3. ANÁLISE DE COMPLEXIDADE PESSIMISTA

Transcrição

1 3. ANÁLISE DE COMPLEXIDADE PESSIMISTA Este capítulo introduz uma metodologia para analisar a complexidade pessimista (i. e. no pior caso) de um algoritmo com base em sua estrutura. O processo de construção de um algoritmo seria mais eficaz se a complexidade fosse um fator integrante do projeto do mesmo. Apesar de a complexidade ser uma medida muito particular à classe do algoritmo que está sendo analisado, alguns aspectos do cálculo da complexidade não dependem do que faz o algoritmo. Entre as medidas de complexidade, a complexidade no pior caso é o critério de avaliação mais utilizado. Serão estudadas, uma a uma, as principais estruturas algorítmicas a seguir: o Atribuição: v e, o Seqüência (ou composição): S ; T, o Condicional: se b então S senão T (ou se b então S), o Iteração definida (ou incondicional): para i de j até m faça S, o Iteração indefinida (ou condicional): enqto b faça S. Na seção 2 do capítulo 2 (cf ), introduzimos as seguintes variantes para o critério pessimista de complexidade de um algoritmo a: c P = [ a ](n) := Máx { desemp[ a ](d) IN / tam(d) = n }, c P < [ a ](n) := Máx { desemp[ a ](d) IN / tam(d) < n }; onde desemp[ a ](d) := custo(exec[ a ](d)). Neste capítulo daremos ênfase à variante c P < [a](n), onde vários resultados podem ser adaptados para a variante c P = [a](n). Entre as medidas de complexidade, a complexidade no pior caso é o critério de avaliação mais utilizado. Visão geral do capítulo 3.1 Preliminares e conceitos auxiliares. Introduz algumas idéias básicas importantes e conceitos auxiliares, como os de absorção e máximo assintótico em ordem, que serão usadas a seguir. 3.2 Equações de complexidade pessimista. Estuda a complexidade de cada uma das principais estruturas algorítmicas, estabelecendo equações, ilustradas por exemplos simples. 3.3 Exemplos de aplicação. Ilustra a metodologia da seção 3.2, aplicando-a a alguns exemplos de algoritmos. 3.1 PRELIMINARES E CONCEITOS AUXILIARES A motivação é reduzir o desempenho - e a complexidade - de um algoritmo à informações sobre suas partes. Podemos operar ponto a ponto com funções. Consideremos funções f e g de um conjunto D no conjunto IR+, onde definimos sua soma pontual por: ( f + g )(d) := f(d) + g(d), para cada d D. Definimos, ainda, seu máximo e mínimo pontuais, respectivamente, por: Máx ( f, g )(d) := Máx { f(d), g(d) } e mín ( f, g )(d) := mín { f(d), g(d) } Idéias básicas: componentes de algoritmos A complexidade de um algoritmo poderá ser obtida a partir das complexidades das suas partes. Em geral, cada componente executada dá sua contribuição para o desempenho e a complexidade do algoritmo.

2 Torna-se conveniente classificar as componentes de um algoritmo em conjuntivas ou disjuntivas, conforme sejam sempre executadas ou não. Por exemplo, no (trecho de) algoritmo j i + 1 ; k i - 1, essas duas atribuições são suas componentes conjuntivas. Por outro lado, essas duas atribuições são as componentes disjuntivas do (trecho de) algoritmo se i j então j i + 1 senão k i - 1. Consideremos um algoritmo a 0 com duas componentes a 1 e a 2. Para entradas de tamanho até n, a complexidade pessimista, pela sua própria definição, dá uma cota superior para o desempenho: para uma entrada d com tam(d) < n, sabemos que desemp[ a j ](d) < c P < [ a j ](n), para j = 0, 1, 2. Para o caso de componentes conjuntivas, na execução do algoritmo a 0 sobre entrada d, temos esforços computacionais associados às execuções das duas componentes a 1 e a 2. Assim, o desempenho do algoritmo a 0,com entrada d é dado por: desemp[ a 0 ](d) = desemp[ a 1 ](d) + desemp[ a 2 ](d) (3.1.1). Como as complexidades pessimistas dão cotas superiores para os desempenhos, temos: desemp[ a 0 ](d) < c P < [ a 1 ](n) + c P < [ a 2 ](n). Assim, pela definição de complexidade pessimista, obtemos a seguinte cota superior: c P < [ a 0 ](n) < c P < [ a 1 ](n) + c P < [ a 2 ](n). Por outro lado, pela equação (3.1.1) os desempenhos das partes dão cotas inferiores: desemp[ a j ](d) < desemp[ a 0 ](d), para cada j = 1, 2. De novo, como a complexidade pessimista é cota superior para o desempenho, temos: desemp[ a i ](d) < c P < [ a 0 ](n), para cada i = 1, 2. Assim, pela definição de complexidade pessimista, obtemos as seguintes cotas inferiores: c P < [ a j ](n) < c P < [ a 0 ](n), para cada j = 1, 2. Portanto, da definição de máximo pontual, vem a seguinte cota inferior para c P < [ a 0 ]: Máx ( c P < [ a 1 ], c P < [ a 2 ] )(n) < c P < [ a 0 ](n). Princípio das partes conjuntivas Para o caso de componentes conjuntivas, com o exemplo do algoritmo anterior, a complexidade pessimista do algoritmo a 0 tem cotas. Máx ( c P < [ a 1 ], c P < [ a 2 ] ) < c P < [ a 0 ] < c P < [ a 1 ] + c P < [ a 2 ]. Logo, a complexidade pessimista do algoritmo a 0 tem ordem Θ ( c P < [ a 1 ] + c P < [ a 2 ] ). Consideremos agora um algoritmo a 0 com duas componentes a 1 e a 2 disjuntivas. Neste caso, temos esforços computacionais associados às execuções ora da componente a 1, ora da componente a 2. Assim, para cada entrada d, temos: desemp[ a 0 ](d) = desemp[ a 1 ](d) ou desemp[ a 0 ](d) = desemp[ a 2 ](d) (3.1.2). Como as complexidades pessimistas dão cotas superiores para os desempenhos, temos: desemp[ a 0 ](d) < c P < [ a 1 ](n) ou desemp[ a 0 ](d) < c P < [ a 2 ](n). Assim, pela definição de máximo pontual, obtemos a seguinte cota superior: desemp[ a 0 ](d) < Máx (c P < [ a 1 ], c P < [ a 2 ] )(n). Portanto, pela definição de complexidade pessimista, obtemos a seguinte cota superior: c P < [ a 0 ](n) < Máx (c P < [ a 1 ], c P < [ a 2 ] )(n). Por outro lado, como a complexidade pessimista é cota superior para o desempenho, da expressão (3.1.2) temos: se desemp[ a 0 ](d) = desemp[ a 1 ](d), então: desemp[ a 1 ](d) < c P < [ a 0 ](n); se desemp[ a 0 ](d) = desemp[ a 2 ](d), então: desemp[ a 2 ](d) < c P < [ a 0 ](n). Assim, para qualquer entrada d com tam(d) < n, temos a seguinte cota inferior: Máx { desemp[ a 1 ](d), desemp[ a 2 ](d) } < c P < [ a 0 ](n). Logo, para o pior caso de entradas com tamanho até n, temos a cota inferior: Máx { Máx { desemp[ a 1 ](d), desemp[ a 2 ](d) } / tam(d) < n } < c P < [ a 0 ](n).

3 Mas, pode-se mostrar que Máx { c P < [ a 1 ](n), c P < [ a 2 ](n) } é uma cota inferior para: Máx { Máx { desemp[ a 1 ](d), desemp[ a 1 ](d) } / tam(d) < n }. Portanto, a definição de máximo pontual, vem a ser cota inferior para c P < [ a 0 ]: Máx ( c P < [ a 1 ], c P < [ a 2 ] )(n) < c P < [ a 0 ](n). Princípio das partes disjuntivas Para o caso de componentes disjuntivas, com o exemplo do algoritmo anterior, a complexidade pessimista do algoritmo a 0 tem cotas. c P < [ a 0 ] = Máx ( c P < [ a 1 ], c P < [ a 2 ] ). Logo, a complexidade pessimista do algoritmo a 0 tem ordem Ω ( c P < [ a 0 ] ) Conceitos auxiliares Os conceitos de absorção e máximo assintótico (em ordem) são motivados por idéias de reduzir a complexidade de um algoritmo às ordens das suas partes. A idéia de uma componente de um algoritmo absorver outra se aplica quando ambas as componentes são conjuntivas. Para o caso de componentes disjuntivas, aparece a idéia de máximo assintótico, que será considerada em seguida. Uma complexidade é absorvida por outra, por exemplo, se ambas são polinômios na mesma variável. Nesse caso, a complexidade de menor grau é absorvida. Assim, n é absorvida por n 2. Também, n. logn é absorvida por n 2. Dadas funções f e g de IN em IR+, dizemos que f é absorvida por g, sse, f é O( g ). Isto significa que: ( c IR+) ( n 0 IN) ( n > n 0 ): f(n) < c. g(n). Princípio da absorção Para funções f e g de IN em IR+, se f é absorvida por g, sua soma pontual f + g é Θ ( g ). Assim, como n. logn é absorvida por n 2, a soma ( n. logn + n 2 ) é Θ ( n 2 ). Máximo assintótico Considerando funções f e g de IN em IR+, vamos a seguir examinar algumas expressões mais simples para a ordem do máximo pontual Máx ( f, g )(n) := Máx { f(n), g(n) }. Pode acontecer, no entanto, que não exista uma dominância. Quando isso acontece, uma solução simplista, mas muitas vezes usada, é utilizar para a ordem do máximo pontual Máx ( f, g ) a soma pontual, dada por ( f + g )(n) := f(n) + g(n). Inicialmente, é claro que o máximo assintótico deve ser comutativo. (i): MxAO ( f, g ) = MxAO ( g, f ). Devemos também requerer que as funções sejam dominadas. (ii): f = O( MxAO ( f, g ) ) e g = O( MxAO ( f, g ) ). Podemos exigir que o máximo assintótico seja a melhor cota superior. (iii): MxAO ( f, g ) = O( h ), sempre que f = O( h ) e g = O( h ). Podemos requerer também a seguinte propriedade. (iv): MxAO ( f, g ) = g, sempre que ( n 0 IN) ( n > n 0 ): f(n) < g(n). Consideremos, por sua vez, funções f e g de IN em IN. O que devemos esperar de seu máximo assintótico MxAO ( f, g )?

4 3.2 EQUAÇÕES DE COMPLEXIDADE PESSIMISTA Precisamos das complexidades das componentes básicas e saber como combinar complexidades de componentes. Vamos analisar a complexidade de cada uma das principais estruturas algorítmicas. Daremos ênfase à variante c P < [a], cuja notação simplificaremos para c P [a]. Vários resultados podem ser adaptados para a variante c P = [a] Atribuição Exemplo Considere as atribuições a seguir: a) Para variáveis inteiras i e j: i 0 {inicialização} ; j i {transferência}. Ambas têm complexidade constante: Θ (1). b) Para lista v de inteiros e variável inteira m: m Max(v) {valor máximo}. Esta atribuição envolve (sendo n o comprimento da lista em v): - determinar o máximo da lista v, com complexidade Θ (n); - transferir este valor, com complexidade Θ (1). Sua complexidade tem ordem linear: Θ (n). c) Para listas u, v e w: u v {transfere lista}; w Reversa(v) {inverte lista}. A atribuição de transferência de cada elemento da lista v, tendo complexidade O (n), para uma lista u com comprimento n. A atribuição w Reversa(v) envolve: - inverter a lista v, com complexidade Θ (n); - transferir os elemento da lista invertida, com complexidade Θ (n). Sua complexidade tem ordem n + n, i. e. O (n). Assim, o desempenho da atribuição v e, com entrada d é dado por: desemp[ v e ](d) = cálc[ e ](d) + transf[ e(d) ]. Complexidade pessimista da atribuição A complexidade pessimista da atribuição v e tem cotas: Máx ( c P [ e ], c P [ e ] ) < c P [ v e ] < c P [ e ] + c P [ e ]. Logo, a ordem da complexidade pessimista da atribuição v e é dada por: c P [ v e ] = O ( c P [ e ] + c P [ e ] ). Exemplo Para listas u e v de inteiros, temos: c P [ u Ordene(v) ] = O ( c P [ Ordene ] + c P [ Ordene(v) ] ). Supondo que Ordene é um algoritmo com tempo O ( n 2 ), teremos: c P [ u Ordene(v) ] = O ( n 2 + n ) = O ( n 2 ). Note que, se a operação fundamental é a comparação, então: c P [ u Ordene(v) ] = O ( c P [ Ordene ] ) Seqüência (ou composição) Exemplo Considere as seqüências a seguir: a) Para variáveis inteiras i e j: i 0 ; j i. Sua complexidade tem ordem 1 + 1: Θ ( 1 ).

5 b) Para lista v de inteiros e variável inteira m: m Max(v) ; m m + 1. Sua complexidade tem ordem n + 1: O ( n ). c) Para listas u, v e w: u v ; w Reversa(v). Sua complexidade tem ordem n + n: Θ ( n ). Assim, o desempenho da seqüência S ; T com entrada d é dado por: desemp[ S ; T ](d) = desemp[ S ](d) + desemp[ T ](S(d)). Exemplo Considere o trecho de algoritmo: v Reversa(u) ; w Ordene(v), onde Reversa e Ordene têm complexidades Θ(n) e O(n 2 ), respectivamente. O algoritmo composto tem complexidade de ordem n + n 2, i. e. O ( n 2 ). Complexidade da seqüência com perservação (assintótica) de tamanho Se S preserva tamanho assintoticamente, então a complexidade pessimista da seqüência S ; T tem cotas: Máx ( c P [ S ], c P [ T ] ) < c P [ S ; T ] < c P [ S ] + c P [ T ]. A ordem da complexidade pessimista da seqüência S ; T é dada por: c P [ S ; T ] = O ( c P [ S ] + c P [ T ] ). Exemplo Dados algoritmos Prim(u) e Buscab(a,v), considere a seqüência: v Prim(u) ; Buscab( a, v ). Vamos supor que: - Prim(u) dá como saída a primeira metade da lista em u, com comprimento n / 2, e tem complexidade Θ ( n ); - Buscab( a, v ) procura a na lista v, com complexidade O ( logm ), para lista v com comprimento m. Assim, o algoritmo composto tem complexidade de ordem: n + log n / 2, ou seja O ( n ). Complexidade pessimista da seqüência (em geral) Para entradas com tamanho até n, i. e. s(n) := Máx { tam(s(d)) / tam(d) < n }, a complexidade pessimista da seqüência S ; T tem cotas: Máx ( c P [ S ](n), c P [ T ](s(n)) ) < c P [ S ; T ](n) < c P [ S ](n) + c P [ T ](s(n)). Logo, a complexidade pessimista da seqüência S ; T é dada por: c P [ S ; T ](n) = O ( c P [ S ](n) + c P [ T ](s(n)) ). Exemplo Considere a seqüência: v Prim(u) ; w Fin(u) ; v Ordene(v) ; w Ordene(w) ; u Concat( v, w ). Vamos supor que: - Prim é como no exemplo e, analogamente, Fin dá a segunda metade de sua entrada; - Ordene tem complexidade quadrática; - Concat( v, w ) dá como saída a concatenação das listas v e w, com complexidade O ( p + q ). Assim, o algoritmo composto tem complexidade de ordem: n + n + n n ( n 2 + n 2 ), ou seja O ( n2 ).

6 3.2.3 Condicionais Exemplo Considere as estruturas condicionais a seguir: a) Para variável inteira i: se i = 0 então i i + 1. Esta estrutura condicional envolve: - determinar se o valor de i é 0, com complexidade Θ ( 1 ); - se sim, executar a atribuição i i + 1, com complexidade Θ ( 1 ). Sua complexidade tem ordem constante: Θ ( 1 ). b) Para lista v de inteiros e variável inteira m: se m = 0 então m Max(v). Esta atribuição envolve: - determinar se o valor de m é 0, com complexidade Θ ( 1 ); - se sim, executar a atribuição m Max(v), com complexidade Θ ( n ). Sua complexidade, no pior caso, tem ordem linear: Θ ( n ). Assim, o desempenho desemp[ se b então S ](d) da estrutura condicional se b então S, com entrada d é dado por: aval[ b ](d) + desemp[ S ](d) caso o valor de b em d seja verdadeiro; aval[ b ](d) caso o valor de b em d seja falso. Complexidade da estrutura condicional simples A complexidade pessimista de se b então S tem cotas: c P [ b ] < c P [ se b então S ] < c P [ b ] + c P [ S ]. Logo, a ordem da complexidade pessimista de se b então S é dada por: c P [ se b então S ] = O ( c P [ b ] + c P [ S ] ). Exemplo Dados algoritmos Max e Ordene, (ex e 3.2.2), considere o seguinte trecho de algoritmo, para lista v de inteiros: se Max(v) = 0 então v Ordene(v). Para esta estrutura condicional temos: c P [ se Max(v) = 0 então v Ordene(v) ] = = O ( c P [ Max(v) = 0 ] + c P [ v Ordene(v) ] ). Como seus componentes têm complexidades pessimistas: c P [ Max(v) = 0 ] = O ( n ) e c P [ v Ordene(v) ] = O ( n 2 ); a ordem da complexidade pessimista desta estrutura condicional é: c P [ se Max(v) = 0 então v Ordene(v) ] = O ( n + n 2 ) = O( n 2 ). Exemplo Considere as estruturas condicionais a seguir: a) Para variáveis inteiras i e j: se i j então i i + j senão j i + 1. Esta estrutura condicional envolve: - saber se os valores de i e j são diferentes, tem complexidade Θ ( 1 ); - se sim, executar a atribuição i i + j, com complexidade Θ ( 1 ); - se não, executar a atribuição j i + 1, com complexidade Θ ( 1 ). Sua complexidade tem ordem constante: Θ ( 1 ). b) Para listas u e v (de inteiros): se u = v então v Prim(u) senão u Ordene(v). Esta estrutura condicional envolve: - determinar se as listas u e v são iguais, com complexidade O ( n ); - se sim, executar a atribuição v Prim(u), com complexidade O ( n ); - se não, executar a atribuição u Ordene(v), com complexidade O(n 2 ). Sua complexidade, no pior caso, tem ordem quadrática: O ( n 2 ).

7 Assim, a estrutura condicional se b então S senão T, com entrada d tem desempenho desemp[ se b então S senão T ](d) dado por: aval[ b ](d) + desemp[ S ](d) aval[ b ](d) + desemp[ T ](d) caso o valor de b em d seja verdadeiro; caso o valor de b em d seja falso. Complexidade pessimista da estrutura condicional composta A complexidade pessimista de se b então S senão T tem as cotas: inferior : Máx ( c P [ b ], c P [ S ], c P [ T ] ) < c P [ se b então S senão T ]; superior : c P [ se b então S senão T ] < c P [ b ] + MxAO ( c P [ S ], c P [ T ] ). A ordem da complexidade pessimista de se b então S senão T é dada por: c P [ se b então S senão T ] = O ( c P [ b ] + MxAO ( c P [ S ], c P [ T ] ). Exemplo Dados algoritmos Max, Reversa e Ordene (ex e 3.2.2), considere o seguinte trecho de algoritmo, para lista v de inteiros: se Max(v) > 0 então v Reversa(v) senão v Ordene(v). Para esta estrutura condicional temos: c P [ se Max(v) > 0 então v Reversa(v) senão v Ordene(v) ] = = O ( c P [ Max(v) > 0 ] + MxAO ( c P [ v Reversa(v) ],c P [ v Ordene(v) ] ) ). Suas componentes têm as seguintes complexidades pessimistas: c P [ Max(v) > 0 ] = O ( n ); c P [ v Reversa(v) ] = O ( n ) e c P [ v Ordene(v) ] = O ( n 2 ). Assim, temos o seguinte máximo assintótico em ordem de complexidades: MxAO ( c P [ v Reversa(v) ], c P [ v Ordene(v) ] ) = = MxAO ( n, n 2 ) = O( n 2 ). A ordem da complexidade pessimista desta estrutura condicional é: c P [ se Max(v) > 0 então v Reversa(v) senão v Ordene(v) ] = = O( n + n 2 ) = O( n 2 ).