MATERIAL PARA ESTUDO, FAVOR NÃO DIVULGAR ONLINE, POIS FALTA CITAR VÁRIOS AUTORES QUE FORAM APRESENTAÇÃO.

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1 MATERIAL PARA ESTUDO, FAVOR NÃO DIVULGAR ONLINE, POIS FALTA CITAR VÁRIOS AUTORES QUE FORAM USADOS NA CONFECÇÃO DESSA APRESENTAÇÃO.

2 Mini-Curso:Introdução aos Isolantes Topológicos. Leandro Oliveira do Nascimento Prof Dr. Eduardo Cantera Marino Prof Dr. Van Sérgio da Silva Alves Profa Dra Cristiane de Morais Smith Belém, de março de 2015

3 INTRODUÇÃO Sistemas em 2 dimensões exibem fenômenos quânticos não observados em dimensões maiores, como o efeito Hall quântico Edwin Herbert Hall ( ) e o efeito Hall clássico.

4 INTRODUÇÃO Em 1980, K. Von Klitzing (nobel de física, 1985) mostrou que na presença de um campo magnético intenso a condutividade Hall é quantizada.

5 INTRODUÇÃO Algumas características do efeito Hall quântico: 1) Observado em temperaturas baixas e campos magnéticos intensos. 2) Condutividade é um valor quantizado de e²/h (constante de V.Klitzing). 3) O material possui comportamento diferente no centro e na borda; no centro é isolante, enquanto na borda é metal. 4) A corrente na borda é quiral, ou seja, todos os elétrons se movem na mesma direção. 5) O valor da condutividade Hall não depende de detalhes da amostra, como tamanho, largura, desordem, perturbações locais... 6) A condutividade Hall é uma grandeza topologicamente protegida.

6 INTRODUÇÃO A física do efeito Hall quântico pode ser entendida em termos dos níveis de Landau e do número de Chern.

7 INTRODUÇÃO O efeito Hall quântico inteiro de V. Klitzing pode ser entendido em termos de uma teoria não interagente. Existe também o efeito Hall quântico fracionário, cuja explicação depende da teoria de férmions compostos, obtida através de um modelos interagentes. Os níveis de Landau são os níveis de energia dos elétrons quando submetidos a um campo magnético ortogonal ao plano. São parecidos aos níveis de energia de um oscilador harmônico unidimensional.

8 INTRODUÇÃO Em 2004 surge o grafeno: Cones de Dirac;

9 INTRODUÇÃO O efeito Hall quântico inteiro no grafeno: 1-Temperatura ambiente (300K); 2- Niveis de Landau relativísticos; 3- Efeito Hall quântico anômalo (Nf=2 spin x 2 cones=4); 4- Nível n=0 é parcialmente preenchido;

10 INTRODUÇÃO graças ao grande interesse no grafeno cogitou-se a possibilidade do efeito Hall quântico de spin (Kane e Mele, 2005) nesse sistema; Lembrete: Em 1988 Haldane mostrou que NÃO era necessário ter campo magnético externo para ocorrer efeito Hall quântico. Efeito Hall quântico de Spin: 1-Gerado pela interação spin-órbita. 2-Corrente de spin transversa. 3-Preserva T para todo o sistema. 4-Não ocorre no grafeno!!

11 INTRODUÇÃO Em 2007, Molenkamp mediu o efeito Hall quântico de spin, usando um sistema 2-d formado por folhas de HgTe (Telureto de mércurio). Modelo BHZ (2006). O efeito Hall quântico inteiro e de spin são exemplos de isolantes topológicos. Esse é um novo estado da matéria que não pode ser explicado através da quebra espontânea de simetria ou pela presença de um parâmetro de ordem local. Isolantes topológicos são caracterizados pelo centro da amostra com comportamento de isolantes, mas com estados de borda com comportamento de metal. No caso do efeito Hall quântico inteiro, os estados de borda são quirais, enquanto no efeito Hall quântico de spin, os estados de borda são helicoidais.

12 PLANO GERAL Dia-1- O Efeito Hall quântico Teoria de Bandas. Rede unidimensional Vs Poliacetileno. Efeito Hall quântico. Transporte Quântico.

13 PLANO GERAL Dia-2-Isolantes Topológicos Fase de Berry Teorema adiabático quântico. Condutividade Hall e a Fase de Berry. Fórmula de Kubo. Simetria de inversão temporal.

14 PLANO GERAL Dia-3-Grafeno e supercondutores topológicos O Grafeno. Tight-Binding, paradoxo de Klein, deformação e interação. Grafeno massivo e o número de Chern. Efeito Hall quântico de Spin. Supercondutores topologicos e férmions de Majorana. Discussão sobre os exercícios.

15 TEORIA DE BANDA Como classificar um material enquanto metal ou isolante?? Teoria de bandas de energia

16 Física do Estado Sólido: Elétrons + potencial periódico Precisamos obter as bandas (dispersão) dos elétrons; IsolantesGap de energia!!

17 PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO 1ª QUANTIZAÇÃO: Operadores. 2ª QUANTIZAÇÃO: Número de ocupação. Radiação Fóton (bóson). Matéria Elétron (férmion). Espaço de Fock Operadores de criação e destruição de partículas. Condição: Existe um vácuo (estado de mínima energia).

18 PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO Bósons: Comutadores, spin inteiros, número de ocupação de 0 a infinito, Função de onda simétrica Férmions:Anticomutadores, spin semi-inteiros, número de ocupação de 0 a 1 (principio da exclusão de Pauli), função de onda antisimétrica. Operador número de partículas!

19 PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO Qual o estado de mínima energia (mais provável) para Temperatura=0? Férmions: Superfície de Fermi Bósons: Condensação de Bose-Einstein

20 PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO Como escrever operadores nesse formalismo? Exemplo: Operador energia cinética de um elétron não-relativístico: Espaço de momento. Espaço real ou configuração.

21 ***Modelo 1-d para um metal*** Rede unidimensional, o exemplo mais simples.

22 Modelo de isolante 1-d: O poliacetileno!!!!!"# $!!%!!&'(# )!!!!!#

23 * + & *, &-. % / +.(

24 * 0 -&

25 1

26 * 2 3&

27 * 4 &' 4 4 &,

28 Bandas de energia para o poliacetileno 5 5

29 6 7 ) &'8 9

30 6 / : 2, /

31 -, 967 ; +. 4 < =>5& ;

32 ? - <

33 Invariante topológico do modelo SSH Mostramos que o modelo SSH pode ser escrito como: O número de vezes que o círculo encobre a origem é o invariante topológico chamado winding number

34 Invariante topológico do modelo SSH Lembrando que h(k) é periódico na zona de Brillouin... Para termos um número real, devemos ter Diferentes invariantes topológicos Estados de energia zero na borda (Estado não trivial).

35 Versão continua do modelo SSH Conhecemos a versão da rede: Podemos obter o Hamiltoniano de Bloch 2x2... Por conveniência podemos fazer:

36 Assim... Versão continua do modelo SSH Para baixos momentos: Equação de Dirac em 1+1 D com massa efetiva. Note que a única diferença é uma constante multiplicativa.

37 SISTEMA BIDIMENSIONAL: EFEITO HALL CLÁSSICO

38 EFEITO HALL CLÁSSICO Força total nula, logo Campo magnético na direção z e a Lei de Ohm, logo Portanto a resistividade será (2d resistividade=resistência)

39 , Hamiltoniano ***EFEITO HALL QUÂNTICO: NIVEIS DE LANDAU*** Niveis de energia ou Niveis de Landau são dados por

40 , ***TRANSPORTE QUÂNTICO*** Aspecto microscópico: Bandas de energia. Propagação de ondas na rede atômica. Aspecto macroscópico: Condutividade (local) Vs Condutância. Resistividade (local) Vs Resistência. Quantum de condutância: Canais de transmissão Condutividade (Fórmula de Landauer) Teoria de resposta linear Kubo Fórmula

41 , O quantum de condutância Qual a condutividade de uma onda plana??? Solução da Eq. Schrodinger:

42 , O quantum de condutância Corrente carregada pelo modo Corrente total num certo intervalo de energia

43 , O quantum de condutância Condutividade Valor universal Pode ser medido com alta precisão

44 , Fórmula de Landauer-Buttiker T= coeficiente de transmissão. R=coeficiente de reflexão. Para o IQHE, temos T=1 para cada n.

45 , Condutância de um nível de Landau Corrente elétrica supondo n niveis de Landau preenchidos:

46 , Condutância de um nível de Landau Condutividade quantizada Nível de energia quantizado

47 , RESUMINDO...

48 , RESUMO ATÉ AQUI: Isolantes são materiais que possuem um gap de energia em sua estrutura de banda. Condutividade Hall é uma condutividade elétrica transversa ao campo elétrico aplicado no material. Para campos suficientemente intensos, essa condutividade é quantizada devido aos níveis de Landau. AMANHÃ: Fase de Berry Condutividade Hall

49 , ISOLANTES TOPOLÓGICOS

50 ,

51

52 Como classificar essas novas fases da matéria??? Quebra espontânea de simetria!

53 Como explicar um mundo sem simetria, partindo de teorias totalmente simétricas? Em alguma escala essas teorias devem fornecer estados de mínima energia (mais favoraveis) que violam essas simetrias.

54 Sendo assim... Supercondutividade Densidade de pares de Cooper. Ferromagnetismo Magnetização. Condensado de Bose-Einstein Densidade de partículas.... Efeito Hall quântico??????? Não existe um parâmetro de ordem local?? A condutividade Hall não depende de detalhes do sistema. Ao contrário, é uma quantidade que não é alterada facilmente! É possível medir efeito Hall quântico inteiro em temperatura ambiente!

55 O efeito Hall quântico será classificado a partir de um invariante topológico. ***FASE DE BERRY*** A Fase de Berry é o termo independente de energia

56 A fase de Berry vem do fato de que os autovetores são diferentes em tempos diferentes. Então por que nunca estudamos a fase Berry antes em mecânica quântica??

57 Porque o vetor potencial de Berry é dependente de Gauge! Função completamente arbitrária! Então sempre é possível escolher um potencial vetor, tal que a fase de Berry é sempre zero! Certo?? A resposta é NÂO!

58 A Fase de Berry é real: A Fase de Berry depende de derivadas dos autovetores e é dependente de Gauge, como contornar esses problemas??

59 Buscando inspiração no eletromagnetismo...usando o teorema de Stokes: Assim obtemos a curvatura de Berry (invariante de Gauge) Um tipo de campo magnético no espaço de R. Resolvido o problema de dependência de Gauge e as derivadas??

60 Sejam m e n autovetores do Hamiltoniano, então Reescrevendo a Fase de Berry... Parte Real!! Não contribui para a fase de Berry...

61 Assim chegamos na equação final para a fase de Berry: Mas e se Em=En (niveis degenerados) no denominador da Eq. acima??? Vamos considerar um sistema de dois niveis de energia: + e -

62 Portanto: Usando o fato de que a fase de Berry deve ser real: Basta calcula a Fase de Berry para um dos niveis de energia Vamos fazer duas aplicações: (i) (ii) Dirac não massivo; Spin-S em um campo Magnético;

63 Fase de Berry para partícula não massiva de spin-1/2. Gradiente do Hamiltoniano. Os autovetores do Hamiltoniano:

64 Portanto Para obter a fase de Berry basta calcular o fluxo desse vetor Usando o teorema de Gauss temos: Resultado válido apenas em 2d!

65 Fase de Berry para partícula de spin-s em um campo magnético

66 Assim Para obter a fase de Berry basta calcular o fluxo desse vetor Usando o teorema de Gauss temos: Resultado válido apenas em 2d!

67 RESUMO ATÉ AQUI: Isolantes Topológicos são um novo estado da matéria que não podem ser descritos por quebra espontânea de simetria. O estado Hall quântico é um estado Topológico, pois não é descrito atrevés de um parâmetro local, como a Magnetização para o ferromagnetismo. A fase de Berry é um invariante topológico, pois depende apenas dos autovetores da teoria. O número de Chern é a fase de Berry dividido por 2 \pi.

68 RESTAM AS PERGUNTAS: Como classificar o efeito Hall quântico através da fase de Berry??? O estado Hall quântico não quebra nenhuma simetria??? PARTE II SERÁ DEDICADA A RESPONDER ESSAS PERGUNTAS!

69 FASE DE BERRY E CONDUTIVIDADE HALL

70 RESUMO ATÉ AQUI: Isolantes Topológicos são um novo estado da matéria que não podem ser descritos por quebra espontânea de simetria. O estado Hall quântico é um estado Topológico, pois não é descrito atrevés de um parâmetro local, como a magnetização para o ferromagnetismo. A fase de Berry é um invariante topológico, pois depende apenas dos autovetores da teoria. O número de Chern é a fase de Berry dividido por 2 \pi.

71 Vamos precisar discutir a evolução adiabática: Eq. De Schrodinger: Gap

72 Os coeficientes são dados por: Os teorema adiabático em ordem zero é: Quando os parâmetros variam adiabaticamente, os autovetores instantâneos do Hamiltoniano não mudam! Não ocorrem transições de um estado n para um estado m. Note que aqui supomos um gap de energia entre esses estados!

73 Não queremos essa solução... Em primeira ordem, temos Isso implica para o autovetor...

74 Teoria de resposta linear

75 Usando o teorema adiabático quântico... Obtemos as condutividades elétricas longitudinais e transversais

76 Os resultados:

77 Como obter a condutividade Hall em uma descrição contínua??

78 Como obter a condutividade Hall em uma descrição contínua?? Condição de causalidade Finalmente temos a famosa fórmula de Kubo para condutividade elétrica

79 O grande interesse é a condutividade elétrica d.c Em um modelo com interação U(1), temos... Somente gráficos 1PI contribuem

80 RESTAM AS PERGUNTAS (E AS DE VOCÊS...) Como classificar o efeito Hall quântico através da fase de Berry A Condutividade Hall é a integral da curvatura de Berry, em toda a primeira zona de Brillouin, de todas as bandas preenchidas. ESSE VALOR É QUANTIZADO?? SIM, pois os autovetores admitem um único valor para cada ponto do espaço dos parâmetros O estado Hall quântico não quebra nenhuma simetria???

81 SIMETRIA DE INVERSÃO TEMPORAL T As Leis físicas são invariantes sobre T. Simetria discreta. Não é facilmente quebrada. Um campo magnético externo viola T. Antes de 2005 acreditava-se que o efeito Hall quântico implicava violação de T. Efeito Hall quântico de spin NÂO VIOLA T. Mas, o efeito Hall quântico inteiro quebra T.

82 SIMETRIA DE INVERSÃO TEMPORAL T: Partícula sem spin Precisamos que a relação canônica de comutação seja invariante por T Portanto T Conjugação complexa. T Operador antiunitário.

83 Simetria T: Partículas sem spin no cristal O que ocorre com os operadores no espaço de posição e momento? No Hamiltoniano de Bloch?

84 Simetria T: Partículas sem spin no cristal Primeira consequência: Partículas sem /com spin e com invariância de T não podem apresentar efeito Hall quântico! F(k)+F(-k)=0!!

85 Simetria T: Partículas com spin Rotação de pi em torno do eixo-y. Spin semi-inteiro

86 Simetria T: Partículas com spin-1/2 Representação da simetria T para particula de spin-1/2:

87 Simetria T: O teorema de Kramer: spin ½. Considere um Hamiltoniano invariante por T, logo Seja Um autoestado de H, então Também é autoestado de H. com a mesma energia E. Finalmente eles são ortogonais:

88 Simetria T: Elétrons com spin na rede. O Hamiltoniano genérico é O operador T muda o spin: Com base nessas relações é possível mostrar que O operador T modifica o Hamiltoniano de Bloch k -k, esse operador atua apenas nos orbitais de spin!

89 Simetria T: Elétrons com spin na rede. Para os autoestados u> do Hamiltoniano de Bloch Existem pontos do espaço de momento onde o Hamiltoniano de Bloch é invariante. Nesses podemos aplicar o teorema de kramers, por exemplo os valleys do grafeno. Conclusão: Não há dupla degenerescência, pois k - k e h(k) é diferente de h(-k). Exceto para um conjunto particular de pontos G/2, no qual h(g/2)=h(-g/2), a dupla degenerescência é preservada!.

90 , RESUMO ATÉ AQUI: A FASE DE BERRY é uma quantidade topológica, pois está codificada nos autovetores da teoria. Condutividade Hall é a soma das fases de Berry de todas as bandas preenchidas dividido por 2 \pi o que é igual ao número de Chern. A fórmula de Kubo é equivalente ao resultado obtido via teoria de banda. AMANHÃ: Grafeno e Férmions de Majorana.

91 O GRAFENO Descoberto experimentalmente em 2004 (A.Geim e K. Novoselov, prêmio Nobel 2010). Uma camada fina de átomos de carbono. Átomos de carbono fortemente arranjados em uma rede hexagonal. Material extremamente leve ~ 0.77 mg/m², melhor condutor elétrico e térmico (T ambiente) conhecido pelo homem. A. Bernevig, Livro sobre isolantes topológicos e teoria do efeito Hall quântico de Spin (Modelo BHZ). John Colapinto. The New Yorker. Dez/2014

92 Rede do grafeno

93 Modelo tight-binding Elétrons livres no grafeno Transformada de Fourier (desconsiderando o spin...) Considerando apenas primeiros vizinhos

94 Elétrons livres no grafeno Obtemos o Hamiltoniano de Bloch

95 Partículas de Dirac sem massa nas proximidades dos pontos K e K!

96 Efeito Hall quântico relativístico no grafeno Novos níveis de energia de Landau Nivel de Landau para n=0 é parcialmente preenchido!

97 Resultados importantes sobre o grafeno: 1- Paradoxo de Klein; 2-Efeito Hall quântico inteiro em T ambiente; 3- Efeito Hall quântico fracionário; Interação! 4- Renormalização da velocidade de Fermi; Interação! 5- Produção de pseudo campo magnético de 600 Tesla através de tensão mecânica; Geração de um gap de energia (massa) no ponto de Dirac???

98 Paradoxo ou tunelamento de Klein Partícula na presença de uma barreira Solução para uma partícula clássica Partícula atravessa a barreira. Partícula é refletida pela barreira.

99 Paradoxo ou tunelamento de Klein Partícula na presença de uma barreira Solução para uma partícula quântica não relativística. Situação especial: Tunelamento quântico

100 Paradoxo ou tunelamento de Klein Para uma partícula de Dirac? Agora temos partículas com energia negativa. A. Geim et al, Nat. Phys. (2006).

101 Renormalização da velocidade de Fermi Relevância das interações no grafeno; Invariância de Lorentz no limite de densidade zero; A. Geim et al, Nat. Phys. (2011).

102 Pseudo campo magnético de 300 T no grafeno Gerado por deformação mecânica (strain); Acopla com sinal diferente em valleys diferentes; Possibilidade de estudar elétrons em espaços curvos; A. H. Castro Neto et al, Science. (2010).

103 Grafeno massivo: Modelo para um isolante topológico Generalização:

104 Conexão de Berry Diagonalizando o Hamiltoniano h:

105 Conexão de Berry Podemos calcular a conexão de Berry diretamente

106 Conexão de Berry Integrando a conexão de Berry sobre a superfície de Fermi... Metal com a superfície de Fermi banda de condução em E+

107 Curvatura de Berry Finalmente podemos obter a curvatura de Berry para o caso de um isolante (tomamos as soluções para E-)

108 A integral da curvatura de Berry O número de Chern Anomalia de Paridade? Portanto:

109 Efeito Hall quântico anômalo. O Hamiltoniano mais geral em 2-d para descrever um sistema com duas bandas é: S. C. Zhang et al, PRB. 74, (2006).

110 Efeito Hall quântico anômalo. Aplicando a fórmula de Kubo para a componente transversa:

111 Efeito Hall quântico anômalo. A componente transversa é: Podemos resolver a soma sobre as frequências de Matsubara:

112 Efeito Hall quântico anômalo. Subtração do termo de frequência zero: Portanto... Abrindo a soma em s,t temos:

113 Efeito Hall quântico anômalo. Substituindo a expressão para as correntes: Os únicos termos que contribuem são os que tem 3 matrizes de Pauli.

114 Efeito Hall quântico anômalo. Supondo que exista um gap de energia: Potencial químico dentro do gap: banda de valência preenchida e de condução vazia. Condutividade transversa Vs Número de Chern

115 Condutividade transversa para Dirac massivo: Hamiltoniana de Dirac massivo:

116 Condutividade transversa para Dirac massivo: A diferença entre as condutividades para massa positiva e negativa fornecem uma condutividade Hall inteira! Mas a condutividade Hall não é quantizada? Existe um salto de condutividade ao fechar e abrir o gap (quando m atravessa um valor negativo para um positivo, necessariamente existe um ponto no qual m=0!). Isso é uma transição entre estados topológicos. A teoria na rede captura a quantização melhor que a teoria contínua!? Segundo A. Bernevig, devido a problema de regularização nenhuma teoria contínua seria capaz de capturar a quantização exata na condutividade Hall. Em 1989 A. Coste and Luscher mostraram que ao impor LARGE GAUGE TRANSFORMATION INVARIANCE na teoria de Dirac sem massa, nós recuperamos a quantização exata no termo de Chern-Simons (o que implica quantização da condutividade Hall). Em 2015, esse resultado foi interpretado como o efeito Hall quântico de valley no grafeno.

117 Condutividade transversa para Dirac massivo: Mas como abrir o gap no grafeno? Potencial químico nas subredes A e B? Semenoff, Fluxo alternado de campo magnético? Haldane PRL, Influência de substratos (h-bn, hexagono com Boron e Nitrato)~53 mev. Interação spin-órbita, elétron-elétron?

118 Teoria de Dirac na rede: Sistema sem gap nesses pontos. Somente nessas transições ocorre mudança de topologia!

119 Teoria de Dirac na rede: Em primeira ordem: Teoria de Dirac Em segunda ordem: Versão do modelo BHZ (Efeito Hall quântico de Spin), i.e, uma componente diagonal do modelo BHZ.

120 Efeito Hall quântico de spin Isolante topológico que preserva a simetria T. Sem campo magnético externo. Acumulo de corrente de spin nas bordas. Primeiro foi idealizado por Kane e Mele (2005) para o grafeno, mas como a interação spin-órbita não é grande (átomos de carbono são leves), então em 2006 Bernevig, Hughes e Zhang (BHZ) propuseram um novo modelo adequado para barreiras de HgTe. Em 2007 foi verificado experimentalmente por Molenkamp et al.

121 O Estado de Borda e de Energia Zero Embora falamos de correntes na borda, até agora tudo que fizemos foi calcular quantidades no bulk (centro). Equação De Dirac Separação de variáveis e a solução em y

122 O Estado de Borda e de Energia Zero Usando a Eq. de Dirac, temos Procurando por soluções com E=0 (estados de borda). Onda se propagando na direção x!

123 O Estado de Borda e de Energia Zero Solução final: Propriedades: Localizado nas bordas: Propaga-se na direção x. Estado quiral. E=0, modo de energia zero, outra indicação que está na borda. Correspondência borda-centro centro.

124 Propriedades: Correspondência bulk-edge (centro-borda) O número de Chern é a diferença entre o número de estados de borda que se propagam para a direita e os que se propagam para a esquerda. Esses estados devem cruzar a energia de Fermi. O número de Chern não pode ser modificado por mudanças adiabáticas no Hamiltoniano. Essa quantidade depende de detalhes do Hamiltoniano, ou seja, é uma Essa quantidade depende de detalhes do Hamiltoniano, ou seja, é uma informação codificada nos autovetores do bulk.

125 Férmions de Majorana: Supercondutores Topologicos Soluções reais para a Eq. De Dirac. O férmion de Majorana é a sua própria anti-partícula. Decomposição em férmions de Majorana sempre é possível. Férmions de Majorana não são férmions!. Física de partículas: Neutrino??? Matéria condensada: Estados de borda de uma nanofita na proximidade de um supercondutor, ex: cadeia de Kitaev. Relevância para computação quântica. Estados topologicamente protegidos podem formar qubits protegidos contra desordem e interação com o ambiente. Estatística não abeliana.

126 Supercondutores Topológicos

127 Cadeia de Kitaev Fio quântico em cima de um supercondutor 3-d; Devido a presença do supercondutor a simetria U(1) deve ser quebrada; mas vamos preservar a simetria Z2 É possível construir um modelo em 1-d com estados de borda?

128 Cadeia de Kitaev Modelo 1-d; Elétron com um único spin!, vamos dizer s=+1/2. Potencial químico. Parâmetro de salto (energia cinética). Supercondutor tipo-p. Momento angular não nulo. Quebra U(1).

129 Cadeia de Kitaev Usando a transformada de Fourier em 1-d. Energia cinética deslocada, devido ao potencial químico

130 Cadeia de Kitaev O Hamiltoniano de Bloch é

131 Cadeia de Kitaev Usando a propriedade conhecida: Os autovalores da cadeia de Kitaev são Gap? Transição topológica? É possível fechar o gap? Sim!

132 Cadeia de Kitaev Invariante topológico da cadeia de Kitaev: Fase não trivial. Estados de borda, quais? Fase trivial. Sem estados de borda Fase trivial Fase trivial Fase de Majorana

133 Cadeia de Kitaev Quem são os estados de borda? Escolhendo a fase não trivial Versão com férmions de Majorana;

134 6. REFERÊNCIAS PRINCIPAIS [1] 3 * 3&9 < A 9 2& 8)$ [2] <1 <?>B9 >B B < B < 8)C [3] 7 D; EF < + 2 2& 8)C GCH F D 1 7D D> 9 ;; 8)C [5]*A DI=;+&&*=5I&J DK))8L%88L( GMH 1 & &

135 Agradecimentos