ANÁLISE DE LIVRO DIDÁTICO DO ENSINO FUNDAMENTAL: um olhar na Geometria apresentada a partir da História da Matemática

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1 49 ANÁLISE DE LIVRO DIDÁTICO DO ENSINO FUNDAMENTAL: um olhar na Geometria apresentada a partir da História da Matemática Enoque da Silva Reis 1 Vanessa da Silva 2 RESUMO: O objetivo desse artigo é divulgar o recorte de um trabalho de conclusão de curso que analisou uma coleção de livros didáticos do ensino fundamental utilizado em uma escola pública de Ji-Paraná, com um olhar voltado à geometria apresentada a partir da História da Matemática. As fontes utilizadas foram, contudo, uma coleção de livros didáticos do ensino fundamental, assim como, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) e o Plano Nacional do Livro Didático (PNLD ). O primeiro deles, o livro didático, tem como objetivo principal auxiliar o trabalho dos professores em sala de aula, enquanto os PCN s e PNLD fornecem elementos significativos possibilitando discussões em torno da análise desse objeto. Para este estudo, a Teoria Antropológica do Didático, proposta por Yves Chevallard foi adotada como referencial teórico, pois um dos argumentos fundamentais da TAD, conforme define (CHEVALLARD, 1998), é localizar a atividade matemática no contexto das instituições humanas e sociais. Além desses referenciais, utilizamos experiências absorvidas a partir de leituras e análises de pesquisas que de alguma forma caminham paralelamente com o nosso objeto de estudo. Durante as pesquisas e realização do trabalho, foi possível perceber a relevância de se analisar um livro didático antes de utilizá-lo em sala de aula. Tendo em vista, um número significativo de elementos históricos ligados à geometria, numa coleção de livros. Palavras Chave: Geometria. Livro Didático. História da Matemática. 1 INTRODUÇÃO Ao utilizar livros didáticos como recurso em sala de aula é necessário conhecer a abordagem e os métodos utilizados para trabalhar determinados conceitos. Assim, com a necessidade de se estender o conhecimento de como é feita essa abordagem com fatos históricos, (será que os livros didáticos trazem a geometria a partir da visão histórica, se trazem coo é feita essa abordagem?), diante desta questão realizamos uma análise dos livros didáticos do ensino fundamental, adotados por uma escola pública em Ji-Paraná na intensão de conhecer como se da à inserção da história da matemática no ensino da Geometria a partir dos livros didáticos. 1 Professor Mestre do Departamento de Matemática e Estatística na Fundação Universidade Federal de Rondônia (UNIR/ campus Ji-Paraná) enoque.reis@unir.br 2 Graduada em Licenciatura em Matemática pela Fundação Universidade Federal de Rondônia (UNIR/ campus Ji-Paraná) vanessadasilvajp@hotmail.com

2 50 Portanto, pretendemos mostrar ao leitor, pontos referentes ao conteúdo de geometria que são apresentados a partir de uma visão histórica na matemática, assim como pontos que se referem às formas e a intenção de ensinar esses conteúdos. Buscamos observar o objeto, retirar tópicos históricos que aparecem ligados a geometria, em seguida usar técnicas para descrever e analisar de que maneira são apresentadas e descritas nos livros, e ainda, extrair os fatos que utilizando conhecimento teórico nas quais os autores se basearam para sua justificativa, e por fim avaliar e desenvolver considerações de acordo com o que encontramos de dados relativos ao ensino-aprendizagem desse objeto. Para escolher livros didáticos trabalhados em uma sala de aula, é necessário conhecimento do que se aborda e quais os métodos que se utilizam para trabalhar alguns conteúdos. Desta forma, é importante analisar as características dos livros buscando compreender sua estrutura e como será trabalhado. Escolhemos analisar a geometria com enfoque na história da matemática por se tratar de uma área onde a maioria dos alunos sai do ensino fundamental para o ensino médio com essa deficiência, não sabendo conceitos básicos de geometria. Ao analisarmos os livros didáticos, observaremos de que forma o livro aborda esses conteúdos com enfoque na história para melhor compreensão do conteúdo de maneira contextualizada, ou não. Diante dessa questão podemos dizer que a pesquisa gira em torno do seguinte objeto: O estudo da Geometria em livros didáticos do ensino fundamental apresentada a partir da história. Na qual tem como objetivo geral, analisar como os livros didáticos do ensino fundamental apresentam a geometria a partir da história da matemática. Para alcançar tal objetivo elencamos os seguintes objetivos específicos: Conhecer a importância do ensino da Geometria a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) - que tem como critério de seleção de conteúdos sua relevância social e sua contribuição para o desenvolvimento do raciocínio lógico, que são organizados em três blocos geradores: números, geometria e medidas e destaca que os conhecimentos matemáticos devem ser construídos especialmente a partir dos problemas encontrados no cotidiano e em outras disciplinas e não apenas na

3 51 própria Matemática; Pesquisar a necessidade da inserção da história da matemática no ensino fundamental a partir dos PCN s - na qual é apresentada em várias propostas como um dos aspectos importantes da aprendizagem matemática, por propiciar compreensão mais ampla da trajetória dos conceitos e métodos dessa ciência; Caracterizar o Estatuto atribuído a Geometria no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD)-ano. Esse documento ressalta a importância do livro didático como recurso pedagógico ao mesmo tempo em que enfatiza que este não deve ser o único recurso a ser utilizado pelo professor em sala de aula, e sim um dos meios para auxiliar no processo de ensino. Além disso, o guia enfatiza a importância de se complementar o livro didático, tanto no que diz respeito a ampliar suas informações e atividades e contornar deficiências, quanto adequá-lo a realidade do local onde ele será utilizado, considerando as especificidades do grupo de alunos envolvidos. Assim, É preciso levar em consideração as especificidades sociais e culturais da comunidade em que o livro é utilizado, para que o seu papel na formação integral do aluno seja mais efetivo (BRASIL, 2007, p. 12). Existem muitas teorias cujo estudo auxilia a prática docente e que têm servido como ferramenta de análise para o processo de ensino e de aprendizagem. São teorias que exploram esse processo com base no ensino e aprendizagem, diante disso, escolhemos abordar sobre a Teoria Antropológica do Didático de Yves Chevallard. A partir de um olhar, por meio da Teoria Antropológica do Didático, buscamos contemplar nosso objetivo principal que é analisar como é apresentado o estudo da geometria através da história da matemática. 2 REFERENCIAL TEÓRICO Nas ideias afirmadas por Chevallard et al (2001, p.45) não podemos abordar o tema do ensino e da aprendizagem de matemática sem nos perguntarmos, ao mesmo tempo, o que é, em que consiste e para que serve fazer matemática. Em relação a essa afirmação, tudo que se faz hoje

4 52 em relação a matemática é questionado quanto a sua utilidade no cotidiano, qual o interesse em relação à sociedade. Diante desta existência de diferentes matemáticas o autor indica que uma determinada pessoa não consiga viver individualmente sem a necessidade da matemática. No entanto, com essa observação, nota-se que a matemática na escola é avaliada de que maneira é inserida na sociedade, e é de grande importância que a necessidades matemáticas do cotidiano devem ser ensinadas na escola. No que implica esse item, recorremos a Chevallard et al (2001, p.45) que diz... o ensino formal é imprescindível em toda aprendizagem matemática e que a única razão pela qual se aprende matemática é porque é ensinada na escola. De acordo com esta afirmação, conclui-se que a matemática da escola é para simples conhecimento escolar, e não levamos para o cotidiano. 2.1 Atividade matemática Quando voltamos às nossas experiências de vida acreditamos parecer simples o que é matemática ou até mesmo parece fácil identificar se uma pessoa está ou não fazendo matemática. Entretanto Chevallard et al (2001, p.54) apresenta três aspectos da atividade matemática e afirma que Não é possível traçar uma fronteira clara e precisa que separe de uma vez por todas as atividades matemáticas das não-matemáticas. No entanto, podemos destacar alguns elementos característicos encontrados na atividade matemática: Utilizar matemática conhecida; Aprender (e ensinar) matemática; Criar uma matemática nova. O primeiro aspecto citado diz em utilizar de conhecimentos matemáticos já adquiridos em problemas a serem resolvidos. Nesse momento, entramos no aspecto do aprender e ensinar matemática. Por fim, um pouco mais distante desse sentido, e mais ligado aos pesquisadores encontramos o terceiro aspecto, ligado à criação de novas ferramentas e conteúdos matemáticos Além de Chevallard, outro grande estudioso (GASCÓN, 2003) destaca que há duas dimensões diferentes da atividade matemática, a primeira é o momento exploratório e o momento tecnológico-teórico, e dá uma importância

5 53 maior ao papel da atividade de resolução de problemas, mesmo que esta seja apenas um momento de conceitos. A segunda, ao organizar o estudo da matemática considera o aprender matemática como um processo de construção de conhecimentos matemáticos. Ainda para Gascón, a teoria antropológica do didático está contida no programa epistemológico de investigação em didática das matemáticas. Para ele este programa nasceu como fruto da convicção de que muitos dos problemas da Educação Matemática tem sua origem nas próprias matemáticas ensinadas e que, portanto, se deve tomar a atividade matemática como um objeto primário de estudo, isto é, como nova porta de entrada das analises didáticas. 2.2 Organização praxeológica A Teoria Antropológica do Didático (TAD) que tem como teórico principal Yves Chevallard que entendem a atividade matemática, que ocorre no contexto especifico da sala aula, como sendo uma praxeologia. A teoria admite que essa praxeologia é o produto de uma construção social e com uma finalidade específica: estudar matemática. Para Chevallard (1992), toda atividade humana consiste em cumprir uma tarefa t de um certo tipo (T) de tarefas, por meio de uma técnica ( ), justificada por uma tecnologia (θ) que permite ao mesmo tempo pensá-la, ou até mesmo produzi-la, e que é justificável por uma teoria (Θ). Esse quarteto compõe o que Chevallard considera uma praxeologia matemática [T/ /θ/θ]. Teoria Antropológica trata-se de atividades humanas, esse processo didático entende-se dessa formação paxeológica que Tarefas (T) é o conceito ou tipo de tarefa, supõe um objeto relativamente preciso, ou seja, e aquilo que o individuo faz com frequência, que é o próprio objeto da didática. As Tarefas estão inseridas dentro de um conjunto de tipos de tarefas (t1, t2, t3,..., tn) e é uma atividade específica, de caráter particular. Quando tomamos como base um determinado tipo de tarefa (T), devemos observar que deve existir pelo menos uma Técnica ( ) que resolva as tarefas (t), ou seja, essa é a maneira de

6 54 cumprir, de realizar uma (tipo de) tarefa, é o método no qual se utiliza para resolver as tarefas, dependendo do nível de ensino. Uma técnica pode ser mais utilizada ou até mesmo mais apropriada do que a outra. Influencia também nessa escolha o objetivo com que a tarefa foi proposta. E para sua resolução, consequentemente deve existir uma tecnologia (θ) que produz técnicas, ela justifica o uso da técnica utilizada para resolver as tarefas e permite entender determinada técnica. No entanto, em qualquer caso deve haver uma explicação tanto da razão da escolha dessa e não daquela técnica quanto da validade da mesma para o fim a que se destina. Essa razão dada para a aplicação da técnica é a lógica que faz com que o resultado da tarefa seja confiável, denomina-se tecnologia. E por fim, a Teoria (Θ) justifica, explica e valida todo o processo realizado para resolver as tarefas, possibilita provar as tecnologias. Passamos então a um nível superior de justificação-explicação-produção, o da teoria, que retoma o papel da tecnologia com relação à técnica. Organização Didática ou Praxeologia Didática, a maneira como poder ser construída essa realidade matemática, ou seja, a maneira que pode ser realizado o estudo do tema. Como toda organização praxeológica, uma organização didática se articula em tipos de tarefas, em técnicas, em tecnologias, em teorias. Uma organização matemática não se organiza de maneira única, mas certos tipos de situações estão necessariamente sempre presentes. Dentro dessa organização destacam-se tipos de situações, que são chamadas de momentos de estudo ou momentos didáticos: Primeiro momento de estudo é aquele do primeiro encontro do individuo com aquilo que ele irá estudar, o encontro com as tarefas T, essa tarefa nos remete a ideia de um objeto ser estudado, esse encontro pode-se dar de várias maneiras. Chevallard infere que para este encontro não ser superficial é preciso que o indivíduo reencontre este tipo de tarefa em questão, diversas vezes. O segundo momento de estudo é o momento da exploração de tarefa ligada ao tipo de tarefa do estudo em que será realizado, e então, a partir daí usa-se uma técnica para desenvolver esse tipo de tarefa. O autor considera esse momento muito importante, pois é a partir da exploração de um tipo de

7 55 tarefa que surge novas técnicas para elaboração de uma atividade matemática. O indivíduo observa, internaliza e busca meios para tentar chegar ao resultado satisfatório. Novas técnicas podem surgir ao longo desse processo, ou ser aperfeiçoada. Neste, denominado terceiro momento de estudo, a técnica é trabalhada como construção de um bloco tecnológico-teórico, e que seja justificada porque pode ser usada para resolver dado tipo de tarefa. A mesma está diretamente relacionada com os outros dois primeiros momentos. O trabalho da técnica, é construído de maneira lógica de acordo com a teoria que nos auxilia. No quarto momento de estudo realiza-se os tipos de tarefas determinados no estudo e de melhorar a técnica. Para melhorar uma técnica é preciso ampliar a tecnologia elaborada, este momento também permite colocar em prova o alcance da técnica. Diante disso, relembramos aqui o exemplo fornecido por Chevallard et al (2001), quando descreve a lista do professor Luiz contendo 35 exercícios com um único enunciado, solicitando que os alunos eliminassem os radicais dos denominadores das expressões. Quase todos os exercícios desta lista podiam ser resolvidos com uma técnica (expressão conjugada). Esse exemplo ilustra o momento de estudo do trabalho com a técnica, mas pelo fato do professor ter incluído alguns exercícios que não eram resolvidos com esta técnica, nesse momento também se pode ser avaliado a técnica. Quinto momento, neste momento é desenvolvido a institucionalização dos elementos que passarão a fazer parte da organização matemática, as técnicas desenvolvidas no memento anterior auxiliam nessa etapa. O objetivo é definir a organização matemática visada. Sexto momento, esse é o momento de avaliação e validação da técnica apreendida, todo o conhecimento obtido através da teoria. Proporciona reflexão sobre o que vale e o que foi aprendido. O que se avalia é o indivíduo e não a praxeologia. Os momentos didáticos seguem uma ordem apresentada, mas eles não precisam ser analisados e apresentados necessariamente nesta ordem durante um processo de estudo.

8 56 3 ANÁLISE Para que o leitor se aproxime de nossa pesquisa, iniciamos a análise descrevendo e explicitando o que nos levou a escolher o livro analisado. A escolha do livro se baseou nas informações obtidas no Guia do PNLD e PCN e por ser adotado por uma escola pública em Ji-Paraná, pois consideramos que estes parâmetros nos servirão como suporte de análise. Portanto, escolhemos o livro cujo título é Vontade de Saber Matemática de Joamir Souza e Patricia Moreano Pataro, publicado pela editora FTD no ano de 2012 e aprovado pelo Guia do Livro Didático (PNLD 2014). Figura 01: Capa do Livro do 6º ano do ensino fundamental Fonte: (SOUZA; PATARO, 2012) 3.1 Caracterização dos livros didáticos O leitor poderá nas próximas linhas conhecer em um contexto geral os livros escolhidos a partir de uma caracterização por nós realizada. Estes exemplares vincula-se em uma coleção de quatro livros que são destinados ao sexto, sétimo, oitavo e nono ano do ensino fundamental.

9 57 Os autores formularam o exemplar do 6º ano em quatorze capítulos composto pelos seguintes assuntos: Formas geométricas espaciais; Os números; Operações com números naturais; Potências e raízes; Múltiplos e divisores; Frações; Ângulos e retas; Polígonos, formas circulares e simetria; Números decimais; Operações com números decimais; Medidas de comprimento e medidas de tempo; Medida de superfície; Medida de capacidade e medida de massa; Tratamento da informação. Figura 02: Sumário do Livro 6º ano Fonte: (SOUZA; PATARO, 2012) O exemplar do 7º ano é composto por doze capítulos com os seguintes assuntos: Frações; Números decimais; Formas geométricas espaciais; Números positivos e números negativos; Tratamento da informação; Expressões algébricas, fórmulas e equações; Grandezas e unidades de

10 58 medida; ângulos; Polígonos; Proporcionalidade; Transformação de figuras e simetria; Medidas de volume. Se tratarmos da coleção composta pelos livro de 6º, 7º e 8º e 9º anos, observamos que todos são elaborados com algumas seções especiais: Atividades complementares, Refletindo sobre o capítulo, Ampliando seus conhecimentos, Explorando o tema, Acessando tecnologias, Atividades, Revisão e Questões da OBMEP e Vestibular. Cada capítulo inicia com assuntos relacionados aos temas tratados, imagens (fotos, infográficos e esquemas) e questões para resgatar o conhecimento já adquirido pelos alunos. Estes livros didáticos apresentam ao final de todos os capítulos as seguintes seções especiais: Refletindo sobre o Capítulo, Explorando o Tema, Acessando tecnologias e Atividades de Revisão. A seção especial Explorando o Tema e Acessando tecnologias são apresentadas de modo alternado ao final de cada capítulo. Esses conteúdos matemáticos tem uma abordagem interdisciplinar relacionado com outras disciplinas tais como, Biologia, Geografia, Ciência, Informática e História. A seção Refletindo sobre o Capítulo mostra algumas questões que estão relacionados com o conteúdo que está sendo trabalhado na unidade. Enquanto a seção Atividades Complementares apresenta exercícios com intuito de fazer com que o aluno revise o conteúdo estudado. 3.2 Momentos de estudo O objetivo principal deste trabalho é, analisar como os livros didáticos do ensino fundamental apresentam a geometria a partir da história da matemática, remete-nos a análise referente à área de Geometria através de elementos históricos, diante disso, a partir desse momento destacamos somente os pontos em que os livros remetem a esta área da matemática. Iniciamos então com o livro de 6º ano dos autores Joamir Souza e Patricia Moreno Pataro já caracterizado anteriormente. Observa-se então que em nossa análise os elementos geométricos vinculados à história aparecem quatro vezes, divididas da seguinte forma, duas vezes no primeiro capítulo que

11 59 trata de formas geométricas; duas vezes no oitavo capítulo que aborda sobre Polígonos, formas circulares e simetria. Observando mais especificamente cada uma das aparições e seu entorno, podemos inferir as seguintes observações, os autores iniciam o capítulo com uma breve introdução utilizando uma atividade cotidiana sobre os diversos tipos de contêiner e suas dimensões, para tal, parte-se para o desenvolvimento dos conceitos sobre o conteúdo abordado neste capitulo que são Formas geométricas espaciais ; a primeira aparição é uma imagem de uma Pirâmide de Quéops na página 10 e aparece no inicio do capítulo em uma introdução a formas geométricas espaciais, observe a figura: Figura 03 Pirâmide de Quéops. Fonte: (SOUZA; PATARO, 2012, p.10) Notemos que a imagem da Pirâmide de Quéops ilustrada pelo autor no canto direito inferior da página nos remete a ser o último elemento da mesma, talvez essa seja a intenção do mesmo, pois, inicia-se uma sequência de 6 fotos, sendo que uma delas (a primeira) é justamente uma pirâmide, no entanto, moderna (Pirâmide na entrada do Museu do Louvre, em Paris, na França.

12 60 Neste caso, podemos observar que essa aparição da Pirâmide de Quéops, seja o primeiro ou o reencontro do aluno com elementos geométricos apresentados a partir de uma visão histórica, sendo a imagem histórica da pirâmide relacionada a formas geométricas espaciais. Nossa justificativa quanto a isso, é que os primeiros elementos com formas geométricas aparecem no inicio da página são da idade moderna. Também se pode observar a presença do terceiro momento de estudo que está ligado ao momento teórico-tecnológico, haja visto que trata de identificar os elementos que compõe uma pirâmide para então caracterizar o elemento histórico, ou seja, primeiro ele mostra uma imagem abstrata de pirâmide de base quadrangular do lado esquerdo inferior da página, para então trazer a imagem com informações históricas da Pirâmide Quéops ao lado direito. Ainda neste capítulo, mais especificamente ao final, o autor traz outra aparição de um elemento histórico envolvendo geometria, sendo a mesma Pirâmide de Quéops. A fotografia aparece como um exercício que compõe a fase de Testes, antes do Desafio proposto no livro e depois dos exercícios de Revisão. Na página onde aparece o exercício com a foto da Pirâmide de Quéops contém além deste, somente elementos geométricos abstratos. Observe a figura:

13 61 Figura 04: Pirâmide de Quéops Fonte: (SOUZA; PATARO, 2012) Em nossa análise podemos observar que a foto é apresentada levando o indivíduo a trabalhar com a técnica de tal forma a explora-la, pois trata-se de identificar os vértices e arestas e contar os elementos da pirâmide, acreditamos que a intenção do autor é proporcionar aos alunos um momento de trabalho com a técnica, portanto esse momento nos remete a ideia, no qual é chamado na TAD de quarto momento de estudo, denominado trabalho com a técnica, pois, o aluno deverá aplicar a técnica aprendida para agora resolver o exercícios, e por fim refletindo se a resolução está correta. Portanto, notamos neste primeiro capítulo que o autor traz elementos históricos logo no início nos remetendo a ideia de um primeiro encontro do aluno com essa informação relacionada à geometria, e finaliza com exercícios envolvendo os mesmos elementos para trabalhar com a técnica e então possivelmente através das respostas do professor, validar a ideia inicial,

14 62 configurando assim o chamado sexto momento de estudo que é o momento de avaliação e validação da técnica. No oitavo capitulo onde o autor aborda sobre Polígonos, Formas Circulares e Simetria, identificamos mais dois aparecimentos de geometria ligada à história da matemática. O capitulo é introduzido com elementos geométricos que compõe a Bandeira do Brasil, o autor mostra formas geométricas que é o Retângulo, Losango, e o Círculo que são representadas na Bandeira e fala da proporção que existe entre elas. Nas páginas seguintes é abordado sobre Polígonos, Triângulos e Quadriláteros e sempre ao final do conteúdo de cada uma dessas formas geométricas, são apresentadas Atividades contendo exercícios relacionados ao que foi abordado. Entretanto, onde encontramos mais um aparecimento de elemento histórico foi em Formas Circulares que o autor traz logo na introdução sobre Circunferência uma imagem do O homem vitruviano, de Leonardo da Vinci e acima da imagem, conteúdos com informações históricas sobre esse gênio de sua época, da Vinci foi pintor, escultor, arquiteto, músico, engenheiro, mas nessa figura se destacou pela sua contribuição na área da matemática, representada por uma forma geométrica. Observe na figura a seguir, que obra de da Vinci também foi representada de um lado de uma moeda de 1 euro: Figura 05: O homem vitruviano, de Leonardo da Vinci, c Fonte: (SOUZA; PATARO, 2012, p.190)

15 63 Em nosso entendimento, a imagem do O homem vitruviano é utilizada para compor o que Chevallard chama de primeiro encontro (ou reencontro), ou seja, é o momento em que o aluno se depara pela primeira vez com esse tipo de tarefa ligado a elementos históricos. Dizemos anteriormente, reencontro com o tipo tarefa, pois talvez o aluno tenha se deparado com essa forma geométrica, mas não podemos afirmar que ele já tenha visto esses conceitos históricos apresentando à imagem identificada. Notamos ainda ao lado da imagem da obra de Leonardo da Vinci, aparece um informativo sobre a utilização da mesma em uma moeda da idade moderna, ou seja, acreditamos que a história da matemática está ligada diretamente com o cotidiano para reforçar a ideia de sua utilização e destacar a importância. Podemos observar na afirmação abaixo da figura A forma geométrica destacada nessa imagem é chamada circunferência. que o autor infere ser o quinto momento de estudo descrito pela TAD, no qual destacamos anteriormente como sendo o momento de institucionalização. O momento de institucionalização dos elementos fazem parte da organização matemática, as técnicas desenvolvidas no momento anterior auxiliam nessa etapa, ou seja, pode-se afirmar que o autor apresenta de maneira precisa a informação a respeito da imagem destacada. Identificamos também juntamente com as informações dessa imagem, a presença do terceiro momento de estudo que está ligado ao momento teórico-tecnológico, sendo ele, tratar de identificar os elementos que compõe a formação de uma circunferência, onde a descreve como sendo uma linha fechada em um plano, na qual todos os seus pontos estão a uma mesma distância de um ponto fixo, chamado centro conforme descrito na informação abaixo da figura apresentada. Após introdução a Formas circulares o autor apresenta exercícios relacionados ao conteúdo, em seguida aborda sobre Figuras Simétricas demonstrando seus conceitos e formas e mais aplicação de exercícios. Dando sequencia a composição deste capítulo consta, Refletindo sobre o capítulo que é composto por atividades sobre o tema abordado, em seguida observa-se

16 64 o tópico de Explorando o tema no qual são apresentadas algumas formas geométricas (circulo, hexágono e pentágono) que são utilizadas em objetos do nosso cotidiano, em particular a bola que feita com gomos de hexágonos e pentágonos. No entanto, o elemento histórico ligado à geometria, aparece como exercício de Revisão apresentando antes das questões de Testes, sendo o último elemento deste livro identificado em nossa análise. Observe a figura a seguir: Figura 06: Tangram Fonte: (SOUZA; PATARO, 2012, p 202) Notamos neste exercício (51), que o autor aborda um pequeno trecho da história desse objeto de origem chinesa, o Tangram, que é um quebra-cabeça rodeado de lendas. Ele fala do surgimento do mesmo e propõe algumas questões relacionadas, no entanto, nos atrevemos a dizer que este seja um primeiro encontro do aluno com o objeto, usado mais especificamente para resolver esse tipo de tarefa que são as questões geométricas, e servir como um excelente passa tempo, além de promover o raciocínio lógico.

17 65 Observamos também a presença do segundo momento de estudo por se tratar de um exercício com questões que levam os alunos ao questionamento do conhecimento adquirido, ou seja, é retomado o momento da exploração da técnica, pois o autor propõe ao aluno desenvolver o raciocínio e adquirir novas técnicas para resolução dos exercícios. Notamos ainda nesse contexto, a presença do quarto momento de estudo que é o de trabalho com a técnica, pois o aluno já explorou o exercício e então procura métodos para resolvê-los através de uma determinada técnica. Não deixando de citar a presença do sexto momento de estudo, que é quando o indivíduo faz a avaliação e validação de uma técnica adquirida. Através das respostas apresentadas ou confirmadas pelo professor, o exercício pode levar o aluno a reflexão do que foi apresentando e o que foi internalizado, validando essa técnica. Para nós, esse é um ponto muito importante encontrado no livro, a retomada desse conjunto de momentos de estudo, nos quais os alunos observam que uma determinada técnica não é absoluta, e que se deve aperfeiçoá-la ao longo do tempo e das tarefas, na intenção de ter uma técnica com um maior alcance. Em síntese, com essa tarefa proposta, os autores, conseguiram englobar quatro dos seis momentos de estudo, ou seja, o primeiro encontro com a tarefa, exploração dessa tarefa, o trabalho com a técnica e a validação da técnica adquirida ao longo desse processo. Para finalizar a analise deste livro de sexto ano, através desta pesquisa concluímos que o autor utiliza-se de vários momentos de estudos no decorrer destes capítulos analisados para apresentar os conteúdos aos alunos. Assim, podemos observar que ele utiliza-se de todos os seis momentos de estudos descritos por Chevallard, divididos da seguinte forma: Na primeira imagem vimos à aparição do primeiro e terceiro momento de estudos; Na segunda imagem a presença do quarto e do sexto momento; Na terceira imagem é possível destacar a presença do primeiro, terceiro e quinto momento de estudos; E na última imagem identificada nesse exemplar, apontamos a presença do primeiro, segundo, quarto e sexto momento de estudos.

18 66 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Como objetivo principal desse trabalho se propôs a analisar de que forma os livros didáticos do ensino fundamental apresentam a geometria a partir da história da matemática, para tal, foi realizado um estudo nos PCN s e PNLD que nos forneceu elementos significativos para as buscas e discussões em torno das análises. Em análise ao primeiro exemplar, o livro de sexto ano, podemos observar que o autor se utilizou de todos os seis momentos de estudos, sendo contemplados em quatro aparições, onde destacamos imagens e trechos de geometria relacionada à história. No livro de sétimo ano identificamos três aparições de geometria na qual se encontram atrelada à história, nesses aparecimentos destacamos quatro momentos de estudo. Já no livro de oitavo ano, encontramos seis elementos de geometria com ênfase na história da matemática, sendo nestes identificado por nós os seis momentos de estudo descritos por Chevallard. No último livro desta coleção, o exemplar de nono ano, localizamos sete imagens e trechos onde a geometria é apresentada através elementos históricos, através destes observamos cinco dos seis momentos de estudos. No estudo realizado foi possível perceber vários elementos geométricos ligados à história da matemática, portanto, inferimos que os quatro livros escolhidos para a realização do estudo contempla de maneira satisfatória as situações investigativas por meio da organização praxeológica, ou seja, favorecem situações que encaminhem o aluno à reflexão e ao interesse pelo conteúdo. Através dessa análise podemos perceber que os exemplares apresentam um total de dezenove imagens e trechos de fatos históricos ligados à geometria, alguns com a história bem fragmentada, mas que de certa forma acreditamos estimular a criatividade do aluno e podendo até aumentar o interesse do mesmo. A partir de nossa análise concluímos que o autor tenta resgatar o contexto de cada aplicação, ou seja, busca familiarizar o aluno relacionando o conteúdo a um contexto histórico. Diante disso, verificamos que a história

19 67 oferece diversas possibilidades que permitem auxiliar a seleção de métodos para ensino de conteúdos de matemática, em outras palavras a história não se resume em conhecimentos acumulados, mas serve como instrumento para a construção de novos conhecimentos. Todavia, essa procura de novos conhecimentos contempla a matemática e sua história, instrumentos que possibilitam no aluno a visão de que a matemática está sempre em desenvolvimento, ou seja, o conhecimento matemático está sempre em processo de construção e dessa forma proporcionando uma relação do passado com o presente. Contudo, o autor nesta coleção lança mão dos seis momentos de estudos descritos por Yves Chevallard no processo de ensino da geometria, em particular a partir de elementos históricos. Por fim, percebe-se a importância de se utilizar a geometria através de elementos que possibilite maior entendimento, portanto, destacamos a história da matemática como sendo uma ferramenta que pode auxiliar nesse processo de estudo, diante disso a análise realizada nos coloca diante de várias possibilidades, permitindo questionar como são apresentados os elementos de geometria através da história da matemática em livros didáticos do ensino médio. REFERÊNCIAS BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Guia de Livros Didáticos PNLD 2008: Matemática. Brasília: MEC, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução. Secretaria de Educação Fundamental, Brasília: MEC/SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais: Secretaria de Educação Fundamental. Brasília : MEC /SEF, p.23, PNLD 2012: Matemática / Brasília : Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2011.

20 68 CHEVALLARD, Y; BOSCH, M; GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: O elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed Editora, CHEVALLARD, Y. - Conceitos Fundamental de Didática: perspectivas apportées par anthropologique une approche. Recherche en Didática des Matemática, n.1 v.12, P , GASCÓN, J. La necessidade de utilizar modelos em didática de las matemáticas. Educ. Mat. Pesquisa: São Paulo, v.5, n.2, pp.11-37, JUNQUEIRA, M. A. Educação matemática: dificuldades na construção de competências e habilidades em Geometria no ensino fundamental. Três Corações Dissertação (Mestrado em Educação) Universidade Vale do Rio Verde LORENZATO, S.; VILA, M. C. Século XXI: Qual Matemática é recomendável? Revista Zetetiké, Campinas, ano 1, n. 1, p REIS, Enoque da Silva. O Estudo Sistemas de Equações do Primeiro Grau em Livros Didáticos Utilizados em Escolas Brasileiras Dissertação (Mestrado). Universidade Federal do Mato Grosso do Sul. SOUZA, Joamir Roberto de; PATARO, Patricia Moreno. Vontade de Saber Matemática. 2º ed. Editora FTD. São Paulo 2012.