Projeto e Análise de Algoritmos
|
|
- Roberto Aurélio Duarte Mangueira
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Projeto e Análise de Algoritmos Conceitos básicos Metodo de provas: Indução Diane Castonguay diane@inf.ufg.br Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás
2 Notações = para todo = existe! = único = produto = soma = implica = se e somente se = divide tq = tal que
3 Notações N = conjunto dos inteiros naturais = {0, 1, 2,...} Z = conjunto dos inteiros = {0, ±1, ±2,...} Q = conjunto dos números racionais = {x : a, b Z, (b 0) tal que x=a b} = {x : a, b Z, (b 0) tal que bx=a} R = conjunto dos números reais N * = conjunto dos naturais positivos = {1, 2,...} R + = conjunto dos números reais não-negativos = { x R : x 0}
4 Funções: Pisos e Tetos Seja x R. Denotamos o maior inteiro menor que ou igual a x por x (piso) e o menor inteiro maior que ou igual a x por x (teto). x-1 < x x x < x+1
5 Funções: Pisos e Tetos Propriedades Seja n Z. n/2 + n/2 = n Sejam x R +, a, b N *. n/a /b = n/ab n/a /b = n/ab a/b (a + (b-1))/b a/b (a - (b-1))/b
6 Funções: Aritmética modular Teorema: Sejam a Z e n N *.! q Z e r N, 0 r < n tais que a = qn + r, O quociente da divisão de a por n, q, é o piso de a/n. Notação: a div n = q = a/n O resto da divisão de a por n, r, é dado por a- a/n *n Notação: a mod n = r = a- a/n *n
7 Funções: Fatoriais Definição recursiva de n! 0! = 1 (n+1)! = (n+1)*n! para n 0 Exemplo 3! = 3*2! = 3*2*1! = 3*2*1*0! = 3*2*1*1 3! = 6
8 Funções: Exponenciais Para todos os valores a 0, m, n reais, temos as seguintes identidades a 0 = 1 a 1 = a a -1 = 1/a (a m ) n = a mn = (a n ) m a m a n = a m+n
9 Funções: Exponenciais e x =1 x x 2 2! x3 3!...= i=0 Temos que: e x 1+x para x 1, 1+x e x 1+x+x 2 e x =1+x+ (x 2 ) lim n 1 x n n =e x x i i!
10 Funções: Logaritmos Notações lg n = log 2 n (logaritmo binário) ln n = log e n (logaritmo natural) lg k n = (lg n) k (exponenciação) lg lg n = lg(lg n) (composição)
11 Funções: Logaritmos Notações { n se i = 0 lg (i) n = lg(lg (i-1) n) se i > 0 e lg (i-1) n > 0 indefinido se i > 0 e lg (i-1) n < 0 ou lg (i-1) n é indefinido lg * n = min{i 0 : lg (i) n 1} (log estrela)
12 Funções: Logaritmos Propriedades Para todo a > 0, b > 0, c > 0 e n a = b log a b log c (ab) = log c a + log c b log b a n = n log b a log b a = log c a /log c b a log b n = n log b a
13 Funções: Somatórias n i=1 i 2 i = n 1 2 k 1 2, para k 1 n H n = i=1 1 i H n é o k ésimo número harmonico ln n H n 1 ln n n i=1 H i = n 1 H n n
14 Funções: Somatórias n = j=1 Expandindo e Contraindo Somas n S 2 = k =1 n n 1 j 1 j 2 n k 2 = j=1 n k= j n = 1 2 j=1 k n n n 1 j=1 j j 2 S 2 = 1 2 n n 1 2 n S 2 S 2 = 1 6 n 2n 1 n 1
15 Funções: Somatórias Dividindo as Somas n k=n 0 n k 2 = k=1 n 0 1 k 2 k=1 = 1 6 n 2n 1 n n n n 0 = 1 6 [ n n 1 2n 1 n 0 n n 0 1 ] k 2
16 Notação Assintótica: Definição O Sejam f, g : R R (ou N N) duas funções. Dizemos que: f(n) О(g(n)) se exitem duas constantes positivas c, n 0 > 0 tais que f(n) c g(n) n n 0.
17 Notação Assintótica: Definição Sejam f, g : R R (ou N N ) duas funções. Dizemos que: f(n) (g(n)) se exitem duas constantes positivas c, n 0 > 0 tais que c g(n) f(n) n n 0.
18 Notação Assintótica: Definição Sejam f, g : R R (ou N N ) duas funções. Dizemos que: f(n) (g(n)) se f(n) О(g(n)) e f(n) (g(n)) Notação: Por abuso de linguagem, dizemos que f(n) = (g(n))
19 Notação Assintótica: Polinômios Um polinômio em n de grau d é dado da forma d P n = i=0 a i n i, a d 0 Observação: P(n) = (n d ) Dizemos que uma função é limitada polinomialmente se f(n) = O(n k ) para alguma constante k
20 Notação Assintótica: Polinômios e Exponenciais Para todas constantes reais a e b, a >1, temos lim n n b a n =0 Conclusão n b = O(a n )
21 Notação Assintótica: Fatorial e log n! = O(n n ) n! = (2 n ) log(n!) = (n log n) para qualquer a > 0. lg n = O(n a ) lg k n = (lg n) k = O(n a ) para qualquer k
22 Notação Assintótica: Somatórias Dividindo as Somas n k=n 0 n k 2 = k=1 n 0 1 k 2 k=1 = 1 6 n 2n 1 n n n n 0 k 2 = 1 6 [ n n 1 2n 1 n 0 n n 0 1 ]
23 Metodos de provas: p q Prova direita p q Prova por contraposição p q Prova por contradição ( p q )
24 Metodos de provas Prova por Construção Contre-exemplo Prova por casos INDUÇÃO
25 Prova direita: p q Teorema Sejam f, g, h : R R (ou N N) três funções. Se f(n) О(g(n)) e g(n) О(h(n)) então f(n) О(h(n)) Prova feita em sala de aula.
26 Prova por contraposta: p q Reformulação du Teorema Sejam f, g, h : R R (ou N N) três funções. Se f(n) О(h(n)) então f(n) О(g(n)) OU g(n) О(h(n))
27 Prova por contradição: (p q) Teorema: O número 2 é irracional Prova feita em sala de aula.
28 Prova por Construção Teorema Existem s e t dois inteiros tais que 5s+7t=1.
29 Contre-exemplo Afirmação falsa Sejam f, g: R R (ou N N) duas funções. Se f(n) О(g(n)) então g(n) О(f(n)). Prova feita em sala de aula.
30 Prova por casos max(a, b) a
31 Prova por Indução Problema: Seja P uma propriedade. Queremos ver que P(n) é verdadeira para todo os inteiros naturais n.
32 Prova por Indução BASE Prove que P(1) é verdadeira HIPOTESIS DE INDUÇÃO Suponha que P(k) é verdadeiro para algum PASSO DE INDUÇÃO Mostre que P(k+1) é verdadeira
33 INDUÇÃO Teorema Seja n um inteiro positivo então n < 2 n.
34 Corolario lg n o(n) provar por contradição que n O(lg n)
35 /* * Ordena um vetor. * O comprimento do vetor é denotado por comprimento[a]. */ INSERTION-SORT(A) 1. para j 2 até comprimento[a] faça 2. chave A[j] 3. // Inserir A[j] na seqüência ordenada A[1..j-1] 4. i j-1 5. enquanto i > 0 e A[i] > chave faça 6. A[i+1] A[i] 7. i i-1 8. fim-enquanto 9. A[i+1] chave 10. fim-para
36 Linha Custo Vezes 1. para j 2 até n c1 n 2. chave A[j] c2 n-1 3. // Comentário 0 n-1 4. i j-1 c4 n-1 5. enquanto i > 0 e A[i] > chave faça c5 j t j 6. A[i+1] A[i] 7. i i-1 c6 c7 j (t j -1) 8. fim-enquanto 0 j t j 9. A[i+1] chave c9 n fim-para 0 n-1
37 SELEÇÃO-SORT(A) 1. para i 1 até comprimento[a]-1 faça 2. //achamos o iesimo menor valor do vetor 3. menor i 4. para j i+1 até comprimento[a] faça 5. se V[j] < V[menor] 6. então menor j 7. fim-se 8. fim-para 9. se menor i 10. //trocamos os valores de V[menor] e V[i] 11. então aux V[menor] 12. V[menor] V[i] 13. V[i] aux 14. fim-se 15. fim-para
38 BOLHA(A) 1. para i 1 até comprimento[a]-1 faça 2. para j 1 até comprimento[a]-i faça 3. se A[j] > A[j+1]) 4. //troca A[j] com A[j+1] 5. então aux A[j] 6. A[j] A[j+1] 7. A[j+1] aux 8. fim-se 9. fim-para 10. fim-para
39 BOLHA-MELHOR(A) 1. ultimatroca comprimento[a] 2. troca 1 3. enquanto ultimatroca > 1 faça 2. para j 1 até ultimatroca-1 faça 3. se A[j] > A[j+1] 4. //troca A[j] com A[j+1] 5. então aux A[j] 6. A[j] A[j+1] 7. A[j+1] aux 8. troca j 8. fim-se 9. fim-para 10. ultimatroca troca 11. troca fim-enquanto
Melhores momentos AULA 1. Algoritmos p.38/86
Melhores momentos AULA 1 Algoritmos p.38/86 Definições x := inteiro i tal que i x < i + 1 x := inteiro j tal que j 1 < x j Exercício A1.B Mostre que n 1 2 n 2 n 2 e n 2 n 2 n + 1 2 para qualquer inteiro
Leia maisAnálise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Introdução CLRS 2.2 e 3.1 AU 3.3, 3.4 e 3.6 Essas transparências foram
Leia maisReferências e materiais complementares desse tópico
Notas de aula: Análise de Algoritmos Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Profa. Carla Negri Lintzmayer Conceitos matemáticos e técnicas de prova (Última atualização:
Leia maisMelhores momentos AULA PASSADA. Complexidade Computacional p. 136
Melhores momentos AULA PASSADA Complexidade Computacional p. 136 Configurações controle q 7 cabeça 1 0 1 1 0 1 1 1 fita de leitura e escrita Configuração 1 0 1q 7 1 0 1 1 1 Complexidade Computacional p.
Leia maisAula 02 Notação Assintótica p. 4. Usodanotação O. Notação O. Notação O, Ω, ΘeExemplos. Intuitivamente... O(f(n)) funções que não crescem mais
Notação O Aula 02 Notação Assintótica Notação O, Ω, Θe Prof. Marco Aurélio Stefanes marco em dct.ufms.br www.dct.ufms.br/ marco Intuitivamente... O() funções que não crescem mais rápido que funções menores
Leia mais2. Complexidade de Algoritmos
Introdução à Computação II 5952011 2. Complexidade de Algoritmos Prof. Renato Tinós Depto. de Computação e Matemática (FFCLRP/USP) 1 Principais Tópicos 2.1. Introdução 2.1.1. Revisão de Pseudo-Código 2.1.2.
Leia maisBusca Binária. Aula 05. Busca em um vetor ordenado. Análise do Busca Binária. Equações com Recorrência
Busca Binária Aula 05 Equações com Recorrência Prof. Marco Aurélio Stefanes marco em dct.ufms.br www.dct.ufms.br/ marco Idéia: Divisão e Conquista Busca_Binária(A[l...r],k) 1:if r < lthen 2: index = 1
Leia maisLista de Exercícios 6: Soluções Funções
UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios 6: Soluções Funções Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 06 Conceitos. Determine e justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou não
Leia maisLista das Principais Funções
Lista das Principais Funções Laura Goulart UESB 24 de Maio de 2016 Laura Goulart (UESB) Lista das Principais Funções 24 de Maio de 2016 1 / 21 1)Função constante f (x) = c(c : cte ) Laura Goulart (UESB)
Leia maisMedida do Tempo de Execução de um Programa. David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados II DInf UFPR
Medida do Tempo de Execução de um Programa David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados II DInf UFPR Classes de Comportamento Assintótico Se f é uma função de complexidade para um algoritmo F, então
Leia maisAnálise de Algoritmos
Análise de Algoritmos CLRS 2.2 e 3.1 AU 3.3, 3.4 e 3.6 Essas transparências foram adaptadas das transparências do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Intuitivamente...
Leia maisÉ interessante comparar algoritmos para valores grandes de n. Para valores pequenos de n, mesmo um algoritmo ineficiente não custa muito para ser
É interessante comparar algoritmos para valores grandes de n. Para valores pequenos de n, mesmo um algoritmo ineficiente não custa muito para ser executado 1 Fazendo estimativas e simplificações... O número
Leia maisConstrução de Algoritmos II Aula 06
exatasfepi.com.br Construção de Algoritmos II Aula 06 André Luís Duarte Porque mil anos são aos teus olhos como o dia de ontem que passou, e como a vigília da noite. Salmos 90:4 Recursividade e complexidade
Leia maisPrincípio da boa ordenação. Aula 03. Princípio da boa ordenação. Princípio da boa ordenação. Indução Finita e Somatórios
Princípio da boa ordenação Aula 0 Indução Finita e Somatórios Prof. Marco Aurélio Stefanes marco em dct.ufms.br www.dct.ufms.br/ marco Aula 0 p. 1 Aula 0 p. Princípio da boa ordenação Princípio da boa
Leia maisModelagem com relações de recorrência. Exemplo: Determinada população dobra a cada ano; população inicial = 5 a n = população depois de n anos
Relações de recorrência 8. RELAÇÕES DE RECORRÊNCIA Introdução a relações de recorrência Modelagem com relações de recorrência Solução de relações de recorrência Exemplos e aplicações Relações de recorrência
Leia maisESTRUTURA DE DADOS CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO. Curso de Tecnologia em Sistemas para Internet
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE ESTRUTURA DE DADOS Docente: Éberton da Silva Marinho e-mail: ebertonsm@gmail.com eberton.marinho@ifrn.edu.br Curso de Tecnologia
Leia maisTeoria dos Grafos Aula 7
Teoria dos Grafos Aula 7 Aula passada Implementação BFS DFS, implementação Complexidade Aplicações Aula de hoje Classe de funções e notação Propriedades da notação Funções usuais Tempo de execução Comparando
Leia maisLuís Fernando Schultz Xavier da Silveira. 12 de maio de 2010
Monóides e o Algoritmo de Exponenciação Luís Fernando Schultz Xavier da Silveira Departamento de Informática e Estatística - INE - CTC - UFSC 12 de maio de 2010 Conteúdo 1 Monóides Definição Propriedades
Leia maisComportamento Assintótico. Algoritmos e Estruturas de Dados Flavio Figueiredo (http://flaviovdf.github.io)
Comportamento Assintótico Algoritmos e Estruturas de Dados 2 2017-1 Flavio Figueiredo (http://flaviovdf.github.io) 1 Até Agora Falamos de complexidade de algoritmos com base no número de passos Vamos generalizar
Leia maisDedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização
Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização 1 Provas, lemas, teoremas e corolários Uma prova é um argumento lógico de que uma afirmação é verdadeira Um teorema
Leia mais11º ano - Indução matemática
1 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de
Leia maisLista de Exercícios 6 Funções
UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios 6 Funções Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 06 Conceitos. Determine e justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou não para todas
Leia maisAnálise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Análise assintótica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março - 2016 f (n) = 5n 3 + 3n 2 + 20. g(n) = 2n 3 + n 2. Estamos interessados em comparar essas funções quando
Leia maisANÁLISE DE ALGORITMOS: PARTE 4
ANÁLISE DE ALGORITMOS: PARTE 4 Prof. André Backes 2 Função recursiva Função que chama a si mesma durante a sua execução Exemplo: fatorial de um número N. Para N = 4 temos 4! = 4 * 3! 3! = 3 * 2! 2! = 2
Leia maisI. Correção de Algoritmos Não-Recursivos
I. Correção de Algoritmos Não-Recursivos Nos exercícios a seguir, você deverá demonstrar a correção dos algoritmos por meio dos conceitos vistos nos slides da Aula 03. 1) Prove que o seguinte algoritmo
Leia maisNotas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes
Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ
Leia maisAnálise e Complexidade de Algoritmos
Análise e Complexidade de Algoritmos Professor Ariel da Silva Dias Algoritmos Divisão e Conquista Construção incremental Resolver o problema para um sub-conjunto dos elementos de entrada; Então, adicionar
Leia maisLista 1 - PMR2300. Fabio G. Cozman 3 de abril de 2013
Lista 1 - PMR2300 Fabio G. Cozman 3 de abril de 2013 1. Qual String é impressa pelo programa: p u b l i c c l a s s What { p u b l i c s t a t i c void f ( i n t x ) { x = 2 ; p u b l i c s t a t i c void
Leia maisAula 2. Divisão e conquista. Exemplo 1: Número de inversões de uma permutação (problema 2-4 do CLRS; veja também sec 5.4 do KT)
Aula 2 Divisão e conquista Exemplo 1: Número de inversões de uma permutação (problema 2-4 do CLRS; veja também sec 5.4 do KT) Exemplo 2: Par de pontos mais próximos (sec 33.4 do CLRS) Essas transparências
Leia maisAula 1. Teoria da Computação III
Aula 1 Teoria da Computação III Complexidade de Algoritmos Um problema pode ser resolvido através de diversos algoritmos; O fato de um algoritmo resolver um dado problema não significa que seja aceitável
Leia maisLista 2 - PMR2300/3200
Lista 2 - PMR2300/3200 Fabio G. Cozman, Thiago Martins 8 de março de 2015 1. Qual String é impressa pelo programa: p u b l i c c l a s s What { p u b l i c s t a t i c void f ( i n t x ) { x = 2 ; p u
Leia mais1 Conjuntos, Números e Demonstrações
1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para
Leia maisMatemática Discreta Bacharelado em Sistemas de Informação Resolução - 4ª Lista de Exercícios. Indução e Recursão
1) Prove utilizando o princípio da indução matemática, que são verdadeiras as seguintes igualdades: a) 1+4+7+...+(3n 2) Para n 1 temos que: 3.1 2. 1 1 da indução é Supondoo que a igualdade nk seja verdadeira,
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA12 - Matemática Discreta - PROFMAT Prof.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA - Matemática Discreta - PROFMAT Prof. Zeca Eidam Lista Números Naturais e o Princípio de Indução. Prove que
Leia maisESTRUTURAS DE CONTROLE ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO
ESTRUTURAS DE CONTROLE ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO Baseado nos slides de autoria de Rosely Sanches Estruturas de Controle ESTRUTURA SEQUENCIAL ESTRUTURAS CONDICIONAIS Estrutura Condicional Simples Estrutura
Leia mais4 Princípios de Indução Finita e demonstrações por indução
4 Princípios de Indução Finita e demonstrações por indução Vimos que o Princípio da Boa Ordem (PBO) todo A N não-vazio tem um menor elemento e, como consequência (provado na página 81), todo A Z não vazio
Leia maisPrograma Combinatória Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 52
1 / 52 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 52 Programa 1 Combinatória 2 Aritmética Racional 3 Grafos 3 / 52 Capítulo 1 Combinatória 4 / 52 Princípio
Leia maisQuantidade de memória necessária
Tempo de processamento Um algoritmo que realiza uma tarefa em 10 horas é melhor que outro que realiza em 10 dias Quantidade de memória necessária Um algoritmo que usa 1MB de memória RAM é melhor que outro
Leia maisComplexidade de Algoritmos
60 Desempenho 50 40 30 20 Algoritmo1 Algoritmo2 Algoritmo3 10 0 Complexidade de Algoritmos INFORMÁTICA BÁSICA Prof. Demétrios Coutinho C a m p u s P a u d o s F e r r o s D i s c i p l i n a d e A l g
Leia maisComplexidade de Algoritmos
Complexidade de Algoritmos! Uma característica importante de qualquer algoritmo é seu tempo de execução! é possível determiná-lo através de métodos empíricos, considerando-se entradas diversas! é também
Leia maisAnálise de algoritmos
Análise de algoritmos Recorrências Conteúdo Introdução O método mestre Referências Introdução O tempo de execução de um algoritmo recursivo pode frequentemente ser descrito por uma equação de recorrência.
Leia maisDivisão e Conquista. Norton T. Roman. Apostila baseada nos trabalhos de Cid de Souza, Cândida da Silva e Delano M. Beder
Divisão e Conquista Norton T. Roman Apostila baseada nos trabalhos de Cid de Souza, Cândida da Silva e Delano M. Beder Divisão e Conquista Construção incremental Ex: Consiste em, inicialmente, resolver
Leia maisAnálise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Parte 3 Prof. Túlio Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC202 Aula 06 Algoritmos e Estruturas de Dados I Como escolher o algoritmo mais adequado para uma situação? (continuação) Exercício
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisTeoria dos Conjuntos. (Aula 6) Ruy de Queiroz. O Teorema da. (Aula 6) Ruy J. G. B. de Queiroz. Centro de Informática, UFPE
Ruy J. G. B. de Centro de Informática, UFPE 2007.1 Conteúdo 1 Seqüências Definição Uma seqüência é uma função cujo domíno é um número natural ou N. Uma seqüência cujo domínio é algum número natural n N
Leia maisPreliminares. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto
Preliminares Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto - 2016 Algoritmos Definição - Skiena Algoritmo é a ideia por trás dos programas de computador. É aquilo que permanece igual se o programa
Leia maisCapítulo 6 Análise de Algoritmos Capítulo 6
666 Apêndice C Respostas e Sugestões para os Exercícios de Revisão 42. Consulte a Seção 5.4. 43. (a) Escoamento de memória.(b) Porque não há garantia que o cliente irá usá-la devidamente. 44. (a) Contagem
Leia maisMAC5770 Exercícios preliminares
MAC5770 Exercícios preliminares IME USP, 1/3/2011 Estes exercícios tratam de rudimentos da teoria dos conjuntos e de algumas outras trivialidades. Se você pretende cursar MAC5770 (Introdução à Teoria dos
Leia maisMAC0320 Exercícios preliminares
MAC0320 Exercícios preliminares IME USP, 6/3/2012 Estes exercícios tratam de rudimentos da teoria dos conjuntos e de algumas outras trivialidades. Se você pretende cursar MAC0320 (Introdução à Teoria dos
Leia maisCOMPLEXIDADE DE ALGORITMOS
COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS Algoritmos Seqüência de instruções necessárias para a resolução de um problema bem formulado Permite implementação computacional COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS Um algoritmo resolve
Leia maisTópicos de Matemática Elementar
Tópicos de Matemática Elementar 2 a série de exercícios 2004/05. A seguinte prova por indução parece correcta, mas para n = 6 o lado esquerdo é igual a 2 + 6 + 2 + 20 + 30 = 5 6, enquanto o direito é igual
Leia mais03 Análise de Algoritmos (parte 3) SCC201/501 - Introdução à Ciência de Computação II
03 Análise de Algoritmos (parte 3) SCC201/501 - Introdução à Ciência de Computação II Prof. Moacir Ponti Jr. www.icmc.usp.br/~moacir Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação USP 2010/2 Moacir
Leia mais2 Erro comum da indução. 3 Corretude de Algoritmos. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 0/17
Conteúdo 1 Indução Forte X Indução Fraca 2 Erro comum da indução 3 Corretude de Algoritmos > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 0/17 Indução Forte X Indução Fraca
Leia maisANÁLISE DE ALGORITMOS
ANÁLISE DE ALGORITMOS Paulo Feofiloff Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo agosto 2009 Introdução P. Feofiloff (IME-USP) Análise de Algoritmos agosto 2009 2 / 102 Introdução
Leia maisOrdenação em tempo linear
Ordenação em tempo linear CLRS cap 8 Algoritmos p. 1 Ordenação: limite inferior Problema: Rearranjar um vetor A[1..n] de modo que ele fique em ordem crescente. Existem algoritmos que consomem tempo O(n
Leia maisRelações de recorrência
Relações de recorrência Sequências. Relações de recorrência. Equação caraterística. Relações de recorrência de 2ª ordem não homogéneas. Referência: Capítulo: 4 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar
Leia maisDenominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde
Leia maisProjeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos Tempo polinomial Verificação de tempo polinomial Diane Castonguay diane@inf.ufg.br Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás Tempo polinomial Um algoritmo é
Leia maisNotas sobre teoria dos números (2)
1 / 29 Notas sobre teoria dos números (2) Fonte: livros do L. Lóvasz e Kenneth Rosen (ref. completa na página) Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 2007.1 / CIn-UFPE 2 / 29 Maior divisor
Leia maisProjeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos A. G. Silva Baseado nos materiais de Souza, Silva, Lee, Rezende, Miyazawa Unicamp Ribeiro FCUP 18 de agosto de 2017 Conteúdo programático Introdução (4 horas/aula) Notação
Leia maisComplexidade de Algoritmos
Complexidade de Algoritmos O que é um algoritmo? Sequência bem definida e finita de cálculos que, para um dado valor de entrada, retorna uma saída desejada/esperada. Na computação: Uma descrição de como
Leia maisAnálise de Problemas Recursivos. Algoritmos e Estruturas de Dados Flavio Figueiredo (
Análise de Problemas Recursivos Algoritmos e Estruturas de Dados 2 2017-1 Flavio Figueiredo (http://flaviovdf.github.io) 1 Lembrando de Recursividade Procedimento que chama a si mesmo Recursividade permite
Leia maisAlgoritmos AULA. META Introduzir e medir eficiência de algoritmos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Criar pequenos algoritmos;
Algoritmos META Introduzir e medir eficiência de algoritmos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Criar pequenos algoritmos; Medir a eficiência de algoritmos simples. PRÉ-REQUISITOS
Leia maisCOMPLEXIDADE DE ALGORITMOS COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS
COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS Algoritmos Seqüência de instruções necessárias para a resolução de um prolema em formulado Permite implementação computacional COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS Um algoritmo resolve
Leia maisIntrodução aos números inteiros
Introdução aos números inteiros Laura Goulart UESB 19 de Dezembro de 2017 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 1 / 18 Adição Laura Goulart (UESB) Introdução aos números
Leia maisAnálise de Algoritmos
Algoritmos p. 1/25 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 2/25 Ordenação em tempo linear CLRS cap 8 Algoritmos
Leia maisXIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios Ciclotômicos e Congruência Módulo p. Samuel Feitosa
XIX Semana Olímpica de Matemática Nível 3 Polinômios Ciclotômicos e Congruência Módulo p Samuel Feitosa O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Semana Olímpica 2016 Polinômios
Leia maisLimites de Funções. Bases Matemáticas. 2 o quadrimestre de o quadrimestre de / 57
2 o quadrimestre de 2017 2 o quadrimestre de 2017 1 / Visão Geral 1 Limites Finitos Limite para x ± 2 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x ± 3 Continuidade Definição e exemplos Resultados importantes
Leia maisNotas sobre crescimento de função
1 / 14 Notas sobre crescimento de função Anjolina Grisi de Oliveira Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco CIn-UFPE 2 / 14 Motivação Estimar custo de algoritmo em relação ao tempo e espaço.
Leia maisComplexidade de Tempo
Complexidade de Tempo 1 Complexidade de Tempo Quando um problema é decidível, ele pode não ser solúvel na prática se a solução requer uma quantidade excessiva de tempo ou memória Medindo a complexidade
Leia maisAULA 17. Melhores momentos. Segmento de soma máxima. Segmento de soma máxima. Conclusões. Algumas técnicas
Melhores momentos Segmento de soma máxima Um segmento de um vetor v[0 n 1] é qualquer subvetor da forma v[e d] Problema: Dado um vetor v[0 n 1] de números inteiros, determinar um segmento v[e d] de soma
Leia maisBucketsort. CLRS sec 8.4. Algoritmos p. 1
Bucketsort CLRS sec 8.4 Algoritmos p. 1 Bucket Sort Recebe um inteiro n e um vetor A[1..n] onde cada elemento é um número no intervalo [0, 1). Algoritmos p. 2 Bucket Sort Recebe um inteiro n e um vetor
Leia maisLista 1. 9 Se 0 < x < y e n N então 0 < x n < y n.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Em toda a lista, K denota um corpo ordenado qualquer. Corpos ordenados 1. Verifique as
Leia maisMATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I LIMITE Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência
Leia maisElementos de Análise Assintótica
Elementos de Análise Assintótica Marcelo Keese Albertini Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia 23 de Março de 2018 Aula de hoje Nesta aula veremos: Elementos de Análise Assintótica
Leia maisé uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:
Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que
Leia maisAnálise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Aula 3 Transformada rápida de Fourier Secs 30.1 e 30.2 do CLRS e 5.6
Leia maisBinomiais e Primos. p p 2 + p 3 + p k. Demonstração. No produto n! = n, apenas os múltiplos de p contribuem com um fator p.
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 16 Binomiais e Primos Começamos lembrando a Proposição 1 (Fatores do Fatorial) Seja p um primo Então a maior
Leia maisSucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.
Sucessões Definição: Uma sucessão de números reais é uma aplicação u do conjunto dos números inteiros positivos,, no conjunto dos números reais,. A expressão u n que associa a cada n a sua imagem designa-se
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM122 - Fundamentos de Análise Prof. Zeca Eidam.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM1 - Fundamentos de Análise Prof Zeca Eidam Lista 4 Supremo e ínfimo 1 Seja X R não-vazio 1 Mostre que, caso existam,
Leia maisComplexidade Assintótica de Programas Letícia Rodrigues Bueno
Complexidade Assintótica de Programas Letícia Rodrigues Bueno Análise de Algoritmos 1. Introdução; Análise de Algoritmos 1. Introdução; 2. Conceitos básicos; Análise de Algoritmos 1. Introdução; 2. Conceitos
Leia mais1 a Lista Professor: Claudio Fabiano Motta Toledo Estagiário PAE: Jesimar da Silva Arantes
SSC0503 - Introdução à Ciência de Computação II 1 a Lista Professor: Claudio Fabiano Motta Toledo (claudio@icmc.usp.br) Estagiário PAE: Jesimar da Silva Arantes (jesimar.arantes@usp.br) 1. O que significa
Leia mais1 Conjuntos enumeráveis
Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales de maio de 007. Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, ] Q, são os números racionais
Leia maisIndução Matemática. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE
Indução Matemática George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE Introdução Qual é a fórmula para a soma dos primeiros n inteiros ímpares positivos? Observando os resultados para um n pequeno, encontra-se
Leia maisAndré Vignatti DINF- UFPR
Notação Assintótica: O André Vignatti DINF- UFPR Notação Assintótica Vamos expressar complexidade através de funções em variáveis que descrevam o tamanho de instâncias do problema. Exemplos: Problemas
Leia maisGBC015: INTRODUÇÃO À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Teoria de Algoritmos: Complexidade
GBC015: INTRODUÇÃO À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Teoria de Algoritmos: Complexidade Ilmério Reis da Silva ilmerio@ufu.br www.facom.ufu.br/~ilmerio/icc UFU/FACOM/BCC Introdução Antes de executar um programa é
Leia maisAnálise de Algoritmos e Estruturas de Dados
Análise de Algoritmos e Estruturas de Dados Guilherme Oliveira Mota CMCC - Universidade Federal do ABC g.mota@ufabc.edu.br 21 de julho de 2018 Esta versão é um rascunho ainda em elaboração e não foi revisado
Leia maisIntrodução à Ciência da Computação
Introdução à Ciência da Computação Estruturas de Controle Parte II Prof. Ricardo J. G. B. Campello Créditos Parte dos slides a seguir foram adaptados dos originais de A. L. V. Forbellone e H. F. Eberspächer
Leia maisMAC121 ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS I 2O. SEMESTRE DE 2017
PROVA 1 MAC121 ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS I 2O. SEMESTRE DE 2017 Nome: Número USP: Instruções: (1 ) Esta prova é individual. (2 ) Não destaque as folhas deste caderno. (3 ) A prova consiste de 6
Leia maisCES-11. Noções de complexidade de algoritmos. Complexidade de algoritmos. Avaliação do tempo de execução. Razão de crescimento desse tempo.
CES-11 Noções de complexidade de algoritmos Complexidade de algoritmos Avaliação do tempo de execução Razão de crescimento desse tempo Notação O Exercícios COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS Importância de análise
Leia maisBusca em Memória Primária Estrutura de Dados II
Centro de Ciências Exatas, Naturais e de Saúde Departamento de Computação Busca em Memória Primária Estrutura de Dados II Estrutura de Dados II COM10078 2017-I Prof. Marcelo Otone Aguiar marcelo.aguiar@ufes.br
Leia maisBusca em Memória Primária Estrutura de Dados II
Centro de Ciências Exatas, Naturais e de Saúde Departamento de Computação Busca em Memória Primária Estrutura de Dados II COM10078 Estrutura de Dados II Prof. Marcelo Otone Aguiar marcelo.aguiar@ufes.br
Leia maisESTRUTURAS DE REPETIÇÃO - PARTE 2
AULA 16 ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO - PARTE 2 16.1 A seqüência de Fibonacci Um problema parecido, mas ligeiramente mais complicado do que o do cálculo do fatorial (veja as notas da Aula 14), é o do cálculo
Leia maisProjeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos A. G. Silva Baseado nos materiais de Souza, Silva, Lee, Rezende, Miyazawa Unicamp Ribeiro FCUP Manber, Introduction to Algorithms (989) Livro de abril de 08 Conteúdo programático
Leia maisAula prática 5. Funções Recursivas
Programação Funcional UFOP DECOM 2014.1 Aula prática 5 Funções Recursivas Resumo Definições recursivas são comuns na programação funcional. Nesta aula vamos aprender a definir funções recursivas. Sumário
Leia mais+ adição Lê-se como "mais" - subtração Lê-se como "menos" / divisão Lê-se como "dividido" * ou x multiplicação Lê-se como "multiplicado"
Símbolo Nome Explicação + adição Lê-se como "mais" Ex: 2+3 = 5, significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5. - subtração Lê-se como "menos" Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado
Leia maisAnálise Real. IF Sudeste de Minas Gerais. Primeiro semestre de Prof: Marcos Pavani de Carvalho. Marcos Pavani de Carvalho
IF Sudeste de Minas Gerais Prof: Primeiro semestre de 2014 Proposição: É uma afirmação que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Exemplo: Sejam as proposições: A: A soma dos
Leia maisPCC104 - Projeto e Análise de Algoritmos
PCC104 - Projeto e Análise de Algoritmos Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 7 de outubro de 2016 Marco Antonio
Leia maisPolinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2
Polinômios. (ITA 2005) No desenvolvimento de (ax 2 2bx + c + ) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a (A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)
Leia mais