Notas de Aula FIS0728 Movimento 1D e 2D. Material para prova do dia 15/09/2011

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1 Notas de Aula (revisadas) FIS Movimentos 1D e 2D Ezequiel C. Siqueira 2011 Notas de Aula FIS0728 Movimento 1D e 2D Material para prova do dia 15/09/2011 Ezequiel C. Siqueira Departamento de Física e Química Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

2 Sumário 1 Conceitos e Definições O Sistema Internacional de Unidades Notação Científica & Ordem de grandeza Algarismos Significativos Apresentação de grandezas físicas Mudanças de Unidades Movimento Unidimensional Posição e Deslocamento Velocidade Média e Velocidade Escalar Média Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Aceleração Movimento com aceleração constante Equações para aceleração constante Exemplos Movimento em duas dimensões Vetores Operações com vetores Decomposição de vetores Vetores Unitários (versores) Somando vetores algebricamente Posição, Velocidade e Aceleração Vetoriais Movimento com aceleração constante

3 2 SUMÁRIO 3.4 Movimento de Projéteis Análise do movimento de um projétil Movimento Circular Uniforme (MCU) Exemplos Movimento Relativo Exemplos

4 FIS0728 Fundamentos de Física I Ezequiel C. Siqueira Depto. de Física e Química Ementa Os tópicos que serão abordados na disciplina são os seguintes: 1. Medidas, Algarismos Significativos. 2. Movimento Retilíneo 3. Movimento em duas e três dimensões 4. Força e Movimento 5. Conservação da Energia 6. Sistemas de partículas, conservação do momento linear e Colisões Informações mais detalhadas podem ser encontradas na ementa da disciplina, disponível na página: Provas (conteúdo por prova sujeito à alterações ) Serão realizadas três provas, a média final obtida a partir da média aritmética destas provas. 1 a Prova: 08/09/2011 Movimentos em 1, 2 e 3 dimensões 2 a Prova: 20/10/2011 Força e Movimento + Conservação da Energia 3 a Prova: 02/12/2011 Conservação da Energia + Colisões 3

5 4 SUMÁRIO Referências Bibliográficas Livros principais (usados como livros-texto) O curso será baseado nos seguintes livros: HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Física, Rio de Janeiro-RJ, Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, v. 1, 6 a Edição, NUSSENSVEIG, H. M., Curso de Física Básica, Rio de Janeiro, Edgar Blucher, v.1., 4 a Edição, Apostila de Lab de Física I, do prof. Haroldo N. Nagashima no link: Nesta referência tem uma discussão detalhada de números significativos, visto no início do curso. As edições podem variar, na biblioteca estão disponíveis várias versões destes livros, mas não existem mudanças drásticas de uma edição para outra. Outros livros de mesmo nível ALONSO, M., FINN, E.J., Física, São Paulo, Addison Wesley Longman do Brasil Ltda, 1999, v.1, 936p. TIPLER, P.A. Física. 3 a Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, 1995, v. 1 CHAVES, A., Física Básica, Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, 2007, v. 1 YOUNG,H.D., FREEDMAN, R.A. Sears-Zemansky. Física. 10 a Edição, Addison Wesley, Vol. 1 e 2 livros de nível intermediário KITTEL, C.; KNIGTH, W.D. e RUDERMAN, M.A. Mecânica: Curso de Física de Berkeley. São Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda., v.1. FEYNMAN R, LEIGHTON R, and SANDS, M. The Feynman Lectures on Physics, 1964, 1966, v.1, Addison Wesley Longman.

6 SUMÁRIO 5 As referências The Feynman Lectures on Physics e Mecânica: Curso de Física de Berkeley são particularmente interessantes. As leituras destes livros em paralelo podem ajudar no entendimento do conteúdo exposto em sala de aula. livros de nível avançado Os livros a seguir NÃO SERÃO USADOS neste curso, mas são recomendados para aqueles que desejam se aventurar em alguma coisa mais avançada! THORNTON, S. T., MARION, J. B., Classical dynamics of particles and systems, 2004, Brooks/Cole. ARYA, A. P., Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall, 1998 BEER, F. P., JOHNSTON Jr., RUSSELL E., EISENBERG E. R., CLAUSEN W. E., STAAB G. H. Vector Mechanics for Engineers, Statics and Dynamics, McGraw-Hill, Referências Multimídia Cursos de física básica Fundamentals of Physics-I with Professor Ramamurti Shankar Para quem arranha no inglês, existem alguns cursos completos em vídeo de física básica. O curso do prof. Ramamurti Shankar de Universidade de Yale é altamente recomendável. No link abaixo, é possível fazer o download do curso completo gratuitamente: Os vídeos apresentam uma transcrição em inglês do que é dito na aula o que pode ajudar no entendimento do conteúdo. MIT OpenCourseWare Vários dos cursos oferecidos pelo MIT na área de física estão disponíveis em vídeo. É interessante dar uma olhada na página

7 6 SUMÁRIO Cursos avançados Para alguém que tenha interesse em material extra-classe e mais avançado, recomendo os cursos do Prof. Leonard Susskind de Stanford no link:

8 Capítulo 1 Conceitos e Definições 1.1 O Sistema Internacional de Unidades A física está fundamentada em medidas. Desta forma, ao longo do tempo a metodologia e a padronização das grandezas físicas tem sido aprimorada. O sistema internacional de unidades (SI) escolheu sete grandezas fundamentais a partir das quais outras grandezas derivadas podem ser definidas. No curso de Física I, três grandezas serão importantes: o tempo, o comprimento e a massa. Na tabela abaixo estas grandezas e as respectivas unidades são mostradas: Grandeza Nome da Unidade Símbolo da unidade Comprimento metro m Tempo segundo s Massa quilograma kg A partir das unidades da tabela podemos definir outras. Por exemplo, a unidade SI de potência, chamada de watt (símbolo: W), é definida da seguinte forma 1 watt = 1 W = 1 kg m2 s 3 onde o último conjunto de símbolos de unidades é lido como quilograma metro quadrado por segundo ao cubo. 1.2 Notação Científica & Ordem de grandeza Ordem de grandeza é a potência de 10 com expoente inteiro que mais se aproxima do valor medido de uma determinada grandeza a ser analisada. Qualquer que seja o número (q) que corresponde a essa medida em 7

9 8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES módulo, está compreendida entre duas potências de 10, inteiras e consecutivas, ou seja, 10 n q 10 n+1 Para obter a ordem de grandeza de um número, devemos inicialmente colocá-la em notação científica (por ex: q = a 10 n ), com o número a obedecendo à relação 1 a 10. Nesta notação, m = 3, m 0, s = 4, s. A notação científica em computadores é usada de maneira mais abreviada como por exemplo, 3, 56E9 e 4, 92E 7, onde E representa o expoente de dez. Em algumas calculadoras a notação é mais concisa substituindo-se o E por um espaço em branco. A decisão de usar 10 n ou 10 n+1 (ordem de grandeza n ou n + 1) é feita comparando-se o módulo de a com o valor 10 1/2 3, 16, uma vez que a variação do expoente é igual à unidade. Assim temos: 1. Se a < 3, 16 a ordem de grandeza é 10 n, 2. Se a > 3, 16 a ordem de grandeza é 10 n+1 O número 2, possui portanto ordem de grandeza 10 6 e o número 5, possui ordem de grandeza igual a = Também são utilizados prefixos para denotar as potências de 10. Isto é muito útil quando lidamos com números muito grandes ou muito pequenos. Fator Prefixo Símbolo 10 9 giga- G 10 6 mega- M 10 3 quilo- k 10 2 centi- c 10 3 mili m 10 6 micro µ 10 9 nano n pico p Estes são os prefixos mais comumente usados. Acrescentando um prefixo a uma unidade no SI produz o efeito de multiplicá-la pelo fator associado. Assim, podemos escrever uma dada potência elétrica como 1, watts = 1, 27 gigawatts = 1, 27 GW

10 1.2. NOTAÇÃO CIENTÍFICA & ORDEM DE GRANDEZA 9 ou um intervalo de tempo particular como 2, s = 2, 35 nanosegundos = 2, 35 ns Alguns prefixos, como os usados em mililitro, centímetro, quilograma e megabyte, são certamente familiares ao leito de língua portuguesa Algarismos Significativos Suponha que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra (l), tenha obtido os seguintes resultados: 1. comprimento médio: l = 92,8360 cm. 2. erro estimado: l = 0,312 cm. Supondo que o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes dos centésimos ou milésimos de cm e assim por diante. Isso quer dizer que o erro estimado em uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos do erro são utilizados apenas para efetuar arredondamentos ou simplesmente são desprezados. Neste caso, l deve ser representado apenas por: l = 0, 3 cm Os algarismos 9 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 8 já é duvidoso, pois o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 6 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los. Estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamentos ou simplesmente são desprezados. Sendo assim, o modo correto de expressar o resultado desta medida será então: l = (92, 8 ± 0, 3) cm Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever o algarismo significativo com critério. Em problemas de engenharia, os dados raramente são conhecidos com uma precisão superior a 2%. Portanto é desnecessário realizar cálculos com precisão superior a 2%. Em resumo: algarismos significativos são todos os algarismos corretos de um número mais o primeiro duvidoso. Exemplos: 0,00007 tem 1 algarismo significativo.

11 10 CAPÍTULO 1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES 0,0080 tem 2 algarismos significativos. 23,00 tem 4 algarismos significativos. 3, tem 2 algarismos significativos. 1.3 Apresentação de grandezas físicas Um grandeza física pode ser representada como X = x ± x, onde x é o valor médio da grandeza e x o seu desvio. O desvio deve ser escrito com um único algarismo significativo e o valor médio da grandeza deve ter a mesma precisão do desvio. Vejamos um exemplo: Se após uma série de medidas o valor da área de uma chapa metálica for apresentada como A = (42, 2921 ± 0, 03875) m 2 todos os algarismos devem ser considerados para efeito de cálculo. No entanto, para apresentação final a grandeza deve ser reescrita. No exemplo apresentado o desvio afeta a segunda casa decimal do valor médio da área, desta forma, os outros algarismos posteriores perdem o significado, i.e., não são significativos e devem ser desprezados. Assim, escreve-se o resultado final da seguinte maneira: A = (42, 29 ± 0, 04) m 2 ou em notação científica, como A = (4, 229 ± 0, 004) 10 m 2 O desvio foi obtido a partir da regra do arredondamento e o valor médio da grandeza foi reescrito com a precisão do desvio. A tabela abaixo mostra a forma errada e a forma correta de se apresentar medidas de algumas grandezas físicas. Grandeza Física Errada Correta Comprimento (3,4563 ± 0,0037) m (3,456 ± 0,004) m Área (54,3524 ± 1,884) m 2 (5,4 ± 0,2) 10 m 2 Volume (346,43 ± 13,2) m 3 (3,5 ± 0,1) 10 2 m 3 Intervalo de tempo (345765,31546 ±205, 440) s (3,458 ±0, 002) 10 5 s Carga Elétrica (0,03464±0,000489) C (3,46 ± 0,05) 10 2 C

12 1.4. MUDANÇAS DE UNIDADES Mudanças de Unidades Freqüentemente precisamos trocar de unidades nas quais está expressa a grandeza física. mudança por um método chamado de conversão encadeada. Fazemos a Neste método, multiplicamos a medida original por um fator de conversão. Por exemplo, pelo fato de 1 min e 60 s serem intervalos de tempo idênticos, temos 1 min 60 s = 1 e 60 s 1 min = 1 de modo que as razões 1 min e 60 s = 1 podem ser usadas como fatores de conversão. Isto não é a 60 s 1 min mesma coisa que escrever 1/60 ou 60 = 1; cada número e sua unidade devem ser tratados em conjunto. Como nenhuma grandeza se altera ao ser multiplicada pela unidade, podemos introduzir tais fatores onde quer que os achemos úteis. Neste método usamos os fatores para eliminar as unidades que não nos interessam, por exemplo: Exemplos ( ) 60 s 2 min = 2 (1) min = 2 1 min = 120 s 1 min 1. (a) Supondo que cada centímetro cúbico de água possui uma massa de exatamente 1 g, determine a massa de um metro cúbico de água em quilogramas. (b) Suponha que demore 10,0 h para esvaziar um recipiente de 5700 m 3 de água. Qual a taxa de escoamento de massa da água do recipiente em quilogramas por segundo? (a) 1 m 3 = (10 2 ) 3 cm 3 = 10 6 cm 3 mas cada centímetro cúbico tem exatamente 1 g, assim, a massa de um metro cúbico é dada por, m 1m 3 = 10 6 m 1cm 3 = g = 10 6 g = 10 3 kg (b) A taxa de escoamento é obtida simplesmente dividindo-se o volume do recipiente pelo tempo que leva para esvaziá-lo: taxa = massa contida em 5700 m3 10 h = kg 10 1 h 60min 1 h 60 s 1 min = 158 kg

13 12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES 2. (a) O ferro possui uma massa de 7,87 g por centímetro cúbico de volume, e a massa do ferro é 9, kg. Se os átomos são esféricos e firmemente dispostos uns contra os outros. (a) qual o volume de um átomo de ferro e (b) qual a distância entre os centros de átomos adjacentes. (a) Em um centímetro cúbico temos uma massa de 7,87 g. Assim, se dividimos esta massa pela massa de cada átomo, então sabemos quantos átomos estão contidos em 1 cm 3 de ferro, ou seja, n o de átomos = 7, kg 9, kg = 8, átomos Se dividimos o centímetro cúbico pelo número de átomos então descobrimos quanto volume cada átomo ocupa. Isto é possível porque é assumido que os átomos são esferas que distribuídas uniformemente sobre o volume, assim, segue que: (b) Vol. por átomo = m 3 8, átomos = 1, m 3 A distância entre os centros de duas esferas em contato é simplesmente igual ao diâmetro de uma das esferas. Assim, basta calcular o diâmetro de uma esfera de volume igual a 1, m 3, assim, usamos, distância entre os centros dos átomos = 3 6 1, m 3 π = 0, 282 nm 3. Uma unidade astronômica (UA) é a distância média do Sol a Terra, aproximadamente 1, km. A velocidade da luz é aproximadamente 3, m/s. Expressa a velocidade da luz em unidades astronômicas por minuto. 3, m s = 3, m s 1 UA 60 s 1, = 0, 12 UA/min m 1 min

14 Capítulo 2 Movimento Unidimensional A mecânica é o ramo da física em que se estuda o movimento dos corpos. Começamos o estudo da Mecânica considerando o movimento mais simples possível: movimento em uma dimensão ou ao longo de uma linha reta. Além disso, por ora não estaremos preocupados com a causa do movimento, mas apenas com a sua descrição. Assim, estaremos focados na cinemática do movimento como é chamado o conjunto de conceitos que intervêm na descrição do movimento. Mais tarde vamos considerar que tipo de movimento é causado por um determinado tipo de força, o que é chamado de dinâmica do movimento. Além de considerar que o movimento está restrito em uma linha reta 1, também consideramos que o objeto em movimento é uma partícula (termo usado para dizer o objeto é um pontual, como um elétron) ou que se move como uma partícula de forma que todas as partes do objeto se movem na mesma direção e ao mesmo tempo. Os objetos que têm esta propriedade são chamados de corpos rígidos. Para descrever o movimento, precisamos primeiramente de um sistema de referência, i.e., um sistema de eixos que permita localizar a partícula no espaço. Também é necessário saber o quão rápida esta partícula está se deslocando e ainda se esta rapidez varia no tempo. Em física, todas essas características do movimento, que são intuitivas para nós, são definidas de maneira formal. Isto permite caracterizar o movimento e obter equações que permitam prever como um corpo irá se mover a partir do conhecimento prévio de alguns parâmetros. A seguir, vamos definir as quantidades necessárias para descrever o movimento unidimensional. 1 o movimento pode ser vertical como uma pedra caindo, ou horizontal como um carro em uma rodovia, ou inclinado, mas o importante é que seja em linha reta. 13

15 14 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 2.1 Posição e Deslocamento Localizar uma partícula se movendo em uma dimensão significa determinar a posição desta partícula em relação a algum ponto de referência. Este ponto normalmente é escolhido como o zero de uma reta orientada (eixo), chamada referencial ou sistema de referência. O zero é chamado de origem do sistema de referência. Como ilustrado na figura 2.1, se a partícula está localizada à esquerda da origem, sua posição no sistema de referência é negativa; caso a partícula se encontre à direita da origem então sua posição é positiva. Assim, se a posição da partícula é x = 3 m, então sabemos que a partícula se encontra à direita de zero na posição x = +3 m. Caso a posição da partícula seja 1 m, então sabemos que a partícula está localizada à esquerda de zero na posição x = 1 m. O sinal positivo não precisa ser explicitado e quando encontramos um número sem sinal, fica subentendido que a posição é positiva, ou seja, à direita de zero. No entanto, o sinal de menos deve ser sempre mostrado. Uma mudança de uma posição qualquer x 1 para outra posição x 2 é chamada de deslocamento x: x = x 2 x 1. (2.1) Usamos o símbolo para denotar variação de uma grandeza, neste caso a variação é na posição. Note que o deslocamento é definido como a posição final menos a inicial. Assim, um deslocamento positivo implica um movimento no sentido positivo do eixo x. Por exemplo, imagine que a posição inicial da partícula seja x 1 = 2 m e a posição final seja x = +3 m. Assim, x = +3 m ( 2 m) = +5 m. Ou seja, a partícula se deslocou 5 m no sentido positivo do eixo x. Agora considere que a partícula estava inicialmente em x 1 = 2 m e deslocou-se para x 2 = 10 m. O deslocamento será então x = 10 m ( 2 m) = 8 m. O deslocamento neste caso é no sentido negativo do eixo x, a partícula estava inicialmente no lado negativo da origem e se moveu para uma posição mais distante do lado negativo do eixo. Da mesma forma que no caso da posição, é crucial explicitar o sinal negativo do deslocamento e a ausência de sinal é interpretada como sendo um sinal positivo. O deslocamento é uma quantidade vetorial, e portanto, para caracterizá-la é necessário fornecer seu módulo, direção e sentido. No caso presente, a direção já está implícita quando dizemos que o movimento é horizontal ou vertical, etc. O sentido é determinado pelo sinal da quantidade, ou seja, se o sinal é positivo então temos um deslocamento da esquerda para a direita (no caso da figura 2.1) e o sentido inverso para o sinal negativo. No estudo do movimento em 2 e 3 dimensões o caráter vetorial vai ficar mais claro do que no caso presente. O módulo do deslocamento indica a distância percorrida entre as posições final e inicial. Assim, no primeiro exemplo, apesar da posição inicial ser x 1 = 2 m e a posição final seja x = +3 m a distância percorrida foi de 5 m embora a partícula tenha ficado na posição +3 m.

16 2.2. VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 15 direção positiva direção negativa Origem Figura 2.1: A posição é determinada em um eixo que é marcado em unidades de comprimento (neste caso metros) e que se estende indefinidamente em ambas as direções. O lado direito corresponde a valores positivos de x e o lado esquerdo corresponde a valores negativos. 2.2 Velocidade Média e Velocidade Escalar Média Uma vez que definimos a posição e o deslocamento da partícula, o próximo passo é considerar a variação destas quantidades com o tempo. De fato, o movimento é um fenômeno dinâmico e, portanto, a descrição do movimento consiste em determinar a função x(t), a posição em função do tempo. O conhecimento de x(t) nos permite determinar todas as propriedades cinemáticas da partícula. O gráfico de x(t) é particularmente interessante e ilustrativo. Na figura 2.2 temos dois gráficos ilustrando duas situações: o primeiro, mostrado na figura 2.2a, é uma linha reta horizontal que indica que a posição x(t) é constante para todos os valores do tempo. Portanto, esta é uma representação de uma partícula em repouso. No segundo gráfico, mostrado na figura 2.2b, temos um gráfico onde x(t) varia desde 5 m, passando pela origem em t = 3 s e finalmente atinge o valor 3 m em t = 5 s. Este gráfico ilustra um movimento em linha reta da posição x(t) = 5 m para a x(t) = +3 m, veja figura 2.2c. Além de ilustrar o deslocamento da partícula, podemos obter mais informações sobre o movimento da mesma usando o gráfico x(t). Com efeito, podemos determinar o quão rápido a partícula se deslocou ao longo da trajetória. Isso é feito através da definição da velocidade média, v méd, definida da seguinte forma, v méd = x t = x 2 x 1 t 2 t 1 (2.2) que é a razão do deslocamento x pelo tempo t em que este deslocamento ocorreu. A velocidade média tem unidades de metros por segundo (m/s) no sistema internacional, mas também é comum

17 16 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL expressá-la em quilômetros por hora (km/h) ou ainda em centímetros por segundo (cm/s). O significado físico da definição é obvio: a velocidade é uma medida da rapidez com que um determinado corpo se movimenta. A partir do gráfico de x(t) podemos atribuir um significado geométrico para a velocidade (a) (b) (c.) Figura 2.2: (a) mostra um gráfico de x(t) para uma partícula em repouso. (b) caso em que x(t) mostra um objeto em movimento na direção x desde x = 5 m até x = +3 m. (c) trajetória real da partícula. média. Conforme ilustrado na figura 2.3, a velocidade média é o módulo do coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x 2, t 2 ) e (x 1, t 1 ). Assim como o deslocamento e posição, a velocidade média possui módulo direção e sentido, desde que é uma quantidade vetorial. Neste caso, valores positivos da velocidade média, significam que a reta que liga os pontos é inclinada para cima à medida que a partícula se desloca para a direita. No caso de um sinal negativo, temos uma reta inclinada para baixo à medida que a partícula se desloca para a direita. Outra maneira de quantificar a rapidez de um objeto é por meio da chamada velocidade escalar média, definida como a razão da distância total percorrida pelo corpo em movimento pelo tempo gasto no percurso. Assim, escrevemos, s méd = dist. total percorrida. (2.3) t Como o próprio nome diz, s méd é uma quantidade escalar e é dada apenas pelo módulo do deslocamento total pelo tempo percorrido. Por esta razão, existem situações em que s méd e v méd são bem diferentes.

18 2.2. VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 17 v méd =inclinação desta linha Figura 2.3: Demonstração da velocidade média como o coeficiente angular da reta que passa pelo par de pontos (x 2, t 2 ) e (x 1, t 1 ). Exemplo Vamos considerar o exemplo resolvido no livro do Halliday para ilustrar o uso das definições acima. 1. Você dirige uma picape mal-conservada numa estrada reta por 8,4 km a 70 km/h, quando a picape pára por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, você caminha adiante por outros 2,0 km pela estrada até chegar a um posto de gasolina. (a) Qual o seu deslocamento total desde a saída com a picape até a sua chegada ao posto de gasolina. (b) Qual o intervalo de tempo t do início da viagem até a chegada ao posto? (c) Qual a velocidade média v méd do início da viagem até a chegada no posto? Determine esta velocidade tanto numérica quanto graficamente. (d) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar para a picape você leve mais 45 min. Qual a velocidade escalar total do início da viagem até você voltar para a picape com gasolina? (a) Vamos considerar que estamos nos movendo na direção positiva do eixo x a partir da origem, i.e., supomos que o ponto inicial x 1 = 0 e ponto x 2 é o posto de gasolina. Assim, considerando que com a picape ocorreu um deslocamento de 8,4 km e, em seguida, um segundo deslocamento de 2,0 km, então o deslocamento total é dado por: x = x 2 x 1 = 8, 4 km + 2, 0 km 0 = 10, 4 km

19 18 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL (b) O tempo do início da viagem até a chegada ao posto é composto por duas contribuições: a viagem com a picape mais o tempo gasto à pé da picape até o posto. O tempo gasto na viagem com a picape pode ser facilmente determinado usando-se a definição da velocidade média: v méd = x t onde x = 8, 4 m e v méd = 70 km/h. Assim, substituindo na definição para a velocidade média, podemos determinar o intervalo de tempo correspondente à viagem com a picape, que chamamos t 1 : t 1 = x v méd = 8, 4 km = 0, 12 h. 70 km/h Considerando que o tempo da caminhada foi de t 2 = 30 min = 0, 5 h, podemos escrever o tempo total gasto na viagem, t = t 1 + t 2 = 0, 12 h + 0, 5 h = 0, 62 h (c) A velocidade média desde o início da viagem até a chagada ao posto (viagem completa), é determinada considerando-se que a posição e tempo iniciais são iguais a zero (escolhido como origem de nosso referencial) e o tempo e posições finais são 10,4 km e 0,62 h, calculado no item anterior, assim escrevemos: v méd = 10, 4 km 0, 62 h 17 km/h (d) Neste caso, precisamos considerar que ocorreu um deslocamento adicional de 2 km em um tempo de 45 min que corresponde a 0,75 h. Assim, a velocidade escalar média é dada pela soma do trajeto total pelo tempo total assim, escrevemos: s méd = 8, 4 km + 2, 0 km + 2, 0 km 0, 12 h + 0, 5 h + 0, 75 h = 9, 1 km/h 2.3 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Até agora descrevemos a velocidade média de uma partícula, no entanto, muitas vezes se faz necessário determinar a velocidade em um determinado instante de tempo, da mesma maneira que determinamos a posição de uma partícula em um ponto. Isto é possível, tomando-se a velocidade média em instantes de

20 2.4. ACELERAÇÃO 19 tempo cada vez mais curtos de maneira que no limite em que o intervalo de tempo tende a zero, temos a velocidade no instante de tempo t. Assim, tomando-se a Eq. (2.2) no limite de t 0, obtemos: ou seja, v(t) = lim v x méd = lim t 0 t 0 t = dx dt v(t) = dx dt (2.4) que é a derivada da função x(t) em relação ao tempo. Assim, em um gráfico da posição em função do tempo, a velocidade em certo instante de tempo é determinada tomando-se uma reta tangente à curva x(t) no instante considerado. Este é o processo limite obtido geometricamente a partir da velocidade média tomando-se os pares (x 2, t 2 ) e (x 1, t 1 ) cada vez mais próximos. A exemplo do que ocorre com a velocidade média, podemos definir aqui uma velocidade escalar que é simplesmente o módulo da velocidade instantânea. Esta velocidade apenas nos retorna o módulo da velocidade sem qualquer menção à direção e sentido do movimento. Esta quantidade é encontrada nos velocímetros dos carros e nos informa sempre a magnitude da velocidade independente se estamos andando para a frente ou de marcha-a-ré. 2.4 Aceleração Até o momento consideramos como a posição da partícula depende do tempo e a velocidade que permite descrever a rapidez com que a partícula se desloca. Neste caso, podemos trabalhar com valores médios, ou ainda com o valor instantâneo da velocidade tomando-se um limite infinitesimal do intervalo de tempo em que ocorre o deslocamento. A próxima questão seria perguntar como a própria velocidade varia em um determinado intervalo de tempo. Quando isso ocorre, dizemos que a partícula está acelerada (ou sofre aceleração). Para o caso simples, unidimensional que consideramos aqui, a aceleração média é definida por, a méd = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t (2.5) onde a partícula tem a sua velocidade alterada de v 1 no instante t 1 para v 2 no instante t 2. Da mesma forma que no caso da velocidade, a aceleração num dado instante de tempo é determinada aplicando-se o limite t 0 na Eq. (2.5), ou seja, a = lim t 0 v t

21 20 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL ou seja, a = dv dt (2.6) que é simplesmente a derivada temporal da velocidade. Assim, se substituirmos a Eq. (2.4) em (2.6), podemos escrever ainda, a = d2 x dt 2. (2.7) Assim, a aceleração é obtida através da segunda derivada da posição em relação ao tempo. A unidade usual da aceleração é o metro por segundo ao quadrado (m/s 2 ). Existem outras unidades em que podemos expressar a aceleração, mas sempre será na forma comprimento por tempo ao quadrado. Além disso, a aceleração é uma grandeza vetorial de modo que é caracterizada por um módulo, direção e sentido. A direção é determinada pelo eixo sobre o qual se desenvolve o movimento e o sentido é determinado pelo sinal algébrico da mesma forma que no caso da velocidade e deslocamento, ou seja, a aceleração com um valor positivo está na direção positiva do eixo e um valor negativo está apontando no sentido negativo do eixo. Com o objetivo de ilustrar a relação entre a posição, velocidade e aceleração, na figura 2.4 os gráficos da posição, velocidade e aceleração são mostrados para um elevador que está inicialmente em repouso e então descreve um movimento de subida até parar. A curva da posição x(t) exibe uma curvatura inicial no intervalo de 0s a 3s, seguida por um comportamento linear entre 3s e 8s e finalmente exibe um curvatura contrária de 8s a 9s tornando-se constante novamente em 10s. Considerando que a curvatura é quadrática, então a velocidade instantânea, mostrada no gráfico de v(t) pode ser estimada usando-se a definição da derivada da posição. No intervalo em que o movimento começa e termina (0-3s e 8-9s) a velocidade é linear, pois corresponde a derivada de uma função quadrática. No entanto, a inclinação da reta deve ser oposta desde que a curvatura no início do intervalo é positiva e no final, negativa. Na região linear de x(t), a velocidade deve exibir um valor constante desde que estamos considerando aqui a derivada de uma função linear. Dada a curva da velocidade, podemos estimar a curva da aceleração fazendo mentalmente a derivada da velocidade em função do tempo. De fato, a aceleração é diferente de zero somente nos intervalos (0-3s e 8-9s) onde a velocidade exibe um comportamento linear. Nas demais regiões a velocidade é constante e não temos aceleração. Além disso, notamos que o elevador está acelerando no início do movimento, portanto, a > 0 e no final do movimento o elevador começa a frear até parar e, com isso, a < 0.

22 Velocidade (m/s) 2.4. ACELERAÇÃO 21 (a) Posição (m) (b) Tempo (s) Inclinação de x(t) Aceleração (m/s 2 ) Inclinação de v(t) Tempo (s) (c ) Tempo (s) Figura 2.4: (a) gráfico da posição em função do tempo para um elevador que parte do repouso e se move para cima até parar. (b) velocidade do elevador. (c) aceleração.

23 22 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 2.5 Movimento com aceleração constante Até o momento definimos algumas grandezas físicas que nos permite descrever o movimento de um corpo rígido que se comporta como uma partícula movendo-se em 1 dimensão. O próximo passo é relacionar estas quantidades de maneira a prever o movimento que a partícula ou corpo irá exibir a partir de alguns valores iniciais de velocidade e posição. Em outras palavras, pretendemos determinar a função x(t) que nos fornece a posição da partícula para todos os instantes de tempo. A partir desta função, conseguimos determinar todas as quantidades que caracterizam o movimento como a velocidade e aceleração. Os movimentos dos corpos podem ser muito complicados desde que a aceleração e velocidade em princípio podem assumir qualquer dependência com o tempo. No entanto, um caso particular é de grande interesse: os movimentos em que a aceleração dos corpos é constante no tempo. O principal exemplo deste tipo de movimento é a queda livre dos corpos na superfície da Terra, onde os corpos que estão a uma certa altura em relação ao chão experimentam a aceleração da gravidade que pode ser aproximada para um valor constante e igual 2 a: g = 9, 8 m/s 2. Assim, dada a relevância deste caso, vamos estudá-lo em detalhes nesta seção Equações para aceleração constante Para determinar o movimento com aceleração constante, partimos da definição da aceleração como a derivada temporal da velocidade: que pode ser reescrita na forma, a = dv dt dv = a dt e integrando em ambos os lados em relação ao tempo, segue que: dv = a dt, e desde que estamos supondo que a é constante podemos escrever: v + C 1 = at + C 2 2 denotamos a aceleração da gravidade pelo símbolo g, reservando o a para acelerações gerais que não são devido a força gravitacional

24 2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 23 ou ainda, v = at + C (2.8) onde agrupamos as duas constantes de integração na forma: C = C 2 C 1. Para determinar o valor da constante C, basta utilizar uma condição inicial. Neste caso, supomos que no tempo t = t 0 a velocidade da partícula é v 0, assim, temos que, v 0 = at 0 + C o que nos permite obter, C = v 0 at 0 e substituindo na Eq. (2.8), obtemos a primeira equação para o movimento com aceleração constante: v(t) = v 0 + a(t t 0 ) (2.9) onde explicitamos que v = v(t), ou seja, a velocidade é uma função do tempo. velocidade é linear com o tempo no caso em que a é constante. Vemos então que a Uma vez que conhecemos v(t), podemos determinar a variação da posição com o tempo. Para isso, usamos a definição da velocidade: ou ainda, v = dx dt dx = v dt e integrando em relação ao tempo, segue que dx = v dt. A integral no primeiro membro é direta, ou seja x + K 1, com K 1 sendo a constante de integração. Assim, temos x + K 1 = v dt. Para determinar a segunda integral, precisamos saber como a velocidade varia com o tempo. Isso é determinado pela Eq. (2.9), assim, substituindo na integração, obtemos: x + K 1 = [v 0 + a(t t 0 )] dt

25 24 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL e lembrando que v 0, a e t 0 são constantes, podemos escrever x + K 1 = v 0 dt + a t dt at 0 dt e resolvendo as integrações escrevemos x + K 1 = v 0 t + K 2 + at2 2 + K 3 at 0 t + K 4 onde K 1, K 2, K 3 e K 4 são constantes de integração. Escrevemos ainda, x + K 1 = v 0 t + a 2 e completando o quadrado no parênteses, podemos obtemos x = v 0 t + a 2 ( t 2 2t 0 t ) + K 2 + K 3 + K 4 ( t 2 2t 0 t + t 2 ) at K 1 + K 2 + K 3 + K 4 e desde que at2 0 2 é também uma constante arbitrária, desde que t 0 é arbitrário, podemos agrupar este termo junto com as demais constantes de integração. Além disso, podemos escrever o termo entre parênteses na forma (t t 0 ) 2, assim segue que x = v 0 t + a 2 (t t 0) 2 + K (2.10) onde, K = at2 0 2 K 1 + K 2 + K 3 + K 4. Resta agora determinar a constante K na Eq. (2.10). Para isso, consideremos que no tempo t = t 0 a partícula encontra-se na posição x = x 0, assim, obtemos, o que leva a, x 0 = v 0 t 0 + a 2 (t 0 t 0 ) 2 + K K = x 0 v 0 t 0 e substituindo este valor de volta na Eq. (2.10), podemos escrever x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 ) + a 2 (t t 0) 2 (2.11) onde deixamos explícita a dependência temporal da posição com o tempo x = x(t). Existem situações em que se faz necessário trabalhar com apenas velocidade e posição da partícula em movimento. Podemos obter uma equação relacionando estas quantidades diretamente por meio da regra da cadeia do cálculo. Para isso, escrevemos a definição da aceleração na forma: a = dv dt = dv dx dx dt

26 2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 25 e identificando o segundo fator com a definição de velocidade podemos escrever, o que pode ser colocado na forma: a = v dv dx v dv = a dx e integrando esta equação em ambos os lados, obtemos: v dv = a dx As integrais são diretas desde que consideramos que a aceleração é constante também em relação à posição, logo v L 1 = ax + L 2 e agrupando as constantes de integração na forma L = L 2 L 1, podemos escrever ainda, v 2 2 = ax + L E para determinar a constante L, consideramos que para uma dada posição inicial x = x 0 a partícula tenha uma velocidade v = v 0, assim, obtemos: e isolando L, temos v = ax 0 + L L = v2 0 2 ax 0 e substituindo novamente na equação para v, obtemos: o que pode ser escrito na forma v 2 2 = ax + v2 0 2 ax 0 v 2 = v a(x x 0 ) (2.12) que é a relação procurada envolvendo apenas posições e velocidades. As Eqs. (2.9), (2.11) e (2.12) permitem determinar o movimento de uma partícula com aceleração constante. Podemos aplicá-las para vários tipos de movimento, conforme ficará claro nos exemplos

27 26 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL seguintes. No entanto, é interessante combinar estas equações com o objetivo de determinar algumas propriedades interessantes decorrente da aceleração constante. (2.12), Para isso, considere novamente a Eq. v 2 = v a(x x 0 ) que pode ser escrita na forma v 2 v 2 0 = 2a(x x 0 ) (v v 0 )(v + v 0 ) = 2a(x x 0 ) (2.13) mas a diferença v v 0, pode ser escrita em termos da aceleração usando a Eq. (2.9): e substituindo na Eq. (2.13), obtemos e eliminando a aceleração, podemos escrever: v v 0 = a(t t 0 ) a(t t 0 )(v + v 0 ) = 2a(x x 0 ) x x 0 t t 0 = 1 2 (v + v 0) (2.14) e identificando o primeiro membro com a velocidade média, podemos escrever ainda v méd = 1 2 (v + v 0). (2.15) E vemos que no movimento com aceleração constante, a velocidade média pode ser obtida a partir de uma média aritmética entre dois valores de velocidade. Isto é uma conseqüência do movimento ser com aceleração constante e não pode ser generalizado para casos em que a aceleração tenha outros comportamentos. Podemos obter uma segunda equação, combinando as Eqs. (2.9) e (2.11). Para isso primeiramente multiplicamos a Eq. (2.9) pela diferença de tempo t t 0 : Retomando a Eq. (2.11), temos: v(t t 0 ) = v 0 (t t 0 ) + a(t t 0 ) 2 (2.16) x x 0 = v 0 (t t 0 ) (t t 0) 2 (2.17)

28 2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 27 N o da Eq. Equações Parâmetro ausente (2.9) v(t) = v 0 + a(t t 0 ) x x 0 (2.11) x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 ) + a 2 (t t 0) 2 v (2.12) v 2 = v a(x x 0 ) t (2.14) x x 0 = 1 2 (v + v 0)(t t 0 ) a (2.18) x x 0 = v(t t 0 ) 1 2 (t t 0) 2 v 0 Tabela 2.1: Equações para o movimento com aceleração constante. Agora subtraímos a Eq. (2.16) da (2.17), obtendo-se: x x 0 v(t t 0 ) = 1 2 (t t 0) 2 o que pode ser colocado na forma final: x x 0 = v(t t 0 ) 1 2 (t t 0) 2 (2.18) que tem a vantagem de não fazer referência à velocidade no tempo inicial. Esta é a última equação deduzida para o caso da aceleração constante. Com este conjunto de equações podemos investigar várias situações envolvendo problemas com aceleração constante. Na tabela abaixo fazemos um resumo das principais expressões obtidas Exemplos 1. Um elétron com velocidade inicial v 0 = 1, m/s penetra em uma região de comprimento L = 1, 00 cm, onde é eletricamente acelerado (Fig. 2.5) e sai dessa região com v = 5, m/s. Qual é a aceleração do elétron, supondo que seja constante? O problema pode ser facilmente resolvido usando-se a equação de Torricelli, assim, v 2 = v a x e resolvendo para a, obtemos: a = 1 2 ( v 2 v0 2 ) x ( (5, m/s) 2 (1, m/s) 2 ) a = 1 2 1, 00 cm

29 28 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL sem aceleração com aceleração Trajetória do elétron Figura 2.5: Veja exemplo 1. e resolvendo para a aceleração, temos finalmente: a = 1, m/s Quando um trem de passageiros de alta velocidade (trem-bala) que se move a 161 km/h faz uma curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de um desvio e se encontra a uma distância D = 676 m à frente, veja Fig A locomotiva está se movendo a 29, 0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os frios. (a) Qual é o valor mínimo do módulo da desaceleração (suposta constante) para que a colisão não ocorra? (b) Suponha que o maquinista está em x = 0 quanto, em t = 0, avista a locomotiva. Trem de alta velocidade locomotiva Figura 2.6: Veja exemplo 2. O trem-bala deve reduzir a sua velocidade até um valor de mínimo igual à velocidade da locomotiva v l, caso contrário irá colidir com a mesma. Esta redução deve ocorrer dentro da distância igual a x = D + v l t

30 2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 29 desde que no processo de desaceleração, que ocorre dentro do intervalo de tempo t = t t 0. Assim, para determinar a aceleração temos que: x = 1 2 [v(t) + v 0] t e assim, substituindo o valor de x = D + v l t, o valor final da velocidade v = v l, temos: D + v l t = 1 2 [v l + v 0 ] t onde v l é a velocidade final do trem-bala que deve ser igual à da locomotiva. Dividindo a expressão acima por t, temos ainda: D t + v l = 1 2 [v l + v 0 ]. O tempo t pode ser determinado pela equação, v(t) = v 0 + a t logo, t = v(t) v 0 a e considerando ainda que no tempo t a velocidade do trem-bala deve ser igual a v l, podemos escrever logo, o que pode ser escrito na forma, logo, t = v l v 0 a ad v l v 0 + v l = 1 2 [v l + v 0 ]. ad v l v 0 = 1 2 [v 0 v l ]. e substituindo os valores correspondentes segue que: a = 1 2D [v l v 0 ] 2. 1 a = 2 0, 676 km [29, 0 km/h 161 km/h]2.

31 30 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 3. A água pinga de um chuveiro em um piso situado 200 cm abaixo. As gotas caem a intervalos de tempo regulares (iguais) com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota começa a cair. Quando a primeira gota atinge o piso, a que distância do chuveiro se encontram (a) a segunda e (b) a terceira gota? Primeiro, precisamos determinar o tempo t 1 que a primeira gota leva para atingir o chão. Isto pode ser obtido via equação para a queda livre: y 1 (t) = y 0 + v 0 t 1 g 2 t2 1 e definindo a posição h no piso e 0 a posição do chuveiro em relação ao chão, podemos escrever o que pode ser colocado na forma: h = g 2 t2 1 t 1 = 2h g e substituindo os valores correspondentes, segue que: 2 2 m t 1 = 2 = 0, 639 s. 9, 8 m/s Como os intervalos de tempo são regulares, assim, dividindo o tempo t 1 por 3, obtemos o intervalo de tempo entre as gotas, t = t 1 3 = 0, 639 s 3 = 0, 213 s. O tempo t 2 que deve ser usado para determinar a posição da segunda gota, é dado por: t 2 = 2 t = 0, 426 s assim, substituindo este tempo na equação para a queda livre obtemos, y 2 (t 2 ) = y 0 + v 0 t 2 g 2 t2 2 e substituindo-se os valores correspondentes, obtemos: y 2 (t 2 ) = g 2 (0, 426 s)2 = 0, 889 m. E usando o mesmo raciocínio, temos que: onde t 3 = 0, 213 s. Assim, temos que: y 3 (t 3 ) = y 0 + v 0 t 3 g 2 t2 3 y 3 (t 3 ) = g 2 (0, 213 s)2 = 0, 222 m.

32 Capítulo 3 Movimento em duas dimensões Aqui generalizamos os conceitos desenvolvidos no capítulo anterior para outras dimensões. Recomendamos a leitura do capítulo 3 do Halliday para uma revisão das propriedades básicas de vetores. 3.1 Vetores No capítulo anterior definimos a posição de uma partícula a partir de um sistema de referência de modo que se a partícula esta à direita da origem a posição assume valores positivos enquanto que no caso inverso a posição tinha valores negativos. O conhecimento da posição da partícula com o tempo significava um conhecimento completo das propriedades do movimento da partícula como a velocidade e a aceleração. No caso de movimento em 2 e 3 dimensões, especificar a posição apenas usando sinais de + e não é suficiente. Neste caso, a utilização de vetores é necessária desde que para caracterizar a posição da partícula é necessário indicar a orientação do movimento da mesma. Da mesma forma, grandezas como o deslocamento, velocidade e aceleração também requerem a especificação de suas orientações no plano ou no espaço. Para representar estas grandezas usamos vetores, que são representados geometricamente por meio de setas cujo tamanho representa o módulo e a orientação desta seta no espaço ou no plano especifica sua direção e sentido. Grandezas que requerem este tipo de especificação são chamadas de grandezas vetoriais. É importante notar que nem todas as grandezas físicas são grandezas vetoriais. Temperatura, pressão, energia, massa, etc., são exemplos de grandezas que não necessitam da especificação de suas orientações em relação a um sistema de referências. Estas são completamente definidas especificando apenas seu módulo e sinal, da mesma forma que as grandezas que estudamos no caso 1D. A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento, ou mudança de posição. Um vetor que representa 31

33 32 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES um deslocamento é chamado de vetor deslocamento. Conforme mostrado na Fig. 3.1, se a partícula se desloca da posição A para a posição B, representamos o deslocamento por uma seta apontando de A para B. A seta especifica o vetor graficamente. Figura 3.1: (a) As três setas têm o mesmo módulo e orientação e, portanto, representam o mesmo deslocamento. (b) As três trajetórias que unem os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento. Na Fig. 3.1a, as três setas de A para B, de A para B e de A para B têm o mesmo módulo e orientação; assim, especificam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação na posição da partícula. Um vetor pode ser deslocado sem que seu valor mude caso o comprimento, a direção e o sentido sejam os mesmos. O vetor deslocamento nada diz sobre a trajetória percorrida por uma partícula. Na Fig. 3.1b, por exemplo, as três trajetórias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento da Fig. 3.1a. Um vetor deslocamento representa apenas o resultado final do movimento, não o movimento propriamente dito Operações com vetores Para descrever o movimento de uma partícula usando vetores é necessário conhecer a álgebra vetorial que especifica as regras para combinar vetores, i.e., somar, subtrair e multiplicar vetores. No caso em particular, somente a soma e subtração vetoriais serão de interesse aqui, a multiplicação será deixada para capítulos posteriores. É importante notar que a divisão de vetores não é definida de maneira que apenas as três operações fundamentais são possíveis. A operação mais simples é a soma vetorial, que pode ser ilustrada considerando novamente deslocamentos no plano. Assim, considere o deslocamento de uma partícula que parte do ponto A até B e então,

34 3.1. VETORES 33 vai de B para C (veja Fig. 3.2a). Podemos representar o deslocamento total através de vetores deslocamentos, o primeiro ligando os pontos A e B e o segundo ligando os pontos B e C. O deslocamento total é um único deslocamento de A para C. Chamamos o vetor que liga os pontos A e C de vetor soma (ou vetor resultante) dos vetores AB e BC. Esta soma não é uma soma algébrica comum. Trajetória real Deslocamento total é a soma dos vetores Figura 3.2: (a) As três setas têm o mesmo módulo e orientação e, portanto, representam o mesmo deslocamento. (b) As três trajetórias que unem os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento. Na Fig. 3.2b, os vetores foram rotulados por a, b e s, onde a seta em cima da letra indica que se trata de uma grandeza vetorial. Na maioria dos livros, os vetores são representados por letras em negrito, assim, os vetores da Fig. 3.2b podem ser representados por a, b e c ficnado subentendido que se trata de grandezas vetoriais. Assim, podemos representar algebricamente a soma dos três vetores na forma: s = a + b, ou, s = a + b lembrando que esta não é uma soma algébrica comum, mas uma soma que leva em conta, além do módulo das grandezas, o sentido e a direção. A maneira de somar vetores geometricamente é feita desenhando o primeiro vetor na orientação apropriada. A seguir desenhamos o segundo vetor com direção e sentidos apropriados mas com a origem deste vetor coincidindo com a extremidade do primeiro vetor. O vetor soma é o que vai da origem do primeiro à extremidade do último. Na Fig. 3.3 é mostrado um exemplo de soma de dois vetores a e b. Da Fig. 3.3 notamos que a ordem em que a soma é feita é irrelevante. Podemos representar este fato através da equação vetorial a + b = b + a (lei comutativa)

35 34 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES Vetor soma Início Fim Figura 3.3: A ordem em que os vetores a e b são somados não afeta o resultado. Outra propriedade importante da soma vetorial é a associatividade, i.e., quando existem mais de dois vetores, podemos agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. Assim, se temos três vetores a, b e c, podemos primeiramente somar a com b e somar o resultado com c. Ou ainda, somar primeiro b e c e depois somar o resultado com a, o resultado é o mesmo conforme mostra a Fig. 3.4 Este resultado Figura 3.4: resultado final. Os vetores a, b e c podem ser agrupados em qualquer ordem para serem somados sem alterar o também pode ser escrito na forma de uma equação vetorial: ( a + b) + c = a + ( b + c) (lei associativa) Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo, modificamos o seu módulo. Assim, o vetor 2 b é um vetor com a mesma direção e sentido de b mas com o dobro do comprimento. Quando multiplicamos um vetor por um escalar negativo, então além da possibilidade de modificar o módulo do vetor, invertemos o seu sentido. Assim, o vetor b é um vetor com o mesmo módulo de b mas com sentido contrário (veja

36 3.1. VETORES 35 Fig. 3.5). Quando somamos vetores com módulo e direções iguais mas com sentidos opostos o resultado é zero. Em termos de deslocamento, isso equivale a se deslocar uma certa distância e depois voltar ao mesmo ponto de origem. O deslocamento final é zero. Esta situação pode ser representada pela seguinte equação vetorial: b + ( b) = 0 Figura 3.5: Os vetores b e b têm mesmo módulo e direção mas sentidos opostos. Vemos então que somar b é o mesmo que subtrair b. Usamos esta propriedade para definir a subtração de vetores. Seja d o resultado da subtração dos vetores a e b, então escrevemos esta diferença como d = a b = a + ( b), (subtração de vetores). ou seja, calculamos a subtração somando o vetor b com o vetor a. A Fig. 3.6 nos mostra como a subtração é feita geometricamente. Como na álgebra comum, podemos manipular a equação vetorial da mesma forma que uma equação algébrica comum no que diz respeito às operações de soma e subtração. Assim, quando passamos um vetor de um lado da equação para o outro este ganha um sinal de menos. Assim, considerando a última equação, podemos escrevê-la na forma: d + b = a ou a = d + b Decomposição de vetores Até o momento consideramos a representação geométrica de vetores e baseado-se nesta representação, conseguimos mostrar as propriedades básicas dos vetores. No entanto, operar com vetores na forma

37 36 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES Note a posição dos vetores para a soma Figura 3.6: (a) Os vetores a, b e b. (b) Para subtrair o vetor b do vetor a basta inverter b e somar com a. geométrica é bastante trabalhoso ainda mais quando consideramos equações mais complicadas envolvendo somas e subtrações de vários vetores. A decomposição de vetores permite somar e subtrair vetores usando álgebra comum. Neste procedimento, representamos os vetores no sistema de coordenadas retangulares. Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano do papel. O eixo z normalmente é perpendicular ao plano do papel. No entanto, como estamos considerando movimentos em duas dimensões, vamos ignorar o eixo z por ora. Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na Fig. 3.7a, por exemplo, a x é a projeção do vetor a na direção x e a y é a projeção do vetor a na direção y. Ainda considerando a Fig. 3.7a, notamos que o processo de decomposição consiste em traçar retas perpendiculares aos eixos passando pela origem e extremidade do vetor. Com isso, fica claro que o vetor é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as componentes a x e a y do vetor. A Fig. 3.7b nos mostra que o deslocamento do vetor para outra região do plano-xy não afeta as componentes do vetor tão logo seu módulo e orientação não sejam modificados. Note que o sentido e direção das componentes (em relação ao eixo) são as mesmas que as do vetor. Assim, caso o vetor tivesse sua orientação invertida, as componentes estariam apontando na direção inversa em relação àquelas da Fig Podemos determinar geometricamente o módulo das componentes do vetor a, através do triângulo retângulo ilustrado na Fig. 3.7c. Considerando o ângulo θ que o vetor a faz com o semi-eixo positivo,

38 3.1. VETORES 37 Figura 3.7: (a) As componentes a x e a y do vetor a. (b) As componentes não mudam quando o vetor é deslocado, desde que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes correspondem aos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor. então segue que: a x = a cos θ e a y = a sin θ. como: Através da Fig. 3.7c fica claro como formar o vetor a a partir das componentes, podemos escrevê-lo a = a x + a y o que significa colocar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e formar o triângulo da soma dos vetores. Uma vez que conhecemos as componentes de um vetor, podemos especificá-lo através das componentes a x e a y, ou através de seu módulo a e ângulo θ. Os dois pares de valores são equivalentes na especificação do vetor desde que podemos determiná-los um a partir do outro. De fato, podemos calcular a x e a y a partir de a e θ com as seguintes relações: a = a 2 x + a 2 y e θ = arctan No caso mais geral de três dimensões, precisamos do módulo e de dois ângulos (a, θ e ϕ, digamos) ou de três componentes (a x, a y e a z ) para especificar um vetor. ( ay a x ).

39 38 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES (a) (b) Figura 3.8: Componentes vetoriais do vetor a = a em termos dos vetores unitários î e ĵ Vetores Unitários (versores) A maneira de representar vetores no sistema de coordenadas, é feita usando-se a decomposição vetorial que discutimos na última seção. No entanto, uma maneira mais prática de se lidar com vetores é através do uso de vetores unitários, também chamados de versores. O vetor unitário é um vetor que tem módulo igual a 1 e aponta em uma certa direção. Este vetor não possui dimensão nem unidade, sua única função é especificar uma orientação. Os versores que indicam o sentido positivo dos eixos x e y são representados por î e ĵ, respectivamente, onde o símbolo sobre os vetores indica que o módulo destes vetores é igual a 1. No caso tridimensional temos ainda o versor ˆk indicando o sentido positivo do eixo z. Na Fig. 3.8a temos a representação dos três vetores unitários e os eixos x, y e z. Usando os vetores unitários podemos expressar o vetor da Fig. 3.7 da seguinte forma: a = a = a x î + a y ĵ onde simplesmente usamos o fato dos vetores a x e a y formados pelas projeções de a sobre os eixos x e y podem ser escritos como múltiplos dos vetores unitários, veja a Fig. 3.8b. Sendo assim, podemos escrever, a x =a x î a y =a y ĵ. Desde que os vetores unitários são ortogonais, não é possível escrever o versor î como um múltiplo de ĵ. Isso garante que, quando queremos descobrir se dois vetores são iguais basta comparar as suas

40 3.1. VETORES 39 componentes em cada eixo e verificar se estas são iguais. Em caso positivo, temos que os vetores são idênticos Somando vetores algebricamente Agora que sabemos decompor vetores algebricamente através dos versores, podemos fazer soma e subtração de vetores sem a necessidade de desenhá-los no plano-xy. Antes de considerar a soma, vamos denotar vetores usando símbolos em negrito em vez da seta sobre o símbolo. Assim, consideremos dois vetores a e b, cuja soma resulta no vetor r, assim, escrevemos 1 : r = a + b O vetor a tem projeções a x, a y e a z nos eixos coordenados. O vetor b também apresenta as três projeções correspondentes que chamamos de b x, b y e b z. Assim, podemos escrever r na forma: r = a x î + a y ĵ + a z ˆk + bx î + b y ĵ + b z ˆk assim, podemos escrever: r = (a x + b x )î + (a y + b y )ĵ + (a z + b z )ˆk que é o resultado da soma dos dois vetores. projeções ao longo dos eixos x, y e z: Note que terminamos com um vetor com as seguintes r x =a x + b x r y =a y + b y r z =a z + b z A subtração de vetores também é direta. Seja d o vetor resultante da diferença entre os vetores a e b, assim, temos que: d = a b e substituindo os vetores a e b na forma de componentes, e fazendo a subtração como no caso anterior, obtemos: d = (a x b x )î + (a y b y )ĵ + (a z b z )ˆk 1 De modo equivalente poderíamos ter escrito r = a + b, usando a notação com setas.

41 40 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES Figura 3.9: Vetor posição, vetor deslocamento e a trajetória de uma partícula em um plano. e terminamos novamente com um vetor d com componentes dadas por: d x =a x b x d y =a y b y d z =a z b z 3.2 Posição, Velocidade e Aceleração Vetoriais Agora que já sabemos como localizar um ponto em um plano usando vetores, podemos voltar ao estudo do movimento de uma partícula agora em duas dimensões. Para isso, precisamos redefinir novamente as grandezas físicas que caracterizam o movimento usadas no caso 1-D para o caso mais geral de 2 e 3 dimensões. Na Fig. 3.9 temos a representação do movimento de uma partícula que descreve a trajetória AP B no plano-xy. Para localizar a partícula usamos o chamado vetor posição que liga a origem ao ponto onde se encontra a partícula. No instante t a partícula está localizada no ponto P, assim o vetor posição para a partícula neste ponto é r(t) dado por: r(t) = x(t)î + y(t)ĵ

42 3.2. POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 41 onde x(t) e y(t) são as coordenadas do ponto P e o módulo do vetor r(t) é simplesmente igual ao tamanho do segmento de reta OP. Após um intervalo de tempo t a partícula agora se encontra no ponto P e um segundo vetor posição r(t + t) é usado para localizá-la, assim escrevemos r(t + t) = x(t + t)î + y(t + t)ĵ O deslocamento da partícula do ponto P ao ponto P é dado por: r = r(t + t) r(t) (3.1) Substituindo os vetores r(t + t) e r(t) na definição de deslocamento, podemos escrever, r = x(t + t)î + y(t + t)ĵ x(t)î y(t)ĵ ou seja, r = xî + yĵ onde x = x(t+ t) x(t) que é o deslocamento na direção x e y = y(t+ t) y(t) que é o deslocamento na direção y. Por analogia com o que fizermos no caso 1D, aqui definimos a velocidade média como a razão entre o deslocamento pelo intervalo de tempo em que este deslocamento ocorreu, assim escrevemos: v méd = r t (3.2) e considerando que r = xî + yĵ, podemos escrever da mesma forma: v méd = v méd,x î + v méd,y ĵ. (3.3) onde, v méd,x = x/ t e v méd,y = y/ t. Estas são as componentes da velocidade média na direções x e y. Continuando com as nossas definições, vemos que é possível determinar, de maneira análoga ao caso unidimensional, a velocidade instantânea da partícula tomando-se o limite t 0. Assim, a velocidade instantânea no tempo t pode ser escrita como: o que nos permite escrever: r v(t) = lim t 0 t v(t) = v x (t)î + v y(t)ĵ

43 42 (a) CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES (b) Figura 3.10: (a) Velocidade de uma partícula. (b) Aceleração de uma partícula. onde, x v x (t) = lim t 0 t v y (t) = lim t 0 Observando o que ocorre com o vetor r a medida que o intervalo de tempo vai a zero (Fig. 3.10a), vemos que a direção da velocidade instantânea v(t) é da tangente à trajetória em P, e o sentido é o sentido de percurso da trajetória da partícula para t crescente. Observamos, sem prova, que tanto a velocidade quanto o deslocamento obedecem às regras de composição de vetores. Assim, concluímos que a derivada de um vetor, é também um vetor. Portanto, escrevemos a velocidade instantânea na forma: y t v(t) = dr dt = dx dt î + dy ĵ. (3.4) dt Para definir a aceleração média, tomamos o vetor velocidade em dois instante de tempo, v(t + t) e v(t) nos pontos correspondentes a P (t) e P (t + t), veja a Fig. 3.10b. Assim, definimos: a méd = v t = v(t + t) v(t) t A aceleração instantânea é determinada tomando-se o limite t 0, assim segue que: v a(t) = lim t 0 t = lim v(t + t) v(t) t 0 t que é a derivada do vetor velocidade, assim escrevemos ainda: que pode ser escrita em termos do vetor deslocamento na forma: (3.5) a(t) = dv dt = dv x dt î + dv y ĵ. (3.6) dt a(t) = d2 r dt 2 = d2 x dt 2 î + d2 y ĵ. (3.7) dt2

44 3.3. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE Movimento com aceleração constante No caso unidimensional, consideramos caso especial em que a aceleração é constante. Com esta premissa, obtivemos várias equações descrevendo o movimento da partícula. Em duas dimensões temos dois tipos de movimento com aceleração constante que são importantes: o movimento de projéteis e o movimento circular uniforme. Para entender estes movimentos, precisamos escrever as equações para o vetor posição em função do tempo. Para isto basta integrar a definição da aceleração. Como resultado, obtemos uma equação para a velocidade instantânea que pode ser usada para obter r(t). O procedimento é idêntico ao realizado no capítulo anterior e não será repetido aqui. As duas equações principais para o movimento com aceleração constante são dadas por: r(t) = r 0 + v 0 (t t 0 ) a(t t 0) 2 v(t) = v 0 + a(t t 0 ) (3.8a) (3.8b) onde consideramos que em t = t 0 a partícula está localizada na posição r 0 = x 0 î + y 0 ĵ com velocidade v 0 = v 0x î + v 0y ĵ. Das equações (3.8), notamos que o movimento no plano é uma composição movimentos independentes nas direções x e y. Assim, as duas Eqs. (3.8) se reduzem a quatro equações unidimensionais. A seguir consideramos alguns exemplos de aplicação destas equações no movimento de projéteis e movimento circular uniforme. 3.4 Movimento de Projéteis Aqui vamos estudar um caso particular de movimento bidimensional: uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade v 0 e com uma aceleração constante igual à aceleração de queda livre g, dirigida para baixo. Uma partícula que se move desta forma é chamada projétil (o que significa que é lançada, projetada) e seu movimento é chamado de movimento balístico. Este é um movimento bastante comum no nosso dia-dia, desde que qualquer objeto que é lançado descreve um movimento balístico: uma bola em um jogo de futebol, algo lançado de um avião, etc. Usando a notação vetorial que desenvolvemos na seção anterior, podemos escrever a velocidade inicial como: v 0 = v 0x î + v 0y ĵ (3.9) onde as componentes nas direções x e y são dadas por: v 0x = v 0 cos θ 0 e v 0y = v 0 sin θ 0 (3.10)

45 44 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES com θ 0 sendo o ângulo entre o vetor v 0 e o eixo horizontal. No movimento de projétil tanto a velocidade quanto a posição da partícula estão variando no tempo, mas a aceleração sempre será constante e dirigida para baixo. Assim, podemos escrever: a = gĵ (3.11) o que implica que na direção horizontal a velocidade é constante. Na Fig. 3.11a, é mostrada uma fotografia estroboscópica de uma bola de tênis quicando sobre uma superfície dura. Entre os impactos a bola descreve uma trajetória balística, que pretendemos estudar. Na Fig. 3.11b, é feita uma comparação entre o movimento de uma bola em queda livre (amarela) e outra bola que também está em queda livre mas que apresenta uma velocidade com componente horizontal. Assim, desde que ambas sofrem a ação de uma aceleração dada pela Eq. (3.11), o movimento na direção vertical para as duas bolas é idêntico. (a) (b) Figura 3.11: (a) Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superfície dura. Entre os impactos, a trajetória da bola é balística. (b) Uma bola é deixada cair a partir do repouso no mesmo instante que a outra bola é lançada horizontalmente para a direita. Os movimentos verticais das duas bolas são iguais. Este exemplo nos mostra que os movimentos nas duas direções são independentes e podem ser tratados individualmente. Com isso, podemos decompor o problema complicado de duas dimensões em dois problemas unidimensionais separados mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimento horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para baixo).

46 3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS Análise do movimento de um projétil Para determinar o movimento de um projétil, nas condições dadas pelas Eqs. (3.9) a (3.11), precisamos do vetor posição r(t) para todos os instantes de tempo. Para isso, consideramos a equação: onde, r(t) = r 0 + v 0 (t t 0 ) a(t t 0) 2 (3.12) r(t) = x(t)î + y(t)ĵ assim, da mesma forma r 0 = x 0 î + y 0 ĵ e v 0 e a são dados pelas Eqs. (3.9) e (3.11), respectivamente. Substituindo todas estas definições na Eq. (3.12), segue que: o que pode ser colocado na forma x(t)î + y(t)ĵ = x 0î + y 0ĵ + (v 0xî + v 0yĵ)(t t 0) ( gĵ)(t t 0) 2 x(t)î + y(t)ĵ = x 0î + y 0ĵ + v 0x(t t 0 )î + v 0y(t t 0 )ĵ 1 2 g(t t 0) 2 ĵ ou ainda, x(t)î + y(t)ĵ = [x 0 + v 0x (t t 0 )]î + ( y 0 + v 0y (t t 0 ) 1 2 g(t t 0) 2 ) ĵ Neste ponto, lembramos que os versores î e ĵ são linearmente independentes. Isto significa que se multiplicamos estes versores por qualquer escalar, nunca será possível obter o outro vetor. De fato, um número multiplicando um vetor apenas modifica o seu módulo e sentido deixando sua direção inalterada. Assim, a única maneira da equação acima ser satisfeita é através da igualdade entre os coeficientes de î e ĵ, nos dois membros. Desta forma, escrevemos: x(t) = x 0 + v 0x (t t 0 ) y(t) = y 0 + v 0y (t t 0 ) 1 2 g(t t 0) 2 (3.13a) (3.13b) que descreve movimentos independentes nas direções x e y. Afirmamos que são independentes porque a coordenada x não aparece na equação para y e vice-versa. Movimento Horizontal O movimento horizontal é descrito pela Eq. (3.13a) com v 0x = v 0 cos θ 0, logo x(t) = x 0 + (v 0 cos θ 0 )(t t 0 ). (3.14)

47 46 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES Movimento Vertical O movimento vertical é dado pela Eq. (3.13) com v 0y = v 0 sin θ 0, assim: y(t) = y 0 + (v 0 sin θ 0 )(t t 0 ) 1 2 g(t t 0) 2. (3.15) As relações do movimento retilíneo com aceleração constante obtidas no capítulo anterior podem aplicadas aqui, trocando apenas a velocidade inicial por v 0y = v 0 sin θ 0, a aceleração a por g e o eixo x pelo eixo y. Assim, podemos escrever, v y = v 0 sin θ 0 g(t t 0 ), v 2 y = (v 0 sin θ 0 ) 2 2g(y y 0 ). Conforme mostrado na Fig. 3.12, a componente vertical da velocidade se comporta exatamente como a de uma bola lançada verticalmente para cima. Inicialmente ela está dirigida para cima, e seu módulo diminui continuamente até se anular, o que determina a altura máxima da trajetória. Em seguida, a componente vertical da velocidade muda de sentido e seu módulo passa a aumentar com o tempo. Figura 3.12: Trajetória de um projétil que é lançado em x 0 = 0 e y 0 = 0 com uma velocidade inicial v 0. São mostradas a velocidade inicial e as velocidades em vários pontos ao longo da trajetória, juntamente com suas componentes. Observe que a componente horizontal de velocidade permanece constante, mas a componente vertical muda continuamente. O alcance R é a distância horizontal percorrida pelo projétil quando retorna à altura do lançamento.

48 3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 47 Equação da Trajetória Podemos obter a equação da trajetória, ou seja, do caminho percorrido pelo projétil eliminando-se o tempo t t 0 nas Eqs. (3.14) e (3.15). Assim, explicitando o tempo na Eq. (3.14), obtemos: e substituindo em Eq. (3.15), segue que: ou ainda, t t 0 = x x 0 v 0 cos θ 0 [ ] x x0 y(x) = y 0 + v 0 sin θ 0 1 [ ] x 2 v 0 cos θ 0 2 g x0 v 0 cos θ 0 y(x) = y 0 + tan θ 0 (x x 0 ) g 2v 2 0 cos2 θ 0 (x x 0 ) 2. (3.16) que é uma equação geral de uma parábola. Note que a parábola mostrada na Fig é um caso particular da Eq. (3.16) com x 0 e y 0 nulos: Alcance Horizontal y(x) = tan θ 0 x g 2v 2 0 cos2 θ 0 x 2. (3.17) O alcance horizontal de um projétil, como mostra a Fig. 3.12, é a distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar à sua altura inicial (altura de lançamento). Para determinar o alcance R, fazemos x x 0 = R na Eq. (3.14) e y y 0 = 0 na Eq. (3.15). Com isso, temos e, R = v 0 cos θ 0 (t t 0 ) t t 0 = R v 0 cos θ 0 (3.18) 0 = v 0 sin θ 0 (t t 0 ) 1 2 g(t t 0) 2. (3.19) e usando o valor de t t 0 obtido da Eq. (3.18) em (3.19) temos ainda: e resolvendo para R segue que: R 0 = v 0 sin θ 0 1 ( ) v 0 cos θ 0 2 g R 2. v 0 cos θ 0 0 = v 2 0 cos θ 0 sin θ 0 R 1 2 gr2 (2v 2 0 cos θ 0 sin θ 0 gr)r = 0

49 48 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES e vemos que existem duas soluções: R = 0 e R = 2v2 0 cos θ 0 sin θ 0 g = v2 0 g sin 2θ 0 a primeira solução corresponde ao ponto inicial de onde o projétil é lançado. O segundo resultado é a distância onde o projétil atinge o chão. Assim, temos que o alcance R é dado por: R = v2 0 g sin 2θ 0. (3.20) Note que o alcance máximo é obtido quando θ 0 = π 4 = 45o. Neste caso o seno vale 1, e R atinge seu maior valor dado por R = v2 0. Note que a Eq. (3.20) não fornece a distância horizontal percorrida g pelo objeto quando este é lançado de uma altura diferente da altura final. Exemplos 1. Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está a 45, 0 m acima de um terreno plano, emergindo da arma com uma velocidade de 250 m/s. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? (b) a que distância horizontal do ponto de disparo ele se choca com o solo? (c) Qual é módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo? (a) Para determinar o tempo T que o projétil fica no ar, basta determinar o tempo gasto para o projétil atingir o solo. Assim, considerando que o projétil é lançado na horizontal, então a velocidade inicial na direção vertical é zero, assim, podemos escrever a Eq. (3.15) na forma: y(t) = y gt2. assim, fazendo y(t) = 0, temos: T = 2y0 g = 2 45, 0 m 9, 8m/s 2 = 3, 03 s. (b) O que é pedido é simplesmente o alcance da bala. Como a bala é disparada de uma altura y 0 = 45, 0 m e atinge o solo na posição y = 0 m não podemos aplicar a Eq. (3.20). No entanto, ainda podemos calcular esta distância facilmente visto que temos o tempo que a bala leva para chegar ao chão. Assim, aplicando este tempo na Eq. (3.14) com x 0 = 0, t 0 = 0, θ 0 = 0 e ainda t = T, segue que: x(t ) = v 0 T

50 3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 49 ou seja, x(t ) = 250 m/s 3, 03 s logo, x(t ) = 757, m. (c) O módulo da componente vertical da velocidade pode ser determinada usando-se a equação: v y (t) = gt desde que v 0y = 0. Assim, substituindo-se o tempo T, obtemos: v y (t) = 9, 8m/s 2 3, 03 s = 29, 7 m/s 2. O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s. Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado a 50 m da meta, cujo travessão está a 3, 44 m acima do gramado? Aqui consideramos que a trave por onde a bola deve passar está na direção positiva do eixos dos x, assim, a convenção de sinais é mesma que foi adotada na dedução das equações para o movimento do projétil. Considerando a origem do sistema de coordenadas sobre o jogador e o tempo t 0 = 0, podemos escrever: x(t) = v 0 t cos θ 0 y(t) = v 0 t sin θ gt2. Devemos determinar o ângulo θ 0 para uma altura H = 3, 44 m e distância L = 50 m. eliminando o tempo entre estas equações, temos: ( ) L H = v 0 sin θ 0 12 ( ) v 0 cos θ g L 2. 0 v 0 cos θ 0 Assim, o que pode ser escrito na forma: H = L tan θ 0 gl2 2v cos 2 θ 0

51 50 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES podemos escrever 1/ cos 2 θ 0 na forma: e, assim, substituindo na equação acima, obtemos: o que pode ser colocado na seguinte forma: 1 cos 2 θ 0 = 1 + tan 2 θ 0 H = L tan θ 0 gl2 2v 2 0 gl 2 2v 2 0 gl2 2v 2 0 tan 2 θ 0 L tan θ 0 + gl2 2v 2 0 tan 2 θ 0 + H = 0 que é uma equação do segundo grau para a tangente de θ 0. Definindo um coeficiente auxiliar K = gl2 2v 2 0 = 9, 8 m/s2 (50 m) 2 2 (25 m/s) 2 = 19, 6 m temos K tan 2 θ 0 L tan θ 0 + H + K = 0 e é claro tan θ 0 = L ± L 2 4K(H + K) 2K e substituindo-se os valores correspondentes, temos ainda: tan θ 0 = 50 m ± (50 m) , 6 m (3, 44 m + 19, 6 m) 2 19, 6 m o que nos permite determinar dois valores: tan θ 0 = 1, 95 e tan θ 0 = 0, 605 e os ângulos correspondentes, no primeiro quadrante, podem ser determinados tomando-se o arco tangente destes valores. Obtemos então dois valores de ângulos que satisfazem a condição de obter altura H = 3, 44 m e distância H = 50 m. Assim, θ 0 = 63 o e θ 0 = 31 o portanto, concluímos que o ângulo de maior elevação é 63 o e o ângulo de menor elevação é 31 o.

52 3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegar a uma encosta. Considere um salto no qual a velocidade inicial v 0 = 10 m/s, ângulo é θ 0 = 9 o, a pista antes do salto é aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de α = 11, 3 o. A figura 3.13a mostra um présalto no qual o esquiador desce no início da encosta. A Fig. 3.13b mostra um salto que começa no momento em que o esquiador está chegando à encosta. Na Fig. 3.13a o esquiador desce aproximadamente na mesma altura em que começou o salto. (a) Qual é o ângulo ϕ entre a trajetória do esquiador e a encosta na situação da Fig. 3.13a? Na situação da Fig 3.13b, (b) o esquiador desce quantos metros abaixo da altura em que começou o salto e (c) qual é o valor de ϕ? (A queda maior e o maior valor de ϕ podem fazer o esquiador perder o equilíbrio.) Figura 3.13: Veja exemplo 3. (a) Isto é bastante simples desde que sabemos que no ponto em que esquiador atinge novamente o solo, é exatamente no início da encosta na mesma altura em que iniciou o salto. Logo, este deve ter um vetor posição abaixo da horizontal mas com um ângulo igual ao ângulo θ 0. Assim, o ângulo entre a encosta e o esquiador é dado por: ϕ = α θ 0 = 11, 3 o 9, 0 o = 2, 3 o (b) Vamos considerar que o esquiador aterriza em uma distância d da rampa. Assim usamos as seguintes equações: y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 x = x 0 + v 0x t e considerando um triângulo retângulo com hipotenusa igual à d fazendo um ângulo α com o prolonga-

53 52 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES mento horizontal, então temos que, x x 0 = d cos α y y 0 = d sin α e além disso, temos ainda, v 0x = v 0 cos θ 0 e, substituindo na equação para x(t), obtemos: Para o movimento vertical temos: d cos α = v 0 cos θ 0 t t = d cos α v 0 cos θ 0 d sin α = v 0 t sin θ gt2 e substituindo o tempo obtido da equação para o movimento na direção horizontal, obtemos ainda: ou ainda, [ ] d cos α d sin α = v 0 sin θ 0 1 [ ] d cos α 2 v 0 cos θ 0 2 g v 0 cos θ 0 d sin α = d tan θ 0 cos α gd2 cos 2 α 2v 2 0 cos2 θ 0 e simplificando a distância d em ambos os membros, temos: d = 2v2 0 cos2 θ 0 d cos 2 α (sin α + cos α tan θ 0) d = 2v2 0 cos θ 0 g cos 2 α (sin α cos θ 0 + cos α sin θ 0 ) e a soma entre parênteses pode agrupada usando o seno da soma, d = 2v2 0 cos θ 0 g cos 2 α sin(α + θ 0) Substituindo-se os valores correspondentes, obtemos ainda: d = 2 (10 m/s)2 cos 9, 0 o 9, 8 m/s 2 cos 2 11, 3 o sin(9 o + 11, 3 o )

54 3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 53 d = 7, 27 m o que nos fornece, y = d sin α = 7, 27 m sin(11, 3 o ) = 1, 42 m ou seja, o esquiador desceu 1,42 m abaixo da altura em que começou o salto. (c) O tempo que o esquiador gasta para aterrizar pode ser determinado pela equação do movimento horizontal, assim: logo, t = d cos α = 7, 27 m cos(11, 3o ) v 0 cos θ 0 10 m/s cos(9, 0 o ) t = 0, 72 s. Com este tempo somos capazes de determinar a componente da velocidade v y, assim, v y = v 0y gt = v 0 sin θ 0 gt e substituindo os valores correspondentes segue que: v y = 10 m/s sin 9, 0 o 9, 8 m/s 2 0, 72 s logo, v y = 5, 5 m/s Desde que temos também a componente horizontal da velocidade que não muda com o tempo, podemos determinar o ângulo que a velocidade faz com a direção horizontal: v x = v 0x cos θ 0 = 10 m/s cos 9, 0 o = 9, 9 m/s. E, substituindo os valores na expressão para o ângulo θ : ( ) ( ) vy 5, 5 m/s θ = arctan = arctan 9, 9 m/s v x

55 54 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES vamos obter: θ 29, 1 o. ou seja, 29,1 o abaixo da horizontal. 4. Na figura 3.14, uma bola de beisebol é golpeada a uma altura h = 1, 00 m e apanhada na mesma altura. Deslocando-se paralelamente a um muro, ela passa pelo alto do muro 1, 00 s após ter sido golpeada e, novamente, 4, 00 s depois, quando está descendo, em posições separadas por uma distância D = 50, 0 m. (a) Qual é a distância horizontal percorrida pela bola do instante em que foi golpeada até ser apanhada? Para determinar a distância horizontal, basta aplicar a relação para o movimento horizontal que não apresenta aceleração. Assim, temos que: x x 0 = v 0x t porém ainda não sabemos o valor da velocidade na direção horizontal. No entanto, sabemos que o deslocamento da bola de beisebol foi de 50 m, em t = 5 s 1 s = 4 s. Assim, podemos escrever: v 0x = x x 0 t = 50, 0 m 4 s = 12, 5 m/s. Figura 3.14: Veja exemplo 4. Agora, podemos determinar a distância horizontal percorrida pela bola. Com efeito, ela chega no alto do muro quando t = 1 s e novamente atinge esta altura 4,00 s depois, ou seja, quando t = 5 s. Portanto, desde que o movimento é simétrico em relação às alturas h, onde a bola é golpeada e apanhada, temos