Análise e Projeto de Algoritmos P R O F : L O A N A T. N O G U E I R A

Transcrição

1 Análise e Projeto de Algoritmos P R O F : L O A N A T. N O G U E I R A

2 Desenvolvimento de Algoritmos Introdução: Dado um problema, como encontramos um algoritmo eficiente para sua solução?

3 Desenvolvimento de Algoritmos Introdução: Dado um problema, como encontramos um algoritmo eficiente para sua solução? Encontrado um algoritmo, como comparar este algoritmo com outros algoritmos que solucionam o mesmo problema?

4 Desenvolvimento de Algoritmos Introdução: Dado um problema, como encontramos um algoritmo eficiente para sua solução? Encontrado um algoritmo, como comparar este algoritmo com outros algoritmos que solucionam o mesmo problema? Como deveríamos julgar a qualidade de um algoritmo?

5 Desenvolvimento de Algoritmos Introdução: Dado um problema, como encontramos um algoritmo eficiente para sua solução? Encontrado um algoritmo, como comparar este algoritmo com outros algoritmos que solucionam o mesmo problema? Como deveríamos julgar a qualidade de um algoritmo? Qual é o algoritmo de menor custo possível para resolver um problema particular?

6 Desenvolvimento de Algoritmos Introdução: Dado um problema, como encontramos um algoritmo eficiente para sua solução? Encontrado um algoritmo, como comparar este algoritmo com outros algoritmos que solucionam o mesmo problema? Como deveríamos julgar a qualidade de um algoritmo? Qual é o algoritmo de menor custo possível para resolver um problema particular?

7 O que é um algoritmo? Um algoritmo pode ser visto como uma sequência de ações executáveis para a obtenção de uma solução para um determinado tipo de problema

8 O que é um algoritmo? Um algoritmo pode ser visto como uma sequência de ações executáveis para a obtenção de uma solução para um determinado tipo de problema Corresponde a uma descrição de um padrão de comportamento, expresso em termos de um conjunto finito de ações. Dijkstra

9 O que é um algoritmo? Um algoritmo pode ser visto como uma sequência de ações executáveis para a obtenção de uma solução para um determinado tipo de problema É, em geral, uma descrição passo a passo de como um problema é solucionável. A descrição deve ser finita, e os passos bem definidos, sem ambiguidades, e executáveis computacionalmente.

10 Medidas de Complexidade Como selecionar um algoritmo quando existem vários que solucionam o problema?

11 Medidas de Complexidade Como selecionar um algoritmo quando existem vários que solucionam o problema? Soluções: Escolher um algoritmo de fácil entendimento codificação e depuração Escolher um algoritmo que faz uso eficiente dos recursos do computador

12 Análise de Complexidade de Algoritmos Meados dos anos 60: tempos de execução de um programa que implementava um algoritmo - Os resultados encontrados dependiam: Do computador utilizado Do compilador utilizado Atualmente: análise de um algoritmo compreende dois passos: Análise prévia: a qual determina a função que delimita o tempo de computação do algoritmo Coleta de estatísticas reais sobre o algoritmo

13 Análise de Complexidade de Algoritmos Finalidades: Dá oportunidade de se projetar novas maneiras de se fazer uma mesma tarefa de um modo mais rápido Obter estimativas de tempos de execução de programas que implementam um algoritmo. A complexidade do algoritmo dá idéia do esforço computacional do programa, que é uma medida do número de operações executadas pelo programa.

14 Complexidade de Algoritmos Complexidade: é o número de vezes que as instruções preponderantes são executadas Veremos a notação O, Omega e Theta

15 Notação O Maneira de classificar um determinada coisa ou comportamento segundo um conjunto de padrões estabelecidos. Ex.: Aos sermos apresentados à uma pessoa, sem nos darmos conta, nós a classificamos por base de alguns esteriótipos nossos (fulano é do tipo certinho, hippie, descansado, ideal, outros). Com certeza a pessoa não se encaixará em um dos nossos tipos, mas, nós a classificamos segundo o maior número de características que mais se adequam em um tipo.

16 Notação O A complexidade de um algoritmo depende da quantidade de dados que são processados e isso se traduz pelo tamanho da entrada, pelos seus valores e pela configuração dos dados Ex.: O que pensar ao ver uma expressão do tipo n+10 n 2 +1

17 Notação O A complexidade de um algoritmo depende da quantidade de dados que são processados e isso se traduz pelo tamanho da entrada, pelos seus valores e pela configuração dos dados Ex.: O que pensar ao ver uma expressão do tipo n+10 n 2 +1 Pensamos em valores pequenos de n, valores próximos de zero

18 Notação O A complexidade de um algoritmo depende da quantidade de dados que são processados e isso se traduz pelo tamanho da entrada, pelos seus valores e pela configuração dos dados Ex.: O que pensar ao ver uma expressão do tipo n+10 n 2 +1 A análise de algoritmos ignora os valores pequenos e concentra-se nos valores enormes de n

19 Notação O Para valores enormes de n, as funções n2, (3/2)n2, 9999n2, n2/10000, n2+100n, etc. Crescem com a mesma velocidade e portanto são todas equivalentes.

20 Notação O Para valores enormes de n, as funções n2, (3/2)n2, 9999n2, n2/10000, n2+100n, etc. Crescem com a mesma velocidade e portanto são todas equivalentes. Esse tipo de matemática, interessada somente em valores enormes de n, é chamada assintótica.

21 Notação O Nessa matemática, as funções são classificadas em ordens, todas as funções de uma mesma ordem são equivalentes.

22 Notação O Convém restringir a atenção a funções assintoticamente não-negativas, ou seja, funções f tais que f(n) 0 para todo n suficientemente grande.

23 Notação O Convém restringir a atenção a funções assintoticamente não-negativas, ou seja, funções f tais que f(n) 0 para todo n suficientemente grande. f é assintoticamente não-negativa se existe n 0 tal que f(n) 0 para todo n n 0.

24 Notação O Def: Dadas funções assintoticamente não-negativas f e g, dizemos que f está na ordem O de g, e escrevemos f=o(g), ou f O(g), se f(n) c.g(n) para algum c positivo e para todo n suficientemente grande.

25 Notação O Def: Dadas funções assintoticamente não-negativas f e g, dizemos que f está na ordem O de g, e escrevemos f=o(g), ou f O(g), se f(n) c.g(n) para algum c positivo e para todo n suficientemente grande. c, n 0 positivos tais que f(n) c.g(n), n n 0.

26 Notação O Def: Dadas funções assintoticamente não-negativas f e g, dizemos que f está na ordem O de g, e escrevemos f=o(g), ou f O(g), se f(n) c.g(n) para algum c positivo e para todo n suficientemente grande. c, n 0 positivos tais que f(n) c.g(n), n n 0. Neste caso, dizemos que g(n) domina assintoticamente f(n), ou que g(n) é um limite assintoticamente superior para f(n).

27 Notação O Graficamente: g(n) f(n) n 0

28 Notação O - Exemplos Seja g(n) = 4n 2 e f(n) = 100n. Mostre que g domina assintoticamente f.

29 Notação O - Exemplos Seja g(n) = 4n 2 e f(n) = 100n. Mostre que g domina assintoticamente f. Solução: Para qualquer valor de n 25 e para c=1 temos que 100n 4n 2. Ou seja, com c =1 e n=25 temos que a definição de domínio assintótico é satisfeita, g(n) domina assintoticamente f(n).

30 Notação O - Exemplos Seja g(n) = 4n 2 e f(n) = 100n. Mostre que g domina assintoticamente f. Solução: Para qualquer valor de n 25 e para c=1 temos que 100n 4n 2. Ou seja, com c =1 e n=25 temos que a definição de domínio assintótico é satisfeita, g(n) domina assintoticamente f(n). g(n) atua como um limite superior para f(n)

31 Notação O - Exemplos Seja g(n) = n 2 e f(n) = 2n 2 +3n +4. Mostre que g domina assintoticamente f. Seja g(n) = n 0 e f(n) = 3+ 2/n. Mostre que g domina assintoticamente f. Suponha que g(n) = 200n 2 e f(n) = n 3. Mostre que f O(g(n)).

32 Notação O - Teorema Se A(n)= A m n m A 1 n + A 0 é um polinômio de grau m, então A(n) é O(n m ).

33 Notação O - Teorema Se A(n)= A m n m A 1 n + A 0 é um polinômio de grau m, então A(n) é O(n m ). Exemplo: Se f(n) = n 3 + 2n 2 + n +1, podemos dizer que este algoritmo tem complexidade O(n 3 ). Isto significa que para valores muito grandes de n, poderíamos desconsiderar a outra parte do polinômio (2n 2 +n+1), pois ela não influenciaria tanto no crescimento de f(n).