Complexidade de Algoritmos. Edson Prestes

Transcrição

1 Edson Prestes

2 ACP - Condicionais A complexidade pessimista de se b então S é limitada da seguinte maneira A ordem da complexidade é

3 ACP - Condicionais Qual é a complexidade do seguinte trecho de algoritmo? se Max(v)=0 então v Ordene(v) Considerando c p [max(v) = 0] = n e c p [v ordene(v)] = n 2 A complexidade é dada por c p [Condicional] =c p [max(v) = 0] + c p [v ordene(v)] c p [Condicional] =n + n 2 = O(n 2 )

4 ACP - Condicionais Considere a condição mais geral se b então S senão T, os esforços para uma entrada d são iguais a aval[b](d)+desempenho[s](d), caso b seja verdadeiro, aval[b](d)+desempenho[t](d), caso b seja falso. Exemplo: Para variáveis inteiras i e j: se i j então i i + j senão j i + 1. Esta estrutura condicional envolve: - saber se os valores de i e j são diferentes, tem complexidade Θ( 1 ); - se sim, executar a atribuição i i + j, com complexidade Θ( 1 ); - se não, executar a atribuição j i + 1, com complexidade Θ( 1 ). A complexidade no pior caso é Θ(1)

5 ACP - Condicionais Exemplo: Para listas u e v (de inteiros): se u = v então v Prim(u) senão u Ordene(v). Esta estrutura condicional envolve: - determinar se as listas u e v são iguais, com complexidade O(n); - se sim, executar a atribuição v Prim(u), com complexidade O(n); - se não, executar a atribuição u Ordene(v), com complexidade O(n 2 ). Qual é a complexidade no pior caso? A complexidade no pior caso é O(n 2 )

6 ACP - Condicionais A complexidade pessimista de se b então S senão T tem as cotas: Inferior : Superior: A ordem de complexidade pessimista é igual a )

7 ACP - Condicionais Considere o exemplo Com c p [max(v) 0]=O(n), c p [v reversa(v)]=o(n), c p [v ordene(v) ]=O(n 2 ). Qual é a complexidade no pior caso? Logo, c p [se Max(v) 0 então v reversa(v) senão v ordene(v)]= O(n+n 2 )=O(n 2 ).

8 Considere a iteração para i de j até m faça S sobre uma entrada d a) para i de 1 até 20 faça m m+1 A complexidade é O(20.1)=O(1); b) para i de 1 até n faça s s+r[i] A complexidade é O(n.1)=O(n). c) para i de 1 até (n-1) faça Troca(A[i],A[i+1]) A complexidade é O((n-1).1) =O(n).

9 Para a iteração para i de j até m faça S sobre uma entrada d faça j=j(d); m=m(d) e N(d)=m-j+1. S é executado N(d) vezes da seguinte forma: S é executado com i=j sobre a entrada d produzindo S(d); S é executado com i:=j+1 sobre a entrada S(d) produzindo S(S(d))=S 2 (d);... S é executado com i:=m sobre a entrada S N(d)-1 (d) resultando em S N(d) (d). O desempenho é calculado levando em consideração a soma dos desempenhos de S para cada entrada d, S(d), S 2,, S N(d)-1 (d) Logo, desemp[ para i de j até m faça S ](d) é dado pelo somatório:

10 Iteração definida com preservação (assintótica) de tamanho, A complexidade de para i de j até m faça S tem cotas Portanto, a ordem da complexidade pessimista é dada por onde

11 Qual é a complexidade do trecho para i de 1 até p faça Busca(A[i],v)? Onde Busca procura um valor na lista v com complexidade O(log n). Sabemos que v = m A complexidade do algoritmo é O(p log m). Fazendo n=max(p,m) temos O(nlogn).

12 Considere a iteração definida para i de j até m faça S onde S preserva o tamanho da entrada d, i. e. tam(s(d))=tam(d) e C p [S](n) é um polinômio de grau k, i. e., C p [S](n)=O(n k ). a) Neste caso, temos c P [ para i de j até m faça S ] = O(N* (n).n k ) b) No caso em que N(n) não depende de n teremos c P [ para i de j até m faça S ] = O(nk )

13 Complexidade pessimista geral A complexidade de para i de j até m faça S tem cotas Superior: onde: Inferior : A ordem da complexidade pessimista de para i de j até m faça S

14 Considere o seguinte trecho para i de 1 até n faça Busca(A[i],B[i..n]) onde Busca(a,B[i..n]) procura a na parte em B[i..n] com complexidade linear no tamanho de B, ou seja, O(m), onde m=n-i+1. onde s k (m)=m-k. Portanto, Qual é a complexidade do algoritmo?

15 Considere a seqüência (n-i) k para i variando de 1 até n. Mostre que Assumindo que temos Portanto