Modelos de Processos Linearização de modelos não lineais

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1 TEQ0- ONTROLE DE PROESSOS Departamento de Engenhara Químca e de Petróleo UFF Modelo de Proceo Lnearzação de modelo não lnea Profa. Nnoka Bojorge Segundo a malha de controle feedback... ontrolador tuador PROESSO Senor

2 Dnâmca do proceo 3 O controle do proceo é nerentemente relaconado com o comportamento do memo no etado ntável (ou eja, com a repota trantóra", "dnâmca do proceo" Modelagem de Proceo O objetvo da modelagem é determnar uma repreentação matematcamente tratável para o proceo fíco/químco. ea repreentação damo o nome de modelo. Portanto, um modelo é uma dealzação da realdade que retém ua prncpa caracterítca e que é matematcamente tratável. modelagem é uma etapa mportante no projeto de tema de controle, poto que o êxto dea tarefa dependerá do modelo crado para o tema em quetão. modelagem matemátca de um tema dnâmco é conttuída por um conjunto de equaçõe dferenca (EDO e/ou EDP que repreentam a dnâmca do tema com precão ou, pelo meno, de uma forma acetável. 4

3 Método para Determnação de Modelo Matemátco Extem do método báco de modelagem: Modelagem Teórca (ou Fenomenológca Utlza o prncípo da fíca e da químca e/ou bológco para obter a equaçõe dferenca que regem o proceo a er modelado. Modelagem Expermental (ou Empírca Ua a obervação dreta do dado operacona do proceo para obter a equaçõe dferenca que o decrevem. Geralmente, aplca-e uma nal de entrada conhecdo e mede-e a aída correpondente. 5 Método para Determnação de Modelo Matemátco Black box (empírco 6 Grande número de parâmetro pode er obtdo rapdamente (por exemplo, regreão lnear Etrutura do modelo é ubjetva Pergoo para extrapolar Sem-empírco Etrutura do modelo pode er ma mple Tpcamente -0 parâmetro fíco etmado (regreão não lnear Boa veratldade, pode er extrapolada Pode er executado em tempo real

4 Método para Determnação de Modelo Matemátco Por regreão lnear: Por regreão não-lnear : y c 0 cx cx y K t /τ ( e O número de parâmetro afeta a precão do modelo, ma o lmte de confança do parâmetro embutdo devem er avalado função objetvo para ajute do dado - mnmzar oma do quadrado do erro entre o ponto de dado e prevõe do modelo (utlza-e códgo de otmzação para e ajutar o parâmetro modelo não lneare, ta como rede neura etão e tornando populare (modelagem automátca 7 Método para Determnação de Modelo Matemátco Uo da Modelagem Matemátca para melhorar a compreenão do proceo para otmzar condçõe do proceo de concepção / operacona para projetar uma etratéga para o controle de proceo para trenar o peoal de operação 8

5 Modelo teórco de proceo Equaçõe de conervação Bae fundamental para o deenvolvmento do modelo onervação de maa, energa & momentum EDO não-lneare Relaçõe conttutva Relaçõe em-empírca neceára para completar o modelo Taxa cnétca, taxa de calor, etc. Equaçõe algébrca lnea e não lnea Etmação de parâmetro Neceáro para determnar o parâmetro deconhecdo ontante de velocdade de reação, coefcente de tranferênca de calor, etc., etc. Etmação do valore do parâmetro que melhor e encaxam ao dado dponíve 9 Varáve de Etado varáve de etado ão o conjunto de varáve que permtem repreentar o comportamento dnâmco do tema. 0 O valor dete conjunto de varáve de etado num determnado ntante de tempo é chamado de etado. equaçõe que relaconam a varáve de etado á perturbaçõe ão dta de equaçõe de etado e ão dervada da equaçõe que reultam da aplcação do prncípo de conervação.

6 Grau de Lberdade, N L N L N V N E N L : número de varáve que podem er epecfcada ndependentemente. N V : número total de varáve deconhecda. N E : número de equaçõe (dferenca e algébrca. olução do modelo depende do N L : N L 0 Stema determnado. Solução únca. (cao atfatóro N L > 0 Stema ub-determnado, ou eja N V > N E. Infnta oluçõe. N L podem epecfcar-e arbtraramente. N L < 0 Stema obre-determnado. Têm meno varáve que equaçõe. Stema não tem olução. Formulação da modelagem O prncípo teórco no qua e baeam o modelo do proceo para ua modelagem dnâmca e de controle de proceo ão fundamentalmente baeada na Le de onervação.

7 Modelo teórco de proceo Equaçõe de conervação bae fundamental para o deenvolvmento do modelo onervação de maa, energa & momentum EDO lnea e não-lneare Relaçõe conttutva relaçõe em-empírca neceára para completar o modelo taxa cnétca, taxa de calor, etc. equaçõe algébrca não lneare Etmação de parâmetro neceáro para determnar o parâmetro deconhecdo ta como: contante de velocdade de reação, o coefcente de tranferênca de calor, etc., etc. etmação do valore do parâmetro que ma e aproxmam ao dado dponíve 3 Le de onervação 4 ondere-e um proceo, onde tem-e n entrada e n aída e onde a letra Q e W repreentam calor e trabalho realzado pelo tema, repectvamente. Entrada W Saída Q O prncpo de conervação etabelece qualquer quantdade acumulada dentro do lmte de contorno de um tema é a dferenca entre o que fo adconado e o que fo retrado do tema, ma o que fo gerado dentro do tema. ou anda, floofcamente falando, "Na natureza nada e cra, nada e perde, tudo e tranforma".

8 Le de onervação Reumndo: W 5 Entrada Saída Q cumulado entra a gerado conumdo Le de onervação Balanço de Maa Global (maa/tempo Taxa de Taxa de Taxa de maa maa maa acumulada entra aída 6 Balanço por omponente (mol/tempo Taxa da varação molar vazão molar do componente do componente no Stema na entrada Balanço de Energa (Joule/tempo vazão molar do componente na aída Taxa de Taxa de Taxa de Taxa de Taxa deenergía energía energía energía energía gata pelo acumulada entrada aída gerada trabalhorealzado realzado Balanço de Movmento velocdade de formação do compon. aí Taxa da varação taxa movmento taxa movmento de movmento com que entra que aí repeto ao tempo ao tema do tema taxa de geração de movmento Relaçõe conttutva

9 ou: Balanço de Maa Taxa de Taxa de Taxa de maa maa maa acumulada entrada aída Em termo matemátco, dm me m S (. Entrada entra m : maa total V ρ m e : taxa máca entra F e ρ e m : taxa máca aí F ρ F: vazão volumétrca (volume/tempo ρ : dendade (maa/volume m dm 7 Saída m Saída dρv F e ρ e F S ρ S (. Balanço por componente 8 Taxa da varação molar vazão molar do componente do componente no Stema na entrada dn Fe e F vazão molar do componente na aída S S r V velocdade de formação do compon. aí (.3 endo n V r k [ ] k : coefcente cnétco, depende da ordem da reação :[tempo] - [concentração] -n d( V Fe e F S S k V (.4

10 Balanço de Energa Em tema de engenhara químca, a varaçõe de energa cnétca (E K e potencal (E Φ ão geral// deprezíve, e por tanto, 9 Taxa de Taxa de Taxa de energía energía energía acumulada entrada aída Taxa de energía gerada Taxa deenergía gata pelo trabalho realzado Energa entra de Saída Energa d ( ρ VE d ( U E Eke E φ e ρ V (.5 d( ρve ne Feρe( U E Eke Eφe Fρ( U ns S Ek Eφ Q W (.6 Balanço de Energa 0 d( ρve ne Feρe( U E Eke Eφe Fρ( U ns S Ek Eφ Q W (.6 Para o proceo e exemplo conderado aqu. É convenente fazer dua upoçõe:. Varaçõe na energa potencal e energa cnétca podem er deprezíve, por erem pequena em comparação com a mudança na energa nterna.. taxa líquda de trabalho pode er deprezível po é pequena em comparação com a taxa de tranferênca e convecção de calor. E U, W 0

11 Balanço de Energa Por eta upoçõe razoáve, o balanço de energa em Eq. (.6 pode er ecrta como: du nt ( wh Q (-0 (.7 U nt energa nterna do tema ^ entalpa por undade de maa H w vazão maca Q taxa para de o tranf. tema calor repreenta a dferenca entre Λ w H a corrente de entrada e aída; am taxa de entalpa da corrente que entrada meno a corrente de aída. Balanço de Energa Para Líqudo puro, a preõe moderada ou baxa, U nt H hapter Uˆ nt nt Hˆ du ˆ dh ˆ dt (-9 (.8 é a capacdade de calor a preão contante (aumda como endo contante. energa nterna total do líqudo no tanque é: U VUˆ (-30 nt ρ nt (.9 dunt dt ρv (.0 (-3

12 Balanço de Energa (cont. m, o balanço mplfcado de energa, conderando que o calor epecfco cte e o trabalho mecânco realzado pelo tema é nulo. Tem-e que: Energa entra de 3 Saída Energa Vρp dt Fρp( T T Vr U( Ta T n Q (. onde a undade de cada termo da equação de balanço ão undade de energa/tempo (Joule/. Eta equação pode er aplcada a reatore batelada, batelada almentada e contínuo Balanço de Movmento Equaçõe de balanço de movmento ão mportante em problema que envolvem ecoamento de fludo. Momentum (movmento é defndo como o produto da maa e ua velocdade, tal como afrmado pela egunda le de Newton, a força de um tema em movmento é gual á maa pela aceleração, também, é gual a taxa da varação do movmento. equação de equlíbro geral para a tranferênca de movmento é exprea por: 4 Taxa da varação taxa movmento taxa movmento de movmento com que entra que aí repeto ao tempo ao tema do tema taxa de geração de movmento ou Taxa da var ação oma de toda de movmento com a força atuando repeto ao tempo no tema m: d( Mυ n Fj (. υ : velocdade na dreção Fj : j- éma força atuando na dreção

13 Relaçõe conttutva Equação de etado termodnâmco: Le do gae dea: PV nrt 5 RT a Eq. de van der Waal P V - b V Entalpa : dado p T Lqudo: h T pdt T 0 Vapor: H h λ V h N j N XjhjMj Xj : fração molar XjMj Mj: peo molecular j Equação de equlíbro termodnâmco: Le de Dalton: P Y.P (vapor Le de Raoult P X.P (Lqudo Equaçõe cnétca rrhenu K Koexp(-E/RT E: energa de atvação R : te. do gae Metodologa de Modelagem modelagem de proceo pode er realzada de dua forma: 6 Metodologa Fenomenológca (Le fundamenta de fíca e químca, Metodologa Empírca (nformação contda na varáve de proceo regtrada ao longo do tempo. da qua nenhuma deta metodologa é autocontda e da qua nenhuma deta metodologa é autocontda e mplemente foram defnda de forma dferente levando em conderação a ênfae que e dá à fonte prmára de nformação ou conhecmento.

14 Metodologa de Modelagem Fenomenológca Dagrama equemátco do proceo 7 Defnr lmte fíco Seleconar varáve perturbação e repota Formular hpótee mplfcadora Fxar a varáve de operação e parâmetro (cte plcar a le para decrever etado em regme etaconáro /dnâmco Verfcar a contênca matemátca do modelo Verfcar o reultado Modelagem Dnâmca de Proceo Para obter a equaçõe dnâmca de um proceo, o egunte pao devem er egudo: 8 Defnção da varáve gnfcatva (de entrada e de aída; Ecrever a relaçõe têmca (relaçõe de equlíbro ou de compatbldade nter-elemento; 3 Ecrever a relaçõe conttutva para cada elemento (ão puramente empírca ; e 4 ombnar a relaçõe obtda, obtendo a equaçõe dnâmca.

15 Exemplo Modelagem Dnâmca de Proceo 9 Stema de nível de líqudo ão aquele que envolvem o fluxo de fludo e o eu armazenamento em tanque. Exemplo típco: um tanque com vazão de entrada e vazão de aída, endo ee últmo modulado por uma válvula (Stema Real. Modelamento Fíco Pode-e magnar para o tema fíco real o modelo fíco motrado a egur: Exemplo Modelagem Dnâmca de Proceo 30 h(t Modelamento fíco do tema do nível

16 Modelagem Dnâmca de Proceo Stema de Nível de Líqudo 3 Obtenção da Equaçõe Dnâmca Varáve utlzada: Vazão, Q(t e Nível, h(t. Equação de Stema - balanço de maa m ρm h dm dh ρm ρ Q umndo que: maa epecífca do fludo é contante, to é, ρm ρe ρ; dlataçõe térmca do tanque ão deprezível, portanto, ua área é contante. Então: Qent - Qa dh e e ρ Q Modelagem Dnâmca de Proceo 3 Equação onttutva - vazão de aída atravé da válvula como função da perda de preão: Para ecoamento lamnar: Q P ( P P Para ecoamento turbulento: onde o parâmetro v é uma caracterítca da válvula Q v v P v ( m a v ( Pm Pa Porém, abendo que: Pm Pa ρgh Para ecoamento lamnar: Q ρgh v Para ecoamento turbulento: Q v ρgh

17 Modelagem Dnâmca de Proceo Equação Dnâmca - ntroduzndo a equação conttutva na equação de tema, temo: Para ecoamento lamnar: Para ecoamento turbulento: dh dh Q e v ρ gh Parâmetro do tema: v, ρ, g e ; Varáve externa a erem fornecda em função do tempo para que a equação tenha olução: Qe(t; Incógnta: h(t; ondção ncal: h(0; e ao e tome dh(t/ 0, tem-e o modelo etaconáro. Q e v ρgh 33 Exemplo : Proceo de mtura no tanque agtado x w x 34 w balanço de maa em etado tranente para o tema de mtura: x w Taxa de maa acumulada no tanque Taxa de maa entra Taxa de maa aí (.

18 ou ( ρ d V onde w, w, e w are taxa máca. Balanço por componente w w w (- 35 ( ρ d V x w x w x wx (-3 Logo, eq (. e (.3 m etado de equlíbro 0 w w w (-4 0 w x w x wx (-5 Exemplo : Proceo de mtura no tanque agtado...cont. 36 Para ρ contante, Eq. - e -3, temo: dv ρ w w w (- ( ρd Vx w x w x wx (-3

19 Smplfcado a eq. -3 atravé da expanão do termo acumulação com a "regra da cadea" para a dferencação de um produto: ( ρ d Vx dx dv V x ρ ρ Subttundo a (-4 em (-3 temo: (-4 dx dv ρv ρx w x w x wx (-5 Subttução o balanço de maa em (- de ρdv/ dx ρ V x( w w w w x w x wx em (-5 dá: (-6 37 Exemplo : Proceo de mtura no tanque agtado...cont. Depo de cancelar termo comun e reorganzando (- e (-6, uma forma do modelo ma convenente é obtda: 38 dv ( w w w ρ dx w w V ρ V ρ ( x x ( x x (-7 (-8

20 Exemplo : Proceo de mtura no tanque agtado...cont. 39 Exte uma repota da compoção do proceo de mtura no tanque agtado para mudança em: b vazão w c vazão w d vazão w e compoção x e repota normalzada para a parte (b - (d Proceo de quecmento em tanque agtado 40 hapter T w w Stema de aquecmento Q T V w Fgura 3 - Proceo de um tanque agtado com aquecmento a V contante.

21 hapter Proceo de quecmento em tanque agtado cont 4 Supoçõe:. Mtura perfeta; am, a temperatura de aída T é também temperatura do conteúdo no tanque.. Vlqudo é contante, porque a taxa de fluxo de entrada e aída ão gua. 3. dendade ρ e a capacdade de calor do líqudo ão aumdo contante. m, a ua dependênca da temperatura é deprezível. 4. perda de calor ão deprezíve. Obtenção da Equaçõe Dnâmca Varáve utlzada: Temperatura: T(t [ ] Quantdade de calor armazenado em um corpo: q(t [kcal] Fluxo de calor: Q(t [kcal/] Relaçõe de Stema: Quando do corpo de temperatura dferente ão poto em contato, flurá calor do ma quente para o ma fro, até que a temperatura do do e gualem. 4

22 o modelo dnâmco, aumndo V lq. e vazõe contante: dt V ρ w T T Q ( ( Suponha que a condçõe nca do proceo em etado de equlíbro : ( 0, ( 0, ( 0 ( T T T T Q Q 43 onde T valor em etado de equlbro da T, etc. Para a condçõe em etado de equlbro: Subtrando (3 de (: ( 0 w T T Q (3 dt V ρ w T T T T Q Q ( ( ( (4 ma, dt m, ubttundo em eq(4 obtem-e, onde: ( T becaue T a contant (5 d T porque é uma contante 44 dt V ρ w T T Q T T T, T T T, Q Q Q ( (6 varáve devo, também chamada como varáve de perturbação. ou, plcando TL em (6 : [ T ( T ( t 0 ] w[ T ( T ( ] Q ( Vρ [ T ( T (0 ] w[ T ( T ( ] Q ( Vρ

23 valando T ( t 0. Por defnção, T T T. m em, t 0, ( ( T 0 T 0 T (9 45 Ma como aumu-e que a condção ncal do proceo era que ncalmente etava em etado etaconáro,.e. T ( 0 T, decorre de (9 que: T ( 0 0. Nota: vantagem de utlzar varáve de devo é que o termo condção ncal torna-e zero. Ito mplfca a anále poteror. Reordenando (8 para reolver para T ( : K T Q T τ τ ( ( ( (0 46 onde V ρ K and e τ w w ou T (G (Q ( G (T( (

24 m, T (G (Q ( G (T( ( 47 função de tranferênca entre Q e T : Suponha que T é uma contante no etado de equlíbro. ou eja, ( ( ( T t T T t 0 T 0. Então, podemo ubttur em (0 e reordenando a FT deejada: ( ( T K Q τ ( função de tranferênca entre T e T :. Suponha-e Q é uma contante no etado de equlíbro: ( ( ( Q t Q Q t 0 Q 0 48 ím, reordenando ( ( T T τ (3 Ob:. FT da eq ( e (3 motram o efeto ndvdual de Q e T obre T. Qual era a repota para mudança multânea em Q e T?

25 Repota: Da eq.(0, a mema FT é valda para mudança multânea 49 K T Q T τ τ ( ( ( (0 Note que eq (0 motra o efeto da mudança tanto em Q como em T e ão adtvo. Io empre ocorre para, o modelo dnâmco lneare (como FT porque o prncípo da uperpoção é váldo.. O modelo FT no permte determnar a repota de aída a qualquer mudança na entrada. 3. Emprega-e a varáve de devo para elmnar a condçõe nca do modelo em FT. Grau de lberdade para o nále do Modelo do tanque agtado : V, ρ, 3 parâmetro: 4 varáve: T, T, w, Q equação: Eq. 50 m, o grau de lberdade ão N L 4-3 varáve de proceo ão clafcada : varável aída: T 3 varáve entrada: T, w, Q Para efeto de controle de temperatura, é razoável clafcar a trê entrada como: varáve de perturbação: T, w varável manpulada: Q

26 Exemplo 4: aquecmento com vapor : Q w H v 5 T w dt V ρ w ( T T w H v ( 0 w( T T w H ( v Subtrando ( de ( dt V ρ w ( T T ( w w H dvdndo por w V ρ dt Hv T T ( w w w w v Defnção de varáve de devo (do et pont 5 y T T T dered operatng pont u w w w ( T from teady tate é a temperatura deejada de operação do regme operaconal (equlíbro ρv dy H v Hv ρv y u note que that K p and e τ w w w w dy note when qdo 0 y K pu dy τ y K pu General lnear ordnary dfferental equaton oluton: um of exponental( olução geral de uma EDO lnear: uma de exponenca. Suponhamo u (repota para degrau untáro Suppoe u (unt tep repone t y( t K p e τ

27 repota para um tema de ª ordem e obtenção gráfca da contate de tempo τ 53 Tempo morto O tempo morto puro (t m ou θ é uma quantdade fnta de tempo que o lqudo leva para e mover da aída do reervatóro ao ponto onde etá o enor. Em geral, no equpamento que modelamo por parâmetro dtrbuído,. e, a varável do proceo é dtrbuída por todo o equpamento. funçõe de tranferênca para ta tema geralmente contêm no mínmo, um termo de tempo morto, o qual ó para mplfcar cálculo, deconderamo. Uma etmatva de aproxmação do tempo morto é realzada utlzando a aproxmação de Padé de prmera ordem, dada por e θ θ θ 54

28 Exemplo 5 : Se o enor de temperatura é ntalado na corrente de aída do tanque aquecdo (atrao de tranporte Tanque: Senor: G H Função tranferênca global : T U m T T m T( K G U( τ -θθ Tempo morto: θ L w.l f w velocdade do fluído, m/ L comprmento ou dtânca, m L área tranveral da tubulação, m T ( K e m H T( τ T U G H G H f fluxo volumétrco, m 3 / KK He τ ( τ ( θ H Reaçõe Bológca Reaçõe bológca que envolvem mcrorganmo e de enzma cataladora etão preente e deempenham um papel crucal no mundo natural. Sem ta borreaçõe, planta e vda anmal, como a conhecemo, mplemente não poderam extr. Borreaçõe também fornecem a bae para a produção de uma ampla varedade de produto na ndutra farmacêutca e médca e de almento. Importante proceo ndutra que envolvem borreaçõe ncluem proceo de fermentação e tratamento de água redua. O engenhero químco etão fortemente envolvdo com o proceo boquímco e bomédco. 56

29 Boreaçõe Normalmente ão realzado num reator decontínuo ou decontínuo com almentação. Fed-batch é nônmo de em-batelada. Reatore Fed-batch ão amplamente utlzado na ndútra farmacêutca e outro proceo ndutra. 57 ubtrato célula ma célula produto maa maa de célula formada ubtrato conumdo Y XS (7. maa maa de produto formada ubtrato conumdo Y ps (7. Boreator Fed-Batch 58 Subtrato, F alm, Sf Equação de Monod V S P X rg µ X (-93 Taxa epecífca de crecmento S µ µ (7.4 max (-94 K S (7.3 Boreator Fed-batch para uma boreação.

30 Supoçõe. fae de crecmento exponencal de célula é de nteree.. O reator em batelada almentada é perfetamente mturado. 3. Efeto de calor ão pequeno para que o funconamento do reator otérmco pode er aumdo. 4. dendade do líqudo é contante. 5. O moto no borreator conte de materal líqudo, ma óldo, a maa de célula. Eta mtura heterogênea pode er aproxmada como um líqudo homogêneo. 6. taxa de crecmento da célula r g é dada pela equação de Monod (7.3 e ( Supoçõe... cont. 7. taxa de formação de produto por undade de volume r p pode er expreo como r p Y P / X r g (7.5 (-95 onde o coefcente de rendmento Y P/X é defndo como: 60 Y p/x maa de produto maa nova célula formada formada ( corrente de almentação é etérl e, portanto, não contém célula. De modo geral, cada balanço Taxa de Taxa de Taxa de maa maa maa acumulada entra aída

31 Balanço por componente élula: Produto: Subtrato: Balanço Global d( XV V rg (-98 (7.7 d ( PV Vrp (-99 (7.8 d( SV F S V r V r Y Y d ( V f g P X / S P / S F (-0 (7.0 6 (-00 ( Propredade da Função de Tranferênca do Modelo 6. Ganho em etado de equlíbro FT em etado de equlíbro pode er uado para calcular a repota (aída no etado etaconáro devdo a uma mudança de etado na entrada. Por exemplo, uponha que conhecemo do etado etaconáro para a entrada, u, e da aída, y. Então, podemo calcular o ganho em etado etaconáro, K, a partr da entrada, u, e da aída, y. Logo, podemo calcular o ganho em etado de equlíbro, K, como: y y K (8. (4-38 u u Para um tema lnear, K é uma contante. Ma, para um tema nãolnear, K va depender da condção operaconal ( u y,.

32 alculo do ganho do Proceo, K Se um modelo FT tem um ganho em etado etaconáro, então : 63 K 0 ( lm G (8. (4 Ete mportante reultado é conequênca do Teorema do Valor Fnal Nota: lgun modelo de FT não têm ganho em etado de equlíbro (Exemplo: proceo ntegrador. Ordem do Modelo da Função de Tranferênca ondere EDO lnear geral de ordem n, : n n m d y dy dy d u an an 0 n Ka a y b n m m m d u du bm K b m b0u (4-39 plcando TL, e aumndo que a condçõe nca ão zero. Reordenando, reulta na egunte FT: ( ( G ( ( Y U m 0 n 0 b a (4-40 (8.4

33 Defnção ordem da FT é defnda para er a ordem do polnômo do denomnador. ob.: ordem da FT do denomnador é gual á ordem da EDO. 65 Vabldade Fíca: Para qualquer tema fíco, em (8. ao contráro, o tema de repota a uma entrada degrau erá um mpulo.(io não pode acontecer Exemplo: n m a0 y b du b0u and e mudança tep change degrau n em u u (4-4 onverão entre tpo de modelo 66 Não-lnear Prmero Modelo (Prncípo Lnearzação Lnear Modelo varável de etado Tranformada Laplace Realzação Modelo Função de Tranferênca

34 9. Lnearzação de Modelo não lneare té agora, temo enfatzado modelo lneare que podem er tranformado em modelo FT. 67 Ma a maora do proceo fíco e modelo da engenhara químca ão modelo não-lneare. - que durante um pequeno ntervalo na condçõe de operação, o comportamento pode er aproxmadamente lnear. - oncluão: aproxmaçõe lneare podem er úte. aproxmação de modelo lneare podem er obtda analtcamente atravé da técnca chamada de "lnearzação, baeada na ére de Taylor de uma função não-lnear obre um ponto de operação epecfcado. 9. Lnearzação de Modelo não lneare Uma boa aproxmação e obtém-e perto de um determnado ponto de operação. O Ganho e a contante de tempo podem mudar com o ponto de operação. 68 ondere um modelo dnâmco não lnear, relaconando varáve do proceo, u e y: dy f ( y, u Expanão da Sére de Taylor: f ( y, u f f ( y, u y y, u f ( y y u y, u ( u u (9. (9. Equlíbro (ponto de operação Subttundo e ubtrando a equação do etado de equlíbro, o modelo dnâmco lnearzado é: dy f y f y u u (9.3

35 Lnearzação de Modelo não lneare 69 proxmação Lnear da Expanão de Sére de Taylor, truncada para prmera ordem: y( t g( x, x,..., x g x ( x x g x ( x g... x o o no o o n no x x x x n x 0 0 x x 0 ( x x expanão em Sere de Taylor em torno do ponto de operação x,x,...,x n, é útl para e obter uma aproxmação lnear da função não lnear Exemplo 6: h q V Bomba q q: vazão de aída, q : vazão de entrada (perturbação 70 h: nível do tanque (V dh q q (6. Solução: uando T.L H ( q ( q ( 0 (devo Supondo q é contante, de modo que q 0, obtém-e: H ( q (, H( Q ( Integrador puro (rampa, para a mudança degrau de q Ma, e q foe manpulada por uma válvula de controle, então...

36 Exemplo 6b: q V 7 h q ao a vazão de aída, q, é função lnear da retênca da válvula e h, temo: q R V h R V : retênca lnear na lnha dh q h P p ρgh EDO ( -57 lnear R v Exemplo 6b: q V 7 h q ao b vazão de aída é função do v e h q * v P - P a P a : ambent preão ambente preure q * v h P p ρgh q elemento não lnear Nível, h dh * q v ρgh q v h EDO NÃO (-6 Lnear

37 ao b vazão de aída é função do v e h... ont. Lnearzando o termo anteror e ubttundo-o na eq. (3., tem-e: (6. 73 f Λ v v h ( q ( h q h a equação (3. em etado de equlíbro é: 0 q h (6.3 (7 Subtrando (3.3 de (3. e fazendo reulta o modelo lnearzado: v q, notando que dh dh q q dh q 0 v h * h (6.4 Exemplo 6b. contn. m, a EDO lnearzada erá: dhˆ v qˆ hˆ h dhˆ h v v h dhˆ hˆ ˆ q h hˆ v ˆ q 74 Logo, aplca-e TL...contn.

38 Exemplo STR Iotérmco Modelo EDO não lnear B k 75, ( ( f f f k q d No etado etaconáro ( ( (, ( f f f k V q f, ( ( f f f k V 3 (( (4(( 0 0 ± ± f Exemplo STR Iotérmco cont. Lnearzando próxmo ao ponto de etado etaconáro 76 ' ' ', ( f f f d Função de tranferênca ' ' ' ' ' ', ( ', ( 3 ( ] [ 0, ( f f f f f d f f f d f f ( ( ' ' f

39 Reator STR não-otérmco 77 Fe, e, Be F w, T w F we, T we F,, B, T Em um reator não otérmco contínuo de tanque agtado, geralmente ão dado do problema: Geometra do reator,.e, dâmetro do tanque conhecdo almentação do reagente puro à determnada temperatura de almentação, com determnada concentração e vazão volumétrca, No reator acontece uma reação de prmera ordem, egunda ordem, etc, alor da reação conhecdo. O reator é mundo de cama de troca térmca para controlar a temperatura do reator, com coefcente global de tranferênca de calor U conhecdo. Para a mtura reaconal pode-e conderar maa epecífca contante e calor epecífco contante Se conhece a caracterítca da válvula na lnha de manpulação: como abertura lnear, abertura rápda ou de gual porcentagem, (K v e τ V. 78

40 Dada a egunte hpótee: mtura perfeta no reator e na cama; trabalho tranferdo pelo agtador deprezível; (-r k ; maa epecífca contante no reator e na cama; coefcente global de troca térmca contante; calor epecífco contante no reator e na cama; fludo ncompreíve; perda de calor para a vznhança deprezíve; Δ(energa nterna Δ(entalpa; varação de energa potencal e cnétca deprezíve; volume da cama contante; parede metálca fna e com capacdade calorífca deprezível omo exercíco: determnar a FT que relacona com f

41 8 omo exercíco: determnar a FT que relacona T com T f e Q upondo a cont de reação como K e -Ea/(RT e Ea ão cte. Outro Exercco ver o exemplo propoto no ap 8 (Smth & orrpo ou ap 4 (Seborg de tanque em ére.

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