Progressões Geométricas em Fractais

Transcrição

1 Progressões Geométricas em Fractais Guia do Professor 1 Introdução 1.1 O simulador: um software inovador e de fácil utilização A área da Informática na Educação, tanto no tocante à pesquisa como ao desenvolvimento, já tem história no País. No entanto, é pertinente manter viva a discussão de que tipo de ferramenta realmente se constitui em contribuição metodológica no binômio Ensino-Aprendizagem. Em se falando de artefatos tecnológicos nas organizações, é importante observar a diferença entre automatizar e inovar. Para eles, um artefato inovador era aquele que levava a uma intervenção no status-quo da atividade no mundo real onde o sistema seria inserido. Aplicando este conceito ao software educacional, um software inovador seria, então, um instrumento capaz de introduzir, na metodologia de ensino, possibilidades antes inexistentes. Neste contexto, os simuladores podem ser vistos como artefatos inovadores, na medida em que eles permitem enxergar o comportamento de certos processos transformadores (no nosso caso, matemáticos) ao longo de uma série de iterações. Tal possibilidade promove concretude na manipulação de conceitos básicos, o que facilita a construção do conhecimento. O simulador de fractais permite, ao aprendiz, a construção de um conceito a partir da visualização seqüencial e dinâmica das figuras geométricas representadas, modificadas ao longo de uma quantidade n de iterações (ou passos repetitivos). O ambiente proporciona dicas dependentes de contexto, além de retroalimentação na ocorrência de erros conceituais registrados pelo aprendiz no sistema. 1.2 O conceito de fractal Esta seção introduz o conceito objeto do simulador, visualizada pelo aluno ao iniciar o contato com o software. A leitura prévia deste material prepara o professor para a condução posterior da utilização da referida ferramenta no laboratório. 1) Antes de iniciarmos com o conceito básico de fractal, é preciso retomar o conceito de figura geométrica. Figuras geométricas, em uma explicação simples, são conjuntos formados a partir de pontos, que dão origem a curvas ou a retas, e essas dão origem a

2 planos. Por exemplo, três figuras geométricas bem conhecidas são: Um círculo; Um triângulo; Um quadrilátero. 2) Imagine que agora, nos fosse dada uma lupa com o poder de aumentar infinitamente os lados de uma figura geométrica. Chamaremos isso de aumentar a escala de observação. O que aconteceria se utilizássemos essa lente? Nós perceberíamos que os lados não mais formam a figura geométrica inicial, mas simples retas. 3) No caso do círculo, é preciso aumentá-lo bastante, até que se perceba uma reta. Mas no nosso dia a dia, podemos perceber o aumento infinito da escala de observação de um círculo apenas olhando para o horizonte. Sabemos que o nosso planeta possui uma forma geóide, que é quase esférica. Porém, o que acontece quando olhamos para o horizonte? Percebemos um círculo ou uma reta? 4) Fractais também são formas geométricas, pois são compostos a partir de conjuntos de pontos. Todavia, os fractais são diferentes das demais figuras: independente da escala de observação, a forma original de um fractal é mantida. Em outras palavras, as partes menores conservam a aparência do todo. 5) Como se pode observar na figura acima, mesmo que aumentemos os lados ao infinito, a forma original do fractal se manterá a mesma. Como se dá a construção de fractais? 6) O fractal acima é chamado de Curva de Koch. Esse fractal iniciou-se com um simples segmento de reta, e tornou-se a figura em questão. O problema agora é: como se pode gerar uma figura complexa como essa a partir de segmentos de retas?

3 Vamos para o passo inicial da curva de Koch: uma simples reta. 7) Partindo de um segmento de reta, nós o dividiremos em 3 partes iguais. 8) Depois se constrói um triângulo eqüilátero no terço médio e apaga-se a sua base, gerando uma forma angular. Divide-se então cada um dos lados assim obtidos novamente em três partes. 9) Depois, repetimos o mesmo processo (chamamos cada passo de iteração) para cada um dos novos lados gerados. Observe que, mais uma vez, dividimos cada um dos novos lados em três partes iguais. 10) Para resumir, o processo de geração desta figura, chamada "curva de Koch", consiste em dividir os lados em três partes iguais, criar as formas angulares (formando ângulos de 60 graus), e repetir o processo infinitamente. Que tal voltar e avançar alguns passos para perceber as iterações? Associação entre Progressão Geométrica (PG) e fractais. 11) Qual a quantidade de lados em cada iteração? Na iteração 0, temos 1 lado; Na iteração 1, temos 4 lados; Na iteração 2, temos 16 lados; Na iteração 3, temos 64 lados. Vale a pena enfatizar isso em sala de aula para os alunos antes do uso do software.

4 13) Será que também podemos encontrar uma P.G. na relação entre os tamanhos dos lados de iterações consecutivas? Por exemplo, se dermos à reta inicial o valor 81 cm, podemos dizer que: Na iteração 0, o único lado tem comprimento 81cm; Na iteração 1, temos 4 lados, cada um com 27 cm; Na iteração 2, temos 16 lados, cada um com 9 cm; Na iteração 3, temos 64 lados, cada um com 3 cm. Esse é mais um fato que vale a pena enfatizar para os alunos em sala de aula, previamente ao uso do software no laboratório. Tanto para a quantidade de lados em cada iteração como para o tamanho do lado, é interessante que o professor ressalte adiantadamente, em sala de aula, as principais características das PG (ex. de ser crescente ou decrescente, o valor de sua razão, etc). 2 Objetivos O objetivo geral do simulador consiste em proporcionar aos alunos um ambiente que permite o tratamento do conceito de fractais de maneira concreta. Entre outras coisas, o simulador busca: motivar os alunos em relação às novidades sobre o conceito de fractais; proporcionar ao aluno a oportunidade de identificar vários relacionamentos matemáticos associados ao fractal Triângulo Sierpinsky, entre os quais pode ser citado o relacionamento entre os tamanhos dos lados de iterações subseqüentes; permitir a investigação da ocorrência de fenômenos matemáticos associados à Curva de Kock (ou Ilha de Koch), dentre os quais está a composição de progressões geométricas entre os valores dos perímetros de iterações subseqüentes; permitir ao aluno descobrir as propriedades e o comportamento de progressões geométricas sobre área de um triângulo e área total associadas a cada um dos fractais vistos; dar a oportunidade de os alunos conhecerem figuras que têm apelo lúdico e, motivados pelo conhecimento desta figura aparentemente mágica, realizarem uma série de análises de cunho matemático que incluem o trabalho com processos repetitivos, a criação de fórmulas gerais, o cálculo de áreas e perímetros de figuras de complexidade crescente, aplicar progressões geométricas intuitivamente ao conceito de limite. 3 Pré-requisitos Com o intuito de aproveitar todo o potencial da aplicação do simulador, os alunos da turma deverão ter ser previamente introduzidos ao conceito de regularidades em geral e, em especial, ao conceito de fractal. Os alunos deverão, também, conhecer o conceito de Progressões Geométricas. Os alunos deverão ter familiaridade com calculadoras simples e com a especificação de fórmulas matemáticas bem compostas.

5 4 Tempo previsto para a atividade O tempo previsto para a atividade com o software no laboratório é de aproximadamente uma hora. No entanto, cabe destacar que, de acordo com o potencial de intervenção do professor previamente à execução, ou durante a mesma, esse tempo poderá mudar. Recomenda-se que o professor utilize a oportunidade dos momentos no ambiente laboratorial, fora do âmbito hierárquico de sala de aula, para explorar as possíveis sugestões de desenvolvimento da atividade vindas dos próprios alunos. 5 Na sala de aula A introdução ao conceito de fractais, disponível aos alunos na sessão com a simulador, pode ser apresentada previamente pelo professor em sala de aula. Alternativamente, ela pode ser deixada para a própria exploração dos alunos no uso direto do software. Nesse último caso, mais tempo do que o previsto no item anterior deve ser previsto. 6 No laboratório de computadores 6.1 Preparação (Professor!) Leia previamente exercícios propostos no software assim como as dicas associadas a cada um deles. Após resolvê-los, repasse o que você adquiriu na forma de orientações gerais aos alunos para que eles iniciem a atividade laboratorial com alguma familiaridade em relação ao software. Ou seja, não inicie a atividade no laboratório sem antes ter usado o software e realizado todas as atividades propostas aos alunos. Com o intuito de evitar que alguns alunos se mantenham passivos durante a execução das atividades, uma alternativa é não prever trabalho em grupo, alocando um aluno por computador. Contudo, se, por um lado, garante-se com isto que todos os alunos de fato interajam com a ferramenta para realizar as atividades propostas, por outro, elimina-se o ambiente social de discussão informal, propício à construção do conhecimento. Portanto, essas decisões ficam a critério do professor, condutor principal da atividade, o qual deve ponderar, também, as questões práticas, tais como o número de alunos por turma, o número de computadores no laboratório, entre outras. A estratégia de trabalho no laboratório está relacionada ao processo de avaliação posterior. 6.2 Atuação na avaliação formativa É importante notar que, durante a fase de envolvimento dos alunos com a solução dos exercícios, a atenção do professor deverá ser voltada para as telas de vídeo do computador que tiverem sinais retangulares vermelhos. Isso significa que o aluno pode precisar de ajuda em algum estágio de formação da expressão que constitui um termo qualquer das várias progressões geométricas de um fractal. Note que o software é capaz de detectar com alta precisão tanto as expressões corretas do aluno como as erradas. Todavia, o software ainda não é capaz de fornecer explicações muito detalhadas a respeito de cada erro específico. A ajuda em casos de erro mais delicados deverá ser fornecida pelo professor da disciplina, o qual poderá ter seu trabalho de monitoramento do desempenho dos alunos facilitado por meio dos referidos sinais vermelhos na tela do computador. Tal atuação do professor contribui para a importante tarefa de avaliação formativa, a qual é cada vez mais rara diante de turmas grandes. O software pode ajudar

6 o professor a dirigir seus esforços de orientação dos alunos de maneira mais racional, focalizando a atenção nos casos de erro. 6.3 Material necessário A rigor, não é necessário material adicional ao equipamento técnico (ver hardware e software descrito a seguir). No entanto, alguns alunos podem preferir fazer anotações com lápis em papel durante o trabalho com o simulador. Por outro lado, o professor pode solicitar a entrega de algum trabalho após o uso da ferramenta, o que também pode exigir o uso de instrumentos tradicionais de escrita, por exemplo, se não houver uma impressora disponível. 6.4 Requisitos técnicos É necessário que os computadores do laboratório tenham: CD com o software ou uma conexão com a Internet (qualquer velocidade); qualquer Sistema Operacional (exemplos: Ubuntu Linux, Kurumin Linux, Debian Linux, Windows 98, Windows XP, Windows Vista, etc) instalado; qualquer Navegador Web (Web browser) que suporte Java (exemplos: Mozilla Firefox, Epiphany, Opera, Internet Explorer, etc) instalado; e o Java JRE 1.6 instalado. 7 Avaliação somativa O tipo de avaliação necessária é função da estratégia de trabalho adotada no laboratório. Se o trabalho tiver sido realizado de maneira individual, ele pode ser complementado por uma avaliação em grupo. Isso se justifica pois a própria avaliação funcionará, simultaneamente, como mais um espaço para a construção do conhecimento específico aqui abordado, na medida em que cada aluno contribuirá com algum aspecto que tenha lhe chamado mais a atenção. Se o trabalho no laboratório tiver sido realizado em equipe, será necessária uma avaliação individual, com o intuito de verificar até que ponto os membros das diversas equipes tinham trabalhado de maneira homogênea e se envolvido ativamente nas tarefas propostas pelo software. Em ambos os casos, poderiam ser apresentadas ao aluno as tabelas em papel até a enésima iteração de cada um dos fractais vistos Em seguida, seriam pedidas como questões para avaliação, as próprias questões do software, eventualmente apresentadas em ordens diferentes. Finalmente, outra alternativa de avaliação consiste em solicitar aos alunos a elaboração de um resumo dos aspectos que eles tenham achado particularmente interessantes dentro do conceito investigado por meio da utilização do simulador. Essa redação de contexto aberto pode proporcionar eventuais percepções de retroalimentação em ocorrências posteriores da atividade com o software.

7 8 Sugestões de bibliografia e páginas Web sobre fractais BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Horizonte, Autêntica Editora, FRACTAIS NO ENSINO MÉDIO. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática / Revista do Professor de Matemática, 3º quadrimestre, RICIERI, Aguinaldo Prandini. Fractais e Caos - A Matemática de Hoje. São Paulo: Editora Parma Ltda, O mundo dos Fractais: Janelas para o Infinito - Exposição de Fractais; Simulador: Informações e figuras sobre os fractais: Música fractal: Galeria de Fractais: Manifesto da arte Fractal: Galeria de Fractais: Galeria de Fractais: