2.3 DFMs irredutíveis

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1 2.3 DFMs irredutíveis Definição: Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo número de colunas são coprimas à direita se seus m.d.c.s são unimodulares. Lema 2. (Identidade de Bezout): Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo número de colunas são coprimas à direita se e somente se existirem duas matrizes polinomiais X(s) e Y (s) tais que Prova: X(s)D(s) + Y (s)n(s) = I ( ) p q Se N(s) e D(s) são coprimas à direita, então de acordo com o Teorema 2. existem matrizes polinomiais U (s) e U 2 (s) tais que U (s)d(s) + U 2 (s)n(s) = R(s) sendo que R(s) é uma matriz unimodular R (s)u (s) D(s) + R (s)u 2 (s) N(s) = I X(s) Y (s) (X(s) e Y (s) são matrizes polinomiais.) ( ) q p Suponha que existem X(s) e Y (s) polinomiais tais que X(s)D(s) + Y (s)n(s) = I Seja R(s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s), então: N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s) X(s) D(s)R(s) + Y (s) N(s)R(s) = I [ ] X(s) D(s) + Y (s) N(s) R(s) = I R (s) = X(s) D(s)+Y (s) N(s) é uma matriz polinomial e, portanto, R(s) é unimodular.

2 Definição: G(s) = N(s)D (s) é uma DFM irredutível se N(s) e D(s) forem coprimas à direita. Lema 2.2 Seja G(s) = N(s)D (s) uma DFM à direita e seja R(s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s). Se as matrizes polinomiais N(s) e D(s) são tais que N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s), então G(s) = N(s) D (s) é uma DFM irredutível de G(s). Prova: (i) G(s) = N(s) D (s) G(s) = N(s)D (s) = N(s)R(s) [ ] D(s)R(s) = N(s)R(s)R (s) D (s) G(s) = N(s) D (s) (ii) N(s) e D(s) são coprimas à direita De acordo com o Teorema 2., tem-se [ ] [ ] [ ] U (s) U 2 (s) D(s) R(s) = U 2 (s) U 22 (s) N(s) 0 U (s)d(s) + U 2 (s)n(s) = R(s) U (s) D(s)R(s) + U 2 (s) N(s)R(s) = R(s) U (s) D(s) + U 2 (s) N(s) = I Portanto, de acordo com o Lema 2., as matrizes N(s) e D(s) são coprimas à direita. Definição: Uma matriz G(s) IR p m (s) é chamada de (i) imprópria: quando lim s G(s) não existe (ii) própria: quando lim s G(s) = K 0 (ii) estritamente própria: quando lim s G(s) = 0

3 [ Exemplo: G(s) = s+ ] s+2 s+ lim G(s) = [ ] s G(s) é uma matriz de transferência própria [ G(s) = G sp (s) + D = ] s+ s+ C(sI A) B + [ ] D [ Problema: Obter uma DFM irredutível para G sp (s) = s+ ] s+ G sp (s) = N(s)D (s) = [ ] [ ] s+ N(s) D(s) N(s) e D(s) são coprimas à direita? s+ 0 0 (s+) s (s+) 0 0 [ ] R(s) = 0 s + R(s) = s + R(s) não é unimodular N(s) e D(s) não são coprimas à direita. N(s) = N(s)R(s) N(s) = N(s)R (s). [ ] R (s) = s + s +

4 N(s) = [ ] [ ] s + = [ ] s + D(s) = D(s)R(s) D(s) = D(s)R (s). [ ] [ ] D(s) = s + s + s + s + [ ] s + D(s) = D (s) s + s + Note que N(s) D (s) = G sp (s)

5 2.4 Matrizes Polinomiais e Racionais 2.4. Forma de Smith Para N(s) IR p m [s] existem matrizes unimodulares U(s) IR p p [s] e V (s) IR m m [s] tais que onde U(s)N(s)V (s) = Σ(s) i) Σ(s) = σ (s) σ 2 (s)... σ r (s) 0 (p r) r 0 r (m r) 0 (p r) (m r) ii) σ i (s), i =,..., r são polinômios mônicos e σ i (s)σ i+ (s) (σ i (s) divide σ i+ (s), i.e. σ i+ (s) = p(s)σ i (s)) A Matriz Σ(s) é chamada de forma de Smith de N(s) Observações: (i) Seja i (s) o m.d.c. mônico de todos os menores de ordem i da matriz N(s). Pode-se mostrar que σ i (s) = i(s) i (s) onde 0 (s) =, por definição. Os menores de ordem i da matriz N(s) são os determinantes de todas as submatrizes quadradas i i de N(s) (ii) Os polinômios σ i (s) são chamados de polinômios invariantes da matriz N(s). (iii) r é denominado de posto normal de N(s) (iv) Como U(s) e V (s) são unimodulares, então ρ[n(s)] = ρ[σ(s)], s. Portanto, N(s) perde posto para todos os valores de s = z tais que σ i (z) = 0.

6 Exemplo: N(s) = Cálculo de Σ(s) ) 0 (s) = s 2 +3s+2 s 2 s+ s 2 +3s+2 (s) = (menores de ordem são os próprios elementos de N(s)) Menores de ordem 2: m 2 (s) = (s+)(s+2) (s )(s+) = (s )(s+)(s+2) (s+)(s+2) 2 (s+)(s+2)[ s s 2] = 3(s+)(s+2) m 3 (s) = (s+) (s+)(s+2) = (s+)(s+2) 2 (s+)(s+2) (s+)(s+2)[s + 2 ] = (s+) 2 (s+2) m 23 (s) = (s+)(s+2) (s+) (s )(s+) (s+)(s+2) = (s+) 2 (s+2) 2 (s+) 2 (s ) (s+) 2 [s 2 +4s+4 s+] = (s+) 2 (s 2 +3s+5) 2 (s) = s + Portanto: σ (s) = (s) 0 (s) = σ 2 (s) = 2(s) (s) = s + Σ(s) = 0 0

7 2) 0 (s+) U (s) (s+)(s+2) (s )(s+) s+ (s+)(s+2) U 2 (s) 0 3(s+) s(s+2) 0 0 (s+2) U 3 (s) s(s+2) 0 3(s+) s(s+2) [ ] s(s+2) 0 3(s+) 0 (s+) 2 (s+2) V (s) (s+)(s+2) U 4 (s) 0 3(s+) 0 (s+) 2 (s+2) Σ(s) = 0 0 U(s) = U 4 (s)u 3 (s)u 2 (s)u (s) U(s) = [ ] s(s+2) V (s) = V (s) = 3 (s+) 3 3 (s+)(s2 +3s+5) (s+)(s+2) s+2 3 Note que N( ) = 0 0 ρ[n( )] = Forma de Smith-McMillan Seja G(s) IR p m (s) escrita como G(s)= N(s), sendo d(s) o mínimo múltiplo comum d(s) (m.m.c.) mônico dos denominadores de G(s) e N(s) IR p m [s]. Então, existem matrizes unimodulares U(s) e V (s) tais que U(s)N(s)V (s) = Σ(s) onde Σ(s) é a forma de Smith de N(s).

8 Portanto, M(s) = U(s)G(s)V (s) = Σ(s) U(s)N(s)V (s) = d(s) d(s) = M(s) σ (s) d(s) σ 2 (s) d(s)... σ r (s) d(s) 0 (p r) r 0 r (m r) 0 (p r) (m r) Reduzindo os elementos racionais em termos de menor ordem, tem-se: σ i (s) d(s) = ε i(s) ψ i (s), sendo que ε i(s) e ψ i (s) são coprimos, e além disso (i) ε i (s) ε i+ (s) (ε i+ (s) = p i (s)ε i (s)) (ii) ψ i+ (s) ψ i (s) A matriz M(s) = (ψ i (s) = q i (s)ψ i+ (s)) ε (s) ψ (s) ε 2 (s) ψ 2 (s)... ε r (s) ψ r (s) 0 (p r) r 0 r (m r) 0 (p r) (m r) é chamada de forma de Smith-McMillan de G(s) Obs. : O grau de McMillan é definido como: n = r gr [ψ i (s)] i= Obs. 2: O grau de McMillan é igual à ordem da realização mínima.