4. Análise cinemática dos mecanismos selecionados para o quadril e tornozelo

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1 4. nálise cinemática dos mecanismos selecionados para o uadril e tornozelo Devido ao fato dos mecanismos do uadril e do tornozelo serem idênti, a análise cinemática será realizada apenas para um deles, sendo o mecanismo do tornozelo o escolhido. Neste item uma análise completa da cinemática do mecanismo será realizada. Primeiramente um modelo cinemático envolvendo seus parâmetros e suas variáveis será desenvolvido. Na seüência, o espaço de trabalho será avaliado, considerando situações de gularidades e limites construtivos. Por fim, os parâmetros geométri do mecanismo serão escolhidos de forma a maximizar a transmissão de torue dos atuadores para o efetuador (órgão terminal) e, ao mesmo tempo, respeitar as amplitudes angulares normalmente observadas em uma marcha humana normal. 4..Euações ue Definem a Cinemática de Posição Este sub-item tem como objetivo obter as euações ue relacionam os ângulos de orientação do pé com os ângulos dos atuadores. Os sistemas de coordenadas, adotados para a obtenção deste modelo cinemático, bem como os parâmetros dimensionais do mecanismo estão ilustrados pelo diagrama cinemático do mecanismo (figura 4.). 3

2 C Y 4 X 4 Z 4 B X 5 O 4 α Y 5 O 5 Z 5 C X X Y Z O α L Y O Z X 6 X Y 6 O 6 Z 6 Y Z O X 3 Y 3 O 3 Z 3 Figura 4.- Diagrama cinemático do mecanismo com a notação utilizada. onde: α e α : posições angulares dos atuadores : ângulo de inversão/eversão do pé : ângulo de flexão/extensão do pé Os sistemas de coordenadas O -x y z (base), O -x y z e O 4 -x 4 y 4 z 4 estão fixos na base do mecanismo. Já os sistemas O 3 -x 3 y 3 z 3 e O 6 -x 6 y 6 z 6 estão fixos no pé e, por fim, os sistemas O -x y z e O 5 -x 5 y 5 z 5 estão fixos nas barras conectadas aos atuadores. matriz de rotação R 3, ue especifica a orientação do sistema de coordenadas O 3 -x 3 y 3 z 3 em relação ao sistema base (O -x y z ), é obtida pela seguinte seüência de rotações: rotação de em torno do eixo z e rotação de em torno do eixo y. 33

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 R = (4.) origem do sistema de coordenada O 3 -x 3 y 3 z 3 descrito no sistema base, ou seja, o vetor O O 3 é dado por: 3 O O3 = R (4.) B matriz de rotação R, ue especifica a orientação do sistema de coordenadas O -x y z em relação ao sistema de coordenadas O -x y z, é dada por: ( α ) ( α ) ( α ) ( ) R = α (4.3) ssim, a origem do sistema de coordenada O -x y z descrito no sistema base, ou seja, o vetor O O é obtido da seguinte forma: L O ( ) O = C R C (4.4) B Pela construção do mecanismo, sabe-se ue a distância entre os pontos O e O 3 é constante e euivale a L. ssim, chega-se a: O = (4.5) O OO3 L Substituindo (4.) e (4.4) em (4.5), obtém-se a euação ue relaciona os ângulos e com α : 34

4 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, :,, B C C C C B C B L B L B C C L C C f onde f = = α α α α α α α (4.6) Utilizando-se do mesmo raciocínio para a outra cadeia ativa, chega-se na seguinte euação ue relaciona os ângulos e com α : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, :,, B C C C C B C B L B L B C C L C C f onde f = = α α α α α α α (4.7) 4.. Cinemática Inversa Na cinemática inversa os ângulos de orientação do pé ( e ) são conhecidos e os ângulos dos atuadores são as incógnitas ( α α e ). incógnita α pode ser obtida reescrevendo a euação (4.6) da seguinte forma: ( ) ( ) 3 = a a a α α (4.8) onde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C B C L a = ( ) ( ) ( ) C C C a = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C B B L B L B C a = 3 Realizando as seguintes mudanças de variáveis:

5 e substituindo em (4.8): t t α onde t = tan ( α ) = ( α ) ( a ) t a t ( a a ) 3 3 = t = t a (4.9) Resolvendo (4.9), obtém-se: a ± a a a 3 α = arctg (4.) a3 a Note ue existem duas soluções matemáticas possíveis para α, porém, devido a disposição escolhida para a cadeia ativa (ver figura 4.), apenas uma solução é viável fisicamente. Realizando o mesmo procedimento para a incógnita α, obtém-se: onde: b ± b b b 3 α = arctg (4.) b3 b ( C) B ( ) ( C) ( ) ( ) ( C) b = L b = ( C C) ( ) ( C) b = C B L B 3 L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) B C C Novamente existem duas soluções possíveis, sendo apenas uma viável fisicamente Matriz Jacobiana matriz Jacobiana do mecanismo é responsável por relacionar as velocidades das coordenadas do órgão terminal (pé) com as velocidades das coordenadas dos atuadores. Esta matriz também aparece em outros problemas, dentre eles, na determinação das gularidades do mecanismo e no cálculo dos torues nos atuadores para produzir esforços nas coordenadas do efetuador. 36

6 37 Para calcular a matriz Jacobiana basta derivar com relação ao tempo as euações (4.6) e (4.7). Realizando isto e ordenando os termos de forma conveniente, chega-se a: J x J x & & = (4.) onde: = = α α & & & & & & e x (4.3) = f f f f J x (4.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : sen α α α α α α α α = = = = C C B L C f C C B B L B L B f C C B L C f C C B B L B L B f do = α α f f J (4.5)

7 sen do : f = α B f = α B ( C C) ( α ) L ( C) ( α ) ( C) ( ) ( α ) ( C) ( ) ( α ) ( C) ( ) ( ) ( α ) ( C C) ( α ) L ( C) ( α ) ( C) ( ) ( α ) ( C) ( ) ( α ) ( C) ( ) ( ) ( α ) Resolvendo (4.) para x& : x& = J J & (4.6) x ssim, a matriz Jacobiana,J, é: J = J x J (4.7) 4.4. Cinemática Direta De forma oposta à cinemática inversa, na cinemática direta os ângulos dos atuadores são conhecidos e os ângulos de orientação do pé são as incógnitas. Para a resolução da cinemática direta foram propostos dois métodos ue serão explicados nos próximos subitens Método de Newton-Raphson O problema da cinemática direta pode ser proposto da seguinte forma: calcular o vetor = [ ] t sendo fornecido o vetor [ α ] t α x =. Para resolvê-lo, adotou-se o método numérico iterativo de Newton-Raphson cuja lei de atualização é dada por: ( ) x = x J (4.8) Esse método iterativo pode ser explicado pela seguinte seüência de passos: 38

8 . Estima-se o vetor de partida x.. Calcula-se, a partir da cinemática inversa, o vetor. 3. partir da euação (4.8), o vetor x é calculado. 4. Retorna-se ao passo, sendo o vetor x, calculado no passo anterior, o novo vetor x. Este processo iterativo termina uando o erro de posicionamento angular dos motores ficar abaixo de um limite estabelecido. Este erro de posicionamento é dado por: t ( ) ( ) δ (4.9) = Para facilitar o entendimento desse processo iterativo, a figura 4. ilustra o fluxograma do método de Newton-Raphson. Início Entra com o vetor Entra com o vetor x x=x Cinemática Inversa =f(x) x=xj(-) Não δ< Critério de Parada Sim xfi nal=x FIM Figura 4.- Fluxograma do método de Newton-Raphson. 39

9 Interpolação Polinomial Este método consiste em relacionar os ângulos de orientação do pé com os ângulos dos atuadores através de polinômios interpoladores, como, por exemplo: α α α α α α = α α α α α α = b b b b b b a a a a a a (4.) Os coeficientes das funções interpoladoras são obtidos da seguinte forma:. Determina-se o domínio dos ângulos de orientação do pé (plano - ) no ual o espaço de trabalho do mecanismo esteja contido. No próximo subitem a uestão do espaço de trabalho será devidamente discutida.. Discretiza-se este domínio em n pontos igualmente espaçados. 3. Para cada um desses pontos, calculam-se os ângulos dos atuadores através da cinemática inversa. ssim, consegue-se montar a seguinte euação matricial ue relaciona o ângulo de inversão/eversão com os ângulos dos atuadores: () () () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { () ( ) B x n a a a a a a n n n n n n = α α α α α α α α α α α α (4.) Para calcular os coeficientes a i, i= a 6, basta resolver o sistema linear. Utilizando o método dos mínimos uadrados, obtém-se: ( ) B x t t = (4.) O mesmo procedimento é realizado para obter os coeficientes b i, i= a 6, ue são utilizados para relacionar o ângulo de flexão/extensão com os ângulos dos atuadores.

10 Convém mencionar ue uanto maior a discretização do domínio, melhor será o ajuste realizado, porém, maior será o gasto computacional. lém disso, esse ajuste pode ser melhorado aumentando o grau dos polinômios interpoladores utilizados (euação 4.) Comparação dos Métodos fim de criar parâmetros para a escolha de ual método empregar no cálculo da cinemática direta, será feita uma comparação entre eles nos aspectos de desempenho e custo computacional. Primeiramente uma comparação de desempenho entre os métodos será realizada. Com relação ao método de Newton-Raphson, o seu desempenho está vinculado ao limite estabelecido para o erro de posicionamento angular dos motores (δ), ou seja, uanto menor for esse limite melhor será o seu desempenho. gora, para avaliar o ajuste feito no método de interpolação polinomial, o seguinte procedimento será realizado: ) Determinar o domínio dos ângulos dos atuadores (plano α - α ) no ual o espaço de trabalho do mecanismo esteja contido. ) Discretizar este domínio em n pontos igualmente espaçados. 3) Para cada um desses pontos, calcular, a partir do método de interpolação polinomial, os ângulos de orientação do pé. Com a finalidade de avaliar a solução obtida por esse método, a cinemática direta será novamente calculada utilizando-se, agora, o método de Newton-Raphson com um critério de parada extremamente rigoroso. avaliação do desempenho do método de interpolação polinomial será feita para o protótipo construído (Menegaldo et al., 3), cujos parâmetros dimensionais são: =6mm, B=68,4mm, C= e L =34mm. Esse método de interpolação utilizou, para realizar o ajuste, os polinômios fornecidos pela euação (4.). Já para o método de Newton-Raphson, o erro máximo estabelecido para o posicionamento angular dos motores foi de -5 rad. Para realizar a avaliação desejada, os valores dos ângulos de orientação do pé, obtidos no passo 3, serão comparados a partir de gráfi tridimensionais. 4

11 ngulo de flexao/extensao - fi (graus) tuador - alfa (graus) tuador - alfa (graus) Figura 4.3- Ângulos de flexão/extensão do pé em função dos ângulos dos atuadores. ngulo de inversao/eversao - fi (graus) tuador - alfa (graus) tuador - alfa (graus) 5 5 Figura 4.4- Ângulos de inversão/eversão do pé em função dos ângulos dos atuadores. 4

12 43 s figuras 4.3 e 4.4 ilustram, respectivamente, os ângulos de flexão/extensão e inversão/eversão do pé em função dos ângulos dos atuadores. Nessas figuras, as curvas em vermelho e em azul correspondem, respectivamente, às soluções obtidas pelos métodos de interpolação polinomial e de Newton-Raphson. partir dessas figuras pode-se verificar o ótimo desempenho apresentado pelo método de interpolação polinomial, uma vez ue a solução obtida por esse método foi muito próxima da obtida pelo método de Newton-Raphson. gora, sob um ponto de vista de custo computacional, o método de Newton-Raphson, por ser numérico, reuer um certo tempo de processamento, o ue já não ocorre com o método de interpolação polinomial. Dessa forma, se a cinemática direta for utilizada para realizar o controle em tempo real do robô, o melhor método é o segundo. Caso contrário, os métodos são euivalentes Cinemática de Velocidade e celeração Para finalizar o modelo cinemático do mecanismo, resta apenas relacionar as velocidades e acelerações das coordenadas do pé com as velocidades e acelerações das coordenadas dos atuadores. relação entre as velocidades, como já visto, é determinada pela euação (4.6). gora, derivando esta euação com relação ao tempo, obtém-se a relação entre as acelerações: J J x & & & & & & = (4.3) onde J é fornecido pela euação (4.7) e J & é dado por: x x x x J J J J J J J = & & & (4.4) sendo: α α α α α α α α & & & & & & & & & & = = x x x x x J J J J J J J J J J (4.5)

13 4.6. Espaço de Trabalho e Singularidades Espaço de Trabalho O espaço de trabalho é definido como o volume ou a área ue a plataforma móvel pode alcançar. Para o mecanismo em uestão, o espaço de trabalho será avaliado no domínio das coordenadas da plataforma móvel (plano - ). Devido a complexidade do modelo cinemático do mecanismo, obter este espaço de trabalho de forma analítica pode se tornar algo inviável. Desta forma, um método numérico foi adotado. Para determinar o espaço de trabalho do mecanismo, representado pela área W no plano -, utilizou-se o método de Monte Carlo (Tsai et al., 997), ue consiste nos seguintes passos:. Determinação de um retângulo no plano -, no ual, com certeza, o espaço de trabalho do mecanismo esteja inteiramente contido.. Discretização deste domínio em n pontos igualmente espaçados. 3. Para cada um destes n pontos calculam-se os ângulos dos atuadores através da cinemática inversa. Se os ângulos obtidos forem reais, o ponto pertence ao espaço de trabalho. gora, se um dos ângulos possuir parte imaginária, significa ue esta configuração do mecanismo não é possível e, portanto, este ponto não pertence ao espaço de trabalho. 4. O número total de pontos pertencente ao espaço de trabalho (m) é computado. 5. Cálculo da área de trabalho a partir da seguinte expressão: m W = r (4.6) n Onde r é a área do retângulo escolhido no passo. Convém mencionar ue uanto maior a discretização do domínio, melhor será o resultado do espaço de trabalho obtido, porém, maior será o custo computacional. 44

14 Esse método numérico foi aplicado para a determinação do espaço de trabalho do protótipo construído (Menegaldo et al., 3). O domínio escolhido para os ângulos de orientação do pé (órgão terminal) foi o seguinte: o o o o 9 9 e 9 9, sendo discretizado em pontos igualmente espaçados. figura 4.5 ilustra o espaço de trabalho obtido. Figura 4.5- Espaço de trabalho do mecanismo. Na figura 4.5, o espaço de trabalho é a região branca delimitada pelos pontos azuis. área total de trabalho, W, é de,9 rad. O espaço de trabalho também deve ser averiguado sob um ponto de vista prático, ou seja, considerando ue seus movimentos estejam limitados devido a alguns fatores, dentre eles: interferência entre seus membros, limitações dos atuadores e limites mecâni de suas juntas. Para o mecanismo paralelo em estudo, o único fator ue pode limitar os seus movimentos e, portanto, alterar seu espaço de trabalho, é o limite de mobilidade angular de suas juntas esféricas. 45

15 Para calcular o espaço de trabalho sob este ponto de vista, o procedimento é o mesmo do realizado anteriormente, porém, o passo 3 é reescrito da seguinte forma: Para cada um dos n pontos calculam-se os ângulos dos atuadores através da cinemática inversa, determinando-se, assim, a configuração do mecanismo. Uma vez conhecida esta configuração é possível calcular os ângulos de suas juntas esféricas. Se os ângulos dos atuadores obtidos forem reais e os ângulos das juntas esféricas respeitarem a limitação de mobilidade angular, o ponto pertence ao espaço de trabalho. figura 4.6 ilustra genericamente a configuração de uma das juntas r r esféricas presentes no mecanismo. Os vetores v e v representam, respectivamente, a posição neutra e atual da junta esférica. Devido ao fato da r r configuração do mecanismo ser conhecida, os vetores v e v também são conhecidos. ssim, para se determinar o ângulo β basta realizar o seguinte cálculo: r r v v = r v β = a r v r r v v r r v v ( β ) (4.7) Junta esférica v r v r β Figura 4.6- Determinação dos ângulos das juntas esféricas. O espaço de trabalho do protótipo construído será avaliado pelo método de Monte Carlo de forma a considerar seus aspectos construtivos. s juntas esféricas utilizadas neste protótipo (Termicom S.., São Paulo, Brasil) não permitem uma variação angular superior a ± º. O domínio escolhido para os ângulos de orientação do pé (órgão terminal) foi o seguinte: 46

16 o o o o 5 5 e 5 5, sendo discretizado em 5 pontos igualmente espaçados. área total de trabalho obtida, W, foi de, rad. figura 4.7 ilustra o espaço de trabalho obtido. Figura 4.7- Espaço de trabalho real do mecanismo. figura 4.8 compara o espaço de trabalho obtido considerando os aspectos construtivos com o obtido não considerando tais aspectos. Figura 4.8- Comparação entre os espaços de trabalho obtidos. 47

17 4.6.. Singularidades Singularidades de um mecanismo são as configurações nas uais o órgão terminal passa a apresentar graus de liberdade adicionais, tornando-se incontrolável, ou uando ele perde um ou mais graus de liberdade. O primeiro tipo de configuração gular pertence ao interior do espaço de trabalho do mecanismo, sendo chamada de gularidade interna. Já o segundo tipo de configuração ocorre justamente uando o órgão terminal atinge o seu limite de espaço de trabalho, sendo, portanto, chamada de gularidade na fronteira do espaço de trabalho. Desta forma, o levantamento das gularidades do mecanismo bem como uma definição de estratégias para evitar tais configurações tornam-se necessárias. Para determinar estas configurações gulares basta calcular os valores gulares mínimos das matrizes J x e J (apresentadas no subitem 4.3). Caso um deles seja nulo, significa ue o mecanismo se encontra em uma configuração gular. Devido a complexidade do modelo cinemático obtido, determinar cada uma das configurações gulares de forma analítica é um processo praticamente inviável. Desta forma, novamente um método numérico foi adotado e, ue consiste nos seguintes passos:. Determinação de um retângulo no plano -, no ual, com certeza, o espaço de trabalho do mecanismo esteja inteiramente contido.. Discretização deste domínio em n pontos igualmente espaçados. 3. Para cada um dos n pontos discretizados, calcular as matrizes J x e J e seus valores gulares mínimos. Caso um deles seja nulo, o mecanismo, para o ponto analisado, está em uma configuração gular. mesma observação feita para o cálculo do espaço de trabalho cabe aui, uma maior discretização propicia um melhor resultado, porém, acarreta maior custo computacional. Essa metodologia foi aplicada para o protótipo construído (Menegaldo et al., 3). O domínio escolhido para os ângulos de orientação do pé (órgão terminal) foi o seguinte: o o o o 9 9 e 9 9, sendo discretizado 48

18 em 6 pontos igualmente espaçados. s figuras 4.9 e 4. ilustram, respectivamente, os valores gulares mínimos das matrizes J x e J através da representação de curvas de nível. partir dessas figuras foi possível determinar os pontos de gularidades do mecanismo, os uais estão ilustrados pela figura 4.. Nessa figura, os pontos em azul e em vermelho correspondem, respectivamente, às gularidades na fronteira do espaço de trabalho e internas. Comparando as figuras 4.8 e 4., percebe-se ue não existem gularidades internas ao espaço de trabalho real do mecanismo. ssim, o espaço de trabalho do mecanismo considerando os aspectos construtivos e gularidades é o obtido pela figura Curvas de nivel dos valores gulares minimos da matriz Jx x ngulo de flexao/extensao (graus) ngulo de inversao/eversao (graus) Figura 4.9- Curvas de nível dos valores gulares mínimos da matriz J x. 49

19 Curvas de nivel dos valores gulares minimos da matriz J x ngulo de flexao/extensao (graus) ngulo de inversao/eversao (graus) Figura 4.- Curvas de nível dos valores gulares mínimos da matriz J. Figura 4.- Pontos de gularidades do mecanismo. 5

20 4.7. Determinação dos Parâmetros Dimensionais do Mecanismo Os parâmetros dimensionais dos mecanismos responsáveis pelas cinemáticas articulares do uadril e do tornozelo serão determinados de forma a atender os seguintes critérios de desempenho: Espaço de trabalho capaz de englobar as amplitudes angulares de uma marcha humana real cujos dados foram obtidos pelo laboratório de marcha da CD (ssociação de ssistência à Criança Defeituosa, São Paulo, Brasil). figura 4. ilustra as saídas dos ângulos relacionados aos movimentos da articulação do tornozelo ao longo do ciclo da marcha. Já a figura 4.3 ilustra as saídas dos ângulos para a articulação do uadril. Esses valores apresentados correspondem à média de uma amostra de adultos normais. 5 ngulo de flexao/extensao do pe - ngulo de inversao/eversao do pe angulo (graus) angulo (graus) % ciclo de marcha % ciclo de marcha Figura 4.- Ângulos referentes à articulação do tornozelo. 5

21 5 ngulo de flexao/extensao do uadril 8 ngulo de aducao/abducao do uadril angulo (graus) angulo (graus) % ciclo de marcha % ciclo de marcha Figura 4.3- Ângulos referentes à articulação do uadril. transmissão de torue dos atuadores para o efetuador deve ser a máxima possível. Tal condição é necessária devido à limitação de torue dos atuadores. Uma outra forma de se interpretar este critério é pensar ue a transferência do carregamento presente no tornozelo para os atuadores deve ser a mínima possível, sendo esta a interpretação a ser utilizada para realizar a escolha dos parâmetros dimensionais. Um problema de otimização será elaborado de forma a se determinar estes parâmetros dimensionais dos mecanismos em uestão. Uma função de custo, relacionada com o segundo critério de desempenho, será minimizada tendo como restrição um espaço de trabalho mínimo de forma a atender o primeiro critério de desempenho. O índice a ser utilizado na função de custo, bem como o problema formal de otimização serão explicados nos próximos sub-itens. 5

22 4.7.. Índice de Transferência de Carregamento Um índice global com a finalidade de atribuir um valor numérico para a transferência de carregamento do tornozelo para os atuadores será determinado. Primeiramente, para um particular ponto do domínio pertencente ao espaço de trabalho, um índice local ue relaciona os torues dos atuadores com os torues nas direções de coordenadas do efetuador é determinado através da seguinte expressão (Menegaldo et al., 5): onde: τ α e α α α τ τ λ = (4.8) τ τ τ são, respectivamente, os torues dos atuadores e. τ e τ são, respectivamente, os torues aplicados nas direções de e da plataforma móvel. Pode ser demonstrado (sada e Slotine, 986) ue: T α J t T = (4.9) onde: T α τ = τ α α T τ = τ e J é o Jacobiano do mecanismo. Para o cálculo do índice local será considerado ue os torues aplicados nas direções das coordenadas do efetuador são unitários. Uma vez determinado o índice local, o índice global, η, ue relaciona a transmissão de torue entre efetuador e atuadores para todo o espaço de trabalho pode ser definido como: η = W λ dw W (4.3) Onde W é o espaço de trabalho do mecanismo. 53

23 través da euação (4.3), percebe-se ue o índice global nada mais é ue uma média aritmética do índice local calculado em todo o domínio do espaço de trabalho. Novamente, o cálculo deste índice de forma analítica pode ser algo inviável, optando-se, assim, por um método numérico. metodologia adotada pode ser explicada pelos seguintes passos:. Determinação de um retângulo no plano -, no ual, com certeza, o espaço de trabalho do mecanismo esteja inteiramente contido.. Discretização deste domínio em n pontos igualmente espaçados. 3. Igual ao da obtenção do espaço de trabalho considerando os aspectos construtivos. Entretanto, para cada ponto pertencente ao espaço de trabalho calcula-se o índice local λ. 4. Realizando a somatória de todos os termos encontrados no passo 3, obtém-se o índice global da seguinte forma: m m W λi λi i i= η = = = (4.3) W m m onde W é a área de trabalho e m é o número total de pontos pertencentes ao espaço de trabalho Otimização dos Parâmetros Dimensionais O problema de otimização proposto para determinar os parâmetros dimensionais do mecanismo é o seguinte: min C, L, η tal ue : W W min 34mm L mm mm C 7mm 4mm mm Posto em palavras, o índice global de transferência de carregamento será minimizado em função das variáveis de projeto, C e L de forma ue a área de trabalho seja superior a uma área mínima e, ue estas variáveis 54

24 respeitem os limites construtivos do mecanismo. O parâmetro dimensional B, por limitação física, é fixado a 68.4mm, não sendo, portanto, uma variável de projeto no problema de otimização. O cálculo do índice η e da área de trabalho W será feito de forma a considerar o limite de mobilidade angular das juntas esféricas presentes no mecanismo. junta esférica escolhida foi a utilizada na construção do protótipo (Menegaldo et al., 3), cuja variação angular não é superior a ± º. solução deste problema de otimização foi feita utilizando a função fmincon do Toolbox de otimização do software Matlab Resultados Três soluções foram investigadas para este problema de otimização. Na primeira solução, os parâmetros do protótipo construído foram adotados de forma a ter um valor de referência para o índice η e para a área de trabalho. segunda solução foi obtida adotando uma área mínima euivalente a,5 rad. Já para a terceira solução, adotou-se uma área mínima de,3 rad. Os resultados, para as diferentes soluções, estão apresentados na tabela. Solução (mm) C (mm) L (mm) W (rad ) η 6 34,, ,5, ,3,78 Tabela. Resultados obtidos para o problema de otimização. Com a finalidade de verificar se as soluções respeitam o primeiro critério de desempenho, a marcha analisada (figura 4. e 4.3) é sobreposta ao espaço de trabalho obtido para cada uma delas, conforme ilustrado pela figura

25 Figura 4.4- Marcha sobreposta ao espaço de trabalho. Na figura 4.4, a curva verde e a vermelha correspondem, respectivamente, a trajetória das articulações do uadril e do tornozelo. Convém mencionar ue não foi constatada a existência de configurações gulares no interior do espaço de trabalho para nenhuma das soluções obtidas Seleção da Melhor Solução primeira solução é auela, dentre as três analisadas, ue possui a melhor relação de transmissão de torue, ou seja, o menor índice η. Entretanto, ela corresponde à solução ue, em um maior número de pontos, desrespeita as amplitudes angulares da marcha analisada. Já a segunda solução possui um valor do índice η ainda baixo, porém, o seu espaço de trabalho, em alguns pontos, desrespeita a marcha desejada. Finalmente, a terceira solução respeita por completo a marcha analisada, porém, o índice η obtido é alto. Conclui-se, portanto, ue os dois critérios de desempenho 56

26 adotados para a construção do problema de otimização são conflitantes, ou seja, a melhora em um critério implica na piora do outro. ssim, a solução escolhida será auela ue possuir o menor índice η possível e, ao mesmo tempo, atender de forma aceitável as amplitudes angulares das articulações, impostas pelo primeiro critério. Considerando ue, apesar do desrespeito do primeiro critério em alguns pontos do seu espaço de trabalho, a segunda solução é aceitável, concluí-se ue esta é a ue melhor atende os dois critérios de desempenho estabelecidos tanto para o mecanismo do uadril uanto para o do tornozelo. ssim, os parâmetros dimensionais escolhidos para ambos os mecanismos são os mesmos e, valem: =6 mm, B=68,4 mm, C=3 mm e L =6 mm. 57

27 5. Modelagem Cinemática e Dinâmica do Robô Bípede aruitetura do robô bípede, após a escolha dos mecanismos responsáveis pela cinemática de suas articulações, está ilustrada pela figura abaixo: Figura 5.- ruitetura do robô bípede. Na figura 5., os índices correspondem a:. Pélvis.. Mecanismo responsável pela cinemática articular do uadril. 3. Coxa. 4. Mecanismo responsável pela cinemática articular do joelho. 5. Perna. 6. Mecanismo responsável pela cinemática articular do tornozelo. 7. Pé. 58

28 Este robô é um mecanismo composto por uma série de corpos rígidos unidos entre si por articulações, cujos movimentos são proporcionados pela utilização de mecanismos paralelos, com exceção da articulação do joelho. Daui por diante, esses corpos rígidos (pélvis, pé, etc) serão denominados de ligamentos. Para entender o funcionamento desse mecanismo, o robô bípede será dividido em duas partes: o corpo e as pernas. No caso, o corpo corresponde apenas à pélvis, porém, deveria incluir, também, tronco, braços e cabeça se os mesmos fossem considerados para a construção do robô. ssim, o funcionamento do robô pode ser explicado da seguinte forma: o acionamento dos atuadores, pertencentes aos mecanismos responsáveis pelos movimentos articulares, proporciona o movimento das pernas do robô. Estas, por sua vez, interagem com o solo, gerando uma força de reação ue propiciará o movimento do corpo do robô. Dessa forma, o robô bípede será modelado como um mecanismo livre ue não possui ponto fixo e, cujo movimento depende da sua interação com o solo, conforme sugerido por Fujimoto, (998). Para isto, uma metodologia semelhante àuela utilizada para robôs manipuladores será adotada, porém, existirão duas diferenças substanciais entre elas. primeira corresponde à escolha da pélvis, ue é móvel, como ligamento base do robô. Isso implica na definição de novas variáveis necessárias para descrever a posição e orientação da base em relação a um sistema inercial. segunda diferença corresponde à existência de duas cadeias abertas, ue são as pernas, conectadas à base do robô. Nos próximos itens, esta metodologia será explicada e utilizada para realizar a modelagem cinemática e dinâmica do robô. 5.. Modelo Cinemático O modelo cinemático do robô consiste em um estudo das posições, das velocidades e das acelerações de seus ligamentos. o se mencionar posição, se referencia tanto a posição propriamente dita, como a orientação. gora, uando se fala em velocidade e aceleração, se referencia tanto a velocidade e aceleração lineares como angulares. O primeiro passo para este estudo é a 59

29 determinação das coordenadas generalizadas do robô. Fazendo uma análise sobre o funcionamento do mesmo, concluí-se ue as posições angulares dos atuadores pertencentes aos mecanismos responsáveis pelos movimentos articulares, bem como as variáveis necessárias para descrever a posição e orientação da pélvis em relação a um sistema de coordenadas fixo no solo correspondem às coordenadas generalizadas do robô. ssim, pode-se definir o vetor x de coordenadas generalizadas: [ x y z ϕ α α α α α α α α α ] t x b b b α = (5.) onde: x b, y b e z b : definem a posição da pélvis (base) do robô em relação ao sistema de coordenadas fixo no solo., e ϕ : ângulos de Euler utilizados para descrever a orientação da pélvis (base) em relação ao sistema de coordenadas fixo no solo. α, α, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 e α : posições angulares dos atuadores. Os sistemas de coordenadas fixos na base do robô e no solo, bem como as coordenadas generalizadas estão ilustrados pelo seguinte diagrama cinemático do robô bípede: 6

30 α x α y O z α 6 α 7 α 3 P b α 5 α 8 α 4 α α 9 x y O z Figura 5.- Coordenadas generalizadas do robô bípede. onde: P = b [ x y z ] t O sistema de coordenada O -x y z está fixo no solo, já o sistema O - x y z (base do robô) está fixo na pélvis e sua origem está localizada no baricentro deste ligamento. Para descrever a orientação da pélvis, os ângulos de Euler foram adotados. b b b No entanto, para determinar a posição, por exemplo, de um ligamento do robô em relação à sua base, é mais conveniente utilizar, como coordenadas generalizadas, as posições das articulações ao invés das posições angulares 6

31 dos atuadores. Desta forma, para a construção do modelo cinemático do robô, serão utilizadas as seguintes coordenadas generalizadas: [ x y z ϕ ] t b b b = (5.) onde: : ângulo de adução/abdução do uadril esuerdo. : ângulo de flexão/extensão do uadril esuerdo. 3 : ângulo do joelho esuerdo. 4 : ângulo de inversão/eversão do pé esuerdo. 5 : ângulo de flexão/extensão do pé esuerdo. 6 : ângulo de adução/abdução do uadril direito. 7 : ângulo de flexão/extensão do uadril direito. 8 : ângulo do joelho direito. 9 : ângulo de inversão/eversão do pé direito. : ângulo de flexão/extensão do pé direito. Para ilustrar as coordenadas generalizadas e os sistemas de coordenadas necessários para a construção do modelo, bem como os parâmetros dimensionais do robô, serão utilizados diagramas cinemáti simplificados ue consideram apenas as articulações do robô, desprezando os mecanismos responsáveis pelos seus movimentos. Nesses diagramas as articulações serão representadas de uma forma simplificada e, no centro geométrico de cada uma delas, estará localizada a origem de um sistema de coordenadas com a finalidade de descrever os movimentos relativos entre os ligamentos do robô. figura 5.3 ilustra os parâmetros dimensionais do robô. Já a figura 5.4 ilustra os sistemas de coordenadas necessários para a construção do modelo. 6

32 l l l 3 d Bl l 4 l Figura 5.3- Dimensões relevantes do robô bípede. 63

33 x L y L O L z L X L y O x z X R x R x y z O 3 6 y R O R z R 7 x 5 y 5 z 5 x 3 x 4 O 5 8 y 3 O 3 4 z 3 5 y 4 O 4 z 4 x 6 x 7 x z y O y 6 z 6 O 6 9 y 7 O 7 z 7 Figura 5.4- Sistemas de coordenadas e coordenadas generalizadas utilizadas para a construção do modelo. Os vetores X L e X R descrevem as posições, respectivamente, dos sistemas O L -x L y L z L e O R -x R y R z R em relação ao sistema de coordenadas O -x y z. Estes três sistemas estão fixos na pélvis do robô, sendo ue os dois primeiros foram definidos apenas para auxiliar na construção do modelo. Os sistemas de coordenadas O -x y z e O 5 -x 5 y 5 z 5 estão fixos, respectivamente, nas coxas esuerda e direita do robô. Já os sistemas O 3 -x 3 y 3 z 3 e O 6 -x 6 y 6 z 6 estão fixos, respectivamente, nas pernas esuerda e direita do robô. Por fim, os sistemas O 4 -x 4 y 4 z 4 e O 7 -x 7 y 7 z 7 estão fixos, respectivamente, nos pés esuerdo e direito do robô. 64

34 s coordenadas generalizadas do robô, vetor x, devem ser relacionadas com as coordenadas utilizadas para a construção do modelo, vetor. Para isto, será utilizado o modelo cinemático desenvolvido para o mecanismo paralelo responsável pela cinemática das articulações do uadril e do tornozelo. Mais especificamente serão utilizadas a cinemática direta e a inversa já estudadas, respectivamente, nos subitens 4.4 e 4.. primeira cinemática é necessária para calcular o vetor sendo fornecido o vetor x. Já a segunda é o oposto da anterior, ou seja, necessária para calcular o vetor x sendo fornecido o vetor. Convém mencionar ue as coordenadas generalizadas utilizadas para descrever os movimentos dos joelhos são iguais para ambos os casos, ou seja, α 3 é igual a 3 e α 8 é igual a 8. Uma vez definidas as coordenadas generalizadas, pode-se partir para a modelagem cinemática propriamente dita. Existem dois tipos diferentes de cinemática ue devem ser tratadas, a cinemática direta e a inversa. Na cinemática direta, deseja-se obter posições, velocidades e acelerações dos ligamentos do robô sendo fornecidas as coordenadas generalizadas, vetor x, e suas derivadas com relação ao tempo, vetores x & e & x. Já a cinemática inversa é o oposto da anterior, ou seja, são fornecidas as posições dos ligamentos e uer se obter as coordenadas generalizadas do robô. Nos próximos itens, a cinemática direta e inversa serão devidamente tratadas Cinemática Direta Conforme já explicado, o modelo do robô será construído utilizando como coordenadas generalizadas as posições das articulações, ou seja, o vetor. ssim, o primeiro passo para resolver a cinemática direta é calcular os vetores, & e & a partir dos vetores fornecidos x, x& e & x. Para isto serão utilizadas as euações (4.6) e (4.3) e, a cinemática direta desenvolvida no sub-item 4.4. O passo seguinte consiste na determinação de expressões analíticas ue relacionam as posições, velocidades e acelerações dos ligamentos do robô como funções dos vetores, & e & e, dos parâmetros 65

35 dimensionais do robô. Este passo será dividido em três etapas: cinemática de posição, de velocidade e de aceleração, sendo cada uma delas explicadas detalhadamente nos próximos subitens. Para calcular estas expressões analíticas será utilizado o Toolbox Symbolic do software matemático Matlab Cinemática de Posição. Nessa cinemática, a posição e a orientação de ualuer ligamento do robô serão determinadas em função do vetor. Com esta finalidade foi fixado, para cada um dos ligamentos, um sistema de coordenadas O i -x i y i z i (ver figura 5.4), onde o índice i indica a numeração do ligamento. Utilizando-se de matrizes de transformações homogêneas, ue é uma forma prática e compacta de se definir transformações de coordenadas (Cabral, ), é possível determinar a posição e orientação do sistema de coordenadas O i -x i y i z i em relação ao seu sistema anterior O ia -x ia y ia z ia Dessa forma, pode-se determinar a posição e orientação de ualuer ligamento do robô, em relação ao sistema fixo (O -x y z ), através de uma composição de transformações homogêneas consecutivas, partindo do sistema fixo para o sistema conectado ao ligamento em uestão. Devido ao fato da base do robô estar conectada a duas cadeias seriais distintas, o sistema de coordenadas O ia -x ia y ia z ia, ue é anterior ao sistema O i - x i y i z i, nem sempre corresponde ao sistema O i- -x i- y i- z i-. exceção ocorre para o primeiro ligamento da segunda cadeia serial, ou seja, a perna direita do robô. Nesse caso, o sistema anterior ao sistema O 5 -x 5 y 5 z 5 corresponde ao sistema O -x y z. s matrizes de transformações homogêneas necessárias para o cálculo desta cinemática de posição são determinadas a seguir: Matriz de transformação homogênea do sistema O -x y z para o sistema O -x y z ( ). orientação do sistema O -x y z em relação ao sistema O -x y z é definida através dos ângulos de Euler ue correspondem à seguinte seüência de rotações (sada e Slotine, 986): 66

36 . Rotação de um ângulo em torno do eixo z.. Rotação de um ângulo em torno do novo eixo y. 3. Rotação de um ângulo ϕ em torno do novo eixo z. Resultando na seguinte matriz de rotação: R R R = R z, = = R y, R z, ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ ) ( ϕ) ( ) ( ) ( ϕ ) ( ϕ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( 5.3) ssim, a matriz de transformação homogênea,, é dada por: = ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ ) ( ) xb y b z b ( 5.4) Matriz de transformação homogênea do sistema O -x y z para o sistema O -x y z ( ). matriz de transformação homogênea,, é obtida a partir da seguinte seüência de transformações:. Translação de um vetor X L.. Rotação do ângulo em torno do eixo y. 3. Rotação do ângulo em torno do novo eixo z. 4. Translação, ao longo do novo vetor x, de l. 5. Translação, ao longo do novo vetor y, de. Resulta a seguinte matriz de transformação homogênea: 67

37 68 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.5 = = L L l L L L z l y l x l l z y x Onde x L, y L e z L são as componentes x, y e z do vetor X L. Matriz de transformação homogênea do sistema O -x y z para o sistema O 3 -x 3 y 3 z 3 ( 3 ). Esta matriz de transformação homogênea, 3, é obtida a partir da seguinte seüência de transformações:. Rotação do ângulo 3 em torno do eixo z.. Translação, ao longo do novo eixo x, de l 3. ssim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = l l l Matriz de transformação homogênea do sistema O 3 -x 3 y 3 z 3 para o sistema O 4 -x 4 y 4 z 4 ( 4 3 ). matriz de transformação homogênea, 4 3, é determinada a partir da seguinte seüência de transformações:. Rotação do ângulo 4 em torno do eixo y 3.. Rotação do ângulo 5 em torno do novo eixo z 3.

38 69 3. Translação, ao longo do novo eixo x 3, de d. 4. Translação, ao longo do novo eixo y 3, de l 4. ssim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = l d l d l d l d (5.7) Matriz de transformação homogênea do sistema O -x y z para o sistema O 5 -x 5 y 5 z 5 ( 5 ). O processo de obtenção desta matriz homogênea é análogo ao da obtenção da matriz homogênea. Desta forma, obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = R R R R R R z l y l x l l z y x (5.8) Onde x R, y R e z R são as componentes x, y e z do vetor X R. Matriz de transformação homogênea do sistema O 5 -x 5 y 5 z 5 para o sistema O 6 -x 6 y 6 z 6 ( 6 5 ). O processo de obtenção desta matriz homogênea é análogo ao da obtenção da matriz homogênea 3. Desta forma, obtém-se:

39 = = ( 8 ) ( 8 ) ( ) ( ) 8 ( 8 ) ( 8 ) l3 ( 8 ) ( ) ( ) l ( ) l3 ( 5.9) Matriz de transformação homogênea do sistema O 6 -x 6 y 6 z 6 para o sistema O 7 -x 7 y 7 z 7 ( 7 6 ). O processo de obtenção desta matriz homogênea é análogo ao da obtenção da matriz homogênea 4 3. Desta forma, obtém-se: = = ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) ( ) ( 9 ) ( ) ( 9 ) d ( 9 ) ( ) l4 ( 9 ) ( ) ( ) ( ) d ( ) l4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) l ( ) ( ) d l ( 5.) gora, calculadas estas matrizes homogêneas, é possível determinar a posição e orientação dos ligamentos do robô, em relação ao sistema de coordenadas O -x y z, através da determinação das matrizes de transformações homogêneas i, com i variando de a 7. Por exemplo, para o ligamento 7, ue é o pé direito do robô, a matriz correspondente, 7, é obtida pela composição de transformações homogêneas, partindo do sistema O - x y z para o sistema O 7 -x 7 y 7 z 7, ou seja: = 5 6 7

40 7 través desta matriz homogênea é possível, além da determinação da orientação, calcular a posição de ualuer ponto pertencente a este ligamento, como, por exemplo, a posição de seu baricentro Cinemática de Velocidade Esta cinemática é a responsável pela determinação das velocidades lineares e angulares de ualuer ligamento do robô, descritas em relação ao sistema O -x y z, em função dos vetores e &. Convém mencionar ue ao se dizer velocidade linear de um ligamento, na verdade está se referindo à velocidade linear da origem do sistema de coordenadas fixo ao ligamento. Considere o vetor posição, P(), de um ligamento ualuer do robô descrito em relação ao sistema O -x y z. Para obter a sua velocidade linear, V l, basta derivar este vetor posição com relação ao tempo: = = = P P P P P P P P P dt dp dt dp dt dp dt dp V z z z y y y x x x z y x l & K & & & K & & & K & & (5.) onde P x, P y e P z são as componentes x, y e z do vetor P. Definindo a matriz Jacobiana de velocidade linear, J v (), de dimensão 3x6, como sendo: ( ) = P P P P P P J z z y y x x v L L L (5.) euação (5.) pode ser reescrita como:

41 V l ( ) & = J (5.3) v ssim, chega-se à expressão ue relaciona a velocidade linear de um ligamento do robô com os vetores e &. De forma análoga à velocidade linear, a velocidade angular de um ligamento ualuer do robô, w, pode ser relacionada com o vetor & através da definição da matriz Jacobiana de velocidade angular, J w (), de dimensão 3x6, ou seja: ( ) w = J & w (5.4) Para um melhor entendimento dessa matriz Jacobiana, a euação (5.4) será reescrita da seguinte forma: w = J & & & (5.5) w J w K J w6 6 onde J wi corresponde a coluna i, de dimensão 3x, da matriz Jacobiana, J w, e o produto J wi & representa a contribuição da i-ésima coordenada i generalizada na velocidade angular do ligamento. Com a finalidade de obter essa matriz Jacobiana de velocidade angular, será utilizada a seguinte expressão ue relaciona a velocidade angular de um corpo rígido com a sua orientação e variação de sua orientação (Cabral, ): t Ω = R & R (5.6) onde: R é a matriz de rotação ue representa a orientação do corpo rígido descrita em relação a um sistema fixo. Ω é a representação matricial do vetor velocidade angular, w, descrito em relação ao mesmo sistema fixo adotado para a orientação, sendo dada por: Ω = wz w y w w w x z w y x 7

42 73 sendo w x, w y e w z as componentes x, y e z do vetor w. plicando esta expressão para um ligamento do robô e, utilizando a regra da cadeia: R R R R R R R R R R t t t t & K & & & K & & = Ω = Ω (5.7) onde R é a matriz de rotação ue representa a orientação do ligamento e Ω é a representação matricial do vetor velocidade angular, w, sendo ue ambas são descritas em relação ao sistema de coordenadas O -x y z. Essa expressão fornece, através de uma representação matricial, a velocidade angular do ligamento em função dos vetores e &. Igualando-a com a euação (5.5) obtém-se a matriz Jacobiana de velocidade angular, J w (). Uma vez calculadas as matrizes Jacobianas de velocidade linear e angular, é possível definir a matriz Jacobiana de um ligamento do robô, J(), de dimensão 6x6, como sendo: ( ) ( ) ( ) = J J J w v (5.8) ssim, as velocidades linear e angular de um ligamento do robô podem ser relacionadas com o vetor & através da seguinte expressão: ( ) J w V l & = (5.9)

43 5...3 Cinemática de celeração cinemática de aceleração é a responsável pela determinação da aceleração linear e angular dos ligamentos do robô, descritas no sistema de coordenadas O -x y z, em função dos vetores, & e &. Novamente, uando se diz aceleração linear do ligamento, na verdade se refere à aceleração linear da origem do sistema de coordenadas fixo neste ligamento. Para determinar a aceleração linear de um ligamento do robô, basta derivar com relação ao tempo a euação (5.3): V& l ( ) & J ( ) & = J& (5.) v v onde J& v ( ) ( ) J ( ) J v v = & K & 6 (5.) Essa expressão fornece a aceleração linear de um ligamento do robô, descrita em relação ao sistema O -x y z, em função dos vetores, & e &. De forma análoga, para obter a aceleração angular de um ligamento do robô basta derivar com relação ao tempo a euação (5.4): 6 ( ) & J ( ) & w& = J& (5.) w w onde: J& w ( ) ( ) J ( ) J w w = & K & 6 (5.3) 6 Essa expressão fornece a aceleração angular de um ligamento do robô, descrita em relação ao sistema O -x y z, em função dos vetores, & e & Cinemática Inversa cinemática inversa é responsável pelo cálculo das coordenadas generalizadas do robô, vetor x, ao serem fornecidas as posições e orientações de um ou mais ligamentos do robô. Com a finalidade de facilitar a análise a ser feita, será considerado apenas o fornecimento da posição e orientação de um 74

44 ligamento do robô. No entanto, essa análise permite facilmente a sua expansão para o tratamento de mais ligamentos. Devido à forma pela ual o modelo do robô foi construído, a cinemática inversa será calculada para as coordenadas generalizadas relacionadas com as posições das articulações, ou seja, o vetor. Na seüência, utilizando-se da cinemática inversa, desenvolvida no subitem 4., as coordenadas generalizadas do robô, vetor x, serão calculadas. Na cinemática inversa podem existir múltiplas soluções para uma mesma posição e orientação fornecida para um ligamento do robô, o ue a torna, uando comparada com a cinemática direta, bem mais complexa. resolução dessa cinemática pode ser feita de duas formas diferentes: a forma fechada (analítica) e a forma numérica. Normalmente a segunda forma, por ser um processo iterativo, exige um tempo de processamento computacional o ue a torna bem mais lenta uando comparada a primeira. Também, a resolução numérica, diferentemente da fechada, não produz todas as múltiplas soluções existentes e, sim, apenas algumas. ssim, de um modo geral, a forma fechada é preferível à numérica. Porém, neste caso, devido a alta complexidade do modelo do robô (6 graus de liberdade), a resolução analítica pode se tornar algo inviável, optando-se, assim, pela resolução numérica. O método numérico escolhido é o de Newton-Raphson, o ual já foi explicado no subitem ntes de se discutir o método numérico adotado, é necessário obter expressões ue descrevam as variações de posição e orientação do ligamento em função do vetor &. variação de posição já foi devidamente discutida no subitem 5... seguir será discutida a variação da orientação do ligamento. orientação do ligamento, descrita no sistema O -x y z, pode ser relacionada com as coordenadas generalizadas, vetor, pela seguinte forma: ( ) y = f (5.4) onde o vetor y, de dimensão mx, corresponde à orientação do ligamento. Derivando com relação ao tempo a euação (5.4), obtém-se a variação da orientação em função do vetor & : 75

45 ( ) & y & = J (5.5) onde J () é a matriz Jacobiana de dimensão mx6. orientação do ligamento pode ser descrita por diversos parâmetros, como por exemplo, os elementos da matriz de rotação, ângulos de Euler, parâmetros de Euler-Rodrigues, dentre outros. No entanto, a maneira mais conveniente de descrever a variação de orientação de um ligamento é utilizando os parâmetros de Euler-Rodrigues, ue consiste num conjunto de uatro elementos p,, r e s (Cabral, ). ssim, a orientação do ligamento é descrita por: [ p r s] t y = (5.6) ntes de continuar este estudo, é necessário realizar uma breve explicação sobre esta forma de representação de orientação. Os parâmetros de Euler-Rodrigues descrevem a rotação de um ângulo arbitrário em torno de um eixo também arbitrário n de módulo unitário. Estes parâmetros são definidos da seguinte forma: p = n = n x y ( / ) r = nz ( / ) ( / ) s = ( / ) (5.7) onde n x, n y e n z são as componentes x, y e z do vetor n. matriz de rotação proveniente da rotação de um ângulo em torno do eixo arbitrário n é dada por: ( p s ) ( p r s) ( p r s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p r s s r p s p r s r p s s r R n, = (5.8) Uma vez definida a forma de representação de orientação do ligamento do robô, deve-se relacioná-la com as coordenadas generalizadas (vetor ), ou 76

46 seja, obter a expressão (5.4). Com essa finalidade, a matriz de rotação ue descreve a orientação do ligamento, em relação ao sistema fixo no solo, será relacionada com os parâmetros de Euler-Rodrigues. Considere fornecida a seguinte matriz de rotação genérica do ligamento, com elementos r i,j : r, r, r,3 R = r, r, r,3 (5.9) r 3, r3, r3,3 Igualando a expressão (5.8) com a (5.9), obtém-se: p = al = al r = al s = r, r ( r r ) 3, ( r r ),3 ( r r ),,,3 3,, r 3,3 r, r r Onde a função al é dada por:,, r, r r,, r 3,3 r r 3,3 3,3 (5.3), se x < al ( x) = se x = (5.3), se x > ssim, a expressão (5.3) relaciona os parâmetros de Euler-Rodrigues com o vetor, através dos elementos r i,j da matriz de rotação do ligamento do robô. gora, resta apenas a determinação da variação dos parâmetros de Euler-Rodrigues em função do vetor &, ou seja, determinar a matriz Jacobiana J (). Pode-se demonstrar (Cabral, ) ue esta matriz Jacobiana, de dimensão 4x6, é dada por: 77

47 s r r s p J ( ) = J w ( ) (5.3) p s p r onde J w é a matriz Jacobiana de velocidade angular do ligamento. Determinadas as expressões ue descrevem as variações de posição e orientação do ligamento em função do vetor &, o método de resolução numérica adotado será devidamente explicado. O problema da cinemática inversa pode ser explicado da seguinte forma: fornecidos os vetores posição, P, e orientação, y, do ligamento do robô, ambos descritos no sistema fixo ao solo, calcular o vetor de coordenadas generalizadas. Este problema é resolvido utilizando-se do método numérico iterativo de Newton-Raphson ue consiste na seguinte lei de atualização: = onde : ( ) ( X ) J X P X = y Jv J ( ) = J ( ) ( ) (5.33) J v () é a matriz Jacobiana de velocidade linear do ligamento e representa a estimativa inicial das coordenadas generalizadas. Essa lei de atualização já foi explicada passo a passo no subitem O processo iterativo termina uando os erros de posição (δp) e orientação (δy) ficarem abaixo de um certo valor estabelecido. O erro de posição é fornecido pela expressão (5.34). Já o erro de orientação foi definido conforme sugerido por Matone, (99), sendo fornecido pela expressão (5.35). t ( P P) ( P P) δ P (5.34) = ( y( ) y ( ) y( ) y ( ) y( 3) y ( 3) y( 4) ( 4) ) δ y = a y (5.35) 78

48 Convém mencionar ue este método numérico determina apenas uma solução dentre as múltiplas possíveis, sendo esta dependente da estimativa inicial. 5.. Modelo Dinâmico Neste item será estudado o comportamento dinâmico do robô, ou seja, de ue forma o seu movimento se relaciona com os torues aplicados pelos atuadores e forças externas oriundas da interação do robô com o solo. Esta relação pode ser expressa por um conjunto de euações diferenciais, multivariáveis e acopladas, denominadas de euações de movimento. Estas euações podem ser escritas na forma matricial, assumindo a seguinte forma: onde: ( x) x& C( x x& ) G( x) = U U E H &, (5.36) x: vetor de coordenadas generalizadas do robô de dimensão 6X H ( x) : matriz de inércia do robô de dimensão 6x6 C ( x x& ), : vetor de esforços centrífugos e de Coriolis de dimensão 6x G ( x) : vetor de esforços gravitacionais de dimensão 6x U E : vetor de forças generalizadas, de dimensão 6x, gerada pelas forças externas U: vetor de forças generalizadas, de dimensão 6x, sendo dado por: sendo: bx by bz [ f f, f, n, n, n, τ, τ, L τ ] t U = bx, by bz ϕ α α, α f, f, f : componentes x, y e z do vetor força aplicado no baricentro do ligamento base do robô, ou seja, na origem do sistema de coordenadas O -x y z. n, n, n : momentos aplicados no ligamento base do robô nas direções ϕ das coordenadas,, eϕ. α, τ α,, τ α τ L : torues aplicados pelos atuadores. 79

49 expressão (5.36) corresponde à euação dinâmica ou de movimento do robô. parcela U E desta euação, ue corresponde aos esforços oriundos das forças externas, será obtida separadamente a partir de um modelo ue utiliza molas e amortecedores como elementos de contato entre o pé e o solo. gora, o restante da euação de movimento pode ser determinado de uma forma fechada (analítica) através da utilização da formulação Lagrangiana, ou de uma forma numérica através do método recursivo de Newton-Euler. O fato de o robô possuir um elevado número de graus de liberdade (6 no total) e de utilizar mecanismos paralelos para realizar os movimentos de suas articulações, com exceção para a articulação do joelho, o torna um mecanismo bastante complexo. ssim, para reduzir essa complexidade, simplificações serão adotadas para a construção deste modelo, porém, mantendo as principais características dinâmicas deste mecanismo. Conhecida a euação de movimento do robô, dois problemas dinâmi distintos serão tratados. O primeiro, conhecido como dinâmica direta, consiste em calcular a evolução temporal do robô, ou seja, a trajetória dos ângulos dos atuadores e da posição e orientação do corpo do robô ao serem fornecidos os torues aplicados pelos atuadores. Esta dinâmica é utilizada para realizar a simulação numérica do robô ue é de extrema importância para avaliar os diferentes tipos de controladores a serem implementados. O segundo problema, chamado de dinâmica inversa, consiste em, fornecida a trajetória do robô (vetores x, x& e & x ), calcular os torues dos atuadores e as forças de interação do robô com o solo. Esta dinâmica é muito importante para avaliar os esforços aplicados sobre o robô uando o mesmo executar uma marcha conhecida. Convém mencionar ue essa marcha pode ser gerada a partir de um planejamento de trajetórias ou fornecida por um laboratório de marcha. Nos próximos subitens a formulação dinâmica do robô será desenvolvida e os problemas de dinâmica direta e inversa analisados Formulação Dinâmica do Robô Conforme já explicado, a formulação dinâmica do robô será feita de uma forma simplificada, porém, mantendo as suas principais características 8

50 dinâmicas. nalisando o mecanismo do robô, percebe-se ue se as cadeias ativas dos mecanismos paralelos forem consideradas, uma enorme complexidade será introduzida na formulação dinâmica. Isto porue cada uma das barras ue constituem estas cadeias deve ser modelada, aumentando, assim, consideravelmente o número de corpos rígidos a serem tratados e a complexidade de interação entre eles. lém disso, novas variáveis devem ser criadas com a finalidade de descrever os movimentos das barras conectadas às plataformas móveis destes mecanismos paralelos. Com o intuito de simplificar o modelo dinâmico do robô, será estudada a possibilidade de desprezar tais cadeias ativas. Felizmente, ao se analisar as inércias das barras ue constituem estas cadeias, percebe-se ue elas podem ser consideradas desprezíveis em relação às inércias dos ligamentos do robô, ou seja, a influência destas barras na dinâmica do robô como um todo pode ser considerada desprezível, permitindo, portanto, a utilização desta simplificação proposta. Desprezadas as inércias das cadeias ativas pertencentes aos mecanismos paralelos, a transferência de torue dos atuadores para as articulações é simples e pode ser feita através da expressão (4.9). proveitando-se desta relação, a euação de movimento do robô (5.36) pode ser obtida a partir da definição de uma nova euação de movimento escrita, agora, em função das coordenadas generalizadas. Essa nova euação possui a seguinte forma: ( ) & C ( & ) G ( ) = U U E H &, (5.37) onde: U : vetor de coordenadas generalizadas, de dimensão 6x, sendo dada por: sendo:, τ,, τ [ f f, f, n, n, n, τ, τ, L τ ] t U = bx, by bz ϕ, τ L : torues aplicados nas direções das coordenadas generalizadas,, L. 8

51 8 Os demais termos desta euação possuem a mesma interpretação física feita para os seus correspondentes da euação (5.36). Para calcular a euação de movimento do robô, descrita em função das coordenadas generalizadas x, basta calcular, a partir da euação (5.37), o vetor U e relacioná-lo com o vetor U. Essa relação é facilmente obtida utilizando a expressão (4.9) para as articulações do uadril e do tornozelo. Note ue, para o mecanismo do joelho, o atuador transmite diretamente seu torue para a articulação. ssim, 3 α τ euivale a 3 τ e 8 α τ euivale a 8 τ. Dessa forma, a seguinte relação pode ser obtida: U M U = (5.38) onde a Matriz M, de dimensão 6x6, é construída utilizando-se das matrizes Jacobianas dos mecanismos paralelos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =,,,,,,,,,,,,,,,, t t t t t t t t t t t t t t t t J J J J J J J J J J J J J J J J M sendo a matriz Jacobiana, J, obtida pela euação (4.7). Resumindo, para determinar a euação de movimento do robô (5.36), escrita em função das coordenadas generalizadas x, basta calcular o vetor U a partir da euação (5.37) e substituí-la na euação (5.38). formulação dinâmica do robô agora se resume na obtenção da euação de movimento descrita em função das coordenadas generalizadas. Como já explicado, a parcela devida às forças externas, vetor E U, será calculada de forma separada a partir de um modelo de contato entre o pé e o solo. Já o restante da euação pode ser resolvido analiticamente pela

52 formulação Lagrangiana ou numericamente pela formulação recursiva de Newton-Euler. Na formulação Lagrangiana o sistema é descrito em termos de energia e trabalho utilizando-se das coordenadas generalizadas. s euações obtidas são analíticas e já estão no formato matricial desejado. Já a formulação recursiva de Newton-Euler é um método numérico ue utiliza a interpretação direta da segunda lei de Newton. ssim, neste caso, as euações incorporam todas as forças e momentos ue atuam em cada ligamento do robô, necessitando, portanto, a adição de novas operações aritméticas com a finalidade de se obter explicitamente as relações entre os torues das articulações e o movimento do robô. Inicialmente optou-se por utilizar o método analítico por ser um processo mais sistemático e simples uando comparado ao numérico. Porém, devido à complexidade do robô, a sua euação de movimento, ue foi obtida utilizando o toolbox Symbolic do software Matlab, tomou proporções inviáveis para se trabalhar, o ue levou ao abandono deste método e a adoção da formulação recursiva de Newton-Euler Formulação Dinâmica Recursiva de Newton-Euler Esta formulação é a responsável pelo cálculo numérico da euação de movimento do robô, descrita em função da coordenadas generalizadas, desprezando os efeitos provenientes das forças externas. Para isto será calculada a dinâmica inversa do robô a partir de um algoritmo recursivo ue utiliza as euações de Newton-Euler. Este algoritmo é baseado na formulação desenvolvida por sada e Slotine, (986), porém, alguns pontos serão diferentes: ) a não existência de ponto fixo no robô e o fato do ligamento base ser móvel, ) o fato de algumas articulações possuírem mais de um grau de mobilidade, e 3) existência de duas cadeias seriais conectadas à base do robô. ntes de explicar com detalhes esse algoritmo, convém mencionar ue, apesar dessa formulação estar baseada no cálculo da dinâmica inversa do robô, é possível calcular a partir dela e do modelo de contato, como será explicado posteriormente, a sua dinâmica direta e a sua dinâmica inversa incluindo, agora, os efeitos provenientes das forças externas. O primeiro passo deste algoritmo recursivo consiste em, fornecidos os vetores, & e &, calcular as velocidades e acelerações angulares dos 83

53 ligamentos do robô, bem como as acelerações lineares de seus centros de massa. Este cálculo é feito recursivamente, para cada uma das cadeias seriais, partindo-se da base e caminhando em direção ao último ligamento, ue no caso é o pé do robô. Determinada a cinemática do robô, o passo seguinte consiste na aplicação direta das euações de Newton-Euler para cada um dos ligamentos com a finalidade de calcular as forças generalizadas do robô. Isto é feito recursivamente, para cada uma das cadeias, partindo-se do último ligamento e caminhando em direção à base. computação recursiva dessas euações cinemáticas e dinâmicas será discutida individualmente para a base do robô, ue é móvel, e genericamente para uma cadeia serial (perna do robô). Cabe aui mencionar ue todas as variáveis cinemáticas e dinâmicas utilizadas neste algoritmo recursivo, caso não seja mencionado o contrário, estarão descritas no sistema de coordenadas O -x y z. Computação Recursiva das Euações Cinemáticas velocidade e aceleração angulares da base do robô (ligamento ) podem ser obtidas de forma analítica a partir das euações (5.7) e (5.), obtendo-se: w w& = = ( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) & 4 ( ) ( ) ( ) & 5 ( ) 5 & 6 & 4 ( 4 ) & 5 ( 4 ) ( 5 ) & 4 ( 4 ) ( 5 ) & 4 ( 4 ) & 5 ( 4 ) ( 5 ) & 4 ( 4 ) ( 5 ) & 5 ( 5 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) && 4 ( ) ( ) ( ) && 5 ( ) 5 && 6 (5.39) & & & (5.4) Já a aceleração linear de seu baricentro é obtida através da seguinte expressão: 84

54 a c && = && & 3 (5.4) Conhecida a cinemática da base do robô, o próximo passo é calcular recursivamente, para cada uma das cadeias seriais, as euações cinemáticas para os demais ligamentos, partindo-se da base e caminhando em direção ao último ligamento. Para explicar este processo recursivo basta determinar a formulação necessária para o cálculo das euações cinemáticas de um ligamento i ao serem fornecidos o movimento do ligamento anterior, i a, e o movimento relativo entre estes ligamentos. figura 5.5 ilustra os sistemas de coordenadas e os vetores de posições necessários para o cálculo destas euações cinemáticas relacionadas ao ligamento i. Nessa figura, o ponto c i representa o centro de massa do ligamento i. x ia Ligamento i x i Ligamento i a r ia,i y i Ligamento i y ia O ia z ia ci r i,ci O i z i Figura 5.5- Sistemas de coordenadas e vetores de posições associados a um ligamento i do robô. articulação ue une os ligamentos i e i a pode possuir um grau de mobilidade, caso seja o joelho, ou dois graus de mobilidade caso seja o tornozelo ou o uadril. Desta forma, para o cálculo das velocidades e acelerações angulares, serão desenvolvidas duas formulações diferentes, uma para cada articulação. gora, para o cálculo da aceleração linear do centro de massa, a formulação será a mesma para ambos os casos. 85

55 No caso desta articulação corresponder ao joelho, o movimento do ligamento i, em relação ao ligamento anterior i a, se dá por meio de uma rotação de um ângulo j em torno do eixo z ia, onde o índice j euivale a 3 ou a 8, dependendo de ual cadeia serial se está trabalhando. Uma vez determinado o movimento relativo entre estes ligamentos e conhecendo-se o movimento do ligamento i a, pode-se determinar a velocidade e a aceleração angulares do ligamento i através das seguintes expressões (sada e Slotine, 986): i w ia i = w & z (5.4) j ia ia j ia ia w& = w& && z w x & z (5.43) onde z ia corresponde ao eixo z do sistema O ia -x ia y ia z ia descrito no sistema de coordenadas O -x y z, ou seja, corresponde à terceira coluna da matriz de rotação ia R. j ia gora, caso a articulação corresponda ao tornozelo ou uadril, o movimento relativo entre os ligamentos i e i a é mais complexo e se dá da seguinte forma: rotação de um ângulo j em torno do eixo y ia e, na seüência, rotação de um ângulo j em torno do novo eixo z ia, onde o índice j pode euivaler a, 4, 6 ou 9, dependendo de ual articulação se está trabalhando (ver figura 5.4). plicando, para cada uma destas rotações, a formulação obtida anteriormente para a articulação de um grau de mobilidade, chega-se nas seguintes euações de velocidade e aceleração angulares do ligamento i: w& wi = wia j yia & j ( j ) xia & j ( j ) zia i = w& ia && j yia && j ( j ) xia && j ( j ) zia ( w & y ) x( & ( ) x & ( ) z ) ia j ia & (5.44) j j ia j j ia w ia x & y j ia (5.45) onde os vetores x ia, y ia e z ia correspondem aos eixos x, y e z do sistema O ia -x ia y ia z ia descritos no sistema de coordenadas O -x y z. Para calcular a aceleração linear do centro de massa do ligamento i, deve-se, primeiramente, determinar a aceleração linear deste ligamento, ou 86

56 seja, a aceleração da origem do sistema de coordenadas O i -x i y i z i, a partir da seguinte expressão (sada e Slotine, 986): por: onde o vetor ( w xr ) a i aia wi xria, i wi x i ia, i = & (5.46) r ia, i, descrito no sistema de coordenadas O -x y z, é dado x ria, i y ria, i z ria, i = i ia (5.47) sendo x y z r ia, i ria, i, e ria, i, as componentes x, y e z do vetor ia i r, gora, a aceleração linear do centro de massa do ligamento i pode ser obtida da seguinte forma: ( w xr ) a ci ai wi xri, ci wi x i i, ci = & (5.48) Para calcular o vetor r i, ci, ue está descrito no sistema de coordenadas O -x y z, admite-se ue seja conhecida a posição do centro de massa do ligamento i descrita no sistema de coordenadas O i -x i y i z i, ou seja, o vetor r i i, ci. ssim: i i r i, ci R ri, ci = (5.49) onde i R é a matriz de rotação ue especifica a orientação do sistema O i -x i y i z i em relação ao sistema O -x y z. Computação Recursiva das Euações Dinâmicas Este processo recursivo será explicado a partir da aplicação direta das euações de Newton-Euler para o ligamento base do robô e para um ligamento genérico pertencente a uma das cadeias seriais. 87

57 Inicialmente será analisado o diagrama de corpo rígido de um ligamento i pertencente a uma das pernas do robô, como ilustrado pela figura 5.6. Este diagrama mostra as forças e momentos exercidos sobre o ligamento i, bem como os sistemas de coordenadas e parâmetros geométri necessários para a formulação de sua dinâmica. O sistema de coordenadas O ci -x ci y ci z ci está fixo no ligamento i, cuja origem coincide com a localização do centro de massa deste ligamento e cuja orientação é a mesma do sistema de coordenadas O i - x i y i z i. Os vetores F ia,i e M ia,i, ambos de dimensão 3x, representam, respectivamente, a força e o momento aplicados pelo ligamento ia sobre o ligamento i, sendo a força aplicada na origem do sistema de coordenadas O ia - x ia y ia z ia. Já os vetores F i,i e M i,i, representam, respectivamente, a força e o momento aplicados pelo ligamento i sobre o ligamento i, sendo a força aplicada na origem do sistema de coordenadas O i -x i y i z i. ssim, aplicando a terceira lei de Newton, a força e o momento aplicados pelo ligamento i sobre o ligamento i correspondem, respectivamente, a -F i,i e -M i,i. força gravitacional do ligamento é dada por m i g, onde m i é a massa do ligamento e g é o vetor, de dimensão 3x, ue representa a aceleração da gravidade. Os vetores r ia, i e r i, ci, bem como a obtenção da localização do centro de massa deste ligamento já foram explicados anteriormente. Por fim, admite-se conhecido o tensor de inércia do ligamento, I i, de dimensão 3x3, expresso no sistema de coordenadas O ci -x ci y ci z ci. Note ue este tensor de inércia independe da configuração do robô, sendo, portanto, constante. Ligamento i M ia,i x ia F ia,i r ia,i y i x i -F i,i y ia O ia z ia y ci x ci r i,ci O i z i -M i,i c i =O ci m i g z ci Figura 5.6-Diagrama de corpo livre do ligamento i. 88

58 No caso do ligamento i corresponder ao último ligamento de uma das cadeias seriais, os vetores F i,i e M i,i corresponderão aos esforços aplicados por este ligamento sobre o meio ambiente, ue no caso é o solo. Porém, como as forças externas foram desprezadas para determinar esta formulação dinâmica, estes vetores serão considerados nulos. plicando a euação de Newton, relacionada com o movimento de translação do centro de massa de um corpo rígido, para o ligamento em uestão: F ia, i = Fi, i mi g mi aci (5.5) gora, aplicando a euação de Euler, relacionada com o movimento de rotação de um corpo rígido em torno de seu centro de massa, obtém-se: M ( r r ) xf r xf I w w x( I w ) ia, i = M i, i ia, i i, ci ia, i i, ci i, i i & i i i i (5.5) matriz I i, de dimensão 3x3, corresponde ao tensor de inércia deste ligamento expresso em um sistema de coordenadas cuja origem está localizada no centro de massa, c i, e cuja orientação é a mesma do sistema de coordenadas O -x y z. Note ue esta matriz depende da orientação do ligamento i, podendo ser determinada a partir da matriz I i da seguinte forma (sada e Slotine, 986): i ( R ) t i I i R I i = (5.5) ssim, através das euações (5.5) e (5.5) pode-se obter recursivamente, para cada uma das cadeias seriais, os esforços aplicados em cada um dos ligamentos das pernas, partindo-se do último ligamento e caminhando em direção à base. No entanto, o ue se deseja obter são as forças generalizadas relacionadas com as articulações do robô, ou seja, τ τ L τ. Para isto serão desenvolvidas operações aritméticas adicionais,,, ue permitam o cálculo, a partir do vetor M ia,i, das forças generalizadas relacionadas com a articulação ue une os ligamentos i e ia. Como já 89

59 explicado, essa articulação pode possuir um ou dois graus de mobilidade, o ue leva a adoção de dois métodos diferentes para o cálculo das forças generalizadas. ao torue Caso a articulação seja a do joelho, a força generalizada corresponde τ j aplicado na direção do eixo z ia. Portanto, ela corresponde à componente z do vetor M ia,i expresso no sistema de coordenadas O ia -x ia y ia z ia, ou seja: j ia t [ ] ( ) M ia i τ = (5.53) R, Por outro lado, caso a articulação corresponda ao tornozelo ou ao uadril, as forças generalizadas corresponderão aos torues τ j e τ j aplicados, respectivamente, nas direções do eixo y ia e do eixo z do sistema de coordenadas resultante da rotação em torno do eixo y ia do sistema de coordenadas O ia -x ia y ia z ia, de um ângulo j. ssim, as forças generalizadas podem ser determinadas, a partir do vetor M ia,i, da seguinte forma: j ia t [ ] ( ) M ia i τ = (5.54) R, t ia t [ ] ( R ) ( R ) τ j = onde : Ryia, j = ( ) ( ) j ( ) ( ) j yia, j j j M ia, i (5.55) Computadas as euações dinâmicas dos ligamentos das pernas do robô, resta apenas aplicar as euações de Newton-Euler para o ligamento da base. Com esta finalidade o diagrama de corpo livre deste ligamento será analisado individualmente, como ilustrado pela figura 5.7. Os vetores -F,, - M,, -F,5 e -M,5, todos de dimensão 3x, estão relacionados com os esforços aplicados pelos ligamentos e 5 sobre o ligamento base. Já os vetores F B e M B, ambos de dimensão 3x, representam, respectivamente, a força e o momento aplicados no ligamento base do robô, ambos descritos no sistema de coordenadas O -x y z, e ue estão relacionados com as forças generalizadas 9

60 aplicadas a este ligamento. Os vetores X L e X R, como já explicado, descrevem as posições, respectivamente, dos sistemas O L -x L y L z L e O R - x R y R z R em relação ao sistema de coordenadas O -x y z. dmite-se conhecido o tensor de inércia do ligamento, I, de dimensão 3x3, expresso no sistema de coordenadas O -x y z. Ligamento -M, x L X L M B x F B X R -F,5 x R -M,5 y L -F, O L z L y m g C =O z y R O R z R Figura 5.7-Diagrama de corpo livre do ligamento base do robô. plicando as euações de Newton-Euler para este ligamento, obtémse: M B F B = F F m g m a (5.56),,5 c ( R X ) xf ( R X ) xf I w w x( I ) = M &, M,5 L, R,5 w (5.57) onde I é a matriz de tensor de inércia do ligamento base e ue pode ser calculado a partir da expressão (5.5). s forças generalizadas f, f, f correspondem às coordenadas x, y bx by bz e z do vetor F B, ue é obtido através da euação (5.56). Já as forças generalizadas n, n, n são determinadas decompondo o vetor M B, obtido a ϕ partir da euação (5.57), em cada uma das direções das coordenadas generalizadas relacionadas com a orientação deste ligamento. Este procedimento é feito da seguinte forma: [ ] M B n = (5.58) 9

61 n = onde : R n z, ϕ = onde : R y, t [ ] ( R ) = z, M ( ) ( ) ( ) ( ) B t [ ] ( R R ) = z, y, ( ) ( ) ( ) ( ) M B (5.59) (5.6) 5... Modelo da interação do robô com o solo Um modelo de interação entre os pés do robô e o solo será desenvolvido com a finalidade de se determinar a parcela U E da euação (5.36), completando a formulação dinâmica do robô. No entanto, realizar esta modelagem não é uma tarefa fácil, uma vez ue a interação entre o pé e o solo se dá através de uma superfície de contato ue é variável no tempo. Para resolver este problema, será utilizado o modelo de contato distribuído, proposto por Bruneau e Quezdou, (997), no ual a sola do pé é discretizada em n pontos. Desta forma, o problema anteriormente complexo, se resume num conjunto de pontos em contato com o solo ue é modelado através da utilização de elementos de molas e amortecedores ue simulam, respectivamente, a rigidez e o amortecimento do solo. Utilizando estes elementos, as forças externas, oriundas desta interação, dependem explicitamente do movimento relativo entre os dois corpos em contato, ou seja, dependem apenas do conhecimento das variáveis de estado do robô (as suas coordenadas generalizadas e sua derivada com relação ao tempo ue, no caso, correspondem aos vetores e & ). Para desenvolver o modelo de contato distribuído, ue é encarado como um fenômeno macroscópico, deve-se, primeiramente, analisar o seu modelo de contato local, ou seja, de um ponto de contato individual. ntes de 9

62 partir para a modelagem propriamente dita, algumas considerações serão feitas: superfície do ambiente, na ual o robô caminhará, é conhecida e está descrita no sistema de coordenadas O -x y z. Não há escorregamento no ponto de contato. maneira pela ual um ponto do pé, denominado de p i, interage com o solo, bem como o sistema de coordenadas local, necessário para o desenvolvimento deste modelo, estão ilustrados na figura 5.8. x i y i O i p i z i Figura 5.8- Interação do ponto p i do pe com o solo. O sistema de coordenadas O i -x i y i z i, fixo a este ponto, foi definido de forma ue o eixo x i esteja na direção normal ao solo e o plano y i -z i esteja paralelo à direção tangencial deste contato. Molas e amortecedores, ambos lineares, são utilizados nas direções dos eixos y i e z i. ssim, as forças aplicadas nas direções destes eixos são dadas por: 93

63 f yi & = k yi c yi (5.6) f zi = k zi c zi (5.6) onde k e c são, respectivamente, as constantes de rigidez e amortecimento na direção tangencial do contato. & força tangencial aplicada a este ponto é dada por: f = f f (5.63) ti yi zi gora, para a sua direção normal, optou-se por utilizar um amortecedor não linear, conforme sugerido por Bruneau e Quezdou, (997), em detrimento do seu correspondente linear. Isto se deve ao fato do uso deste elemento linear introduzir algumas deficiências ao modelo de contato, dentre elas: ) a força de contato ser descontínua no momento do impacto, sendo ue o correto seria começar do zero e aumentar posteriormente e ) no momento de separação dos corpos em contato, a velocidade relativa entre eles será negativa o ue proporcionará uma força de atração. Utilizando o amortecimento não linear sugerido, a força aplicada no pé, na direção normal ao contato, é dada por: m ( xi ) xi c f ni = f xi = k xi c & (5.64) onde k e c são, respectivamente, as constantes de rigidez e amortecimento na direção normal, x i representa a profundidade de contato e m c é o coeficiente ue define a influência da variável x i na dissipação da energia. Com a adoção deste elemento não linear, a dissipação de energia durante o contato ficou mais coerente fisicamente, podendo ser explicada da seguinte forma: uanto maior a profundidade de contato, maior será a interação entre os corpos o ue aumenta a importância da força visa. partir das euações (5.6), (5.6) e (5.64) é possível calcular a força externa aplicada no ponto p i, descrita no sistema de coordenadas local fixo ao ponto, finalizando, assim, o modelo de contato local. No entanto, já pensando 94

64 no modelo macroscópico, é mais interessante descrever esta força no sistema de coordenadas O -x y z, ue pode ser encarado como um sistema global. Isto é feito a partir do conhecimento da transformação de coordenadas entre o sistema local e o global ue, levando em conta a primeira consideração feita para esta modelagem, pode ser obtida facilmente. gora, para calcular as forças externas oriundas da interação do robô com o solo, basta aplicar, para cada um dos pontos pertencentes às solas dos pés e ue estão em contato com o solo, o modelo local desenvolvido anteriormente. Já para os demais pontos ue não estão em contato com o solo, as forças externas são consideradas nulas. Determinadas estas forças, descritas no sistema de coordenadas O -x y z, pode-se analisar, de uma forma macroscópica, a interação do pé com o solo calculando a sua força de reação da seguinte forma: F x = n i= f x i F y = n i= f y i F z = n i= f z i (5.65) onde F x, F y e F z são as componentes x, y e z do vetor força de reação, F, aplicado no pé analisado. s forças aplicadas nas direções normal e tangencial são dadas por: F = F e F = F F (5.66) n x t y z partir das euações (5.65) e (5.66) é possível determinar, a partir da lei de atrito de Coulomb, se o pé, visto de uma forma macroscópica, escorrega em relação ao solo, verificando, assim, se a hipótese de não escorregamento utilizada para realizar a modelagem está sendo respeitada. força externa, aplicada em um destes pontos pertencentes à sola do pé, pode ser relacionada com as forças generalizadas do robô através do transposto da matriz Jacobiana de velocidade linear deste ponto, conforme demonstrado por sada e Slotine, (986). Desta forma, a parcela U E, gerada por todas as forças externas aplicadas no robô, pode ser obtida da seguinte forma: 95

65 U E = n i= Jv t i ( ) f i (5.67) onde Jv i (), de dimensão 3x6, representa a matriz Jacobiana de velocidade linear do i-ésimo ponto de contato e, f i, de dimensão 3x, o vetor de força externa aplicada a este ponto, sendo ue ambos estão descritos no sistema de coordenadas O -x y z. Definindo-se as seguintes matrizes K e F ext, de dimensões 3 nx, respectivamente: 6x3 n e t t t [( Jv ), ( Jv ), L ( Jv ) ] K = f = f Fext M f, n n e (5.68) euação (5.67) pode ser reescrita da seguinte forma: U = K (5.69) E F ext ssim, finaliza-se a construção de um modelo simples e de fácil aplicação, baseado em forças distribuídas de contato, ue é capaz de simular a interação do robô com o solo, desde ue não haja escorregamento entre as superfícies em contato. O modelo desenvolvido anteriormente pode ser aplicado, genericamente, para ualuer tipo de solo. No entanto, para realizar a simulação numérica da dinâmica deste robô, escolheu-se um solo cuja superfície é plana. figura 5.9 ilustra a interação do pé do robô com esta superfície plana, bem como o sistema de coordenadas global. 96

66 x y O z P 4 P 3 P 5 P P Figura 5.9- Interação do pé do robô com a superfície plana do solo. penas cinco pontos são utilizados para definir a interação entre a sola do pé e o solo (n=5). Já o sistema global O -x y z, fixo a este solo, foi definido de forma ue o eixo x esteja na direção normal a este plano. Para aplicar o modelo de contato local, será escolhido um sistema local ue possua a mesma orientação do sistema global, o ue é possível devido ao solo escolhido. Feita esta consideração, a força aplicada a este ponto será calculada em relação ao sistema global e de forma a considerar a condição de contato. ssim, para este caso, as euações (5.6), (5.6) e (5.64), ue descrevem as componentes x, y e z da força aplicada a este ponto, descrita no seu sistema local, serão substituídas pela seguinte expressão: f xi k x = i c ( x ) i m c x& i x i x i < f f yi zi ( yi yci ) c y& i = k (5.7) ( zi zci ) c z& i = k onde y ci e z ci representam, respectivamente, as coordenadas y e z deste ponto, descrito no sistema global, no momento do contato. 97

67 ssim, o modelo do meio ambiente a ser utilizado na simulação numérica deste robô bípede fica determinado Dinâmica Direta partir da formulação dinâmica, desenvolvida no item anterior, é possível realizar a simulação dinâmica do sistema, ou seja, fornecidos os torues aplicados pelos atuadores, calcular a evolução temporal das variáveis de estado do robô (vetores x e x& ). Para isto, basta reescrever a euação dinâmica do robô (5.36) na forma: onde o vetor b ( x x& ) ( x) ( U U b( x x) ) & x = H & E,,, de dimensão 6x, é dado por: ( x x& ) = C( x, x& ) G( x) (5.7) b, (5.7) e, supondo conhecidas as condições iniciais do sistema ( ) e x( ) x &, utilizar um procedimento de integração numérica para determinar a evolução temporal de suas variáveis de estado. Note ue, para resolver a euação (5.7), é necessário o conhecimento dos vetores x e x& e do vetor de forças generalizadas, U, cujos seis primeiros elementos são nulos devido ao fato da base do robô ser móvel. Explicada a forma pela ual se realiza a simulação dinâmica do robô, resta apenas determinar as parcelas H ( x) e b( x, x& ) U E, a partir da formulação dinâmica já desenvolvida. parcela U E será determinada utilizando-se o modelo de interação do robô com o solo desenvolvido no subitem 5... Para isso, basta substituir (5.69) em (5.38), resultando: U E = M U = M K F (5.73) E ext 98

68 gora, para determinar as matrizes M e K, bem como o vetor F ext é necessário o conhecimento dos vetores e & ue podem ser facilmente obtidos a partir dos vetores conhecidos x e x&. Já as parcelas H ( x) e b( x x& ), serão obtidas numericamente a partir de um método ue utiliza a dinâmica inversa do robô desprezando as forças externas oriundas de sua interação com o solo, como proposto por Fujimoto, (998). Neste caso, a dinâmica inversa consiste em calcular o vetor U de forças generalizadas ao ser fornecida a trajetória do robô (vetores x, x& e & x ). sua obtenção pode ser explicada pela seguinte seüência de passos:. Cálculo dos vetores, & e & a partir dos vetores fornecidos x, x& e & x. plicar a formulação dinâmica recursiva de Newton-Euler para o cálculo do vetor U de forças generalizadas escrito no espaço das coordenadas das articulações. 3. Determinação do vetor U a partir da aplicação direta da euação (5.38). matriz de inércia, H ( x), pode ser calculada resolvendo o problema da dinâmica inversa para as seguintes entradas: g = x& = && x = onde [ t ] [ L t ] t [ L e L ] e j = nulando-se a aceleração da gravidade e a derivada do vetor de coordenadas generalizadas, o vetor b ( x x& ) j, e, também é anulado, ou seja, os esforços gravitacionais, de Coriolis e centrífugos são desprezados. gora, a derivada segunda das coordenadas generalizadas corresponde a um vetor de entrada degrau, no ual o j-ésimo elemento é unitário e os demais são nulos. Desta forma, ao se aplicar a dinâmica inversa para estas entradas, o vetor U de forças generalizadas obtido corresponde a j-ésima coluna da matriz H ( x). Para determinar o vetor b ( x x& ),, novamente a dinâmica inversa é calculada, porém, agora, os esforços de inércia são desprezados (vetor & x& é considerado nulo) e os vetores x e x& correspondem àueles utilizados para 99

69 calcular a dinâmica direta. ssim, o vetor U de forças generalizadas obtido corresponde ao vetor b ( x x& ),. Finaliza-se, assim, o desenvolvimento do simulador dinâmico do robô baseado na formulação dinâmica apresentada no subitem 5... Como já mencionado, este simulador será utilizado para avaliar os diferentes tipos de controladores a serem implementados Dinâmica Inversa Neste subitem será estudado o problema da dinâmica inversa no ual, fornecida a trajetória do robô (vetores x, x& e & x ), determinam-se os torues necessários nos atuadores e os esforços oriundos da interação com o solo. Essa dinâmica é bastante útil para avaliar o comportamento do mecanismo uando o mesmo executar uma marcha conhecida, tornando-se, assim, uma ferramenta importante, juntamente com o protótipo a ser desenvolvido, para o estudo e entendimento dos diferentes tipos de marchas humanas existentes. lém disto, esta dinâmica pode ser utilizada para o desenvolvimento de uma lei de controle ue se baseia na eliminação das não linearidades do sistema dinâmico do robô. No entanto, este tipo de controle abre uestões a respeito da robustez do sistema e da necessidade de computar esta dinâmica, ue é bastante complexa, em tempo real. No subitem 5.. determinou-se, baseado na formulação dinâmica recursiva de Newton-Euler, a forma pela ual se calcula a dinâmica inversa do robô ao se desprezar as forças externas oriundas de sua interação com o solo. Esta específica dinâmica inversa será utilizada para calcular o lado esuerdo da euação dinâmica do robô (5.36), ou seja, determinar o vetor de forças generalizadas oriundo dos esforços de inércia, gravitacionais, centrífugos e de Coriolis. Denominando este vetor de T e utilizando a expressão (5.73), a euação dinâmica do robô pode ser reescrita da seguinte forma: T = U M K Fext (5.74)

70 obtenção da matriz K será um pouco diferente dauela utilizada no subitem 5... Neste caso, esta matriz será construída utilizando as matrizes Jacobianas de velocidade linear apenas dos pontos ue estão efetivamente em contato com o solo, de forma a evitar a obtenção de forças externas aplicadas em pontos ue não estejam em contato com o solo. ssim, para o desenvolvimento da dinâmica inversa, as matrizes K e F ext são de dimensões 6 x3 p e 3 px, respectivamente, onde p é o número de pontos em contato com o solo. Denominando o produto matricial M K, de dimensão 6 x3 p, de S e reescrevendo a euação (5.74) de forma a diferenciar as forças generalizadas relacionadas com os atuadores dauelas relacionadas com o ligamento base do robô, obtém-se: TB U = T τ U B τ S S B τ F ext (5.75) onde T B e S B são de dimensões 6x e 6x3p, respectivamente e: U B [ f, f, f, n, n n ] t = (5.76) bx by bz, [ τ τ, L τ ] t Uτ α, α, α ϕ = (5.77) Devido ao fato da base ser móvel e livre de atuação, as forças generalizadas relacionadas com este ligamento são nulas, ou seja, o vetor U B pode ser considerado nulo. ssim, a euação (5.75) pode ser reescrita da seguinte forma: T B = S F (5.78) B ext Tτ = Uτ Sτ (5.79) F ext través da euação (5.78) o vetor de forças externas pode ser determinado da seguinte forma: F ext = t t ( S B S B ) S B TB (5.8)

71 Obtido o vetor de forças externas, as forças generalizadas relacionadas com os atuadores, vetor da seguinte forma: U τ, pode ser determinado a partir da euação (5.79) Uτ = Tτ Sτ (5.8) F ext

72 6. Controle do Robô Bípede 6..Introdução O problema de controle para o robô bípede em uestão consiste em determinar os ais de entrada dos atuadores necessários para ue o mesmo execute uma marcha pré-estabelecida. ssim, o controle a ser adotado para o robô pode ser dividido em duas etapas (figura 6.): ) determinação da trajetória de referência e ) controle propriamente dito responsável pelo acompanhamento da trajetória. Convém mencionar ue esse tipo de controle adotado, ue é relativamente simples, já foi utilizado por diversos trabalhos, dentre eles, Shih, 996, Park e Rhee, 998, Parseghian,, e zevedo et al., 3. Sinais tuadores Trajetória de Referência Controle Robô Bípede Sensores Figura 6.- Controle adotado para o robô: acompanhamento de uma trajetória de referência. Com relação à primeira etapa, a trajetória de referência a ser adotada corresponderá a uma marcha humana real cujos dados serão previamente obtidos através de um laboratório de marcha. Note ue uma correspondência cinemática deverá ser feita entre os dados auisitados pelo laboratório de marcha e o modelo utilizado pelo robô bípede. Esta trajetória de referência adotada atende o objetivo do trabalho, porém, devido ao fato de se ter considerado apenas os membros inferiores para a construção do robô, ela não garante o euilíbrio do robô o ue impossibilita o seu uso para a realização de uma simulação numérica com o intuito de avaliar o controlador a ser implementado e, ao mesmo tempo, testar o modelo dinâmico desenvolvido 3

73 para robô. ssim, apenas com o intuito de realizar essa simulação numérica, será desenvolvida uma ferramenta para o planejamento de uma trajetória ue garanta a estabilidade do robô. Para realizar o projeto do controlador do robô será adotada uma estratégia de controle bastante simples denominada de controle independente por junta, conforme sugerido por Spong e Vidyasagar, (989). Nesse tipo de controle, cada um dos atuadores será controlado como se fosse um sistema SISO de forma a tratar como perturbações os efeitos provenientes das não linearidades associadas à dinâmica do robô. Entretanto, para ue este controlador possua um bom desempenho de acompanhamento de referência, é aconselhável a utilização de redutores na saída dos atuadores com a finalidade de atenuar o efeito destas perturbações. Caso o acionamento seja direto, essas não linearidades terão um efeito significativo e, considerá-las apenas como perturbações provocará, provavelmente, grandes erros de acompanhamento de referência. malha de controle do sistema SISO, utilizada para realizar o projeto do controlador para cada um dos atuadores do robô bípede, está ilustrada pela figura 6.. Como já explicado, o objetivo do controlador a ser projetado é o acompanhamento do al de referência. No entanto, a presença de perturbações, mesmo atenuadas pela utilização de redutor na saída do atuador, influencia na saída do sistema. Dessa forma, o controlador a ser projetado deve, também, ser capaz de rejeitar estas perturbações. Perturbação Trajetória - Controle tuador Saída Sensor Figura 6.- Malha de controle do sistema SISO utilizado para o projeto do controlador. 4

74 Convém mencionar ue esta malha de controle SISO será utilizada apenas para a escolha do controlador do robô bípede. simulação numérica do robô e, portanto, a avaliação desse controlador será feita a partir da malha de controle ilustrada pela figura tuador O atuador escolhido para ser utilizado no robô bípede é o motor de corrente contínua (DC) ue, pelo fato de ser facilmente controlado, é amplamente utilizado na área da robótica. Neste subitem, primeiramente será determinada a modelagem dinâmica deste motor DC. Na seüência, será feita a inclusão destes atuadores no modelo dinâmico do robô bípede desenvolvido no capítulo anterior Modelo Dinâmico do tuador Considere um motor de corrente contínua acionando uma carga através de uma redução por engrenagens. Desprezando a indutância da armadura, obtém-se o seguinte sistema: I a R a c T c V E T m J m m B m Figura 6.3- Motor DC acionando uma carga através de uma redução. onde: V: voltagem da armadura R: resistência da armadura E: tensão contra eletromotriz 5

75 I a : corrente da armadura J m : momento de inércia do motor B m : coeficiente de atrito viso do motor T m : torue aplicado no eixo do motor m : posição angular do eixo do motor T c : torue aplicado no eixo da carga c : posição angular do eixo da carga r =, sendo r o fator de redução. m c Para a armadura do motor DC pode-se escrever: V = R I a E (6.) Escrevendo a euação de movimento do sistema, obtém-se: J m & B & = T r T (6.) m m m m c tensão contra eletromotriz e o torue do motor são proporcionais, respectivamente, a velocidade angular do eixo do motor e a corrente de armadura, sendo dadas por: E = & (6.3) K b m T m = K I (6.4) m a onde K m é a constante de torue e K b é a constante de voltagem. Substituindo (6.3) e (6.4) em (6.) e (6.), respectivamente, e, na seüência, eliminando a corrente da armadura destas duas euações, obtémse a euação dinâmica do motor DC: J K K K m b m m & m Bm & m = V r Tc (6.5) R R 6

76 plicando-se a transformada de Laplace na euação (6.5): K m Kb K m s J m s Bm m () s = V () s r Tc () s (6.6) R R Na forma de diagrama de blo: r T c () s V () s K m R J m s B m K m K R b s m () s Figura 6.4- Diagrama de blo do motor de corrente contínua. Finaliza-se, assim, o modelo dinâmico do atuador ue será utilizado na malha de controle ilustrada pela figura 6.. Note ue o al a ser utilizado para controlar este motor DC será a voltagem da armadura e, ue a perturbação do sistema corresponde ao termo r Tc, ficando clara a influência do redutor na atenuação do efeito da carga sobre o motor. Por fim, vale mencionar ue, ao se conectar este atuador no robô, as variáveis c e T c, referentes à carga acionada, serão euivalentes, respectivamente, à coordenada generalizada α e à força generalizada τ α Inclusão dos atuadores no modelo dinâmico do robô bípede Neste subitem será determinado o modelo dinâmico completo do robô bípede através da inclusão dos atuadores no modelo desenvolvido no capítulo anterior. partir deste modelo será possível realizar a simulação numérica do robô e, portanto, avaliar o controlador a ser implementado. Reescrevendo a euação de movimento do robô bípede, dada pela expressão (5.36), de tal forma a considerar apenas as forças generalizadas relacionadas com os atuadores, obtém-se: 7

77 6 j= h ( x ) & j x j ck 6 ( x j x& j ) g k 6 ( x j ) = uk 6 u E( k 6) ( k 6) j,, k=,,..., (6.7) onde o índice k indica a numeração dos atuadores do robô. Note ue os elementos x k 6 e u k 6 correspondem, respectivamente, à coordenada generalizada α k e à força generalizada τ αk. euação dinâmica do atuador k é dada por: J mk & K mk K bk K mk mk B & mk mk = Vk rk uk 6 (6.8) Rk Rk Dividindo a euação (6.8) pelo fator de redução r k e usando a seguinte relação: obtém-se: x k k 6 mk = (6.9) rk rk = α r k J mk K mk K bk K mk & x 6 k Bmk x& k 6 = Vk uk 6 (6.) rk Rk rk Rk Substituindo (6.) em (6.7), obtém-se: r k 6 J && mk xk 6 h( k 6) j k j= rk Rk rk Rk k=,,.., (6.) K mk K bk K mk ( x ) && 6 (, ) 6 ( ) j x j ck x j x& j g k x j Bmk x& k 6 = Vk u E( 6) euação (6.) representa a parcela da euação dinâmica do robô referente ao movimento dos atuadores uando a dinâmica dos mesmos é considerada. Reescrevendo-a na forma matricial e adicionando a parcela referente ao movimento do ligamento base do robô (bacia), obtém-se a 8

78 seguinte euação de movimento do robô ue inclui a dinâmica de seus atuadores: por: ( H ( x) J M ) x& C( x x& ) BM x& G( x) = Q U E &, (6.) onde: Q é o vetor de forças generalizadas, de dimensão 6x, sendo dado Q K m m m = f bx, fby, fbz, n, n, nϕ, V, V, L, V r R r R r R Note ue a força generalizada r K k mk R k V k K K possui unidade de torue. t J M é uma matriz diagonal, de dimensão 6x6, cujos seis primeiros elementos diagonais são nulos e os demais euivalem a k=,,...,. r k J mk, com B M é uma matriz diagonal, de dimensão 6x6, cujos seis primeiros elementos diagonais são nulos e os demais euivalem a r k B mk K mk R K k bk, com k=,,...,. Os demais termos desta euação correspondem com aueles definidos pela euação (5.36) Projeto do Controlador O procedimento de projeto a ser utilizado é bastante simples e consiste em controlar cada um dos atuadores de forma independente, considerando o termo não linear r Tc, ue aparece na euação dinâmica do atuador (6.5) e ue representa o efeito das não linearidades associadas à dinâmica do robô, como uma perturbação. grande vantagem desta abordagem é ue a lei de controle será derivada a partir de um modelo SISO e linear. 9

79 Conforme já mencionado, o controlador a ser projetado deve atender a dois objetivos: acompanhamento de referência e rejeição de perturbação. Um controlador simples e ue atende de forma satisfatória estes dois objetivos é o controlador PID. Para este caso o sistema será do tipo, ou seja, o controlador garantirá, em regime estacionário, acompanhamento exato de referência para uma entrada degrau ou rampa. lém disto, ele é capaz de rejeitar uma perturbação constante (degrau). Para este tipo de controlador a lei de controle é dada por: V K = p D d m (6.3) s I () s K K s ( () s () s ) onde K p, K D e K I são os ganhos proporcional, derivativo e integrativo, respectivamente, já as variáveis d (s) e m (s) representam, respectivamente, o al de referência e a posição angular do eixo do motor. O diagrama de blo do sistema com o controlador PID está ilustrado pela figura 6.5. ( ) s d - K I s K P K m R r T c(s) ( J m s K m K b B m s R ( s) m s K D Figura 6.5- Sistema em malha fechada com a utilização de um controlador PID. Considerando a perturbação nula (T c =), obtém-se a seguinte função de transferência para as variáveis d (s) e m (s):

80 () () ( ) () s K s K s K R K s s I D p m d m Ω = (6.4) onde () s Ω é o polinômio característico da malha fechada: () ( ) R K K s R K K s K K R K B s J s I m P m D b m m m = Ω 3 (6.5) gora, considerando nulo o al de referência ( d ), a função de transferência entre as variáveis T c (s) e m (s) é dada por: () () () s s r s T s c m Ω = (6.6) O erro de acompanhamento de trajetória, E(s), é dado por: () () () () () () () () s T s s r s s s R K K B s J s E s s s E c d b m m m m d Ω Ω = = 3 (6.7) partir da euação (6.7) fica claro ue o sistema é do tipo para o al de referência e do tipo para a perturbação, como já comentado. Por fim, resta apenas avaliar a estabilidade deste sistema em malha fechada. plicando o critério de Routh a este polinômio característico, concluíse ue o sistema será estável se os ganhos forem positivos e se a seguinte condição for respeitada: ( ) m P D b m m I J K K K R K B K < (6.8)

81 6.4. Planejamento de Trajetória Nesse subitem será realizado o planejamento da trajetória de referência do robô bípede de forma a garantir a sua estabilidade. Conforme já mencionado, esse planejamento será efetuado apenas com o objetivo de realizar a simulação numérica do robô e, dessa forma, avaliar o controlador projetado. ssim, das diversas formas possíveis de se realizar a síntese de uma marcha de referência, será escolhida a mais simples. Existem dois tipos de critérios de estabilidade utilizados para planejar a trajetória do robô bípede. O primeiro, conhecido como critério de estabilidade estática, consiste em garantir ue a projeção do centro de massa do robô esteja dentro da região de suporte dos pés (Shih, 996). Essa região de suporte pode ser entendida como o polígono formado pelos pontos, pertencentes aos pés do robô, ue estão efetivamente em contato com o solo (Huang et al., ). Note ue para adotar esse critério, o movimento do robô deve ser lento o suficiente para ue as forças de inércia não afetem a sua estabilidade. O segundo critério, conhecido como critério de estabilidade dinâmica, consiste em garantir ue um ponto denominado de ponto de momento zero, cuja sigla em inglês é ZMP, esteja na região de suporte dos pés. O ZMP, introduzido por Vukobratovic e Juricic, (969), corresponde ao ponto, localizado no plano do solo, no ual as forças ativas ue agem sobre o mecanismo do robô durante o seu movimento, ou seja, as forças de inércia, gravitacional, centrífugas e de Coriolis, podem ser reduzidas a uma resultante e a um momento cujas componentes horizontais (paralelas ao plano do solo) sejam nulas. Mantendo o ZMP na região de suporte, garante-se ue a força de reação do solo compensará as forças ativas oriundas do movimento do robô, preservando, assim, seu balanço dinâmico (Vukobratovic e Boravac, 4). Convém mencionar ue o primeiro critério de estabilidade corresponde a um caso particular do critério dinâmico, ou seja, uando o movimento do robô é bastante lento, o ponto de momento zero coincide com a projeção do seu baricentro. Na marcha estática, ou seja, auela ue utiliza o critério estático de estabilidade, o robô está sempre em uma posição estável, isto é, se, em algum instante, o movimento for interrompido, o robô não cairá. Normalmente, este

82 tipo de marcha é adotado em situações particulares, como por exemplo, subindo e descendo escadas ou em regiões cujo solo torna o caminhar muito instável (zevedo et al., 3). O planejamento desse tipo de marcha é relativamente simples e consiste, basicamente, em um problema de cinemática de posição, no ual a trajetória do centro de massa do robô é determinada de tal forma a respeitar o critério de estabilidade estática. Diversos trabalhos, dentre eles, Zheng e Shen, 99, Shih e Chiou, 998, Parseghian,, e zevedo et al., 3, desenvolveram métodos para realizar o planejamento da marcha estática. Já na marcha dinâmica, o corpo do robô está continuamente caindo para frente, sem, entretanto, perder a sua estabilidade (zevedo et al., 3). Caso o seu movimento seja interrompido, diferentemente do ue ocorre na marcha estática, o robô cairá. O planejamento desse tipo de marcha corresponde a um problema dinâmico, o ue o torna, uando comparado com o planejamento estático, bem mais complexo. Takanashi et al., 985, Shih, 996, Hirai et al., 998, Park e Rhee, 998, Dasgupta e Nakamura, 999, e Huang et al.,, desenvolveram métodos, baseados no ponto de momento zero (ZMP), para realizar a síntese de uma marcha ue garanta a estabilidade dinâmica do robô bípede. lém do critério de estabilidade, para realizar o planejamento de uma trajetória de referência, alguns critérios de otimização podem ser utilizados (Wollherr et al., 3, Roussel et al., 998 e Chevallereau et al., 998), bem como algumas similaridades com a marcha humana podem ser impostas (zevedo et al., 3). Para o projeto em uestão, o critério de estabilidade estática, por ser o mais simples, será escolhido para realizar o planejamento da trajetória de referência do robô. Convém mencionar ue, para garantir a simplicidade do planejamento, a obtenção dessa trajetória não será baseada em dados antropomórfi e nem em critérios de otimização. O método denominado de planejamento no espaço das coordenadas generalizadas, ue é amplamente utilizado para robôs manipuladores, será adotado. Esse método consiste em especificar o movimento do robô como uma seüência de pontos no espaço cartesiano (posição e orientação) através dos uais ligamentos ou posições relevantes do robô deverão passar. Cada um desses pontos, chamados de pontos de passagem, é convertido nas coordenadas generalizadas do robô utilizando-se da cinemática inversa. Na 3

83 seüência, para cada uma dessas coordenadas generalizadas, uma função suave é interpolada de forma a passar por todos os pontos de passagem. Essas funções suaves devem ser entendidas como funções contínuas com primeiras derivadas também contínuas. adoção dessas funções garante um movimento suave para o robô, reduzindo, assim, vibrações e desgaste mecânico do mesmo. Para o robô bípede em uestão, esses pontos de passagem serão escolhidos para as posições e orientações de ambos os pés e para a posição do baricentro do robô. Para simplificar esse planejamento, os pés do robô, durante toda o ciclo de marcha, serão paralelos ao chão. Note ue, devido ao fato da marcha do robô bípede ser cíclica e simétrica, é suficiente definir esses pontos de passagem apenas para um passo do robô. Para isso, o passo do robô foi dividido em uatro fases, como ilustrado pela figura 6.6. O ponto vermelho corresponde à localização do centro de massa do robô, já as variáveis S e H representam, respectivamente, o tamanho do passo do robô e a altura máxima atingida pelo pé em balanço. fase I corresponde à etapa de apoio duplo na ual os dois pés estão em contato com o solo. Já as três fases restantes correspondem à etapa de apoio simples na ual apenas um pé do robô, denominado de pé de apoio, está em contato com o solo. Na etapa de apoio duplo, o centro de massa do robô é deslocado, lateralmente e para frente, de tal forma ue a sua projeção, anteriormente localizada sobre o pé de apoio do passo anterior, esteja, agora, localizada sobre o outro pé ue, nesse passo, será o de apoio. fase II corresponde o momento no ual a perna em balanço deixa o solo. Na fase seguinte, o pé em balanço move-se para frente atingindo a sua altura máxima (H). Por fim, na fase IV, o pé em balanço entra, novamente, em contato com o solo, finalizando a etapa de apoio simples. gora, com relação a duração do movimento do robô, deve-se lembrar ue, devido ao critério de estabilidade adotado, esse movimento deve ser relativamente lento, restringindo, assim, a escolha de sua duração. duração do movimento do robô é determinada a partir da escolha da duração das etapas de apoio simples (Ts) e de apoio duplo (Td). Utilizando-se da classe de funções contínuas splines, a trajetória de referência do robô bípede foi planejada para os seguintes parâmetros: S=,6m, H=,4 m, Ts=s e Td=s. trajetória de referência obtida para dois 4

84 passos do robô, descrita em termos de funções no tempo das posições angulares dos atuadores, está ilustrada pelas figuras 6.7 e 6.8. Já a trajetória do centro de massa do robô bípede, descrita pelo sistema de coordenadas O - x y z, está ilustrada pela figura 6.9. Note ue, nessa mesma figura, com o objetivo de avaliar a margem de estabilidade do robô, a sua região de estabilidade foi desenhada para as coordenadas y e z do centro de massa do robô. Por fim, a figura 6. ilustra a orientação da bacia do robô, descrita no sistema fixo ao solo, durante a execução da trajetória de referência. Plano Sagital S H Figura 6.6- Pontos de passagem utilizados para o planejamento de trajetória. 5

85 .6 tuador (alfa).3 tuador (alfa).3 tuador 3 (alfa3) posicao angular(rad) posicao angular(rad) posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) tempo (s).5 tuador 4 (alfa4).3 tuador 5 (alfa5).4. posicao angular(rad).3.. posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) Figura 6.7- Trajetórias para os cinco primeiros atuadores..3 tuador 6 (alfa6).6 tuador 7 (alfa7).3 tuador 8 (alfa8) posicao angular(rad) posicao angular(rad) posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) tempo (s).3 tuador 9 (alfa9).5 tuador (alfa)..4 posicao angular(rad) posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) Figura 6.8- Trajetórias para os cinco atuadores restantes. 6

86 Posicao (m) Baricentro-coordenada x tempo (s) Posicao (m) Baricentro-coordenada y Regiao de estabilidade (limite superior) Regiao de estabilidade (limite inferior) tempo (s) Baricentro-coordenada z. Regiao de estabilidade (limite superior) Posicao (m) Regiao de estabilidade (limite inferior) tempo (s) Figura 6.9- Trajetória do centro de massa do robô bípede. Orientaçao da bacia do robô - Orientaçao da bacia do robô - posicao angular (graus) tempo (s) posicao angular (graus) tempo (s) Orientaçao da bacia do robô - ϕ posicao angular (graus) tempo (s) Figura 6.- Orientação da bacia durante a execução da trajetória de referência. 7

87 6.5. Simulações Com o intuito de avaliar o desempenho do controlador proposto, utilizou-se o Simulink do software Matlab para realizar a simulação numérica do sistema em malha fechada. figura 6. ilustra esse sistema. trajetória de referência adotada para os atuadores é auela planejada no subitem 6.4. Note ue, para realizar a realimentação do sistema em malha fechada, é necessário apenas a medição das posições angulares dos atuadores. Entretanto, para avaliar de ue forma o robô bípede está evoluindo durante a execução de sua marcha, outras variáveis serão mensuradas. Para determinar de ue forma o robô está interagindo com o solo, as forças de reações serão avaliadas. Já para determinar a orientação do robô como um todo, a orientação de sua bacia, descrita pelos ângulos de Euler, será mensurada. Por fim, o centro de massa, ue é importantíssimo para avaliar a estabilidade do robô, será determinado a partir da aplicação da cinemática direta do robô. F ext Orientação Trajetória Referência Controlador Robô Bípede x, x& e F ext X atuadores Cinemática Direta Figura 6.- Sistema em malha fechada. Os parâmetros necessários para realizar essa simulação serão apresentados no subitem Por fim, os resultados serão apresentados no subitem

88 6.5.. Parâmetros Parâmetros do robô Os parâmetros dimensionais estão apresentados na tabela 3. Os parâmetros referentes ao mecanismo paralelo são comuns aos mecanismos do tornozelo e do uadril. Parâmetro Descrição Valor Dimensão referente ao mecanismo 6* -3 m B Dimensão referente ao mecanismo 68,4* -3 m C Dimensão referente ao mecanismo 3* -3 m L Dimensão referente ao mecanismo 6* -3 m l Comprimento da pélvis * -3 m l Comprimento da coxa 66* -3 m l 3 Comprimento da perna 74* -3 m l 4 Distância entre tornozelo e ponta do pé * -3 m 6* -3 m l Comprimento do pé 9* -3 m Bl Largura do pé 3* -3 m d 34* -3 m Tabela 3. Parâmetros dimensionais do robô. Os parâmetros relacionados com as inércias de translação e de rotação dos ligamentos do robô estão apresentados na tabela 4. Devido ao fato do robô ser simétrico, esses parâmetros são fornecidos apenas para os primeiros uatro ligamentos. Parâmetro Descrição Valor m Massa do ligamento 84* -3 Kg m Massa do ligamento 37* -3 Kg m 3 Massa do ligamento 3 4* -3 Kg m 4 Massa do ligamento 4 3* -3 Kg 9

89 r Posição do centro de massa do, c ligamento descrito no sistema de coordenadas O -x y z 3 r Posição do centro de massa do 3, c3 ligamento 3 descrito no sistema de coordenadas O 3 -x 3 y 3 z 3 4 r Posição do centro de massa do 4, c4 ligamento 4 descrito no sistema de [,7;;] m [,8;;] m [,7;,;] m X L X R coordenadas O 4 -x 4 y 4 z 4 Posição do sistema O L -x L y L z L em relação ao sistema O -x y z Posição do sistema O R -x R y R z R [,86;;-l /] m [,86;;l /] m em relação ao sistema O -x y z I Tensor de inércia do ligamento descrito no sistema O -x y z 98 4,8 3 4 Kgm I Tensor de inércia do ligamento descrito no sistema O c -x c y c z c Kgm I Tensor de inércia do ligamento 3 3 descrito no sistema O c3 -x c3 y c3 z c Kgm I Tensor de inércia do ligamento 4 4 descrito no sistema O c4 -x c4 y c4 z c Kgm Tabela 4. Parâmetros relacionados com as inércias do robô. Parâmetros dos motores Baseado na resolução da dinâmica inversa do robô para a trajetória de referência planejada, selecionou-se o motor CC da Maxon Motors, modelo 3, número para todos os graus de liberdade ativos do robô. Uma redução por engrenagens foi utilizada na saída desses motores e cujo fator de redução corresponde a r=.5. Os parâmetros desse motor estão apresentados na tabela 5.

90 Parâmetro Descrição Valor J m momento de inércia do motor 4,4* -7 Kgm B m coeficiente de atrito viso do motor,9* -7 Nms/rad K m constante de torue 4,e-3 Nm/ K b constante de voltagem 4,e-3 V/rad R resistência da armadura,99 Ω V max Voltagem máxima permitida para o V motor Tabela 5. Parâmetros do motor. Parâmetros do meio Os parâmetros do meio serão definidos de forma a garantir ue a máxima interferência entre o pé do robô e o solo seja de 5 e milímetros, respectivamente, nas direções normal e tangencial. partir de simulações numéricas realizadas para robô, escolheram-se os seguintes parâmetros: Parâmetro Descrição Valor k Rigidez na direção normal N/m c mortecimento na direção normal 5 Ns/m m c Influência da profundidade de contato,4 na dissipação de energia k Rigidez na direção tangencial N/m c mortecimento na direção tangencial 5 Ns/m Tabela 6. Parâmetros do meio Resultados simulação numérica do sistema em malha fechada, ilustrada pela figura 6., foi feita para os parâmetros apresentados no subitem 6.5. e para os seguintes ganhos de controle: K P =5, K D =5 e K I =75. s figuras 6. e 6.3 ilustram uma comparação entre a trajetória de referência e a obtida a partir da

91 simulação numérica do robô. partir delas, pode-se concluir ue o controlador proposto apresentou um ótimo desempenho de acompanhamento de referência. Já as figuras 6.4 e 6.5 ilustram os ais de controle (voltagem da armadura) para os atuadores do robô. Note ue, em nenhum instante, ocorre saturação dos ais de controle. figura 6.6 ilustra as forças de reações aplicadas nos pés do robô bípede. partir dessa figura, percebe-se ue, em todos os instantes, a força de reação tangencial, para ambos os pés, é bem inferior à força normal, verificando-se, assim, ue a hipótese de não escorregamento adotada para desenvolver o modelo de interação do robô com o solo foi respeitada nessa simulação numérica. nalisando as forças normais de reação, percebe-se ue o movimento do robô foi suave, não existindo, em nenhum instante, um choue anormal de um dos seus pés com o solo. figura 6.7 compara a trajetória de referência do centro de massa do robô com a obtida pela simulação numérica. Nessa figura, o centro de massa do robô está descrito em um sistema de coordenadas cuja origem coincide com a do sistema de coordenadas O -x y z (ver figura 5.4) e cuja orientação é a mesma do sistema de coordenadas O -x y z (sistema fixo ao solo). escolha desse sistema de coordenadas, ao invés do sistema fixo ao solo, se deve ao fato de, na prática, ser muito difícil realizar a medição do vetor P b (ver figura 5.). Já a figura 6.8 compara a orientação da bacia obtida pela simulação com a de referência. partir das figuras 6.7 e 6.8, percebe-se ue, mesmo não existindo um controle direto sobre estas variáveis, o robô acompanhou bem a referência adotada, não tendo, assim, problemas de estabilidade durante a execução de sua marcha. Por fim, a figura 6.9 compara a projeção do centro de massa do robô com o seu centro de pressão. O centro de pressão corresponde ao ponto no ual as forças normais de reação podem ser reduzidas a uma força pura (Vukobratovic e Stepanenko, 97) e, no caso do robô estar em euilíbrio dinâmico, esse ponto coincide com o ZMP (Vukobratovic e Boravac, 4). partir da figura 6.9, percebe-se ue a projeção do baricentro praticamente coincide com o ZMP, o ue já era esperado pelo critério de estabilidade adotado.

92 .6 tuador (alfa).3 tuador (alfa).3 tuador 3 (alfa3) posicao angular(rad) posicao angular(rad) posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) tempo (s).5.4 tuador 4 (alfa4).3. tuador 5 (alfa5) Sinal de referencia Sinal real posicao angular(rad).3.. posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) Figura 6.- Comparação entre o al de saída do robô e o al de referência para os cinco primeiros atuadores..3 tuador 6 (alfa6).6 tuador 7 (alfa7).3 tuador 8 (alfa8) posicao angular(rad) posicao angular(rad) posicao angular(rad) tempo (s) tempo (s) tempo (s).3 tuador 9 (alfa9).5 tuador (alfa) posicao angular(rad) tempo (s) posicao angular(rad) tempo (s) Trajetoria de referencia Trajetoria real Figura 6.3- Comparação entre o al de saída do robô e o al de referência para os cinco atuadores restantes. 3

93 tuador 6 tuador 5 tuador voltagem (V) voltagem (V) 4 3 voltagem (V) tempo (s) tempo (s) tempo (s) 3 tuador 4 tuador 5 voltagem (V) voltagem (V) tempo (s) tempo (s) Figura 6.4- Sinais de controle (voltagens) para os cinco primeiros atuadores. 6 tuador 6 tuador 7 5 tuador voltagem (V) voltagem (V) - -3 voltagem (V) tempo (s) tempo (s) tempo (s) tuador 9 3 tuador voltagem (V) - - voltagem (V) tempo (s) tempo (s) Figura 6.5- Sinais de controle (voltagens) para os cinco atuadores restantes. 4

94 3 Forca Normal - Pe Esuerdo 3 Forca Normal - Pe Direito 5 5 forca (N) 5 forca (N) tempo (s) tempo (s) Forca Tangencial - Pe Esuerdo Forca Tangencial - Pe Direito.5.5 forca (N) forca (N) tempo (s) tempo (s) Figura 6.6- Forças de reações nos pés do robô. Baricentro coordenada x -.5 Baricentro coordenada y posicao (m) -. posicao (m) tempo (s) tempo (s).5 Baricentro coordenada z Trajetoria real Trajetoria de referencia posicao (m) tempo (s) Figura 6.7- Comparação entre a trajetória de referência do centro de massa do robô com a obtida pela simulação numérica. 5

95 Orientacao da bacia 5 Orientacao da bacia posicao angular (graus) tempo (s) posicao angular (graus) tempo (s) Orientacao da bacia ϕ posicao angular (graus) Orientacao de referencia Orientacao real tempo (s) Figura 6.8- Comparação da orientação da bacia obtida pela simulação com a de referência. -.6 Plano Sagital -coordenada y.5 Plano Frontal -coordenada z posicao (m) posicao (m) tempo (s) tempo (s) Centro de Pressao centro de massa Figura 6.9- Comparação projeção do centro de massa com o centro de pressão. 6

96 7. Controle do Robô Bípede 7.. Projeto Eletrônico Para ue o robô bípede construído se torne funcional, é necessário o projeto de uma interface eletrônica ue seja responsável pelo acionamento de seus atuadores e pela leitura de seus sensores, e a utilização de um processador central ue, a partir dessa interface eletrônica, seja capaz de realizar o seu controle. Um computador Pentium 66MHz, com sistema operacional DOS 6., será utilizado como esse processador central, sendo a linguagem C a escolhida para a execução do programa responsável pelo controle digital do robô. Já a comunicação entre o PC e a interface eletrônica do robô bípede será feita pela placa de auisição Lynx CD /36. Nos próximos subitens, a interface eletrônica projetada será devidamente explicada tuador O atuador escolhido para o robô bípede, conforme já mencionado no subitem 6., corresponde ao motor de corrente contínua com um jogo de redução por engrenagem na sua saída. No entanto, devido ao limite orçamentário do projeto em uestão, optou-se por utilizar, como atuador, o servo motor CS-8 da fabricante Hobbico, US, o ual já estava disponível em um número suficiente. Esse servo motor já realiza, internamente, a partir de um controlador PID, o controle de posição angular de um motor de corrente contínua com um alto jogo de redução por engrenagens na saída. Convém mencionar ue os ganhos do controlador interno desse servo são fixos, não podendo, assim, ser alterados pelo usuário. Na tabela 7 estão apresentadas as características desse servo motor. Vale mencionar ue o fabricante do servo motor recomenda a utilização de uma bateria ue forneça, pelo menos, uma corrente de,. 7

97 Descrição CS-8* Giant Scale Dimensões C x L x (mm) Massa (g) Corrente sem carga () Velocidade (seg/6 o ) a 4.8V a 6.V Torue (Nm) Velocidade (seg/6 o ) Torue (Nm) 66 x 3 x 58 53,7.9,.4,4 Tabela 7. Parâmetros do servo motor CS-8 da fabricante Hobbico. O controle de posição angular desse servo é feito através de um al PWM, de período constante, aplicado na sua entrada de controle. figura 7. ilustra esse al de controle. O PWM é uma técnica de modulação por largura de pulso. Isso significa ue, dentro de um período fundamental constante (T), ue no caso é de 5 ms (correspondendo a uma freüência de 4 Hz), é criado um pulso, período no ual o al digital possui nível lógico (T), com uma determinada largura (Villar et al., ). Essa largura, ue é interpretada pela eletrônica integrada no servo motor, é proporcional à posição angular do eixo de saída. Para um pulso de largura de,5 ms, o servo ficará na posição central. Caso a largura seja de ms, o servo deslocará, em relação a posição central, 9 o para a esuerda. De forma oposta, para uma largura de ms, o servo deslocará 9 o para a direita. Estes pulsos devem ser mantidos durante o tempo todo, uma vez ue a sua falta fará ue o servo retorne à sua posição neutra (central). Por fim, a amplitude desse al de controle deve ser constante e igual, nominalmente, a tensão de alimentação do servo motor. voltagem T T tempo Figura 7.- Sinal PWM de controle. Para controlar os atuadores do robô bípede, desenvolveu-se uma placa de acionamento microcontrolada capaz de gerar o al PWM de controle a partir da interpretação dos ais, provenientes do PC, correspondentes à 8

98 angulação de cada um dos servos motores. placa de acionamento desenvolvida é capaz de controlar, simultaneamente, até cinco servos. Dessa forma, para o projeto em uestão, serão utilizadas duas dessas placas de acionamento. Essa placa utiliza o microcontrolador PIC 6F87 (Microchip, US) para se comunicar com o PC, via barramento de dados de 8 bits, e gerar o al PWM de controle. O protocolo de comunicação entre o PIC e o PC é bastante simples, sendo feito através de um bit de controle, o ual é enviado pelo computador. placa de acionamento, além da geração do al de controle, possui, também, a função de alimentar os servos motores. Para evitar interferência entre o sistema de controle, composto pelo microcontrolador, e o sistema de acionamento dos servos, optou-se pela utilização de duas fontes de alimentação, uma para cada sistema. lém disso, para reduzir o nível de ruído no al de controle, ue é a causa principal de vibrações nos servos, utilizouse o acoplador digital óptico PC9VNSZX (Sharp, Japão) para evitar ue os circuitos de acionamento e de controle compartilhem do mesmo terra, possibilitando, assim, o desacoplamento desses circuitos. Devido ao fato do al de saída desse acoplador óptico corresponder ao inverso do seu al de entrada, o inversor digital 74LS4N (Texas Instruments, US) foi utilizado na entrada desse acoplador. figura 7. ilustra o diagrama esuemático do circuito elétrico projetado. O circuito do microcontrolador utilizado é simples, sendo ue o cristal de MHz, juntamente com dois capacitores de 33pF, compõe o circuito oscilador. Um botão é conectado ao pino MCLR\, possibilitando o reset manual do microcontrolador. porta C do microcontrolador (pinos RC a RC7) corresponde ao barramento de dados de 8 bits, através do ual o PC se comunica com a placa. O al de controle, necessário para realizar o protocolo de comunicação entre o PIC e o PC, está conectado ao pino RB6 da porta B. Já os ais de controle PWM são gerados pelos pinos RB a RB5 da porta B do microcontrolador. Por fim, esses ais de controle são conectados ao inversor 74LS4N, para, na seüência, passarem pelos acopladores ópti. Para gerar o al PWM de controle, o microcontrolador utiliza seu timer/contador interno de 6 bits, denominado de Timer. Dessa forma, a 9

99 , Projeto de um Robô Bípede para Reprodução da Marcha Humana resolução da placa está relacionada com a resolução desse timer ue, por sua vez, depende do clock externo do microcontrolador. ssim, uanto mais rápido for esse clock, maior será a resolução da placa. Para o clock externo utilizado ( MHz), a resolução da placa é alta e euivale a, o. No entanto, ao se realizar testes com o servo motor CS-8, notou-se ue o circuito integrado ao servo, ue é responsável pela interpretação da largura de pulso do al PWM, possui uma resolução de aproximadamente,5 o, limitando, assim, a resolução da placa de acionamento. Figura 7.- Diagrama elétrico do circuito de acionamento. 3

100 7... Sensores utilização de sensores permitirá avaliar a reprodução da marcha humana por parte do robô, além de ser fundamental para realizar o controle do robô em malha fechada. Três tipos de sensores são utilizados no robô bípede. O primeiro é responsável pela medição das posições angulares dos atuadores. Note ue esta medição já é feita, internamente, pelo atuador (servo-motor) a partir de um potenciômetro. Já o segundo tipo de sensor corresponde a chaves digitais tipo liga/desliga, localizadas na sola dos pés do robô, ue são responsáveis pela identificação da fase da marcha na ual o robô se encontra. Por fim, o terceiro tipo é responsável pela determinação das orientações, em relação a um referencial inercial, dos pés e da bacia do robô. O sensor mais indicado para esta aplicação é o giroscópio (Fujimoto, 998), no entanto, o seu custo, tendo em vista o orçamento destinado para o projeto em uestão, torna a sua auisição inviável, o ue levou a adoção de uma solução alternativa. Devido ao fato dos principais movimentos do robô bípede ocorrerem nos planos frontal e sagital, Pepper, (999), sugere a utilização de um sensor de inclinação para determinar, de uma forma simplificada, a orientação de um membro do robô a partir da medição de sua inclinação nesses planos. Essa solução simples e barata será adotada para os pés e bacia do robô bípede Sensores de inclinação Nessa seção será desenvolvido o projeto de um sensor ue será capaz de medir inclinações em dois eixos e de enviar o resultado para o PC. Esse sensor será utilizado para medir a inclinação, nos planos frontal e sagital, de um membro (ligamento) do robô bípede. Conforme já mencionado, o robô possuirá três sensores de inclinação, sendo um em cada pé e um localizado na bacia. Um sensor de baixo custo, de rápida resposta e ue atende os reuisitos de projeto corresponde ao acelerômetro DXL (nalog Devices, US) ue pode atuar, também, como um sensor de inclinação. Conforme sugerido por Wada e Ribeiro, (3), utilizando o acelerômetro DXL juntamente com o microcontrolador PIC6F84 (Microchip, US) é possível construir, sem a utilização de conversores /D, um circuito eletrônico capaz de 3

101 medir inclinações em dois eixos e de enviar o resultado para o PC. O microcontrolador será o responsável pela decodificação do al digital proveniente do acelerômetro e pela comunicação com o PC. Primeiramente, um breve estudo sobre as características do acelerômetro DXL, baseado no seu datasheet, será realizado. Na seüência, o circuito de inclinação proposto será devidamente explicado celerômetro DXL O acelerômetro DXL (nalog Devices, US) é um dispositivo de baixo custo e baixa potência utilizado para medir acelerações estáticas ou dinâmicas na faixa de ±g em dois eixos. s saídas do acelerômetro podem ser ais analógi (voltagem proporcional a aceleração) ou ais digitais modulados por duty cycle. Figura 7.3- Diagrama de bloco funcional do DXL. 3

102 O diagrama de bloco funcional desse acelerômetro está ilustrado pela figura 7.3. Para cada um dos eixos (X e Y), o al analógico passa por um filtro passa baixa, cuja largura de banda pode ser regulada entre,hz e 5KHz através da escolha dos capacitores C X e C Y ue estão conectados aos pinos X FILT e Y FILT, respectivamente. largura de banda do acelerômetro é de extrema importância para a determinação da resolução do al medido, além de ajudar a prevenir aliag (Richey, 999). pós passar por esse filtro, o al analógico é convertido para um al digital modulado por duty cycle ue pode ser facilmente decodificado por um microprocessador juntamente com um contador. figura 7.4 ilustra a forma de onda PWM da saída digital do acelerômetro. O período dessa onda, T, pode ser regulado entre,5 ms e ms através da escolha de um resistor (RSET) a ser conectado no pino T (ver figura 7.3). aceleração é proporcional ao duty cycle da saída digital, ue corresponde a razão entre o tempo em nível lógico (T) e o período da onda (T), podendo ser determinada a partir da seguinte expressão (Weinberg, 999): ( g) duty cycle duty cycle a g = (7.) duty cycle por g onde duty cycle por g corresponde ao fator de escala do acelerômetro. Figura 7.4- Saída digital modulada por duty cycle. De acordo com o data sheet do DXL, os valores nominais de fator de escala e de duty cycle a uma aceleração de g correspondem, respectivamente, a,5% de duty cycle por g e a 5%. plicando a euação (7.) para esses valores nominais, obtém-se: 33

103 T,5 ( ) T g = (7.),5 ssim, para determinar o al de aceleração através da euação (7.), basta medir os tempos T e T da saída digital, o ue pode ser feito a partir de um microprocessador juntamente com um contador. Uma das possíveis aplicações deste acelerômetro é a medição de acelerações constantes como, por exemplo, a aceleração da gravidade, o ue permite utilizá-lo como um sensor de inclinação em dois eixos (pitch e roll). Neste caso, as acelerações medidas são convertidas em inclinações através das seguintes expressões: x Pitch = a g (7.3) y Roll = a (7.4) g onde x e y representam, respectivamente, as acelerações medidas nos eixos X e Y. Neste tipo de aplicação, é importante ue se tenha o cuidado de certificar-se de ue a medida de aceleração gerada pelo aparelho está dentro da faixa prevista (-g a g). É sempre possível ue o aparelho esteja fornecendo uma medida fora dessa faixa devido a vibrações, choues ou outras acelerações envolvidas Circuito de inclinação Esse circuito será capaz de medir, a todo instante, as inclinações sofridas pela placa ue o suporta nos eixos X e Y através da utilização do acelerômetro DXL como um sensor de inclinação. O microcontrolador PIC6F84 (Microchip, US) será utilizado para medir as saídas digitais desse acelerômetro, ou seja, cronometrar os tempos T e T do al duty cycle para ambos os eixos. Esses tempos serão enviados, através de um barramento de dados de 8 bits, para o PC ue efetuará os cálculos necessários para a 34

104 determinação das inclinações nos eixos X e Y. O protocolo de comunicação entre o PIC e o PC é bastante simples, sendo feito através de um bit de controle, o ual é enviado pelo computador. O período do al digital e a largura de banda do acelerômetro, bem como o clock externo do microcontrolador serão escolhidos de forma a atender as seguintes especificações definidas para o circuito: ±,5º de resolução de inclinação; uma taxa de auisição de 6Hz. nalog Devices desenvolveu, uma planilha denominada de The XL Interactive Designer para facilitar o processo de escolha desses parâmetros. través dessa planilha, o projetista pode determinar os valores dos componentes externos do circuito, bem como os valores de ruído e de resolução de medida de aceleração antes mesmo de construir o circuito. Esta planilha corresponde a um processo interativo composto por uma seüência de sete passos. No primeiro passo, entra-se com o valor de alimentação do circuito, ue deve estar entre 3.V e 5.5V. Escolheu-se a alimentação de 5.V. largura de banda do acelerômetro é inserida no º passo, ue serve para calcular o valor dos capacitores externos. O nível mínimo de ruído e a resolução do acelerômetro dependem diretamente da largura de banda escolhida, portanto, esta pode ser ajustada para atender as especificações do circuito. Com a finalidade de atenuar a parcela dinâmica, proveniente do movimento do robô e da vibração causada pelos servos motores, da medida de inclinação (lembrar ue o acelerômetro mede tanto a aceleração dinâmica uanto a estática, sem realizar uma distinção entre elas), uma largura de banda suficientemente peuena deve ser escolhida. Uma freüência de corte de 5Hz foi selecionada, resultando em capacitores externos (C x e C y ) de µf. No terceiro passo, a planilha calcula o valor RMS e o valor de pico-apico do ruído na medida da aceleração. É preciso estimar a porcentagem de tempo ue o al real estará acima do valor pico-a-pico do ruído. Seguindo as instruções e baseados em dados presentes no datasheet do sensor, utilizou-se o fator 4, resultando num valor pico-a-pico do ruído de.3º de inclinação. 35

105 Como este valor está dentro da faixa desejada para o circuito (±,5º de resolução) prossegue-se com o processo. No uarto passo, o período do al digital, T, será determinado de tal forma a atender a taxa de auisição de 6Hz especificada. planilha informa ue o máximo tempo disponível para aduirir os ais dos dois canais é de 7ms. Sendo assim, o período do al digital euivale a 8,5ms, o ue corresponde a um resistor de MΩ conectado no pino T. No uinto passo, a resolução de medida digital é calculada ao serem fornecidos o período do al, T, e a freüência do contador interno ao microcontrolador. Convém mencionar ue o microcontrolador PIC opera a uma freüência 4 vezes menor ue a freüência do clock externo (data sheet PIC6F84). ssim, para um clock externo de 8MHz, a freüência de operação do PIC e, portanto, do contador corresponde a MHz. Com essa freüência, a resolução digital do DXL corresponde a.3º de inclinação e o contador necessário para aduirir esse al digital precisa ser de 6 bits. No sexto passo, verifica-se a ocorrência do fenômeno de aliag. Pelo critério de Nyuist, a taxa de amostragem precisa ser maior do ue a largura de banda por um fator de pelo menos. nalog Devices recomenda pelo menos fator, para se minimizar os erros dinâmi da técnica de amostragem de PWM. Para o circuito em uestão, esse fator corresponde a 4, respeitando, assim, a recomendação do fabricante. No sétimo e último passo, a planilha calcula a resolução final para a medida de inclinação. Esse cálculo é feito considerando a resolução analógica, relacionada com a largura de banda, juntamente com a resolução digital (passo 5). O resultado obtido foi de.33º, respeitando, assim, a especificação do circuito. 36

106 Figura 7.5- Diagrama elétrico do circuito de inclinação. 37

107 figura 7.5 ilustra o diagrama esuemático do circuito elétrico projetado. O circuito do acelerômetro é bastante simples, sendo determinado a partir da configuração feita anteriormente. Nos pinos XFILT e YFILT, capacitores de µf estão conectados. Já no pino T está conectado um resistor de MΩ ue, segundo orientação do datasheet do sensor, ao ser posicionado no circuito, deverá ficar bem próximo desse pino para evitar capacitância parasitiva. s saídas digitais XOUT e YOUT do acelerômetro estão conectadas, respectivamente, aos pinos R e R pertencentes a porta do microcontrolador PIC6F84. O circuito desse microcontrolador também é bastante simples, sendo ue o cristal de 8MHz, juntamente com dois capacitores de 33pF, compõe o circuito oscilador. Um botão é conectado ao pino MCLR\, possibilitando o reset manual do microcontrolador. porta B do microcontrolador (pinos RB a RB7) é utilizada para disponibilizar uma saída de 8 bits para o PC. Por fim, o al de controle, necessário para realizar o protocolo de comunicação entre o PIC e o PC, está conectado ao pino R. figura 7.6 ilustra as formas de ondas PWM das saídas digitais do acelerômetro para ambos os eixos (XOUT e YOUT). O método mais direto de realizar a decodificação dessas formas de onda é medir, para cada uma delas, o tempo entre uma borda de subida e uma borda de descida, e o tempo entre duas bordas de subida consecutivas (Richey, 999). pesar desse método ser bastante simples, ele consome três ciclos completos para realizar a medição, o ue torna o processo de auisição bastante lento. Um método mais eficiente para realizar a decodificação dessas formas de onda foi proposto por Weinberg, (). Esse método baseia-se no fato dos tempos em nível lógico dos dois canais (X e Y) estarem centralizados um em relação ao outro, o ue pode ser facilmente identificado pela figura 7.6. figura 7.7 ilustra, para ambos os eixos, as formas de onda e a seüência de eventos para esse novo método. Um contador é iniciado na borda de subida do canal XOUT (Ta=). Na seüência, o tempo no ual ocorre a borda de descida desse mesmo canal é armazenado (Tb). Por fim, os tempos nos uais ocorrem as bordas de subida e descida do canal YOUT são armazenados, respectivamente, nas variáveis Tc e Td. Observando a figura 7.7, os tempos em nível lógico para os canais X e Y são dados por: 38

108 T x = Tb Ta = Tb (7.5) T y = Td Tc (7.6) Já o período, T, ue é comum para ambas as ondas, é dado por: T = Tf Tg (7.7) mas: Tg = Tx / (7.8) Tf = Td Ty / (7.9) Substituindo (7.8) e (7.9) em (7.7), obtém-se: T = T d T = T d Ty Tx ( Td Tc ) Tb (7.) grande vantagem desse método é o consumo de apenas dois ciclos completos para realizar a decodificação dessas saídas digitais, o ue torna o processo de auisição mais rápido. lém disso, o período T, ue é comum para ambas as ondas, é calculado apenas uma vez. Figura 7.6- Formas de onda PWM para os eixos X e Y do acelerômetro DXL. 39

109 Figura 7.7- Método de decodificação proposto para o DXL. Para esse acelerômetro os valores nominais de fator de escala e de duty cycle a g possuem uma tolerância inicial (data sheet DXL). ssim, as acelerações nos eixos X e Y não podem ser calculadas a partir da euação (7.), sem, antes, realizar a calibração do acelerômetro. Weinberg, (), sugere dois métodos para realizar essa calibração, o primeiro, chamado de calibração rápida, despreza a variação nominal do fator de escala, sendo adeuado para sistemas ue não necessitam de uma alta acurácia. Já o segundo método, chamado de calibração de alta acurácia, considera as duas variações nominais para realizar a calibração. Para o circuito de inclinação em uestão, o primeiro método de calibração foi escolhido por ser mais simples e por apresentar um desempenho não tão inferior uando comparado ao segundo método (Richey, 999). O método de calibração rápida consiste em posicionar o sensor de inclinação de tal forma ue os eixos X e Y estejam no mesmo nível e paralelos ao solo. Na seüência, o período T e os tempos em nível lógico para ambos os eixos (Tx e Ty) são lidos e armazenados como constantes de calibração. Note ue, para melhorar a acurácia dessa calibração, é aconselhável a realização de várias medidas dos tempos T e T. s constantes de calibração utilizadas são definidas a seguir: T cal : valor de T durante a fase de calibração. Este valor deve ser armazenado já ue ele pode se alterar de acordo com a temperatura do sensor. 4

110 Z Xcal : valor de Tx durante a fase de calibração. Z Ycal : valor de Ty durante a fase de calibração. Determinadas as constantes de calibração, as expressões ue fornecem, para cada um dos eixos, os valores de duty cycle das saídas digitais para uma aceleração de g são dadas por: DC DC X Y Z Xcal = (7.) T Z cal Ycal = (7.) T cal Substituindo (7.) e (7.) em (7.), obtém-se as seguintes expressões para as acelerações nos eixos X e Y: Tx Z Xcal Tatual Tcal X = acel (7.3).5 Ty Z Ycal Tatual Tcal Y = acel (7.4).5 onde Tx e Ty são as medidas atuais de T, e T atual é o valor atual medido parat. Uma vez determinadas as acelerações em ambos os eixos, as inclinações sofridas pelo circuito podem ser facilmente calculadas a partir das euações (7.3) e (7.4). decodificação das saídas digitais provenientes do sensor de inclinação, ou seja, a cronometragem dos tempos Tb, Tc e Td (ver figura 7.7) fica a cargo do microcontrolador PIC6F84. Como já explicado, para realizar a auisição do al digital é necessária a utilização de um contador de 6 bits, no entanto, o microcontrolador escolhido possui internamente um timer/contador (Timer ) de 8 bits. Para resolver esse problema será utilizada a 4

111 solução sugerida por Richey, (999), ue consiste em utilizar o Timer como o byte menos significativo do contador e, a cada vez ue ocorre overflow (estouro) desse timer, uma interrupção interna ocorre de forma a incrementar uma variável ue representa o byte mais significativo do contador. Os cálculos necessários para a determinação das inclinações nos eixos X e Y, bem como o armazenamento das constantes de calibração ficam a cargo do PC. Os tempos cronometrados pelo microcontrolador (Tb, Tc e Td) são enviados ao PC através de um barramento de dados de 8 bits. Como já comentado, o protocolo de comunicação entre o PC e o PIC é bastante simples, sendo feito por um bit de controle enviado pelo computador. figura 7.8 ilustra a forma de onda desse al de controle enviado para o microcontrolador. Uma borda de subida inicia a comunicação do PC com o PIC, além de disponibilizar, na porta B do microcontrolador, o byte mais significativo do tempo Tb. Na seüência, cada alternância de nível lógico disponibiliza um outro byte para o PC. No final do protocolo, o al de controle fica no nível lógico, deixando disponível para o PC o byte menos significativo do tempo Td. T T Tb H Tc H Td H Sinal de controle Tb L Tc L Td L Figura 7.8- Sinal de controle enviado pelo PC. Na figura 7.8, os sub-índices H e L representam, respectivamente, os bytes mais e menos significativos do tempo cronometrado. O al de controle corresponde a uma onda uadrada, ou seja, T/T euivale a,5. Para o computador Pentium 66MHz utilizado, o tempo T escolhido para o al de controle euivale a aproximadamente µs. 4

112 7...3 Circuito de Multiplexação Como já mencionado, três sensores de inclinação serão utilizados: um sobre cada pé e um sobre a bacia. Desta forma, é necessário ter disponíveis 4 entradas digitais no PC, caso a leitura seja feita de uma forma paralela. No entanto, como será visto no subitem 7..3, a placa Lynx CD /36, ue é utilizada para realizar a comunicação entre o PC e o robô, possui apenas 6 entradas digitais. Este fato levou ao projeto de uma placa de multiplexação, a partir da ual o PC poderá escolher ual inclinômetro, dentre os três disponíveis, será analisado. figura 7.9 ilustra o diagrama elétrico da placa desenvolvida. O multiplexador utilizado é o 74LS53N ue é do tipo dual 4-of-, ou seja, ele escolhe uma entre uatro possíveis entradas de dois bits. ssim, utilizaram-se uatro multiplexadores para realizar a multiplexação dos três ais de 8 bits provenientes dos circuitos de inclinação. escolha de ual entrada deve passar para a saída em cada um dos multiplexadores é feita através de dois ais de controle enviados pelo PC. Esta escolha corresponde à decisão de ual inclinômetro, dentre os três disponíveis, deseja-se analisar em um determinado instante. 43

113 Figura 7.9- Diagrama elétrico do circuito de multiplexação. 44

114 7... Chaves Digitais Para identificar a fase da marcha na ual o robô se encontra, chaves digitais tipo liga/desliga foram utilizadas. figura 7. ilustra a localização destas chaves na sola do pé do robô. Chave 4 Chave 3 Chave Chave Figura 7.- Localização das chaves digitais na sola do pé do robô Placa de uisição Lynx CD /36 placa de auisição Lynx CD /36 é a responsável pelo acionamento dos atuadores e leitura de todos os sensores, ou seja, é através dela ue se realiza a comunicação entre o PC e o robô bípede. Esta placa possui 6 canais, com bits de resolução, podendo operar com uma taxa de até 6. amostras por segundo, variando seus níveis de tensão entre /- V. lém disso, esta placa possui 6 entradas digitais TTL, 6 saídas digitais e 4 saídas analógicas. Neste projeto, as seguintes entradas são utilizadas: 8 entradas digitais para a leitura dos acelerômetros, cujos ais são provenientes da placa de multiplexação; 45

115 8 entradas digitais para a leitura das chaves digitais localizadas nas solas dos pés do robô. e, as seguintes saídas: saídas digitais para controlar a placa de multiplexação; saída digital para controlar o protocolo de comunicação do microcontrolador, pertencente ao circuito de inclinação, com o PC. Note ue este bit é comum aos três circuitos construídos; saídas digitais para o controle das placas de acionamento dos servo-motores, das uais 8 são utilizadas como barramento de dados e as duas restantes para controlar o protocolo de comunicação do microcontrolador com o PC. Note ue o barramento de dados é compartilhado pelas duas placas utilizadas. 46

116 7..Projeto Mecânico Nessa seção será realizado o projeto mecânico do robô bípede. Conforme já mencionado, as dimensões dos membros desse robô deverão respeitar as proporções impostas por um estudo do corpo humano (Winter, 99) e ue estão ilustradas pela figura 3.. lém disso, as suas juntas deverão respeitar os graus de liberdade impostos pela tabela. Devido à limitação de torue dos atuadores selecionados, o robô bípede deverá possuir a menor massa possível. Com essa finalidade, escolheu-se o material alumínio (densidade volumétrica de 75 Kg/m 3 ) para ser utilizado na construção dos elementos estruturais do robô. Para reduzir ainda mais a massa do robô, a utilização de perfis em U de espessura reduzida, ue possuem uma alta rigidez, para a construção dos membros do robô, sugerida por Soares e Le Diagon, (), será adotada, com exceção para o pé do robô. junta do joelho apresenta apenas um grau de liberdade (flexão/extensão da perna), sendo, portanto, um mecanismo bem simples, consistindo em apenas uma articulação. No entanto, deseja-se ue a característica morfológica de alinhamento da coxa com a perna seja respeitada no robô. Com esse intuito, o mecanismo sugerido por Soares e Le Diagon, (), ue está ilustrado pela figura 7., será adotado. Figura 7.- Mecanismo do joelho vista isométrica. 47

117 O desenho de conjunto desse mecanismo, ue ilustra, com maiores detalhes, seus aspectos construtivos, está no apêndice. O mecanismo responsável pela cinemática articular do tornozelo foi projetado de forma a atender aos dois graus de liberdade previstos pela tabela (inversão/eversão e flexão/extensão do pé). Conforme já explicado, o mecanismo paralelo com a adição de uma cadeia passiva, cuja aruitetura está ilustrada pela figura 3.9, foi selecionado para o tornozelo. Esse mecanismo, por razões construtivas, necessita de rótulas e terminais rotulares (juntas esféricas). Dentro de uma grande gama de opções, escolheu-se terminais de barra (tipo cachimbo) da Termicom S.. (São Paulo, Brasil), por serem compactos, leves, possuírem uma mobilidade razoável e simplificarem a construção do mecanismo. figura 7. ilustra o desenho de catálogo dos terminais de barra aduiridos para a construção do mecanismo, cujas dimensões estão apresentadas na tabela 8. Figura 7.- Desenho do terminal de barra (junta esférica) selecionado. Dimensões (mm) Designação R D N 3 L L L L3 K α Massa (g) TB ¼ PFD ¼ - 8 7/6 9,5 4,6 3,5 5, 3,5 3, 3, 4,, 9,5 o 5 Tabela 8. Dimensões da junta esférica selecionada. 48

118 Também, por razões construtivas, o mecanismo do tornozelo necessita de uma junta universal para compor a sua cadeia passiva. Dentro das opções disponíveis comercialmente, escolheu-se a junta universal DIN 88-G da Imetex (São Paulo, Brasil), por ser compacta, leve e, principalmente, por uase não apresentar folgas. figura 7.3 ilustra o desenho de catálogo dessa junta universal, cujas dimensões estão apresentadas na tabela 9. Figura 7.3- Desenho da junta universal DIN 88-G. Dimensões (mm) d d (tolerância H7) t l l Tabela 9. Dimensões da junta universal DIN 88-G. O mecanismo do tornozelo projetado, levando em consideração os tipos de juntas selecionados e as uestões construtivas, está ilustrado pela figura 7.4. gora, o desenho de conjunto desse mecanismo, ue ilustra, com maiores detalhes, seus aspectos construtivos, está no apêndice. 49

119 Figura 7.4- Mecanismo do tornozelo vista isométrica. Para a articulação do uadril, selecionou-se, novamente, o mecanismo paralelo com a adição de uma cadeia passiva, cuja aruitetura está ilustrada, de uma forma esuemática, pela figura 3.. O mecanismo do uadril projetado, levando em consideração os seus aspectos construtivos, está ilustrado pela figura 7.5. Note ue as juntas selecionadas para o projeto do mecanismo do tornozelo foram utilizadas, também, no projeto do mecanismo do uadril. O desenho de conjunto desse mecanismo, ue ilustra, com maiores detalhes, seus aspectos construtivos, está no apêndice. 5

120 Figura 7.5- Mecanismo do uadril vista isométrica. Os parâmetros dimensionais dos mecanismos paralelos responsáveis pelas cinemáticas articulares do tornozelo e do uadril foram determinados a partir da elaboração de um problema de otimização, conforme explicado no subitem 4.7. Já os parâmetros dimensionais do robô foram selecionados de forma a minimizar ao máximo a sua massa e, ao mesmo tempo, a tentar respeitar as proporções impostas pela figura 3.. Entretanto, devido às limitações construtivas impostas pelos mecanismos paralelos, algumas dessas proporções não foram respeitadas. Os parâmetros do robô bípede projetado correspondem àueles apresentados nas tabelas 3 e 4 (subitem 6.5.). figura 7.6 ilustra, como um todo, o robô bípede projetado. 5

121 Figura 7.6- Robô Bípede vista isométrica Protótipo Construído Realizado os projetos eletrônico e mecânico do robô bípede, o próximo passo foi a construção de um protótipo composto pelos seguintes itens: Computador Pentium 66 MHZ, com sistema operacional DOS 6., responsável pelo controle do robô. Placa de auisição Lynx CD /36 responsável pela comunicação entre o computador e a interface eletrônica do robô bípede. Dez servo-motores CS-8 (Hobbico, US) utilizados como atuadores do robô bípede. Esses servos permitem uma 5

122 freüência de acionamento de no máximo 4 HZ, o ue limita a taxa de amostragem a ser adotada. Duas placas microcontroladas responsáveis pelo acionamento dos atuadores do robô bípede. resolução dessas placas é de aproximadamente,5 o. Três sensores de inclinação responsáveis pela determinação, de uma forma simplificada, das orientações dos pés e da pélvis do robô. Esses sensores são capazes de medir a inclinação, nos planos frontal e sagital, de um membro do robô com uma resolução de aproximadamente ±,5º e com uma taxa de auisição de 6 HZ. Uma placa de multiplexação, a partir da ual o PC pode escolher ual sensor de inclinação, dentre os três disponíveis, será analisado. Oito chaves digitais tipo liga/desliga, localizadas na sola dos pés do robô, responsáveis pela identificação da fase da marcha na ual o robô se encontra. Robô bípede de dez graus de liberdade, cujos movimentos de suas articulações, com exceção do joelho, são proporcionados pela utilização de mecanismos paralelos. figura 7.7 ilustra o arranjo geral do sistema desenvolvido. placa de acionamento microcontrolada construída está ilustrada pela figura 7.8. Já o sensor de inclinação e a placa de multiplexação construídos estão ilustrados, respectivamente, pelas figuras 7.9 e 7.. figura 7. ilustra as chaves digitais localizadas na sola dos pés do robô. O robô bípede construído está ilustrado pela figura 7.. Por fim, as figuras 7.3, 7.4 e 7.5 ilustram, em detalhe, os mecanismos do joelho, do tornozelo e do uadril, respectivamente. 53

123 Figura 7.7- rranjo geral do sistema desenvolvido. Figura 7.8- Placa de acionamento microcontrolada. 54

124 Figura 7.9- Sensor de inclinação construído. Figura 7.- Placa de multiplexação. 55

125 Figura 7.- Sensores de contato localizados nas solas dos pés do robô. Figura 7.- Robô Bípede construído. 56

126 Figura 7.3- Mecanismo do joelho. Figura 7.4- Mecanismo do tornozelo. 57

127 Figura 7.5- Mecanismo do uadril. 58