Análise de Algoritmos

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1 Análise de Algoritmos Análise assintótica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março

2 f (n) = 5n 3 + 3n g(n) = 2n 3 + n 2. Estamos interessados em comparar essas funções quando o tamanho da entrada for muito grande.

3 É comum que T (n) tenha constantes sendo somadas ou multiplicadas pelos seus termos. Exemplos: T (n) = f (n) = 5n 3 + 3n T (n) = g(n) = 2n 3 + n 2. Nesse link, observe como cada um dos termos de um polinômio influencia no crescimento da função. Note como uma multiplicação pelo termo de maior grau tem maior poder de alterar o comportamento da função.

4 Primeira regra: Como os termos de menor valor (de menor grau, no caso dos polinômios) tem pouca influência no comportamento da função. Os mesmos são desconsiderados na análise assintótica.

5 Imagine que para uma determinada constante (a) foram determinados os números de instruções que os algoritmos executam: ax 2, ax 3, ax 4 e ax 10, todos em função do tamanho da entrada (x). Observando o mesmo link, veja como a alteração na constante a, que multiplica o termo de maior grau, não modifica a ordem de crescimento das funções. Ou seja: a função que cresce mais rápido, continua crescendo mais rápido e a que cresce mais devagar, continua crescendo mais devagar. Segunda regra: O polinômio de maior grau sempre cresce mais rápido.

6 Agora, nesse link, considere a comparação das funções polinomial (ax b ) e exponencial (ab x ), onde x é o tamanho da entrada. Veja como a constante que multiplica os termos (a) influencia menos o comportamento das funções que a constante b, usada como expoente em uma função e como base na outra.

7 Veja como as constantes tem pouca influência na velocidade de crescimento das funções.

8 Terceira regra: Para fazer a análise pode-se desconsiderar até mesmo as constantes que multiplicam os termos de maior ordem.

9 Análise de Algoritmos Vamos comparar algumas funções comuns que representam número de instruções:

10 Análise de Algoritmos Vamos comparar algumas funções comuns que representam número de instruções:

11 Notação O Uma função f (x) pertence à O(g(x)), se existem duas constantes positivas c e n tais que f (x) c.g(x), para todo x n. Denota-se f (x) O(g(x)). Um abuso de notação (muito usado): f (x) = O(g(x)),

12 Notação O No geogebra, veja um exemplo de uma função f (x) O(g(x)).

13 Teorema 3.1 (U. Mamber) para todas as constantes c > 0 e a > 1, e para todas as funções f (n) monótonas crescentes, (f (n)) c O(a f (n) ). Veja no Geogebra um exemplo! Quarta regra: uma função exponencial cresce mais rápido que uma polinomial.

14 Teorema 3.1 (U. Mamber) para todas as constantes c > 0 e a > 1, e para todas as funções f (n) monótonas crescentes, (f (n)) c O(a f (n) ). Aplicando o Teorema 3.1 em f (n) = n: n c O(a n ). Aplicando o Teorema 3.1 em f (n) = log a n: (log a n) c O(a log a n ) = O(n).

15 Lema 3.2 (U. Mamber) Se f (n) O(p(n)) e g(n) O(q(n)), então f (n) + g(n) O(p(n) + q(n)) e f (n) g(n) = O(p(n) q(n)).

16 prova: Por definição da notação O, existem constantes c 1, n 1, c 2 e n 2, tais que f (n) c 1 p(n), para todo n n 1 e g(n) c 2 q(n), para todo n n 2. Então, f (n) + g(n) c 1 p(n) + c 2 q(n). Seja c = max c 1, c 2. Então, f (n) + g(n) c 1 p(n) + c 2 q(n) cp(n) + cq(n) = c(p n ) + q(n)). Portanto, f (n) + g(n) c(p(n) + q(n)) e, por definição, f (n) + g(n) O(p(n) + q(n)).

17 Além disso, f (n) g(n) c 1 p(n) c 2 q(n) = c 1 c 2 p(n) q(n). Considere a constante c = c 1 c 2. Então, f (n) g(n) c 1 c 2 p(n) q(n) = c p(n) q(n). Então, f (n) g(n) c p(n) q(n) e, por definição, f (n) g(n) O(p(n) q(n)).

18 Notação Ω Uma função f (x) pertence à Ω(g(x)), se existem duas constantes positivas c e n tais que f (x) c.g(x), para todo x n. Denota-se f (x) Ω(g(x)). Um abuso de notação (muito usado): f (x) = Ω(g(x)),

19 Notação Ω Uma função f (x) pertence à Ω(g(x)), se existem duas constantes positivas c e n tais que f (x) c.g(x), para todo x n.

20 Notação Ω O exemplo apresentado no Geogebra é um pouco menos intuitivo.