Prof. Márcio Nascimento. 3 de setembro de 2014

Transcrição

1 Ângulos Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de setembro de / 23

2 Sumário 1 Ângulo 2 2 / 23

3 Sumário 1 Ângulo 2 3 / 23

4 Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). 4 / 23

5 Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. 4 / 23

6 Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. Notação: AÔB ou BÔA 4 / 23

7 Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. Notação: AÔB ou BÔA OA e OB: lados do ângulo. 4 / 23

8 Ângulo Geralmente são usadas letras gregas ou letras de forma para representar um ângulo 5 / 23

9 Ângulo Geralmente são usadas letras gregas ou letras de forma para representar um ângulo α = AÔB = Ô = O 5 / 23

10 Ângulo Alguns ângulos recebem nome especial 6 / 23

11 Ângulo Alguns ângulos recebem nome especial Ângulo raso: Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto. 6 / 23

12 Ângulo Alguns ângulos recebem nome especial Ângulo raso: Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto. Ângulo nulo: Quando as semirretas têm a mesma direção e sentido. 6 / 23

13 Ângulo Ângulo reto: Quando as semirretas são perpendiculares. 7 / 23

14 Ângulo Ângulo agudo: Quando o ângulo formado é menor que um ângulo reto. 8 / 23

15 Ângulo Ângulo obtuso: Quando o ângulo formado é menor que um ângulo raso e maior que um ângulo reto. 9 / 23

16 Ângulo Ângulos Complementares: ângulos que quando justapostos formam um ângulo reto. 10 / 23

17 Ângulo Ângulos Suplementares: ângulos que quando justapostos formam um ângulo raso. 11 / 23

18 Sumário 1 Ângulo 2 12 / 23

19 13 / 23

20 Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. 13 / 23

21 Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. 13 / 23

22 Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. Se tivermos 360 semirretas, teremos 360 ângulos iguais. Cada um deles será chamado grau. 13 / 23

23 Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. Se tivermos 360 semirretas, teremos 360 ângulos iguais. Cada um deles será chamado grau. Notação: / 23

24 14 / 23

25 Exemplo: De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ângulo? 14 / 23

26 Exemplo: De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ângulo? Resposta: / 23

27 15 / 23

28 A fração de 1/60 de um grau é 1 0 chamada minuto. Notação: 60 = 1 15 / 23

29 A fração de 1/60 de um grau é 1 0 chamada minuto. Notação: 60 = 1 E a fração de 1/60 de um minuto, é chamada segundo. Notação 1 60 = 1 15 / 23

30 Exemplo: Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. 16 / 23

31 Exemplo: Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Qual a medida em minutos de cada ângulo? Qual a medida em segundos de cada ângulo? 16 / 23

32 Exemplo: Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 06 0 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Qual a medida em segundos de cada ângulo? 16 / 23

33 Exemplo: Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 06 0 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Aproximadamente 123, 43 Qual a medida em segundos de cada ângulo? 16 / 23

34 Exemplo: Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 06 0 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Aproximadamente 123, 43 Qual a medida em segundos de cada ângulo? Aproximadamente 7405, / 23

35 Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 17 / 23

36 Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 2, 5 0 = , 5 0 = (0, 5).60 = / 23

37 Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 2, 5 0 = , 5 0 = (0, 5).60 = , 12 0 = , 12 0 = (0, 12).60 = , 2 = , 2 = , 2(60 ) = / 23

38 Exemplo: Dados os ângulos A = 124, e B = 75, 765 0, 18 / 23

39 Exemplo: Dados os ângulos A = 124, e B = 75, 765 0, Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo Expresse A + B, A B na notação grau/minuto/segundo 18 / 23

40 Exemplo: Dados os ângulos A = 124, e B = 75, 765 0, Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo A = e B = Expresse A + B, A B na notação grau/minuto/segundo 18 / 23

41 Exemplo: Dados os ângulos A = 124, e B = 75, 765 0, Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo A = e B = Expresse A + B, A B na notação grau/minuto/segundo A + B = 200, = e A B = 48, = / 23

42 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , determine: 19 / 23

43 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , determine: A + B A B A 2 + B 3 19 / 23

44 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , determine: A + B A B A 2 + B 3 19 / 23

45 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , determine: A + B A B A 2 + B 3 19 / 23

46 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , determine: A + B A B A 2 + B 3 Aproximadamente / 23

47 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , 20 / 23

48 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , Converta A e B para a notação decimal Expresse A + B, A B na notação decimal 20 / 23

49 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , Converta A e B para a notação decimal A é aproximadamente 42, 46 0 e B é aproximadamente 27, 54 0 Expresse A + B, A B na notação decimal 20 / 23

50 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , Converta A e B para a notação decimal A é aproximadamente 42, 46 0 e B é aproximadamente 27, 54 0 Expresse A + B, A B na notação decimal A + B = 69, 99 0 e A B = 14, / 23

51 Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? 21 / 23

52 Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre e o menor, / 23

53 Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre e o menor, Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 6 0 e o menor 0, / 23

54 Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre e o menor, Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 6 0 e o menor 0, 5 0. Daí, às 2:25, o ponteiro maior terá percorrido (a partir do 12) = e o menor, 25 0, 5 0 = 12, / 23

55 Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre e o menor, Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 6 0 e o menor 0, 5 0. Daí, às 2:25, o ponteiro maior terá percorrido (a partir do 12) = e o menor, 25 0, 5 0 = 12, 5 0. Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, o menor ângulo seria de = 90 0, mas como o ponteiro menor se movimentou 12, 5 0, segue que o ângulo procurado é de 77, / 23

56 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 22 / 23

57 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 18:10 16:20 12:33 22 / 23

58 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, :10 16:20 12:33 22 / 23

59 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, : :20 12:33 22 / 23

60 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, : : :33 22 / 23

61 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, : : :33 178, / 23

62 Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. 23 / 23

63 Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae 23 / 23

64 Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae 23 / 23