Atividade Complementar Resolução de exercícios

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Projeto PIBID/Matemática Bolsista: Victor Lucas Andrade Sá Colégio sesquicentenário Atividade Complementar Resolução de exercícios Objetivos Específicos Conteúdos Metodologia Recursos Tempo Avaliação Construir competências e habilidades na construção argumentos para resolver problemas da OBMEP. Equações, Operações elementares com conjuntos, propriedades dos números reais, razão entre grandezas e operações com números racionais. Resolução de Problemas privilegiando a capacidade dedutivo do aluno ao nível do ensino médio. Identificar os conteúdos que necessários para resolver os problemas propostos e a estratégia argumentativa. Transformar a linguagem usual do anunciado do problema para a linguagem matemática adequada. Testagem de situações similares com as mesmas hipóteses. Listas de exercícios da OBMEP. Marcador para quadro Branco Papel A4. Caderno de Questões e Teoria da OBMEP 50 minutos Observar o desempenho dos alunos nas abordagens argumentativas.

2 A argumentação está baseada na igualdade de expressões algébricas. Observe que no jogo de lançamento de uma moeda o resultado obtido é sempre menor ou igual do que número de lançamento. Então se lançarmos uma moeda x vezes e obtivermos y caras, y é sempre menor ou igual que x. Logo neste problema é como se você tivesse perguntando qual é o número z inteiro positivo, tal que: Obtemos, x + z 2 = y + z z = x 2y

3 Veja que neste caso o y é sempre menor que metade de x, que é o caso do problema acima. Então, z = = = 20 Identifique os conteúdos necessários para resolver este problema. A argumentação está baseada nas propriedades dos números reais. Explicar para os alunos que se x e y são números reais positivos menores que 1, então, xy < x e xy < y, pois xy x = x(y 1) < 0 e de maneira semelhante xy y = y(x 1) < 0. Explicar que quando multiplicamos uma desigualdade por números positivos o sentido da desigualdade não se altera, pois se a e b são números reais tais que a < b, antão a b < 0 e se c > 0, c. (a b) < 0, usando a propriedade distributiva da multiplicação temos c. a c. b < 0, logo c. a < c. b.

4 A argumentação está baseada na operação interseção de conjuntos. Use a teoria elementar dos conjuntos para mostra os aos alunos uma belíssima aplicação desta teoria. Seja: A = Andreia = {agosto, 16, 2ª}, conjunto de afirmações D = Daniela = {agosto, 16, 3ª}, conjuntos de afirmações F = Fernanda = {setembro, 17, 3ª}, conjuntos de afirmações P = Patrícia = {agosto, 17, 2ª}, conjuntos de afirmações T = Tatiana = {setembro, 17, 2ª}, conjuntos de afirmações Uma aluna está certa se a interseção (dois a dois) dos conjuntos que representam suas afirmações com todos os outros conjuntos for diferente do vazio. Então: A F =, D T =, P T, P F, P D e P A, Logo quem fala a verdade é patrícia.

5 A argumentação está baseada na relação (quociente) entre grandezas diferentes.

6 Observe que a tecla especial funciona como uma função do tipo,

7 f(x) = 1 1 x A operação apertar a tecla especial várias vezes funciona como o cálculo da composta da função f por ela mesma várias vezes. Vamos indicar por f n (x) como sendo f composta com ela mesma n-vezes. Assim f 1 (x) = f(x), f 2 (x) = f(f(x)), f 3 (x) = f(f(f(x))). Então f 1 (2) = f(2) = 1, f 2 (2) = f( 1) = 1/2, f 3 (2) = f ( 1 2 ) = 2 f4 (2) = f(2) = 1 e assim por diante, quando n é um múltiplo de 3 f n (2) = 2. Isto é, toda vez que a divisão de n por 3 deixar resto zero f n (2) = 2, se o resto da divisão de n por 3 for 1, então f n (2) = 1, se o resto da divisão de n por 3 for 2, então f n (2) = 1/2. Como os restos da divisão de um número inteiro n por 3 é somente 0, 1 ou 2, então para sabermos o valor de f n (2), basta dividir n por 3 e observar o resto, se for zero f n (2) = 2, se for 1, f n (2) = 1, se for 2, f n (2)=1/2. Neste caso, como o resto da divisão de 10 por 3 é 1, temos que, apertando a tecla especial 10 vezes aparecerá no visor da máquina o número 1. Como 2015 dividido por 3 deixa resto 2, apertando a tecla especial 2015 vezes aparecerá no visar da máquina o número 1/2.