramenta LWD. (a) Ferramenta convencional. (b) Ferramenta direcional. [7] Com o objetivo de auxiliar no processo da perfuração de um poço, além de reduzir os custos altos na elaboração de novos protótipos e os custos envolvidos na realização de testes em campo, é extremamente importante para a indústria petrolífera que as simulações númericas dos sensores de perfilagem LWD em ambientes complexos sejam rápidas e eficientes. Entretanto, a modelagem númerica em cenários tridimensionais (3D) complexos dessas ferramentas é um problema desafiador pois a solução eficiente e precisa de campos eletromagnéticos em domínios onde a região de interesse é ilimitada em uma ou mais direções e apresenta perdas baixas é bastante complexa. A Figura 1.2 resume o contexto e motivação deste trabalho.

18 Capítulo 1. Introdução 18 Figura 1.2: Resumo do contexto e motivação deste trabalho. Uma forma de viabilizar este tipo de modelagem é introduzir uma condição de contorno absorvente (ABC) nas fronteiras computacionais, simulando a condição de radiação de Sommerfeld no infinito. Com isso, é possível garantir que a solução do problema na região de interesse não seja contaminada por reflexões espúrias provenientes das fronteiras do domínio computacional [8]. Um tipo de ABC muito eficiente foi introduzido na literatura em 1994 por Berenger [9], denominada de camada perfeitamente casada (Perfectly Matched Layer - PML). Embora as camadas perfeitamente casadas (PMLs) têm se mostrado muito eficientes em simulações por diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD), o comportamento deste tipo de ABC em métodos discretos no domínio da frequência, tais como elementos finitos, diferenças finitas e volumes finitos, ainda não é satisfatório. Isto é devido ao aumento do número de condição da matriz do sistema resultante da discretização das equações pertinentes quando a PML é introduzida no domínio computacional [10 12]. Deve-se observar que o problema associado ao número de condição não é devido ao método ser no domínio da frequência, e sim se o método requer a solução de um sistema matricial de larga escala. Métodos no domínio do tempo tais como, método dos volumes finitos no domínio do tempo (FVTD) ou método dos elementos finitos no domínio do tempo (FETD), requerem a solução de um sistema matricial e podem também ser afetados pelo número de condição [13]. Por outro lado, alguns métodos no domínio da frequência, tais como o método do casamento de modos (NMM) podem produzir matrizes muito menores e serem menos afetados pelo problema do número de condição [14].

19 Capítulo 1. Introdução 19 Cabe ressaltar que na análise de problemas de larga escala é essencial a utilização de métodos iterativos na solução do sistema de equações lineares para reduzir tempo de processamento e armazenamento em memória. Em geral, a convergência dos métodos iterativos torna-se mais pobre à medida que o número de condição da matriz do sistema aumenta. Em alguns casos, a convergência não é obtida. Tal limitação restringe a utilização de PMLs a problemas bidimensionais (2D), excluindo, portanto, uma série de aplicações onde é necessário uma modelagem tridimensional (3D). Uma breve investigação da implementação de PMLs no FVM-3D foi realizada em [7]. Inicialmente, o domínio computacional foi discretizado utilizando uma grade (N ρ, N φ, N z ) = (50, 4, 200), totalizando células. Quatro camadas de PML foram incorporadas ao domínio. A condutividade do meio era igual a 10 4 S/m e a frequência de operação era 200 MHz. O método iterativo Bi-CGStab convergiu após iterações, com tempo de processamento de 52 minutos, para a solução sem PML. Para a solução com PML, entretanto, o número de iterações necessário para convergência aumentou para , com tempo de processamento de 4 horas e 13 minutos. Em seguida, com a finalidade de observar a convergência do método, aumentou-se o domínio para (N ρ, N φ, N z ) = (50, 10, 200), totalizando células. Neste caso, quando a solução por FVM com PML foi utilizada, o método iterativo não convergiu após iterações. Recentemente, uma formulação do método dos volumes finitos tridimensional (FVM-3D) foi desenvolvida e aplicada com sucesso na simulação da resposta eletromagnética de ferramentas LWD em formações geofísicas de perdas altas [7, 15 18]. Contudo, em formações de perdas baixas, sua aplicação implica no aumento do domínio computacional. Sendo assim, para reduzir requisitos de memória e tempo de processamento, uma PML deve ser introduzida nas fronteiras deste domínio para absorver as ondas refletidas nas terminações da grade. Em [19, 20], um estudo inicial da degradação do número de condição da matriz resultante da discretização por volumes finitos das equações de Maxwell após a implementação de PMLs ao domínio computacional foi realizado. Estruturas coaxiais terminadas por PMLs longitudinais com perfil polinomial foram analisadas. 1.2 Objetivos da Dissertação Este trabalho tem como objetivo principal analisar a degradação do número de condição da matriz resultante da discretização das equações de

20 Capítulo 1. Introdução 20 Maxwell pelo método dos volumes finitos (FVM) quando camadas perfeitamente casadas (PML) são utilizadas como condições de contorno absorventes (ABC) em estruturas coaxiais. A geometria coaxial imita o domínio computacional com um mandril metálico em torno do eixo z que é utilizado na simulação de ferramentas de perfilagens LWD. Como a análise do condicionamento da matriz não pode ser feita de forma isolada, o nível de absorção da PML também é estudado. Para realizar as análises propostas neste trabalho, o algoritmo bidimensional (2D) do FVM desenvolvido em [7] é modificado, incorporando ao domínio computacional PML nas direções longitudinal e radial. Dois perfis de atenuação da PML são estudados: polinomial e geométrico. Além disso, a Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) também será analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML apresenta um condicionamento melhor para um dado nível de absorção. Para fins de comparação, dois métodos iterativos são implementados e testados: método dos gradientes biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB) e método generalizado dos mínimos resíduos reinicializado (RGMRES). 1.3 Organização da Dissertação O presente trabalho é composto por 5 capítulos, sendo esta introdução o primeiro deles. No capítulo 2 é apresentado um resumo do método dos volumes finitos (FVM) e as equações discretizadas do modelo bidimensional (2D). O capítulo 3 é dedicado a apresentação da teoria das camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layers - PML). A formulação da PML utilizada é a PML anisotrópica via coordenadas espaciais complexas em coordenadas cilíndricas. No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos após implementação numérica do modelo em MATLAB. As conclusões do trabalho são descritas no capítulo 5, incluindo sugestões de trabalhos futuros. No Apêndice A estão listadas as publicações decorrentes da presente dissertação.

21 2 Método dos Volumes Finitos 2.1 Introdução O Método dos Volumes Finitos (FVM) é uma técnica numérica que discretiza a forma integral das equações que definem um problema físico [21]. Neste trabalho, as equações que governam o problema são as equações de Maxwell. A variante do FVM utilizada aqui foi introduzida na literatura em [7] e é baseada em um esquema de grades entrelaçadas desenvolvido em coordenadas cilíndricas. A escolha do sistema de coordenadas cilíndricas é feita com o objetivo de eliminar os erros de aproximação de escada (staircasing) na geometria da ferramenta LWD e do poço de perfuração. No FVM, o domínio físico do problema é decomposto em volumes elementares, onde a função incógnita é constante dentro de cada um deles. Tal característica é semelhante no método das diferenças finitas (FDM). Entretanto cabe ressaltar que o FDM é uma técnica de solução de equações diferenciais parciais, aproximando as derivadas parciais por diferenças finitas. O FVM, como dito anteriormente, discretiza a forma integral das equações governantes. Apresenta-se neste capítulo um resumo do modelo numérico bidimensional (2D) desenvolvido em [7]. 2.2 Formulação do Problema Considere-se a forma integral das equações de Maxwell dada por [22]: C E d l iω µ H d s = 0 (2-1a) C S H d l (σ iωϵ) E d s = J s d s (2-1b) S S ϵe d s = ρ dv (2-1c) S V µ H d s = 0 (2-1d) S

22 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 22 onde µ, ϵ, σ são a permeabilidade magnética, permissividade elétrica e condutividade elétrica do meio, respectivamente. J s é o vetor densidade de corrente elétrica e ρ é a densidade de carga elétrica. E e H são os vetores intensidades de campo elétrico e magnético, respectivamente. Neste trabalho, os campos são harmônicos com dependência temporal da forma e iωt. As equações (2-1) estão sujeitas a seguinte condição de contorno: n E Ω = 0 (2-2) onde Ω é o contorno da região de interesse. Esta condição representa o truncamento do domínio através da introdução de um condutor elétrico perfeito (PEC) nas fronteiras da grade computacional. Como a propagação de ondas eletromagnéticas no solo é um problema cuja região de interesse é aberta (infinita), sendo o domínio computacional truncado por PEC por limitação de armazenamento em memória, uma condição de contorno absorvente (ABC) deve ser introduzida nas fronteiras computacionais para simular a condição de radiação de Sommerfeld (campo nulo no infinito). A implementação de uma ABC do tipo camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layers - PMLs) na grade cilíndrica do FVM, objeto principal de estudo deste trabalho, será apresentada no Capítulo Discretização O método dos volumes finitos (FVM) proposto em [7] e adotado neste trabalho, utiliza uma discretização espacial semelhante àquela introduzida no algoritmo de Kane Yee [23]. Cabe ressaltar que, assim como em [7], neste trabalho utiliza-se o FVM na solução da equação da onda no domínio da frequência e em coordenadas cilíndricas. A discretização adotada neste trabalho utiliza duas grades entrelaçadas denominadas de grade primária e grade dual. A grade primária é aquela que ocupa todo o domínio computacional, incluindo as fronteiras - condutor elétrico perfeito (PEC) utilizado para truncar o domínio. A grade dual tem os pontos médios de suas arestas localizados nos centros das faces dos volumes primários. As componentes dos campos elétricos discretos são definidas nos pontos médios das arestas dos volumes primários. Esta escolha é adequada tendo em vista que as condições de contorno nas fronteiras do domínio são aplicadas ao campo elétrico. As componentes dos campos magnéticos discretos, por sua vez, são definidas nos pontos médios das arestas dos volumes duais (normais às faces dos volumes primários). O posicionamento dos campos no interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas utilizado na discretização dos

23 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 23 campos eletromagnéticos (EM) na grade cilíndrica do FVM está mostrado na Figura 2.1. H z H ϕ E z E ϕ H ρ ( i, j, k) E ρ Figura 2.1: Interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas para a discretização espacial dos campos EM na grade cilíndrica Definição do Domínio do Problema O modelo desenvolvido em [7] é tridimensional (3D), entretanto, este trabalho restringe-se ao modelo bidimensional (2D) para o tratamento de geometrias com simetria azimutal, pois o objetivo principal do trabalho é o estudo da degradação do número de condição da matriz do sistema linear associado quando PMLs são incorporadas ao domínio computacional. Em problemas com simetria azimutal, o campo elétrico ( E) só tem componente na direção φ e não varia na direção azimutal. O campo magnético ( H), por sua vez, tem componentes nas direções ρ e z. Seja o domínio do problema contínuo (2-1) em coordenadas cilíndricas dado por (0, L ρ ) (0, L z ) R 2. Inicialmente, considera-se apenas a discretização na direção radial. O intervalo (0, L ρ ) é sub-dividido em N ρ volumes. Os vértices da aresta do volume primário i, que têm índices inteiros, compreende o intervalo entre os vértices ρ i+1 e ρ i (i = 1,..., N ρ ). Já a aresta do volume dual i, que é definido entre vértices de índices fracionários, compreende o intervalo entre os vértices ρ i+3/2 e ρ i+1/2 (i = 1,..., N ρ 1). A discretização do domínio na direção longitudinal é definida de forma semelhante e o intervalo (0, L z ) é sub-dividido em N z células.

24 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 24 Desta forma, o domínio computacional é constituído por N ρ N z primários. volumes Considerando-se a localização das componentes do campo elétrico E nos pontos médios das arestas dos volumes primários, a componente azimutal de E é denotada por: E φ(i,k) ; (i = 1,, N ρ ; k = 1,, N z ). Analogamente, as componentes radial e longitudinal do campo magnético localizadas nos pontos médios das arestas dos volumes duais, são denotadas respectivamente por: H ρ(i,k+1/2) e H z(i+1/2,k) ; (i = 1,, N ρ 1; k = 1,, N z 1). Neste trabalho, utiliza-se uma grade uniforme sendo, portanto, cada ponto da grade identificado como: i = 1,, N ρ ; P (i, k) = (i ρ, k z) k = 1,, N z. onde ρ e z são os incrementos espaciais nas direções radial e longitudinal. i e k referem-se aos índices nodais da grade primária Discretização das Esquações Para se discretizar as equações rotacionais de Maxwell e derivar o sistema linear associado, aplica-se a lei de Ampère sobre a superfície dual Sφ com contorno S φ, resultando: H d l (σ iωϵ) E d s = Js d s S φ S φ (2-3) S φ onde S φ é uma superfície cuja a área é dada por ρ z. Utilizando-se a superfície indicada na Figura 2.2 como superfície de integração em (2-3), tem-se: ( Hρ(i,k+1/2) H ρ(i,k 1/2) ) ρ + ( Hz(i 1/2,k) H z(i+1/2,k) ) z ( σ (i,k) ıωϵ (i,k) ) Eφ(i,k) z ρ = I φ(i,k) (2-4) onde I φ(i,k) é a componente da corrente que atravessa a célula (i, k). O próximo passo é eliminar o campo magnético da equação (2-4) resultando em um sistema de equações lineares para campo elétrico. Para tanto, aplica-se a lei de Faraday sobre superfícies da grade primária. A componente discreta do campo magnético na direção radial é obtida discretizando-se a lei de Faraday sobre a superfície primária S ρ, com contorno S ρ. Assim, tem-se:

25 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 25 z z i+ 1 2 H ρ ( i, k+ 1 2) H z( i 1 2, k ) E ϕ ( i, k ) H z( i + 1 2, k ) z i 1 2 H ρ ( i, k 1 2) ρ i 1 2 ρ i ρ i+ 1 2 ρ Figura 2.2: Superfície constante na direção φ. z E ϕ ( i, k+ 1) H ρ i, k+ 1 ) ( 2 E ϕ ( i, k ) Figura 2.3: Superfície constante na direção ρ.

26 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 26 E ϕ ( i, k ) E ϕ ( i + 1, k ) H z( i + 1 2, k ) Figura 2.4: Superfície constante na direção z. E d l µ H d s = 0 (2-5) S ρ S ρ onde S ρ é uma superfície cuja a área é dada por ρ i φ z. Integrando-se (2-5) sobre a superfície indicada na Figura 2.3, obtém-se: ( ) Eφ(i,k) E φ(i,k+1) H ρ(i,k+1/2) = ıωµ (i,k+1/2) z ( ) Eφ(i,k 1) E φ(i,k) H ρ(i,k 1/2) = ıωµ (i,k 1/2) z (2-6a) (2-6b) De forma análoga, a componente longitudinal de H é determinada discretizando-se a lei de Faraday sobre a superfície primária S z, com contorno S z : E d l S z µ H d s = 0 S z (2-7) Utilizando-se a superfície indicada na Figura 2.4 como superfície de integração em (2-7), tem-se: ( ) ρi+1 E φ(i+1,k) ρ i E φ(i,k) H z(i+1/2,k) = ( ) (2-8a) ıωµ (i+1/2,k) ρ 2 i+1 ρ 2 i ( ) ρi E φ(i,k) ρ i 1 E φ(i 1,k) H z(i 1/2,k) = ( ) (2-8b) ıωµ (i 1/2,k) ρ 2 i ρ 2 i 1

27 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 27 Substituindo-se as equações (2-8), (2-6) em (2-4), obtem-se um sistema de equações lineares da forma [A][X] = [B], onde: [A] é uma matriz não-hermitiana complexa - Uma matriz hermitiana deve ser quadrada e os elementos de sua diagonal principal devem ser reais. Mais abstratamente, um operador A é hermitiano se, e somente se, ele é igual ao seu operador adjunto. Quando os termos fora da diagonal não são complexo conjugados, a matriz é chamada de não-hermitiana. [X] é o vetor incógnita (campos elétricos discretos). [B] é a representação discreta da fonte. Sendo assim, o sistema assume a seguinte forma: [( ) ( )] Eφ(i,k) E φ(i,k+1) Eφ(i,k 1) E φ(i,k) ρ + ıωµ (i,k+1/2) z ıωµ (i,k 1/2) z [( ) ( )] ρi E φ(i,k) ρ i 1 E φ(i 1,k) ρi+1 E φ(i+1,k) ρ i E φ(i,k) ( ) ( ) z ıωµ (i 1/2,k) ρ 2 i ρ 2 i 1 ıωµ (i+1/2,k) ρ 2 i+1 ρ 2 i ( ) σ(i,k) ıωϵ (i,k) Eφ(i,k) z ρ = I φ(i,k) (2-9) Os elementos não nulos da matriz esparsa [A] são dados por: Para l = (i 1) + (k 2)(N ρ 1) onde i = 2,..., N ρ ; k = 2,..., N z. 1. Para c = (i 1) + (k 3)(N ρ 1) [ ( )] ρi+1/2 ρ i 1/2 A lc = ıωµ (i,k 1/2) z (2-10) 2. Para c = (i 2) + (k 2)(N ρ 1) [ 2ρi 1 z ( ) ] A lc = ρ 2 ıωµ i ρ 2 i 1 (2-11) (i 1/2,k) 3. Para c = (i 1) + (k 2)(N ρ 1) [( ) ( ) ρi+1/2 ρ i 1/2 A lc = ıωµ (i,k+1/2) z + ρi+1/2 ρ i 1/2 ıωµ (i,k 1/2) z + 2ρ i z 2ρ ( ) i z + ( ) ıωµ (i 1/2,k) ρ 2 i ρ 2 i 1 ıωµ (i+1/2,k) ρ 2 i+1 ρ 2 i ( ) ( ) ] σ(i,k) ıωϵ (i,k) z ρi+1/2 ρ i 1/2 (2-12)

28 Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos Para c = (i) + (k 2)(N ρ 1) [ 2ρi+1 z ( ) ] A lc = ρ 2 ıωµ i+1 ρ 2 i (2-13) (i+1/2,k) 5. Para c = (i 1) + (k 1)(N ρ 1) [ ( )] ρi+1/2 ρ i 1/2 A lc = ıωµ (i,k+1/2) z (2-14) Os elementos do vetor B são dados por: I o, se c = (r tx 1) + (z tx 2) (N ρ 1); B c = 0, caso contrário. onde I o é a amplitude da corrente de excitação. r tx e z tx são os volumes da posição da corrente de excitação na direção radial e longitudinal, respectivamente. A fonte de excitação utilizada neste trabalho consiste de uma antena em espira circular perpendicular ao eixo z.

29 3 Camadas Perfeitamente Casadas (PML) Um dos maiores desafios dos métodos numéricos discretos tem sido obter uma solução eficiente e precisa da propagação da onda eletromagnética em regiões sem fronteiras. Para tais problemas, uma condição de contorno absorvente (Absorbing Boundary Condition - ABC) deve ser introduzida nas fronteiras do domínio computacional para simular o infinito. Uma alternativa para realizar uma ABC é terminar a fronteira espacial com um material absorvente. Idealmente, o meio absorvente é bem fino, não apresenta reflexão para qualquer que seja a frequência e incidência da onda, altamente absorvente e eficiente no campo próximo a fonte. Na tentativa de formular uma ABC, Holland utilizou um meio absorvente convencional, não dispersivo e com perdas [24]. A limitação desta formulação está no fato de que a mesma só se aplica a ondas com incidência normal. Em 1994, Berenger eliminou o problema da limitação do ângulo de incidência da onda com a introdução de um material absorvente altamente eficiente e aplicável a ondas de incidência, polarização e frequências arbitrárias [9], denominado de camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layer - PML). Berenger definiu uma nova formulação de campos-decompostos (splitfield formulation) das equações de Maxwell, onde cada componente do vetor do campo é dividida em duas novas componentes ortogonais [9]. Após os trabalhos de Berenger, muitos artigos surgiram na literatura tanto para validar a PML quanto para implementá-la no FDTD em problemas de diferentes áreas [25 45]. Estudos também foram realizados com o objetivo de melhorar o desempenho da PML [46 50], a qual mostrou desempenho superior ao de outras ABCs desenvolvidas anteriormente. Ainda em 1994, Chew e Weedon apresentaram uma formulação diferente para a teoria das PMLs em [26], aplicando-a ao domínio da frequência através de uma expansão complexa das coordenadas espaciais. Logo, foi possível facilitar a compreensão do comportamento da PML, pois se tornou mais simples a manipulação das equações matematicamente. Além disso, a partir dessa formulação, o mapeamento da PML nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas se tornou viável.

30 Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 30 Apesar de todo o avanço no estudo da PML, ainda faltava uma formulação que não alterasse as equações de Maxwell. Foi com esse propósito que Sacks [51] derivou a PML anisotrópica, que modifica as propriedades constitutivas dentro da região da PML. Nesta formulação, a permeabilidade e a permissividade são definidas como tensores diagonais, assegurando-se que ondas planas sejam absorvidas independente do ângulo de incidência, polarização ou frequência. A introdução de perdas nos tensores resultou em um meio absorvente perfeitamente casado. Com a formulação da PML através da expansão complexa das coordenadas espaciais e da PML anisotrópica já desenvolvidas, havia ainda a necessidade de uma formulação que reunisse as vantagens de cada uma delas. Teixeira e Chew preencheram essa lacuna derivando em [55] tensores constitutivos (em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas) para a PML anisotrópica a partir das equações de Maxwell no espaço complexo. Neste trabalho, a formulação da PML utilizada é a PML anisotrópica via coordenadas espaciais complexas em coordenadas cilíndricas desenvolvida em [55]. A implementação da PML é em coordenadas cilíndricas por apresentar maior conformidade com a geometria dos poços e ferramentas de perfilagem petrolífera. 3.1 PML Anisotrópica via Coordenadas Espaciais Complexas Conforme mencionado na introdução deste capítulo, a PML foi originalmente derivada através da introdução de condutividades, elétrica e magnética, artificialmente casadas, e através de uma divisão das componentes de campo eletromagnético em subcomponentes [9]. Uma formulação alternativa foi posteriormente dada por [26], na qual foi mostrada que a PML pode ser relacionada com uma expansão complexa das coordenadas cartesianas no domínio da freqüência. Neste trabalho, a PML cilíndrica incorporada à grade computacional do método dos volumes finitos segue a formulação derivada em [55]. A partir da expansão complexa das coordenadas espaciais, as equações de Maxwell na região da PML são modificadas para: H = ıωϵe E = ıωµ H ϵe = 0 µ H = 0 (3-1a) (3-1b) (3-1c) (3-1d) onde

31 Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 31 = 1 s ρ ρ a ρ + 1 s φ φ a φ + 1 s z z a z (3-2) representa o operador Nabla modificado em coordenadas cilíndricas. Nota-se que não existe PML na direção azimutal φ, logo não há expansão complexa nesta direção. Entretanto, s φ é mantido em (3-2), sendo definido por s φ = ( ρ/ρ), como será deduzido mais adiante. Considere a variável de expansão complexa s ζ dada por: s ζ = κ ζ (ζ) + ı σ ζ(ζ) ωϵ 0 (3-3) onde ζ = ρ, z; κ ζ e σ ζ são funções de perfil da PML. Observa-se também que κ ζ 1 garante que ondas evanescentes sofrerão atenuação exponencial mais rápida na região da PML e σ ζ 0 assegura que ondas propagantes sofrerão uma atenuação exponencial adicional. Dentro da região da PML, os modos de propagação longitudinais são transformados em e κ zβ z e σz ıβ ωϵ z 0 ; onde β = ω µ 0 ϵ 0, e similarmente para os modos radiais em termos de funções de Hankel. Assim, os modos de propagação transformados exibem decaimento exponencial dentro da PML, reduzindo portanto as reflexões espúrias das terminações da grade. Cabe ressaltar que as equações de Maxwell são um caso especial das equações (3-1) quando s ζ = 1. Logo, as variáveis da expansão complexa podem ser entendidas como graus de liberdade acrescentados as equações de Maxwell. Uma maneira direta e elegante de verificar a característica de casamento perfeito (reflexão nula) que deve existir na PML é observar que as variáveis de expansão complexa são apenas um mapeamento particular das coordenadas espaciais para o espaço complexo (i.e. uma continuação analítica das variáveis espaciais) [56]. Este mapeamento é definido da seguinte forma: ζ ζ ζ ζ ( = ζ 0 + s ζ (ζ )dζ = ζ 0 + κ ζ (ζ ) + ı σ ) ζ(ζ ) ζ 0 ωϵ 0 de modo que 1 s ζ ζ = ζ ζ 0 (3-4) (3-5) em conformidade com o operador Nabla definido em (3-2). ζ representa a variável espacial complexa e ζ 0 representa a interface da PML. No sistema de coordenadas cilíndricas, a lei de Faraday no espaço complexo pode ser escrita como: