Licenciatura em Matemática. Karin Daniele Francisco da Silva Souza ESTUDO ACERCA DA GEOMETRIA FRACTAL: POSSÍVEIS APLICAÇÕES EM SALA DE AULA

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1 Licenciatura em Matemática Karin Daniele Francisco da Silva Souza ESTUDO ACERCA DA GEOMETRIA FRACTAL: POSSÍVEIS APLICAÇÕES EM SALA DE AULA Birigui-SP 2014

2 Karin Daniele Francisco da Silva Souza Estudo acerca da Geometria Fractal: possíveis aplicações em sala de aula Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus Birigui, como requisito para obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Eliana Contharteze Grigoletto Birigui 2014

3 S715e Souza, Karin Daniele Francisco da Silva. Estudo acerca da Geometria Fractal: possíveis aplicações em sala de aula. / Karin Daniele Francisco da Silva Souza. Birigui, f. Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em Matemática) Instituto Federal de São Paulo, Campus Birigui. Orientadora: Profa. Dra. Eliana Contharteze Grigoletto. 1.Fractais. 2. Geometria. 3. Dimensão fracionária. I. Título. CDD 516

4 Karin Daniele Francisco da Silva Souza Estudo acerca da Geometria Fractal: possíveis aplicações em sala de aula Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus Birigui, como requisito para obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Comissão examinadora Profa. Dra. Eliana Contharteze Grigoletto, IFSP Prof. Dr. Alexandre José Gualdi, IFSP Prof. Me. Luiz Fernando da Costa Zonetti, IFSP Birigui, 3 de dezembro de 2014.

5 RESUMO Este trabalho de conclusão de curso tem como objetivo estudar alguns fractais, que são elementos da geometria não euclidiana, são imagens de sistemas dinâmicos, criados pela repetição de um processo simples. A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza inigualável, ligadas as formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e a própria compreensão do universo. Geometricamente, eles existem entre as dimensões inteiras, são formas geométricas de dimensões fracionárias. Padrões fractais são extremamente familiares, uma vez que os fractais estão presentes na natureza, como por exemplo em árvores, rios, zonas costeiras, montanhas, nuvens, conchas, furacões, galáxias, entre outros. No decorrer deste trabalho, discorremos sobre o processo histórico dessa descoberta, retratando algumas das diversas aplicações atuais da geometria fractal. Mostrando que a geometria fractal é um instrumento válido para a educação capaz de fascinar os alunos pelo seu senso estético e despertar sua curiosidade e interesse ao apresentar uma ordem do que antes era visto como aleatório além de que, as aplicações dos conceitos transmitidos por ela são diversas e podem ser observadas ao nosso redor. Assim o docente já não terá grandes dificuldades ao deparar-se com frequentes questionamentos dos estudantes relacionados a utilização prática do conteúdo. Palavras-chave: Fractal. Geometria. Dimensão fracionária.

6 ABSTRACT This end of course work has as an objective to study some fractals, they are elements of non-euclidean geometry, images of dynamic systems, created by the repetition of a simple process. The science of fractals are presents geometric structures of great complexity and unparalleled beauty, linked the forms of nature, the development of life and in the understanding of the universe. Geometrically, they are among between they are geometric of fractional dimensions. Fractal patterns are extremely familiars, they are present in the nature is full of fractals, for example in trees, rivers, coastlines, mountains, clouds, shells, hurricanes, galaxies, among others. In this work, we will discuss the historical process this discovery, portraying some of the many current applications of fractal geometry, as well as the benefits of to study the same in the classroom. Showing that geometry fractal is a valid tool for education, able to fascinate the students for their aesthetic sense and arouse their curiosity and interest to submit an order of what was once seen as random as well as that, the applications of concepts transmitted by it are many and can be seen all around us. So the teacher no longer has great difficulties to be faced with frequent questions from students concerning the pratical use of the content. Keywords:Fractal. Geometry. Fractional dimension.

7 DEDICATÓRIA Dedico este trabalho a Deus, minha família, namorado, amigos, colegas de curso e a todos os docentes que fizeram parte da minha história, de modo especial, a professora Nilza Garcia da Costa Campello, por ter me apoiado diante de uma das escolhas mais importantes da minha vida, incentivando-me a caminhar contra a corrente em busca do que realmente acredito, a educação.

8 AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus pela oportunidade concedida e por ter me conduzido até aqui. A certeza do teu amor e proteção nutre minha esperança a cada dia. Aos meus avós pelas orações. Espero deixá-los orgulhosos com esta conquista. Ao meu namorado e amigo Jessé, por me ajudar e apoiar neste momento turbulento, suportando todo meu estresse e compreendendo minha ausência. Não há palavra capaz de expressar o quão bom é ter-te ao meu lado. À minha orientadora, Eliana Contharteze Grigoletto, pela orientação habilmente conduzida, por acreditar e me motivar durante o desenvolvimento deste trabalho. À banca examinadora, composta pelos docentes Alexandre José Gualdi e Luiz Fernando da Costa Zonetti, pelas contribuições inestimáveis para a consecução do trabalho. Aos docentes do Departamento de Matemática e Física do IFSP Campus Birigui, pelas oportunidades e caminhos mostrados. Aos meus colegas de trabalho no Centro de Atendimento a Criança Pedro Marasca, pelas guloseimas, conversas, desabafos e incentivos dados. À 111N turma de Matemática, da qual sempre me lembrarei das risadas e dos momentos de sufoco que passamos literalmente juntos, que hajam mais turmas unidas como a inicial Mat111N, sem dúvidas, sentirei muita falta de todos vocês.

9 "Olha devagar para cada coisa. Aceita o desafio de ver o que a multidão não viu. Em cascalhos disformes e estranhos diamantes sobrevivem solitários [1].

10 LISTA DE QUADROS E ILUSTRAÇÕES Figura 1: Ilha de Koch...13 Figura 2: Triângulo Sierpinsk...13 Figura 3: Conjunto de Mandelbrot...14 Figura 4: Árvore...15 Figura 5: Romanesco...15 Figura 6: Estrutura pulmonar...15 Figura 7:Segmento fractal visualizado em diferentes escalas...16 Figura 8: Conjunto Ternário de Cantor...17 Figura 9: Construção da Curva de Peano...19 Figura 10: Construção do Triângulo de Sierpinsk...20 Figura 11: Jogo do caos com cerca de iterações...21 Figura 12: Construção da Curva de Koch...22 Figura 13: Construção do Floco de Neve de Koch...22 Figura 14: Conjunto de Mandelbrot...23 Figura 15: Planificação do cartão Triângulo de Sierpinski...28 Figura 16: Cartão fractal Triângulo de Sierpinsk...29 Figura 17: Pontos para unir, formando segmentos e ir preenchendo o espaço...29 Figura 18: Construção manual da terceira iteração da Curva de Peano...30

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO NOTAS HISTÓRICAS Benoit Mandelbrot GEOMETRIA FRACTAL O que são fractais? Box Counting FRACTAIS CLÁSSICOS Poeira de Cantor Fórmulas para o cálculo da dimensão do Conjunto de Cantor Curva de Peano Triângulo de Sierpinsk Curva de Koch Ilhas de Koch Conjunto de Mandelbrot APLICAÇÕES DA GEOMETRIA FRACTAL Avanços da geometria fractal GEOMETRIA FRACTAL EM SALA DE AULA Por que trabalhar com fractais? Construindo um fractal CONIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS... 32

12 9 INTRODUÇÃO A matemática por trás dos fractais começou a tomar forma no século 17, quando o matemático e filósofo Gottfried Leibniz estudou a autossimilaridade, ou seja, cópias do próprio objeto em diferentes escalas apropriadas. Mas lamentou que a geometria desconhecesse esse conceito [2]. Embora tais conjuntos sejam simples de se construir, dependendo apenas de procedimentos recursivos, vale ressaltar que a geometria dos mesmos não é facilmente descrita pela geometria convencional. Em 1872, Karl Weierstrass apresentou a primeira definição de uma função com um gráfico que hoje é considerado um fractal, tendo a propriedade não-intuitiva de ser contínua, mas não diferenciável [3]. Pouco tempo depois, em 1883, Georg Cantor, publicou exemplos de subconjuntos da reta real, conhecidos como conjuntos de Cantor, que tinham propriedades incomuns e são agora reconhecidos como fractais. Fractais são objetos que possuem dimensão não inteira. Convencionalmente, a dimensão de um objeto é dada por um inteiro positivo sendo definida através do número de coordenadas necessárias para especificar completamente o objeto dado. Desta forma, quando se leva em conta objetos que possam apresentar dimensão não inteira, temos que admitir uma outra maneira de se definir dimensão de forma que esta nova definição independa das coordenadas. A intuição para tais definições provém das ideias básicas de comprimento, área e volume [4]. No entanto, os fractais só foram estudados com maior profundidade em meados do século XX, pelo matemático polaco Benoit Mandelbrot, cuja história será contada no capitulo 1. Benoit instigado pela autossimiliaridade que observava na própria natureza - e nas brechas (interrogações) deixadas por estudiosos anteriores passou a notar padrões em fatos aparentemente, aleatórios, uma ordem na desordem. Contando com recursos mais avançados como o computador, Mandelbrot conseguiu uma gama de descobertas acerca dos fractais, que puderam enfim, serem representados graficamente. A princípio, suas descobertas não foram bem aceitas pela comunidade científica da época, muitos a denotaram como inútil [5]. Porém, o matemático não se abalou com as críticas, pelo contrário, tomou-as como impulso a mostrar a sociedade que o estudo dos fractais poderia ser útil. No decorrer deste estudo, comprovaremos que Benoit estava certo, e mais, demonstraremos o

13 10 quão válido é trabalhar geometria fractal em sala de aula, dando exemplos de aplicações. No capitulo 2 serão apresentadas algumas definições e classificações relacionadas aos fractais. Algumas das figuras fractais mais famosas estão presentes no capitulo 3, dentre elas, a que tornou-se símbolo da geometria fractal, o conjunto de Mandelbrot. No quarto capitulo serão abordadas algumas das atuais aplicações da geometria fractal, mas especificamente, a computação gráfica, as comunicações sem fio e a medicina. Os benefícios do estudo dos fractais em sala de aula, assim como exemplos de atividades que podem ser exploradas pelos docentes estão contidas no capitulo 5.

14 11 1 NOTAS HISTÓRICAS Para iniciarmos nosso estudo sobre a Geometria fractal, será necessária uma breve retomada do contexto em que essas ideias foram desenvolvidas, assim como conhecermos um pouco mais sobre o precursor dessa nova geometria. 1.1 Benoit Mandelbrot Nascido em 1924, na cidade de Varsóvia, Polônia, Mandelbrot era de origem judia. A crescente escalada nazista antecipou a vinda de sua família para a França, local mais seguro até então, onde foi recebida por Szolen Mandelbrot, tio de Benoit e professor de matemática no College de France, indicado como um dos responsáveis pela educação do sobrinho. Slozen fez parte de um grupo de matemáticos denominado Bourbak, que tinham como objeto de estudo a matemática formal e pura. Estes estudiosos tiveram grande influência no campo acadêmico em todo o mundo. Benoit, entretanto, não compartilhava do pensamento do tio, pelo contrário, devido a boa parte de seus estudos darem-se de modo autônomo (e empírico), era fascinado pela matemática na sua forma mais concreta, a geometria. Foi apenas em Janeiro de 1944 que subitamente me apaixonei pela Matemática, mas não pela matemática em geral, mas pela geometria na sua forma mais concreta e sensual, aquela parte da geometria em que o olhar e Matemática se encontram. O professor estava a ensinar Álgebra, e eu comecei a imaginar imagens geométricas que encaixavam naquela Álgebra e assim que vi aquelas imagens à resposta tornou-se óbvia. Tinha descoberto algo que desconhecia por completo e sabia como transformar em minha mente de forma instantânea as fórmulas em imagens [6]. Com o fim da Segunda Guerra Mundial, Mandelbrot, após terminar seu doutoramento, tentou dar aulas em uma universidade francesa, porém não obteve muito sucesso. Era visto como desorientado pelos colegas de trabalho e de nenhuma forma conseguia adaptar-se aquele cenário. Em 1948 foi para os Estados Unidos (EUA) estudar Ciência Aeroespacial, pouco depois é contratado pelo Centro de Pesquisas Thomas Watson (IBM), que estava desenvolvendo uma tecnologia que revolucionaria o nosso modo de vida, o

15 12 computador. Na IBM, teve maior acesso aos recursos computacionais que possibilitaram a criação de vários trabalhos de computação gráfica. Além disso, durante esse período a IBM estava com problemas na transmissão de dados via linhas telefônicas: os engenheiros notaram que de tempos em tempos as linhas tornavam-se ruidosas, levando a vários erros. Tentando resolver esse problema, o matemático representou os ruídos graficamente para compreender com maior exatidão o erro, deparando-se com uma situação intrigante: quaisquer que fossem as escalas de tempo utilizadas, o gráfico parecia ser o mesmo um dia, uma hora, um minuto, um segundo pareciam todos iguais, erram autossimilares. Daí surge o primeiro passo para compreender as figuras que hoje conhecemos como fractais.

16 13 2 GEOMETRIA FRACTAL A geometria fractal é ciência que estuda objetos que ultrapassam os limites da geometria tradicional e precisam de tratamento diferenciado para o estudo e compreensão. 2.1 O que são fractais? Derivado do latim fractus, que significa quebrado ou fragmentado, fractal foi o termo usado por Mandelbrot para definir formas que pareciam recortadas e partidas. A ideia principal é que, quando aumentamos ou reduzimos um objeto, ele continua o mesmo, ou seja, o todo de um fractal se parece com uma parte menor de sua imagem, que por sua vez, se parece com uma parte ainda menor e essa similaridade continua repetindo-se. Benoit dizia que era possível construir um fractal a partir de sucessivas divisões de formas simples da própria geometria euclidiana, processo que os matemáticos chamaram de iteração. Existem três categorias principais em que os fractais podem ser classificados, dependendo da forma como é gerado [7]: Sistema de funções iteradas: aqui estão os fractais determinísticos ou geométricos. Eles são gerados a partir de uma regra fixa de substituições geométricas simples aplicadas a cada iteração no próprio objeto. Exemplos destes são as Ilhas de Koch (Figura 1 1 ) e o Triângulo de Sierpinsk (Figura 2 2 ). Figura 1: Ilha de Koch Figura 2: Triângulo de Sierpinsk 1 Fonte: Acesso em 03/11/ Fonte: Acesso em 03/11/2014.

17 14 Fractais gerados por computadores: também conhecidos como fractais de fuga, são figuras de extrema complexidade, criadas a partir de sistemas computacionais avançados (rápidos e capazes de realizarem infinitas iterações), como o Conjunto de Mandelbrot, como pode ser visto na Figura 3 3. Figura 3: Conjunto de Mandelbrot Fractais aleatórios: aqui encontramos os fractais naturais, quando o todo é estatisticamente semelhante à ampliação de uma parte. Encontrados em fractais naturais, tais como a árvore (Figura 4 4 ), o romanesco (Figura 5 5 ) e a estrutura pulmonar (Figura 6 6 ). 3 Fonte: imagem gerada a partir do programa Nfract. 4 Fonte: Acesso em: 03/11/ Fonte: Acesso em: 03/11/ Fonte: Acesso em: 03/11/2014.

18 15 Figura 4: Árvore Figura 5: Romanesco Figura 6: Estrutura pulmonar Além da classificação por forma, podemos ainda, classificar um fractal pelo grau de autossimilaridade: Autossimilaridade exata: onde o fractal é idêntico em diferentes escalas, ou seja, a característica de autossimilaridade é mais evidente. Quase autossimilaridade: um modo mais livre de autossimilaridade, o fractal aparenta ser aproximadamente, porém não idêntico ao todo. Autossimilaridade estatística: o fractal preserva as suas medidas numéricas e estatísticas em diferentes escalas, entretanto sua autossimilaridade não se faz tão marcante. Ao estudarmos fractais, nos deparamos com outro fator importante destes objetos, a dimensão fractal ou dimensão fracionária. Diferente das figuras euclidianas, em sua maioria, os fractais não possuem dimensões inteiras.

19 16 Ao utilizarmos esses métodos para o cálculo da dimensão, estamos expressando algo diferente da dimensão topológica. Os métodos que envolvem o conceito de dimensão espacial referem-se ao espaço ocupado, ou preenchido, por uma figura. E tais métodos permitem que, ao se calcular efetivamente a dimensão de alguns objetos, o resultado seja um número fracionário. Nem sempre a dimensão espacial dos fractais é fracionária, porém dimensão fracionária é uma característica que as figuras tradicionais não possuem [8]. 2.2 Box Counting A caixa de contagem ou "box counting" é um método de coleta de dados para análise de padrões complexos. Quebrando este conjunto de dados obtemos um objeto visualizado em pedaços cada vez menores, normalmente em formas de caixas. Analisando as peças uma a uma em escala, este processo serve para ampliar ou reduzir usando métodos ópticos em computadores para observar a forma como ocorrem as mudanças e detalhes deste objeto. Teoricamente, a intenção da caixa de contagem é quantificar em escalas os fractais, para uma melhor visualização e compreensão do fractal, como pode ser observado na Figura 7 7. Figura 7:Segmento fractal visualizado em diferentes escalas No próximo capítulo, veremos alguns dos fractais mais conhecidos. 7 Fonte: Acesso em: 27/10/2014. Alterada no programa Autodesk Pixlr.

20 17 3 FRACTAIS CLÁSSICOS No fim do século XIX, os matemáticos apresentaram uma descrição formal do que era uma curva, entretanto dentro desta, haviam coisas que satisfaziam a descrição, contudo, sequer conseguíamos desenhar, imagens que pela sua complexidade ficaram conhecidas como monstros matemáticos. Entretanto, elas apresentavam uma propriedade comum, a autossimilaridade. 3.1 Poeira de Cantor O matemático russo Georg Cantor, publicou em 1883, um trabalho hoje conhecido como Conjunto Ternário de Cantor ( Polvo de Cantor ou Poeira de Cantor ). Este foi o primeiro estudo conhecido como fractal [4], um dos monstros matemáticos. O conjunto é construído pelos seguintes processos iterativos: 1 - Tomemos um seguimento de reta AB; 2 - Dividimos em três partes iguais e retiramos a parte central; 3 - Seguimos assim, repetindo o passo 2 infinitamente e sucessivamente; Esse processo pode ser observado claramente na Figura 8 8 seguinte. Figura 8: Conjunto Ternário de Cantor 8 Fonte: Acesso em 27/11/2014.

21 Fórmulas para o cálculo da dimensão do Conjunto de Cantor Supomos C 0 = I = [0,1] R. Assim, temos C 1 o conjunto obtido a partir de C 0, quando retiramos seu terço central, ou seja, C 1 = C 0 \ [1/3, 2/3] = [0, 1/3] U [2/3,1]. Na mesma linha de raciocínio, C 2 = [0, 1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9]. O Conjunto de Cantor é dado pelo limite da sequência dos conjuntos C k. Verificamos que C k consiste na união de 2 k intervalos de comprimento 3!k. Logo, a dimensão box counting [4] do Conjunto de Cantor é dada pela seguinte fórmula:!!"!!!"#!!!"#! = =!.!"#! =!"#!, para todo k N.!!!!"#!!!.!"#!!"#! 3.2 Curva de Peano Giusepe Peano ( ), nasceu em Cuneo, Itália. Lecionou na Academia Militar de Turim, onde contribuiu valiosamente à Matemática, sobretudo, no que diz respeito às preocupações dos importantes estudiosos da época. Na sua obra Arithmetices Principia, pode-se verificar o rigor lógico e a precisão quando utiliza e introduz símbolos lógicos. A seguir, os passos para a obtenção da Curva de Peano. 1 - Inicialmente, consideramos um seguimento de reta; 2 - Em seguida, substituímos o segmento por uma curva de nove segmentos; 3 - Repetimos o passo anterior (2) sucessivas e infinitas vezes; Como ilustrado na Figura Fonte: gation_chapter=3713&show_navigation=1. Acesso em: 27/11/2014.

22 19 Figura 9: Construção da Curva de Peano 3.3 Triângulo de Sierpinsk Outra das figuras fractais mais conhecidas é o Triângulo de Sierpinsk (ou Cesta de Sierpinsk), descrito em 1915 por Waclaw Sierpinsk, ele é obtido a partir de iterações sucessivas em um triângulo equilátero, como descrito abaixo. 1 - Tomemos um triângulo equilátero; 2 - Tracemos em interior um novo triângulo equilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo inicial; 3 - Retiramos o triângulo central; 4 - Repetimos os passos 2 e 3 em cada um dos triângulo restantes; Seguindo assim, repetindo indefinidamente o procedimento descrito acima em relação a cada um dos triângulos obtidos, construímos o Triângulo de Sierpinsk como ilustrado na Figura a seguir. 10 Fonte: Acesso em: 03/11/2014

23 20 Figura 10: Construção do Triângulo de Sierpinsk Há outra forma um tanto surpreendente de construir a Cesta de Sierpinsk, através do Jogo do Caos [9]. 1 - Construa um triângulo equilátero ABC e marque um ponto P! fora do triângulo; 2 - Lançando um dado, tome como base as seguintes instruções: se sair 1 ou 2 selecione o ponto A; se sair 3 ou 4, selecione o ponto B, se sair 5 ou 6, selecione o ponto C. Lance o dado e suponha que deu 5, que corresponde a C; 3 - Ligue P! com C e marque P! na metade da distância P! C; 4 - Lance o dado nova 11 mente e suponha que saiu 3, equivalente a B, ligue P! com B e marque P! na metade de P! A; 5 - Repita este processo diversas vezes, sempre marcando o ponto P! ; Após cerca de 75 jogadas, o Triângulo de Sierpinsk (veja na Figura 11) começa a tomar forma. Produzindo assim, uma estrutura extremamente ordenada a partir de um método aleatório. Com isso, podemos verificar que a geometria fractal é de fato uma estrutura que põe ordem no caos. 11 Imagem retirada da tese "Geometria fractal e aplicações" de Raquel Sofia Rebelo Nunes

24 21 Figura 11: Jogo do caos com cerca de iterações 3.4 Curva de Koch A curva descrita pelo matemático Niels Fabian Helge Van Koch é um dos fractais mais famosos, um caso de autossimilaridade exata. Ela pode ser obtida através de iterações geométricas simples apresentadas a seguir. 1 - Desenhe um segmento de reta; 2 - Divida o segmento em três partes iguais e retire seu terço médio; 3 - Construa um triângulo equilátero sem sua base na parte central retirada; 4 - Repita o processo nos quatro segmentos resultantes; 5 - Continue repetindo o processo indefinidamente;

25 22 Observe melhor a construção da Curva de Koch na Figura Figura 12: Construção da Curva de Koch Ilhas de Koch Utilizando o mesmo método mencionado acima, partindo agora de polígonos regulares, obtemos as chamadas Ilhas de Koch. A ilha mais conhecida assemelhase com a estrutura cristalina do floco de neve, daí o nome de Floco de Neve de Koch, representado na Figura As curvas de Koch possuem uma característica intrigante, são passiveis ao cálculo de área, porém seus perímetros são indefinidos. Figura 13: Construção do Floco de Neve de Koch 12 Fonte: Acesso em: 03/11/ Fonte: Acesso em: 03/

26 Conjunto de Mandelbrot O Conjunto de Mandelbrot (Figura14 14 ) tornou-se símbolo da geometria fractal. Ele é dado a partir da equação f z = z! + C, que combina os conjuntos de Gaston Julia, um matemático anterior a Benoit, que tentou compreender o que acontece quando se pega uma simples equação e a repete utilizando o seu resultado, ou seja, pega-se um número e o introduz na fórmula original substituindo um número. O que aconteceria se conseguíssemos repetir este processo bilhões de vezes? Houve várias tentativas manuais de resolver esta questão, no entanto, isso só foi possível bem mais adiante na história, com os super computadores. Na IBM, Mandelbrot transformou o resultado destas iterações em pontos num gráfico e em 1980, definiu a equação citada acima, que une os conjuntos de Julia numa única imagem. Figura 14: Conjunto de Mandelbrot 14 Fonte: Acesso em 03/11/2014. Acesso em: 13/11/2014.

27 24 4 APLICAÇÕES DA GEOMETRIA FRACTAL A descoberta da geometria fractal proporcionou a profissionais de diversas áreas do conhecimento, meios para explorar as ciências, promovendo uma gama de investigações e consequentemente, inovações. Biólogos já utilizam fractais para investigar a influência da superfície irregular de proteínas nas iterações moleculares, matemáticos constroem modelos de crescimento demográficos, modeladores gráficos usam para gerar terrenos e atmosferas. Neste tópico, trataremos especificamente de três extraordinárias aplicações desta geometria, na computação gráfica, nas comunicações sem fio e na medicina. 4.1 Avanços da geometria fractal Na área da computação destinada à geração de imagens, a geometria fractal possui uma infinidade de aplicações, desde a própria informática, ao produzir interfaces gráficas para softwares, sistemas operacionais e sites na internet, quanto para produzir jogos e animações. Dentro da Computação Gráfica, os fractais intervém para expressão artística utilizando os ambientes gráfico-computacionais como meio ou fim, tais como gravura digital, arte digital e web arte na arquitetura e design de objetos, desenvolvendo os gráficos dos projetos de forma visual e com a aplicação dos cálculos matemáticos para os testes dos projetos quanto a resistência, a variação de luz e ambientes. Na indústria do entretenimento os jogos eletrônicos são a maior e mais rentável aplicação da computação gráfica atualmente, a grande motivação para seu desenvolvimento, resultando também no desenvolvimento e aprimoramento conjunto de equipamentos para este tipo de trabalhos, como placas de vídeo e processadores mais poderosos que possibilitam avançar ainda mais no campo dos fractais. No cinema é utilizado para produção de efeitos especiais, retoques nas imagens do filme, e filmes de animação. O primeiro filme a aplicar fractais foi Star Treck II para a criação do planeta Genesis, a revolução foi expressiva e após Genesis uma série de filmes passaram a aplicar a geometria fractal [10]. Na engenharia é possível simular diversos eventos físicos e químicos dos materiais envolvidos nos projetos em elaboração, assim como no geoprocessamento para geração de dados relacionados a cidades, regiões e países na criação de

28 25 modelos de crescimento demográficos e na descrição e caracterização de falhas sísmicas e, por conseguinte, terremotos são obtidos através do estudo de sua estrutura fractal. Além de terremotos, outros fenômenos geológicos podem ser estudados como, por exemplo, a dinâmica dos vulcões. Na biologia o estudo da influência da superfície irregular das proteínas nas iterações moleculares efeito com a aplicação da geometria fractal. Na compactação fractal de imagens disputa a preferência das empresas através do processo JPEG, uma das mais usadas atualmente. A compressão fractal de imagens vai ganhando espaço sendo usada na criptografia, codificação e decodificação de áudio e vídeo [11]. O desenho de antenas baseia sua utilidade à uma específica faixa de frequências, sendo ineficientes ou pouco eficaz para uma outra faixa. Considerando o comprimento da onda relativa ao tamanho da antena, esta não podendo ser menor que um quarto do comprimento total da onda. A relação tamanho da antena versos o tamanho da onda causa grandes problema na utilização de antenas em aparelhos de comunicação portátil [12]. O desenvolvimento das antenas fractais colaborou para uma maior eficácia pois conseguem ser proporcionalmente minúsculas e capazes de funcionar simultaneamente em várias frequências, muito diferente das antenas comuns que são limitadas e condicionadas a operar com uma faixa determinada de ondas, sendo umas das alternativas para aplicação na comunicação de banda larga. Após testes realizados, a empresa Motorola utiliza as antenas fractais em vários modelos e afirma que a eficiência das antenas são 25% melhores que as antenas comuns de fio condutor. Na Medicina, analisadas pela geometria fractal, várias patologias cardíacas são tidas como a falta de regularidade nas batidas do coração, tais como taquicardia e fibrilação. Pesquisadores têm estudado a dinâmica do coração, bem como condições de suspensão e indução da fibrilação, o que tem permitido a criação de equipamentos desfibriladores mais eficientes. A geometria fractal também trouxe ricas contribuições para detecção precoce do câncer, como relata a Revista Ciência Hoje (1998): "O câncer ainda é uma moléstia a ser vencida. Além de novas terapias, os cientistas estudam novas formas de diagnóstico para que a identificação de tumores seja precisa e cada vez mais

29 26 prematura. Uma das diferenças entre células sadias e doentes está nos diferentes padrões de crescimento de cada tipo. O exame destes padrões, utilizando recursos de geometria fractal, pode ser a chave para a criação de um sistema de detecção do câncer por computador." [13]

30 27 5 GEOMETRIA FRACTAL EM SALA DE AULA A geometria fractal viabiliza um estudo matemático com uma abordagem nova de conteúdos, de modo a contribuir com o processo de ensino, trazendo um forte apelo ao visual artístico, sem prejuízo da precisão e do rigor matemático, como ressalta Barbosa [14] em sua obra Descobrindo a Geometria Fractal para sala de aula. 5.1 Por que trabalhar com fractais? O estudo dos fractais e sua utilização em sala de aula ao estudar conceitos matemáticos são de grande valia para a educação. A começar pelo grau de surpresa que irá causar nos alunos, que terão um encontro com algo, até então, desconhecido por eles, gerando a curiosidade na constatação de uma ordem em meio ao que parece-nos aleatório. Os fractais também possuem um apelo estético muito forte em suas formas, o que tende a facilitar sua aceitação pelos estudantes, e até mesmo, encantá-los. Benoit dizia que não trabalhava com formas, mas com imagens. Afirmava que as ciências haviam excomungado o olho. A geometria fractal vem contrariando essas correntes da matemática abstrata, propondo uma nova forma de olhar para o mundo, ligando a matemática a fatores vivos, naturais. Os objetos naturais são frequentemente mais complexos, exigindo uma geometria mais ampla. Quando analisamos apenas no patamar da geometria euclidiana, deparamo-nos com inúmeras limitações, que os fractais nos permitem superar. Alguns fractais também são passíveis a construções simples, que podem ser feitas pelos próprios alunos, proporcionando a estes fazer parte do processo criativo, da arte de fazer matemática. A disseminação e o acesso às tecnologias da informação e comunicação (TICs) na educação escolar é outro fato que contribui com o trabalho dos fractais. Uma das propostas para melhorar a educação, implica no docente dispor-se a buscar meios mais atrativos para prender a atenção dos alunos, um desafio difícil, entretanto, necessitamos enfrentar. São vários os debates e projetos acerca da importância da tecnologia no ensino, que tendem, quando bem utilizadas, a facilitar

31 28 o processo de aprendizagem, tal tecnologia se aplica perfeitamente ao estudo e compreensão dos fractais. 5.2 Construindo um fractal Uma atividade interessante e de fácil construção, que pode ser aplicada em sala de aula, é o cartão do Triângulo Sierpinski [15]: 1. Tome uma folha de tamanho A4. 2. Dobre-a ao meio. 3. Marque um ponto médio na sua dobra de largura x e faça um corte vertical de altura y qualquer. 4. Dobre um dos retângulos formados para cima, fazendo um vinco na dobra. 5. Repita o passo 3 nos dois retângulos obtidos. Note que os retângulos x possuem de base, assim os cortes verticais em seus pontos médios devem 2 ter altura igual a 2 y. Figura 15: Planificação do cartão Triângulo de Sierpinski

32 29 Observe que a iteração cada o número de novos paralelepípedos triplica, ou seja, o crescimento deste número é descrito pela lei de potência 2, 3,... é o número da iteração. n 3, onde n = 0, 1, Figura 16: Cartão fractal Triângulo de Sierpinsk Outra construção para ser aplicada em sala de aula, é uma replica da Curva de Peano [16], dada a partir da ligação dos pontos ilustrados na figura abaixo. Figura 17: Pontos para unir, formando segmentos e ir preenchendo o espaço

33 30 O aluno deve ligar os pontos sem passar mais de uma vez pelo mesmo segmento de reta e numerá-los de 1 a 81. Figura 18: Construção manual da terceira iteração da Curva de Peano A partir da construção, o aluno pode analisar o que acontece a cada interação da curva, e por fim, generalizar que o número de segmentos da curva é dada pela equação 3!!, sendo n o número de iterações.

34 31 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho, viu-se a relevância das obras de Mandelbrot, que soube utilizar engenhosamente as tecnologias de seu tempo para explorar esta área magnífica, inspirando outros estudiosos e pesquisadores neste caminho, promovendo uma revolução em vários aspectos nas ciências e no mundo acadêmico ao apresentar a geometria fractal. Apresentou-se um pouco sobre alguns dos fractais clássicos e suas particularidades, que podem servir como fonte de pesquisa a outros profissionais que trabalham com matemática, de modo especial aos docentes que têm a possibilidade de utilizar as ideias aqui expostas para enriquecer suas aulas. Ao término deste estudo, pôde-se comprovar a importância desta geometria nos avanços de diversas áreas do conhecimento. São descobertas que grande parte da população e mesmo muitos estudiosos não sabiam da contribuição dos fractais neste processo. Constata-se também que o ensino da Matemática é um desafio para o educador em nosso tempo, que a busca por ferramentas e métodos mais eficientes e que prendam a atenção do aluno é extensa e continua. Observa-se a limitação da geometria euclidiana ao tentar compreender formas naturais, que podem ser entendidas mais claramente com a geometria fractal, capaz de surpreender os estudantes e fazer esse intermédio entre o cotidiano e natureza com o conhecimento abordado em sala de aula. Os fractais podem despertar um fascínio por suas formas harmoniosas e belas, permitindo a eles uma observação da regularidade e da simplicidade na construção do que a princípio parece monstruoso e de suma complexidade, fazendo da geometria fractal um método pouco explorado, mas que possui todos os meios para ser aplicada no ensino de matemática, inclusive sua ligação e passível exploração através das TICs.

35 32 REFERÊNCIAS [1] Melo, Fábio de. Quem me roubou de mim? - o sequestro da subjetividade e o desafio de ser pessoa. 96. Ed. São Paulo: Editora Canção Nova, p. [2] Pickover, Clifford A. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling Publishing Company, Inc. p. 310.ISBN , [3] Trochet, Holly. A History of Fractal Geometry: Mac Tutor History of Mathematics. Mac Tutor History of Mathematics, [4] Sant'Anna, Douglas Azevedo. Derivadas Fracionárias, Funções Contínuas Não Diferenciáveis e Dimensões. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do ABC, Santo André SP, [5] Krantz, Steven G. Fractal Geometry.The Mathematical Intelligencer. Vol. 11, Nº.4, New York, [6]Schwarz, Michael and Jersey, Bill. Hunting The Hidden Dimension. Boston: Public Broadcasting Service, [7] Fuzzo, Regis Alessandro; Rezende, Veridiana; Santos, Talita Secorun. Fractais: algumas características e propriedades. IV Encontro de Produção Científica e Tecnológica, [8] Murr, Caroline Elisa. E. al.fractais: propriedades e construção. Artigo de iniciação científica -Universidade Federal do Paraná, Curitiba, [9] Janos, Michel. Geometria Fractal. Rio Janeiro: Editora Ciência moderna Ltda., p [10] Azevedo, Eduardo; Conci, Aura. Computação gráfica: teoria e prática. 2.ed. São Paulo: Editora Campus, [11] Azevedo, Eduardo; Conci, Aura. Computação gráfica: geração de imagens. São Paulo: Editora Campus, [12] Aplicações dos fractais. Disponível em: em: 17/11/2014. [13] Vilela, Marcelo Jose. Câncer. In: Revista Ciência Hoje, agosto de 1998, vol. 24, nº141,p.(17-25). [14] Barbosa, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para sala de aula, passim. 3.ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2005.

36 33 [15] Almeida, Theodoro Becker de; Martinelli, Rodiane Ouriques; Rodrigues, Virgínia Maria; Silva, Ana Maria Marques da. Fractais no ensino fundamental: explorando essa nova geometria.pucrs. [16] Krindges, Eliana Einsfield. Geometria fractal no Ensino Fundamental: Inserindo Matemática contemporânea nos conteúdos do currículo escolar. Dissertação de mestrado, Universidade Regional de Blumenau. Blumenau, 2012.